高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2021高一上·青岛期中）设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·德州期末）已知不等式 的解集是 ，则 的值为（ ）
A．-64 B．-36 C．36 D．64
3．（2020高一上·淄博期末）已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
4．（2020高一上·威海期末）“ 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高一上·威海期末）已知点 是以 为直径的圆上任意一点，若 则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
6．（2021高一上·潍坊期中）如图，电路中电源的电动势为 ，内阻为 ， 为固定电阻， 是一个滑动变阻器，已知 消耗的电功率为 ，当 消耗的电功率 最大时， 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高一上·章丘期中）数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020高一上·临朐月考）若xy 是正数，则 的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、多选题
9．（2021高一上·肥城期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为
10．（2021高一上·烟台期中）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的最小值为4
D．若 ，则 的最小值为8
11．（2021高一上·薛城期中）设 ， ，且 ，那么（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
12．（2020高一上·山东月考）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
三、填空题
13．（2020高一上·兖州期中）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
14．（2020高一上·邹城月考）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为 .
15．（2021高一上·兰山期中）对任意 ，一元二次不等式 都成立，则实数k的取值范围为 ．
16．（2020高一上·枣庄期末）已知 ， ， ，则 的最小值为 .
四、解答题
17．（2021高一上·章丘期中）已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
18．（2020高一上·滨州期中）
（1）比较 与 的大小；
（2）解关于 的不等式 ．
19．（2021高一上·费县期中）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，的解集为，求的最小值．
20．（2019高一上·滕州月考）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
（1） ；
（2） .
21．（2021高一上·肥城期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员 户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高 ，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为 万元. 在动员 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的 户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入.
（1）求 的取值范围；
（2）要使从事乡村旅游的这 户的年总收入始终不高于 户从事种植业的所有农户年总收入，求 的最大值.
（参考数据： ， ， ）
22．（2019高一上·聊城月考）
（1）对一切正整数 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围构成的集合.
（2）已知 都是正实数，且 ，求 的最小值及相应的 的取值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法求出集合A，再由交集的定义即可得出结果。
2．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵不等式 的解集是 ，
∴ 图像开口向下，即a<0，且 的两根为-4和1.
∴ ，解得：
∴
故答案为：D
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合韦达定理即可求出a与b的值，再把数值代入到计算出结果即可。
3．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】 ，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ 恒成立”对应的 的范围为 ，
则它的一个充分不必要条件是 的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据圆的几何性质可得 ，所以 ，
由基本不等式链可得： ，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为：A
【分析】首先由元的性质以及勾股定理计算出AB的值，再由基本不等式结合题意得出由此得出最大值。
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，可推出三角形也为等腰直角三角形，
所以图1的阴影部分面积，
图2阴影部分的面积，
由两图阴影部分面积关系直观得出，即，当且仅当时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】由已知条件即可得出三角形的形状，结合题意即可求出阴影部分的面积，再结合基本不等式计算出结果，由此即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
当且仅当 或 时取等号.
故答案为：C
【分析】首先整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】因为关于 的不等式 解集为 ，
所以 和 是方程 的两个实根，且 ，A符合题意；
所以 ， ，所以 ，
因为 ，又 ，所以 ，B符合题意；
不等式 可化为 ，因为 ，所以 ，C不符合题意；
不等式 可化为 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法和已知条件，再结合韦达定理和根与系数的关系，从而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A， ，当且仅当 时等号成立，A符合题意.
B， 时， ，所以B不符合题意.
C， ，当且仅当 时等号成立，C符合题意.
D， ，当且仅当 时等号成立，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ， ， ，当 时取等号
，解得 ，
ab有最小值 ；
，当 时取等号，
， ，
，解得 ，
即 ， 有最小值 .
故答案为：AD
【分析】由已知条件结合基本不等式即可得出代数式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意可得二次函数 的对称轴 ，且 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，即 在 上的最小值为4，
所以 ，解得 .
故答案为：BCD
【分析】根据题意由二次函数图象的性质，结合对称轴的位置以及 在 上恒成立，由基本不等式即可求出由此得出关于a的不等式，从而得到a的取值范围。
13．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故答案为： .
【分析】利用 ，把 化为 ，再利用基本不等式求解即可。
14．【答案】a≤2
【知识点】命题的真假判断与应用；基本不等式
15．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】因为对任意 ，一元二次不等式 都成立，
所以 ，
解得 ，
所以实数k的取值范围为
【分析】 由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合二次函数的性质即可得到关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
16．【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】原式 ；
当且仅当 即 ， 时取等.
所以 的最小值为16.
故答案为：16
【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值即可。
17．【答案】（1）或，或，
故或
（2）因为，所以，解得.
故的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围 ，从而得出集合B，再由补集和并集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件结合集合之间的关系，对边界点进行限制，由此即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
18．【答案】（1）解： ，
因为 ，所以 ，
即 .
（2）解： .
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）利用十字相乘法，将不等式左边分解，讨论与的大小，进而可得不同情况下不等式的解集。
19．【答案】（1）解：当时，不等式，即为，
可得，
即不等式的解集为或
（2）解：由题意知方程的根为，，
故，，故，同为正，
则
，
当且仅当，且时，即，时等号成立，
所以的最小值为10．
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出不等式 的解集。
（2） 利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而得出方程的根为，，再利用韦达定理得出，，故，同为正，再结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出的最小值。
20．【答案】（1）解：∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝2（ ）＝2
＝2 ＋4
≥4 ＋4＝8(当且仅当a＝b＝ 时，等号成立)，
∴ ＋ ＋ ≥8.
（2）解：∵
＝ ＋ ＋ ＋1，
由(1)知 ＋ ＋ ≥8.
∴ ≥9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的证明
【解析】【分析】（1）1的代换，将不等式左边化为齐次： ,再根据基本不等式求最小值为8，证得结论（2）左边展开得 ，再根据（1）得证.
21．【答案】（1）依题意得 ，
整理得 ，解得 ，
又 ，
所以 的取值范围为 .
（2）从事乡村旅游的 户农民年总收入为 万元， 户从事种植业的农户总年收入为
依题意得 恒成立，
即 恒成立，
所以 恒成立.
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 最小，又 ，所以 或者 . …
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，所以 的最大值为9.93
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出 ，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数x的取值范围。
（2） 利用已知条件得出从事乡村旅游的 户农民年总收入为 万元， 户从事种植业的农户总年收入为 ，依题意得出 恒成立，所以 恒成立，再利用单调函数的定义，从而判断出函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 从而求出函数 的最小值，再利用 ， 从而求出x的值，再利用分类讨论的方法，从而求出函数值，进而求出实数a的取值范围，从而求出实数a的最大值。
22．【答案】（1）解：由 ，由题意知 ，即 ，解得 或 ，
的取值范围构成的集合为： .
（2）解：由 ，得 ，
， ，
，即 ，
等号成立的条件是 ，此时 ，故 的最小值是
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，可以得到 ，解这个不等式即可；（2）由 ，可以得到 ，再由 都是正实数，可以得到 （当且仅当 时，等号成立），这样可以得到 ，解这个不等式，然后根据等号成立的条件求出 的值.
1 / 1高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．（2021高一上·青岛期中）设集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：D.
【分析】首先由一元二次不等式的解法求出集合A，再由交集的定义即可得出结果。
2．（2020高一上·德州期末）已知不等式 的解集是 ，则 的值为（ ）
A．-64 B．-36 C．36 D．64
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵不等式 的解集是 ，
∴ 图像开口向下，即a<0，且 的两根为-4和1.
∴ ，解得：
∴
故答案为：D
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合韦达定理即可求出a与b的值，再把数值代入到计算出结果即可。
3．（2020高一上·淄博期末）已知实数 ，则 的最小值是（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是24.
故答案为：A.
【分析】 ，利用基本不等式的性质，即可求得最小值.
4．（2020高一上·威海期末）“ 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ 恒成立”对应的 的范围为 ，
则它的一个充分不必要条件是 的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
5．（2020高一上·威海期末）已知点 是以 为直径的圆上任意一点，若 则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据圆的几何性质可得 ，所以 ，
由基本不等式链可得： ，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为：A
【分析】首先由元的性质以及勾股定理计算出AB的值，再由基本不等式结合题意得出由此得出最大值。
6．（2021高一上·潍坊期中）如图，电路中电源的电动势为 ，内阻为 ， 为固定电阻， 是一个滑动变阻器，已知 消耗的电功率为 ，当 消耗的电功率 最大时， 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．（2021高一上·章丘期中）数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，可推出三角形也为等腰直角三角形，
所以图1的阴影部分面积，
图2阴影部分的面积，
由两图阴影部分面积关系直观得出，即，当且仅当时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】由已知条件即可得出三角形的形状，结合题意即可求出阴影部分的面积，再结合基本不等式计算出结果，由此即可得出答案。
8．（2020高一上·临朐月考）若xy 是正数，则 的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
当且仅当 或 时取等号.
故答案为：C
【分析】首先整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值。
二、多选题
9．（2021高一上·肥城期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为
【答案】A,B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】因为关于 的不等式 解集为 ，
所以 和 是方程 的两个实根，且 ，A符合题意；
所以 ， ，所以 ，
因为 ，又 ，所以 ，B符合题意；
不等式 可化为 ，因为 ，所以 ，C不符合题意；
不等式 可化为 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法和已知条件，再结合韦达定理和根与系数的关系，从而找出说法正确的选项。
10．（2021高一上·烟台期中）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的最小值为4
D．若 ，则 的最小值为8
【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A， ，当且仅当 时等号成立，A符合题意.
B， 时， ，所以B不符合题意.
C， ，当且仅当 时等号成立，C符合题意.
D， ，当且仅当 时等号成立，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而找出结论正确的选项。
11．（2021高一上·薛城期中）设 ， ，且 ，那么（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ， ， ，当 时取等号
，解得 ，
ab有最小值 ；
，当 时取等号，
， ，
，解得 ，
即 ， 有最小值 .
故答案为：AD
【分析】由已知条件结合基本不等式即可得出代数式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2020高一上·山东月考）已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意可得二次函数 的对称轴 ，且 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，即 在 上的最小值为4，
所以 ，解得 .
故答案为：BCD
【分析】根据题意由二次函数图象的性质，结合对称轴的位置以及 在 上恒成立，由基本不等式即可求出由此得出关于a的不等式，从而得到a的取值范围。
三、填空题
13．（2020高一上·兖州期中）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故答案为： .
【分析】利用 ，把 化为 ，再利用基本不等式求解即可。
14．（2020高一上·邹城月考）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为 .
【答案】a≤2
【知识点】命题的真假判断与应用；基本不等式
15．（2021高一上·兰山期中）对任意 ，一元二次不等式 都成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】因为对任意 ，一元二次不等式 都成立，
所以 ，
解得 ，
所以实数k的取值范围为
【分析】 由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系结合二次函数的性质即可得到关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
16．（2020高一上·枣庄期末）已知 ， ， ，则 的最小值为 .
【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】原式 ；
当且仅当 即 ， 时取等.
所以 的最小值为16.
故答案为：16
【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式即可求出最小值即可。
四、解答题
17．（2021高一上·章丘期中）已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）或，或，
故或
（2）因为，所以，解得.
故的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围 ，从而得出集合B，再由补集和并集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件结合集合之间的关系，对边界点进行限制，由此即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
18．（2020高一上·滨州期中）
（1）比较 与 的大小；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1）解： ，
因为 ，所以 ，
即 .
（2）解： .
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 ；
当 ，即 时，解原不等式，可得 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小即可；
（2）利用十字相乘法，将不等式左边分解，讨论与的大小，进而可得不同情况下不等式的解集。
19．（2021高一上·费县期中）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，的解集为，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，不等式，即为，
可得，
即不等式的解集为或
（2）解：由题意知方程的根为，，
故，，故，同为正，
则
，
当且仅当，且时，即，时等号成立，
所以的最小值为10．
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出不等式 的解集。
（2） 利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而得出方程的根为，，再利用韦达定理得出，，故，同为正，再结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出的最小值。
20．（2019高一上·滕州月考）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＝2（ ）＝2
＝2 ＋4
≥4 ＋4＝8(当且仅当a＝b＝ 时，等号成立)，
∴ ＋ ＋ ≥8.
（2）解：∵
＝ ＋ ＋ ＋1，
由(1)知 ＋ ＋ ≥8.
∴ ≥9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式的证明
【解析】【分析】（1）1的代换，将不等式左边化为齐次： ,再根据基本不等式求最小值为8，证得结论（2）左边展开得 ，再根据（1）得证.
21．（2021高一上·肥城期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员 户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高 ，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为 万元. 在动员 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的 户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入.
（1）求 的取值范围；
（2）要使从事乡村旅游的这 户的年总收入始终不高于 户从事种植业的所有农户年总收入，求 的最大值.
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）依题意得 ，
整理得 ，解得 ，
又 ，
所以 的取值范围为 .
（2）从事乡村旅游的 户农民年总收入为 万元， 户从事种植业的农户总年收入为
依题意得 恒成立，
即 恒成立，
所以 恒成立.
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 最小，又 ，所以 或者 . …
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，所以 的最大值为9.93
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出 ，再利用一元二次不等式求解集的方法，进而求出实数x的取值范围。
（2） 利用已知条件得出从事乡村旅游的 户农民年总收入为 万元， 户从事种植业的农户总年收入为 ，依题意得出 恒成立，所以 恒成立，再利用单调函数的定义，从而判断出函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 从而求出函数 的最小值，再利用 ， 从而求出x的值，再利用分类讨论的方法，从而求出函数值，进而求出实数a的取值范围，从而求出实数a的最大值。
22．（2019高一上·聊城月考）
（1）对一切正整数 ，不等式 恒成立，求实数x的取值范围构成的集合.
（2）已知 都是正实数，且 ，求 的最小值及相应的 的取值.
【答案】（1）解：由 ，由题意知 ，即 ，解得 或 ，
的取值范围构成的集合为： .
（2）解：由 ，得 ，
， ，
，即 ，
等号成立的条件是 ，此时 ，故 的最小值是
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，可以得到 ，解这个不等式即可；（2）由 ，可以得到 ，再由 都是正实数，可以得到 （当且仅当 时，等号成立），这样可以得到 ，解这个不等式，然后根据等号成立的条件求出 的值.
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