研究含参函数的极值与最值问题（1）【题集】
1. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
1. 已知函数 ．
当 时，求 的单调区间与极值点．
【答案】（ 1 ） 的单调增区间为 ．
的单调减区间为 ．
在 处取得有极大值 ，极大值点为 ．
【解析】（ 1 ） ， ．
当 时， ， ．
令 得： ，即 的单调增区间为 ．
令 得： ，即 的单调减区间为 ．
所以， 在 处取得有极大值 ，即极值点
为 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题
2. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减．
当 时，令 ，得 ，
则 的单调递减区间为 ，
1
令 ，得 ，
则 的单调递增区间为 ．
（ 2 ）由（ ）知，当 时， 在 上单调递减，
所以 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，则 不合题意．
当 时， ，
因为 ，所以 ，则 不合题意．
综上， ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式
3. 已知 ，函数 ．
求 在区间 上的最小值．
【答案】（ 1 ）当 时， 在区间 上无最小值；
当 时， 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在区间 上的最小值为 ．
【解析】（ 1 ）因为 ，所以 ， ．
令 ，得 ．
① 若 ，则 ， 在区间 上单调递增，此时 无最小值．
② 若 ，当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ．
③ 若 ，则当 时， ， 在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值 ．
综上可知，当 时， 在区间 上无最小值；
当 时， 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在区间 上的最小值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）
4. 已知函数 ， ．
求函数 在区间 上的最小值．
2
【答案】（ 1 ）当 时， 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在区间 上的最小值为 ．
【解析】（ 1 ） ， ．
①当 时，在区间 上 ，此时 在区间 上单调递
减，
则 在区间 上的最小值为 ．
②当 ，即 时，在区间 上 ，此时 在区间 上单调
递减，
则 在区间 上的最小值为 ．
③当 ，即 时，在区间 上 ，此时 在区间
上单调递减；
在区间 上 ，此时 在区间 上单调递增；则 在区间
上的最小值为 ．
④ 当 ，即 时，在区间 上 ，
此时 在区间 上为单调递减，则 在区间 上的最小值为
．
综上所述，当 时， 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在区间 上的最小值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）
2. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
含参二次型导函数，无一次项型
5. 已知函数 ．
求 在 上的最小值；
【答案】（ 1 ）当 时， 在 处取最小值 ，
当 时， 在 处取得最小值 ，
当 时， 在 处取得最小值 ．
【解析】（ 1 ）当 时， 对 成立，
3
所以 在 上单调递增， 在 处取最小值
当 时，令 ， ， ，
当 时，
时， 单调递减
时， ， 单调递增
所以 在 处取得最小值 ，
当 时， ， 时， 单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，
综上所述，
当 时， 在 处取最小值 ，
当 时， 在 处取得最小值 ，
当 时， 在 处取得最小值 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）；已知极值情况求参数值
6. 设函数 ．
求函数 的单调区间和极值．
【答案】（ 1 ） 时，函数 的单调递增区间为 ，函
数既无极大值也无极小值；
时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间为
，函数 有极小值 ，无极大值．
【解析】（ 1 ）由 ，得 ，
①当 时， ，函数 在 上单调递增，函数无极大值，也无
极小值；
②当 时，由 ，得 或 （舍去）．
于是，当 变化时， 与 的变化情况如下表：
递减 递增
所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
函数 在 处取得极小值 ，无极大值．
4
综上可知，当 时，函数 的单调递增区间为 ，函
数既无极大值也无极小值．
当 时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间为
，函数 有极小值 ，无极大值．
【标注】【知识点】求解函数极值；已知零点或根情况求参数范围；利用导数求函数的单调性、单
调区间；函数零点的概念
7. 设函数 ，求函数 的单调区间与极值点．
【答案】答案见解析
【解析】
当 时，由 ，函数 在 上单调递增，此时函数 没有极值
点．
当 时，由 得
当 时， 函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
此时， 是 的极大值点， 是 的极小值点．
【标注】【知识点】求函数极值（含参二次型导函数）；求函数单调区间（含参二次型导函数）
8. 已知函数 （ ），求 的单调区间．
【答案】见解析．
【解析】 ，
当 时， 所以，在区间 上， ；
在区间 上，
故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
当 时，由 得 ，
所以，在区间 和 上， ；在区间 上，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．
当 时， 在区间 上恒成立，
5
故 的单调递增区间是
当 时，由 得 ，
所以，在区间 和 上， ；
在区间 上，
故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
9. 已知函数 ．
求函数 的单调区间；
【答案】（ 1 ）当 时， 在 和 上单调递增；
当 时， 单调递增区间为 和 ，
单调减区间为 和 ．
【解析】（ 1 ）函数的定义域为： ，
，
当 时， 恒成立，
所以， 在 和 上单调递增
当 时，令 ，
即： ， ， ．
， 或 ， ， 或 ，
所以， 单调递增区间为 和 ，
单调减区间为 和 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题
含参二次型导函数，能因式分解
10. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
6
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ，
．
由 得 或 ．
当 时， 在 上恒成立，
所以 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间．
当 时， 的变化情况如下表：
↗ 极小值 ↘
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
当 时， 的变化情况如下表：
↗ 极小值 ↘
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；求参数范围（含参二次型导函数）
11. 已知函数 ．
若 ，求 在区间 上的最大值．
【答案】（ 1 ）当 或 时， 在 取得最大值，
；
当 时， 时 取得最大值， ；
当 时， 在 取得最大值， ．
【解析】（ 1 ）因为 ，所以 ．
① 当 时， 对 成立，所以 在 上单调递增，
故当 时 取得最大值， ；
7
② 当 时，若 ，则 ， 单调递增；若 ，则
， 单调递减，
故当 时 取得最大值， ；
③ 当 时， 对 成立，所以 在 上单调递减，
故当 时 取得最大值， ；
④ 当 时，若 ，则 ， 单调递减；若
，则 ， 单调递增，
又 ， ，
当 时， 在 取得最大值， ；
当 时， 在 取得最大值， ；
当 ， 在 ， 处都取得最大值 ．
综上所述：
当 或 时， 在 取得最大值，
；
当 时， 时 取得最大值， ；
当 时， 在 取得最大值， ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求解函数极值；利用导数求函数的
最值
12. 已知函数 （其中 为常数且 ）在 处取得极值．
（ 1 ）当 时，求 的单调区间．
（ 2 ）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
（ 2 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，所以 ，
因为函数 在 处取得极值，
，当 时， ， ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
所以 的极大值点为 ， 的极小值点为 ．
8
（ 2 ）因为 ，
令 ，得 ， ，
因为 在 处取得极值，所以 ．
（ⅰ）当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上的最大值为 ，由 ，解得 ．
（ⅱ）当 时， ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增， 上单调递减，
上单调递增，
所以最大值 可能在 或 处取得．
而 ，
所以 ，解得 ，满足 ．
②当 时，即 时， 在区间 上单调递增，
上单调递减，
上单调递增．
所以最大值 可能在 或 处取得．
而 ，
所以 ，解得 ，与 矛
盾．
③当 即 时， 在区间 上单调递增，在 上单
调递减，
所以最大值 可能在 处取得，而 ，矛盾．
综上所述 或 ．
【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）；已知极值情况求参数值
13. 已知函数 ．
讨论 的单调性．
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间
是 ；
当 时， 在 上单调递增；
9
当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
．
【解析】（ 1 ）因为 ，所以
．
①当 ，即 时，令 ，得 或 ，令
，得 ，
所以 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
②当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
③当 ，即 时，令 ，得 或 ，令 ，得
，
所以 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
综上，当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递
减区间是 ；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数求函数的单调性、单调区间
含参二次型导函数，不能因式分解型
14. 已知函数 ，其中 ．
求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ）当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是
；
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是
；
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是 ．
10
【解析】（ 1 ）方程 的判别式为 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 在区间 上单调递增，所以 在区
间
上的最小值是 ；最大值是 ．
（ⅱ）当 时，令 ，得 ，或 ．
和 的情况如下：
故 的单调增区间为 ， ；单调减区间为
．
当 时， ，此时 在区间 上单调递增，所以 在区间
上的最小值是 ；最大值是 ．
当 时， ，此时 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，
所以 在区间 上的最小值是 ．
因为 ， 所以当 时， 在区间 上的最大
值是 ；
当 时， 在区间 上的最大值是 ．
当 时， ，此时 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上的最小值是 ；最大值是 ．
综上，
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是 ；
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是
；
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是
；
当 时， 在区间 上的最小值是 ，最大值是 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）
11
15. 其中 ，其中 ．
（ 1 ）当 时，求函数 的零点和极值点．
（ 2 ）当 时，求 在区间 上的单调区间．
（ 3 ）当 时，求 在区间 ， 上， 是否存在最小值？若存在，求出最小
值；若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ） 的零点是 ，极值点是 和 ．
（ 2 ） 的单调增区间是 ，单调减区间是
．
（ 3 ） 在 上存在最小值，且最小值为 ．
【解析】（ 1 ） ， ，
令 ，
，
令 ，
∴ 的零点是 ，极值点是 和 ．
（ 2 ） ，
令 ，
∴ 的单调增区间是 ，单调减区间是
．
（ 3 ）有（ ）知 在 上单调递增，
在 上单调递减，
，
而当 时，有 ，
因此 在 上存在最小值，且最小值为 ．
【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值
12
13研究含参函数的极值与最值问题（1）【题集】
1. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
1. 已知函数 ．
当 时，求 的单调区间与极值点．
2. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
3. 已知 ，函数 ．
求 在区间 上的最小值．
4. 已知函数 ， ．
求函数 在区间 上的最小值．
2. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
含参二次型导函数，无一次项型
5. 已知函数 ．
求 在 上的最小值；
6. 设函数 ．
求函数 的单调区间和极值．
7. 设函数 ，求函数 的单调区间与极值点．
8. 已知函数 （ ），求 的单调区间．
9. 已知函数 ．
求函数 的单调区间；
含参二次型导函数，能因式分解
10. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
11. 已知函数 ．
1
若 ，求 在区间 上的最大值．
12. 已知函数 （其中 为常数且 ）在 处取得极值．
（ 1 ）当 时，求 的单调区间．
（ 2 ）若 在 上的最大值为 ，求 的值．
13. 已知函数 ．
讨论 的单调性．
含参二次型导函数，不能因式分解型
14. 已知函数 ，其中 ．
求 在区间 上的最大值和最小值．
15. 其中 ，其中 ．
（ 1 ）当 时，求函数 的零点和极值点．
（ 2 ）当 时，求 在区间 上的单调区间．
（ 3 ）当 时，求 在区间 ， 上， 是否存在最小值？若存在，求出最小
值；若不存在，请说明理由．
2
