研究含参函数的极值与最值问题（2）
一、 课堂目标
1．掌握含参指对型导函数、含参三角型导函数的原函数讨论单调性的方法．
2．掌握含参指对型导函数、含参三角型导函数的原函数求解极值与最值的方法.
二、 知识讲解
1. 求解“含参指对型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
函数求导后为含参指数型导函数函数或含参对数型导函数，判断其单调性要注意两点：
一是确定定义域并求导后，对参数进行分类讨论；
二是结合图象进行分析．
注意：对参数进行分类讨论：①将参数 与 比较，分 , 和 三种情况；
②令导函数等于 ，对于解出的所有的根比较大小，从而对参数进行分类讨论．
（2）求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参指对型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
1. 已知 （其中 ）．
讨论 的单调性．
2. 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（ 1 ）讨论函数 的单调性；
（ 2 ）求函数 在区间 上的最大值．
1
巩固练习
3. 已知函数 ．
讨论 的单调性．
4. 已知函数 （ ）．
求函数在区间 上的最小值．
5. 已知函数 ， ．
若 在 上单调递增，求 的取值范围．
经典例题
6. 已知函数 ．
讨论函数 的单调性．
7. 设函数 ， ．
求函数 在 上的最小值．
巩固练习
8. 已知函数 （ 为实数常数）．
当 时，求函数 在 上的单调区间．
9. 已知函数 且 ．
讨论函数 的极值．
10. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）设 ，求 在区间 上的最大值．（其中 为自然对数的底数）
2. 求解“含参三角型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
函数求导后为含参三角型导函数，判断其单调性要注意两点：
一是确定定义域并求导后，对参数进行分类讨论；
二是要考虑自变量（也就是角度）的范围对导数正负的影响．
（2）求解极值与最值的步骤
2
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参三角型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
11. 已知函数 ，
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程．
（2）当 时，求函数 在 的值域．
（3）当 ，求函数 在 的单调区间．
12. 已知函数 ， ， ．
当 时，求 的单调区间．
巩固练习
13. 已知函数 ， ．
当 时，若方程 在区间 上有唯一解，求 的取值范围．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
14. 已知函数 （ ）．
求函数 的单调区间．
15. 已知函数 ， ．
求 的单调区间；
3研究含参函数的极值与最值问题（2）
一、 课堂目标
1．掌握含参指对型导函数、含参三角型导函数的原函数讨论单调性的方法．
2．掌握含参指对型导函数、含参三角型导函数的原函数求解极值与最值的方法.
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是掌握含参指对型导函数的原函数求解单调性、极值与最值的方法步骤，难
点是含参三角型导函数的原函数求解单调性、极值与最值的方法步骤，会涉及讨论、数形
结合的思想，对参数的讨论实际是对单调性及单调区间的讨论，从而求得相应的极值最值.
2.本讲的关联知识是导数与函数的单调性、极值及最值问题．
二、 知识讲解
1. 求解“含参指对型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
函数求导后为含参指数型导函数函数或含参对数型导函数，判断其单调性要注意两点：
一是确定定义域并求导后，对参数进行分类讨论；
二是结合图象进行分析．
注意：对参数进行分类讨论：①将参数 与 比较，分 , 和 三种情况；
②令导函数等于 ，对于解出的所有的根比较大小，从而对参数进行分类讨论．
【备注】【教师指导】
教师可为学生用例题讲解.
①含参指数型导函数的原函数单调性求解
如： ， ，
（1）当 时， 恒成立， 增区间为 ；
（2）当 时，
由 ，得 ， 增区间为 ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
②含参对数型导函数的原函数单调性求解
如： ，
1
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
（2）求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参指对型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
1. 已知 （其中 ）．
讨论 的单调性．
【备注】【教师指导】
本题考查的是含参指数型导函数的原函数的单调性问题，这道题需要求导整理后，求出导
函数的根，从而去比较根的大小.
【答案】（ 1 ）当 时，在 和 上， 单调递增；
在 上， 单调递减；
当 时，在 上， 单调递增．
当 时，在 和 上， 单调递增；
在 上， 单调递减．
【解析】（ 1 ） ，
因为 ，由 ，得： 或 ．
（）当 时， ，
在 和 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
（ ）当 时， ，
在 上， ， 单调递增．
（ ）当 时， ，
在 和 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减．
【标注】【知识点】函数零点的概念；已知零点或根情况求参数范围；利用导数求函数的单调性、
单调区间
2
2. 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（ 1 ）讨论函数 的单调性；
（ 2 ）求函数 在区间 上的最大值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是含参指数型导函数的原函数的单调性及最值问题，需要对 进行讨论.
【答案】（ 1 ）见解析．
（ 2 ）见解析．
【解析】（ 1 ） ．
（i）当 时，令 ，得 ．
若 ，则 ，从而 在 上单调递增；
若 ，则 ，从而 在 上单调递减．
（ii）当 时，令 ，得 ，故 或 ．
若 ，则 ，从而 在 上单调递减；
若 ，则 ，从而 在 上单调递增；
若 ，则 ，从而 在 上单调递减．
（ 2 ）（i）当 时， 在区间 上的最大值是 ．
（ii）当 时， 在区间 上的最大值是 ．
（iii）当 时， 在区间 上的最大值是 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参指对型导函数）
巩固练习
3. 已知函数 ．
讨论 的单调性．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ，
．
①若 ，则 ，所以 在 上单调递减；
②若 ，则由 得 ，
3
当 时， ；当 时， ，所以
在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
4. 已知函数 （ ）．
求函数在区间 上的最小值．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ．
【解析】（ 1 ） ．
①当 时，在区间 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 时， 取得最小值
②当 时，在区间 ， ，所以 在 上单调递
减，
在区间 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 时， 取得最小值 ．
③当 时，在区间 ， ，所以 在 上单调递减，
所以 时， 取得最小值 ．
综上所述，当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；求函数最值（含参指对型导函数）
5. 已知函数 ， ．
若 在 上单调递增，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
4
在 上单调递增，
在 上恒成立，
即 ，∴ ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】已知极值情况求参数范围；区间上恒单调
经典例题
6. 已知函数 ．
讨论函数 的单调性．
【备注】【教师指导】
本题考查的是含参对数型导函数的原函数的单调性问题，本题考查的是从对 的讨论入手.
【答案】（ 1 ）当 时， 是常函数，
当 时， 的单调递减区间是 ，
的单调递增区间是 ，
当 时， 的单调递增区间是 ，
的单调递减区间是 ．
【解析】（ 1 ）由 得：
，
令 ， ，
故当 时， ， 是常函数，
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
当 时， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减．
综上所述，当 时， 是常函数，
当 时， 的单调递减区间是 ，
5
的单调递增区间是 ，
当 时， 的单调递增区间是 ，
的单调递减区间是 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值；利用公式和四
则运算法则求导
7. 设函数 ， ．
求函数 在 上的最小值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是含参对数型导函数的原函数的单调性、极值与最值问题，需要先求导
,然后求出导函数的根，需要与所给区间端点作比较.
【答案】（ 1 ）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【解析】（ 1 ）令 得 ．
∴当 ，即 时， 时 恒成立，
单调递增，此时 ．
当 ，即 时， 时 恒成立，
单调递减，此时 ．
当 ，即 时，
时 ， 单调递减；
时 ， 单调递增，
此时 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数最值（含参指对型导函数）
巩固练习
8. 已知函数 （ 为实数常数）．
当 时，求函数 在 上的单调区间．
【答案】（ 1 ）函数 在 的单调递增区间是 ，
6
单调递减区间是 ．
【解析】（ 1 ）因为 ，
所以 ，
当 时，
由 得 ，解得 ，
由 得 ，
解得 ，
所以函数 在 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间
9. 已知函数 且 ．
讨论函数 的极值．
【答案】（ 1 ）当 时， 有极大值 ，无极小值；
当 时， 有极小值 ，无极大值．
【解析】（ 1 ）求导得 ．令 ，因为 可得 ，
当 时， 定义域为 ．当 变化时， ， 变化情况如下表：
极大值
此时 有极大值 ，无极小值，
当 时， 定义域为 ．当 变化时， ， 变化情况如下表：
极小值
此时 有极小值 ，无极大值．
故答案为：当 时， 有极大值 ，无极小值；
当 时， 有极小值 ，无极大值．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；求函数极值（含参指对型导函数）
7
10. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）设 ，求 在区间 上的最大值．（其中 为自然对数的底数）
【答案】（ 1 ） 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是 ．
（ 2 ）当 时， 的最大值为 ，
当 时， 的最大值为 ．
【解析】（ 1 ） ，（ ），
在区间 和 上， ；在区间 上， ．
所以， 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是 ．
（ 2 ） ，
则 ，
令 ，
得 ，
∴在区间 上， 为减函数，
在区间 上， 为增函数．
当 ，
即 时，在区间 上， 为递增函数，
∴ 的最大值为 ，
当 ，
即 时，在区间 上， 为减函数，
∴ 的最大值为 ，
当 ，
即 时， 的最大值为 和 中较大者，
，
解得 ，
∴ 时， 的最大值为 ，
时， 的最大值为 ．
综上所述，当 时， 的最大值为 ，
当 时， 的最大值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参指对型导函数）；求函数单调区间（含参二次型导函数）
8
2. 求解“含参三角型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
函数求导后为含参三角型导函数，判断其单调性要注意两点：
一是确定定义域并求导后，对参数进行分类讨论；
二是要考虑自变量（也就是角度）的范围对导数正负的影响．
【备注】【教师指导】
1.导数嵌套三角函数的情况较复杂，通常会结合零点等问题进行综合考察，而有些涉及三
角函数的问题不好求导函数零点，因此必要时还要求二阶导，再进行分析，会比较难.
2.在对参数进行分类讨论同样要注意：
①将参数 与 比较，分 , 和 三种情况；
②令导函数等于 ，对于解出的所有的根比较大小，从而对参数进行分类讨论.
（2）求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参三角型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
11. 已知函数 ，
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程．
（2）当 时，求函数 在 的值域．
（3）当 ，求函数 在 的单调区间．
【备注】【教师指导】
本题考查的含参三角型导函数的单调性、极值最值问题，本题较难，讨论较复杂，并且近
些年高考考查含参三角型导函数的问题较少，因此教师需要根据学生情况选择性讲解.
本题第三问要注意的是，需要求出导函数的根，比较两根大小，但同时也要注意与区间端
点的比较.
【答案】（1） ．
（2） ．
9
（3）当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和
，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
【解析】（ ）当 时， ，
则 ，
， ，
∴ 在 处的切线方程为 ．
（ ）当 时， ， ，
，令 ，得 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
∴在 时， ，∴ 在 上单调递减，
又∵ ， ，
∴函数 的值域为 ．
（ ）由题意可知， ，令 ，则 或 ．
①当 时，
若 时， ， ， ， 单调递减，
若 时， ， ， ， 单调递增，
若 时， ， ， ， 单调递减，
②当 时，
若 时， ， ， ， 单调递减，
若 时， ， ， ， 单调递增，
综上所述，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值
12. 已知函数 ， ， ．
当 时，求 的单调区间．
【备注】【教师指导】
本题会涉及求二阶导判断函数的单调区间，比较难，教师需要根据学生情况进行讲解.
10
【答案】（ 1 ）单调递减区间是 ，没有单调递增区间．
【解析】（ 1 ）依题意 ．
令 ， ，
则 ．
所以 在区间 上单调递减．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的单调递减区间是 ，没有单调递增区间．
【标注】【知识点】求函数零点（含参三角型导函数）；二阶导问题；求函数单调区间（含参三角
型导函数）
巩固练习
13. 已知函数 ， ．
当 时，若方程 在区间 上有唯一解，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ．
设 ，
，
因为 ， ，
所以 ．
所以 在区间 上单调递减．
因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使 ，即 ．
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
因为 ， ，
又因为方程 在区间 上有唯一解，
所以 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；求函数零点（含参三角型导函数）
三、 思维导图
11
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
14. 已知函数 （ ）．
求函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）当 时，单增区间为 ；
当 时，单减区间为 ，单增区间为 ．
【解析】（ 1 ） ，
①当 即 时， ，所以 在 上单调递增；
②当 即 时，令 ，解得 ，
， 随 的变化为：
极大值
所以 的单减区间为 ，单增区间为 ．
综上当 时，单增区间为 ；
当 时，单减区间为 ，单增区间为 ．
【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数的
几何意义；求在某点处的切线方程；函数零点的概念
15. 已知函数 ， ．
12
求 的单调区间；
【答案】（ 1 ））①当 时，在 上单调递减，在 上单调递增．
②当 时，在 上单调递增，在 上单调递减．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ．
因为 ，
令 ，解得 ．
①当 时，随着 变化时， 和 的变化情况如下：
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
②当 时，随着 变化时， 和 的变化情况如下：
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题
13
