研究含参函数的极值与最值问题（1）
一、 课堂目标
1．掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型．
2．熟练“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值的求解．
二、 知识讲解
1. 具体函数求单调性、极值与最值的步骤
知识精讲
（1）利用导数求解函数单调性的步骤
①确定 的定义域；
②求导数 ；
③由 （或 ）解出相应的 的取值范围.当 时， 在相应区间上是增函数；
当 时， 在相应区间上是减函数.
知识精讲
（2）利用导数求极值的步骤：
①求导数 ；
②求方程 的所有实数根；
③检验 在方程 的根的左右两侧的值的符号：
如果是左正右负，则 在这个根处去的极大值；
如果是左负右正，则 在这个根处去的极小值；
如果是左右同号，则 在这个根处无极值.
知识精讲
（3）求函数 在 上的最值的步骤
①求函数 在区间 上的极值；
②将函数 的各极值点与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
1
经典例题
1. 函数 在区间 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 已知函数 ．
求 的最值．
2. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
含参一次型导函数，有两种类型，如下：
①参数在一次项系数上
②参数不在一次项系数上
针对上述类型，我们需要确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分别是 三种情况.
（2）求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参一次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
3. 已知 ，函数 ．
求 在区间 上的最小值．
巩固练习
4. 设函数 ．
试求 在 上的最大值．
经典例题
5. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
2
（ 2 ）当 时，求函数 在 上的最小值．
巩固练习
6. 已知函数 ， ．
讨论函数 的单调区间．
3. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性——含参二次型导函数，无一次项型
这种类型通常分为两种情况，需要确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分别是
三种情况：
①如果参数 不在二次项系数上，无一次项，则参数 影响导函数图象与 轴交点个数，从而影响单调区
间.
例如： ， 对导函数图象的影响如下：
②如果参数 在二次项系数上，无一次项，则参数 影响导函数的开口方向，从而影响单调区间.
例如： ， 对导函数图象的影响如下：
3
求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参二次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
7. 已知函数 ．
求函数 在 上的最大值和最小值．
巩固练习
8. 已知函数
求 在区间 上的最小值．
经典例题
9. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值．
巩固练习
10. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若 在 上的最大值是 ，求 的值．
知识精讲
（2）讨论单调性——含参二次型导函数，能因式分解
这种类型通常分为两种情况：
①参数 不在二次项系数上，通常确定定义域并求导后，可以把导函数化简为
，然后比较 与 的大小，分为 , , ，画出导函数简
图，从而求得函数的单调区间.
例如： ，此时导函数有两个根， , ，两根的大小对导函数图象
的影响如下：
4
②参数 在二次项系数上，通常可以确定定义域并求导后，把导函数化简为
，可按如下步骤讨论：
首先，先对 进行讨论（分别是 三种情况），
然后再对 与 的大小（分为 , , ）进行讨论分析，
画出导函数的简图，得到函数的单调区间.
经典例题
11. 设 ，函数 ．
求函数 在 上的最小值．
巩固练习
12. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论函数 的单调区间．
（ 2 ）当 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围．
经典例题
13. 已知 ，其中 ．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围．
巩固练习
14. 已知函数 ，其中 ，求函数 的单调区间．
知识精讲
（3）讨论单调性——含参二次型导函数，不能因式分解型
这种类型通常分为两种情况：
5
①导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：
首先，确定定义域并求导后，算出二次函数的 ；
讨论 ， ＞ 两种情况，即导函数与 轴没有或只有一个交点、二次函数与 轴有两个不同交
点；
从而根据导函数图象得到函数的单调区间.
例如： ， ， , ，根据讨论情况的图象如下：
②导函数参数 在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：
首先确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分为 , , ，即开口向上、开口向下、退
化成一次函数三类；
在 , 两种情况基础上，再分别算出二次函数的 ；
利用 ， ＞ 两种情况进行第二步分类讨论，即二次函数与 轴没有或只有一个交点、二次函
数与 轴有两个不同交点；
从而根据导函数图象得到函数的单调区间.
经典例题
15. 已知函数 （其中 是实数）．
求 的单调区间．
16. 设 ，当 时， 在 上的最小值为 ，求 在该区
间上的最大值．
巩固练习
17. 已知函数 ．
判断 的单调性．
经典例题
18. 设函数 ．
6
求函数 单调区间．
巩固练习
19. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
20. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
21. 已知函数 ．
讨论函数 的单调性．
7研究含参函数的极值与最值问题（1）
一、 课堂目标
1．掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型．
2．熟练“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值的求解．
【备注】【教师指导】
1.本讲重点是掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型；难点是求解“含参一
次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值，最难的地方主要是对单
调性的求解，会涉及讨论、数形结合的思想，对参数的讨论实际是对单调性及单调区间的
讨论，从而求得相应的极值最值.
注：本堂课提到的类型，例如“含参一次型导函数”，“含参二次型导函数”是指函数求导后的
有效部分，举个例子： ，求导后 ，则可把"
"看成含参一次型导函数.
2.本讲的前置知识是导数与函数的单调性、极值及最值问题，后置知识是利用导数求解导
函数为“含参指对型导函数”“含参三角型导函数”原函数的极值最与值的方法．
二、 知识讲解
1. 具体函数求单调性、极值与最值的步骤
【备注】【教师指导】
教师请注意，这部分作为知识回顾，是由于有些版本没有放置《导数与函数的单调性、极
值与最值》这一讲内容，如果前面已经放置了这讲内容，回顾这部分知识可以不讲.
知识精讲
（1）利用导数求解函数单调性的步骤
①确定 的定义域；
②求导数 ；
③由 （或 ）解出相应的 的取值范围.当 时， 在相应区间上是增函数；
当 时， 在相应区间上是减函数.
知识精讲
1
（2）利用导数求极值的步骤：
①求导数 ；
②求方程 的所有实数根；
③检验 在方程 的根的左右两侧的值的符号：
如果是左正右负，则 在这个根处去的极大值；
如果是左负右正，则 在这个根处去的极小值；
如果是左右同号，则 在这个根处无极值.
知识精讲
（3）求函数 在 上的最值的步骤
①求函数 在区间 上的极值；
②将函数 的各极值点与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
经典例题
1. 函数 在区间 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题是对上述知识回顾内容的综合考察.
【答案】A
【解析】 ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
∴ ，故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
巩固练习
2. 已知函数 ．
求 的最值．
【答案】（ 1 ） ．
2
【解析】（ 1 ） ，令 ， ， ， ， ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题
2. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性
含参一次型导函数，有两种类型，如下：
①参数在一次项系数上
②参数不在一次项系数上
针对上述类型，我们需要确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分别是 三种情况.
【备注】【教师指导】
下面是上述类型的相关例题，教师可在讲解时为学生举例说明.
①含参一次型导函数，参数只在一次项系数上
如： ， ，
（1）当 时， ， 增区间为 ；
（2）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
（3）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
②含参一次型导函数，参数只常数项上
如： ， ，
（1）当 时， 恒成立， 增区间为 ；
（2）当 时，
由 ，得 ， 增区间为 ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
③含参一次型导函数，参数既在一次项系数上又在常数项上
如： ， ，
（1）当 时， ， 无单调区间；
（2）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
3
（3）当 时，
由 ，得 ， 增区间是 ；
由 ，得 ， 减区间是 ．
（2）求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参一次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
经典例题
3. 已知 ，函数 ．
求 在区间 上的最小值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是“含参一次型导函数，参数只常数项上”类型，需要对单调性进行讨论后，求出
最值.要注意 与 的位置关系.
【答案】（ 1 ）当 时， 在区间 上无最小值；
当 时， 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在区间 上的最小值为 ．
【解析】（ 1 ）因为 ，所以 ， ．
令 ，得 ．
① 若 ，则 ， 在区间 上单调递增，此时 无最小值．
② 若 ，当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ．
③ 若 ，则当 时， ， 在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值 ．
综上可知，当 时， 在区间 上无最小值；
当 时， 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在区间 上的最小值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）
4
巩固练习
4. 设函数 ．
试求 在 上的最大值．
【备注】【教师指导】
本题需要先求导， ,然后把 ”看作一次函数.
【答案】（ 1 ）当 时， ．
当 时， ．
【解析】（ 1 ）令 ，得 ．
所以当 时， 时 恒成立， 单调递增；
当 时， 时 恒成立， 单调递减；
当 时， 时 ， 单调递减；
时 ， 单调递增．
综上，无论 为何值，当 时， 最大值都为 或 ．
， ，
．
所以当 时， ，
．
当 时， ，
．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；二阶导问题；求函数最值（含参一次型导函
数）
经典例题
5. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）当 时，求函数 在 上的最小值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是“含参一次型导函数，参数只在一次项系数上”类型，对于单调性的讨论问题，
从而求解极值点问题.要讨论极值点与所给区间端点的位置关系.
5
【答案】（ 1 ）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（ 2 ）当 时，函数 的最小值是 ；
当 时，函数 的最小值是 ．
【解析】（ 1 ） ，
①当 时， ，即函数 的单调增区间为 ，
②当 时，令 ，可得 ，
当 时， ；
当 时， ，
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（ 2 ）当 ，即 时，函数 在区间 上是减函数，所以 的最小值是
．
当 ，即 ，函数 在区间 上是增函数，所以 的最小值
是 ．
当 ，即 时，函数 在 上是增函数，在 上是
减函数．
又 ，
所以当 时，最小值是 ；
当 时，最小值为 ．
综上可知，
当 时，函数 的最小值是 ；
当 时，函数 的最小值是 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）
巩固练习
6. 已知函数 ， ．
讨论函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）①当 时, 的递减区间是 ,无递增区间；
②当 时, 的递增区间是 ,递减区间是 ．
【解析】（ 1 ）在区间 上, ．
6
①若 ,则 , 是区间 上的减函数；
②若 ,令 得 ．
在区间 上, ,函数 是减函数；
在区间 上, ,函数 是增函数；
综上所述,①当 时, 的单调递减区间是 ，无单调递增区间；
②当 时, 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数单调区间（含参一次型导函数）
【思想】分类讨论思想
3. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值
知识精讲
（1）讨论单调性——含参二次型导函数，无一次项型
这种类型通常分为两种情况，需要确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分别是
三种情况：
①如果参数 不在二次项系数上，无一次项，则参数 影响导函数图象与 轴交点个数，从而影响单调区
间.
例如： ， 对导函数图象的影响如下：
【备注】【教师指导】
下面是“参数 不在二次项系数上，无一次项”的相关题目，教师可为学生举例讲解：
如： ， ，
①当 时，
恒成立， 增区间为 ；
7
②当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
②如果参数 在二次项系数上，无一次项，则参数 影响导函数的开口方向，从而影响单调区间.
例如： ， 对导函数图象的影响如下：
【备注】【教师指导】
下面是“参数 在二次项系数上，无一次项”，教师可为学生举例讲解.
如： ， ，
①当 时，
恒成立， 增区间为 ；
②当 时，
， 增区间为 ；
③当 时，
由 ，得 ， 增区间为( , )；
由 ，得 或 ， 减区间为( )，( ,+
.
求解极值与最值的步骤
①对函数 求导、合并、整理；
②针对含参二次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
③将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端
点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
【备注】【教师指导】
下面每一个类型的求极值最值的步骤都相同，都是需要先对单调性进行讨论，然后在每种
情况下进行求解.
由于后面每种类型的求解方法都一致，因此后面将不再赘述.
8
经典例题
7. 已知函数 ．
求函数 在 上的最大值和最小值．
【备注】【教师指导】
首先，本题考查的是含参二次型导函数，参数不在二次项系数上，并且无一次项；
其次，根据上述方法对导函数进行讨论，求出单调区间；
最后，根据单调区间的不同，求出最值.
【答案】（ 1 ）当 时，最小值 ，最大值 ；
当 时，最小值 ，最大值 ；
当 时，最小值 ．
【解析】（ 1 ） ，
①当 时， ， 在 单调递增，
所以 时， 取得最小值 ．
时， 取得最大值 ．
②当 时， ， 在 单调递减，
所以， 时， 取得最小值 ．
时， 取得最大值 ．
③当 时，令 ，解得 ，
， ， 在区间 的变化情况如下：
单调递减↗ 极小值 单调递增↘
由上表可知，当 时， 取得最小值 ；
由于 ， ，
当 时， 在 处取得最大值 ，
当 时， 在 处取得最大值 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）
巩固练习
9
8. 已知函数
求 在区间 上的最小值．
【答案】（ 1 ）见解析
【解析】（ 1 ）由
由 及定义域为 ，令
①若 在 上， ， 在 上单调递增，
；
若 在 上， ， 单调递减；
在 上， ， 单调递增，因此在 上，
；
若 在 上， ， 在 上单调递减，
综上，当 时，
当 时，
当 时，
【标注】【知识点】已知切线方程求参数；导数的几何意义；利用导数求函数的单调性、单调区
间；利用导数求函数的最值
经典例题
9. 已知函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是参数在二次项系数上，无一次项的情况，
第一问需要先对 进行讨论，从而对单调性进行讨论；
第二问是在第一问的基础上，找到最小值，从而得到 的值.
【答案】（ 1 ）当 时，函数 的单调减区间是 ，
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 ．
（ 2 ） ．
10
【解析】（ 1 ）函数 的定义域是 ， ．
（1）当 时， ，故函数 在 上单调递减．
（2）当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减．
（3）当 时，令 ，又因为 ，解得 ．
①当 时， ，所以函数 在 单调递减．
②当 时， ，所以函数 在 单调递增．
综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，
当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 ．
（ 2 ）（1）当 时，由（Ⅰ）可知， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，解得 ，舍去．
（2）当 时，由（Ⅰ）可知，
①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，解得 ．
②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在
上单调递增，
所以函数 的最小值为 ，解得 ，舍去．
③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去．
综上所述， ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；已知最值情况求参数值或解析式
巩固练习
10. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若 在 上的最大值是 ，求 的值．
【答案】（ 1 ） 时，在 上单调递增．
当 时，单调增区间是 ；单调减区间是 ．
（ 2 ） ．
11
【解析】（ 1 ） ．
当 时， ，从而函数 在 上单调递增．
当 时，令 ，解得 ，舍去 ．
此时， 与 的情况如下：
所以， 的单调增区间是 ；单调减区间是 ．
（ 2 ）①当 时，由（Ⅰ）得函数 在 上的最大值为 ．
令 ，得 ，这与 矛盾，舍去 ．
②当 时， ，由（Ⅰ）得函数 在 上的最大值为
．
令 ，得 ，这与 矛盾，舍去 ．
③当 时， ，由（Ⅰ）得函数 在 上的最大值为
．
令 ，解得 ，适合 ．
综上，当 在 上的最大值是 时， ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式；求函数单调区间（含参二次型导函数）
知识精讲
（2）讨论单调性——含参二次型导函数，能因式分解
这种类型通常分为两种情况：
①参数 不在二次项系数上，通常确定定义域并求导后，可以把导函数化简为
，然后比较 与 的大小，分为 , , ，画出导函数简
图，从而求得函数的单调区间.
例如： ，此时导函数有两个根， , ，两根的大小对导函数图象
的影响如下：
12
【备注】【教师指导】
下面是“参数不在二次项系数上，能因式分解”的相关题目，教师可为学生进行举例讲解：
如： ， ，
①当 时，
恒成立且不恒为0， 增区间为 ；
②当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
③当 时，
由 ，得 或 ， 增区间为 ， ；
由 ，得 ， 减区间为 ．
②参数 在二次项系数上，通常可以确定定义域并求导后，把导函数化简为
，可按如下步骤讨论：
首先，先对 进行讨论（分别是 三种情况），
然后再对 与 的大小（分为 , , ）进行讨论分析，
画出导函数的简图，得到函数的单调区间.
【备注】【教师指导】
（此类题型画简图的方式同参数不在二次项系数上能因式分解类似）
下面是“参数在二次项系数上，能因式分解型”相关例题，教师可为学生进行举例讲解
如： ， ，
①当 时， 恒成立， 为常函数；
②当 时，
由 ，得 或 ， 的增区间是 ， ；
由 ，得 ， 的减区间为 ．
③ ， 且不恒为0， 减区间为 ；
④ 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
13
由 ，得 或 ， 的减区间是 ， ．
⑤ 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
由 ，得 或 ， 的减区间是 ， ．
经典例题
11. 设 ，函数 ．
求函数 在 上的最小值．
【备注】【教师指导】
本题考查的是参数不在二次项系数上，能因式分解的情况，让学生体会求导后，可进行因
式分解，然后讨论两根大小.本题求导后可整理为
【答案】（ 1 ）当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ；
当 时， 的最小值为 ．
【解析】（ 1 ）令 ，解得 或 ．
① ，则当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以，当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
② ，则当 时，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
所以，当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
③ ，则当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以，当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
综上，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小
值为 ；
当 时， 的最小值为 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；利用导数求函数的单调性、单调区
间
巩固练习
14
12. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论函数 的单调区间．
（ 2 ）当 时，若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 和 内单调递增， 在 内单调递
减，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 和 内单调递增， 在 内单调递
减．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
令 得 ， ，
（ｉ）当 ，即 时， ， 在 单调
递减；
（ⅱ）
当 ，即 时，当 或 时， ， 在 和
内单调递增，
当 时， ， 在 内单调递减；
（ⅲ）当 ，即 时，当 或 时 ， 在 和
内单调递增，
当 时， ， 在 内单调递减，
综上，
当 时， 在 和 内单调递增， 在 内单调递
减，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 和 内单调递增， 在 内单调递
减．
（ 2 ）当 时， ， ，
，
令 ，得 ， ，
将 ， ， 变化情况列表如下：
15
极大 极小
由此表可得 ， ，
又 ，
故区间 内必须含有 ，即 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
经典例题
13. 已知 ，其中 ．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围．
【备注】【教师指导】
本题较难，考查的是参数在二次项系数上，能因式分解的情况，需要先求导然后进行因式
分解，在进行讨论，让学生感受讨论的过程.
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递减区间是 ， ；
单调递增区间为： ．
当 时， 的单调递减区间是 ， ；
单调递增区间为： ．
当 时， 的单调递减区间是 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）令 ，解得 ，或 ．
①当 时， ，
与 的变化情况如表：
减 极小值 增 极大值 减
∴ 的单调递减区间是 ， ；单调递增区间为： ．
②当 时， ， ，
故 的单调递减区间是 ．
16
③当 时， ，
与 的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
∴ 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间为： ．
综上，当 时， 的单调递减区间是 ， ；
单调递增区间为： ．
当 时， 的单调递减区间是 ， ；
单调递增区间为： ．
当 时， 的单调递减区间是 ．
（ 2 ）由（ ）可知：
①当 时， 在 的最大值是 ，
但 ，
∴ 不合题意；
②当 时， 在 上单调递减，
，可得 在 上的最大值为 ，符合题意．
∴ 在 上的最大值为 时， 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式；求函数单调区间（含参二次型导函数）
巩固练习
14. 已知函数 ，其中 ，求函数 的单调区间．
【答案】①当 时， 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增
函数．
②当 时， 在区间 ， ， 内为增函数，在区间 内为
减函数．
【解析】 ．
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若 ， ， 在区间 单调递增， 单调递减；
若 ，以下分两种情况讨论．
①当 时，令 ，得 ， ．当 变化时，
， 的变化情况如下表：
极小值 极大值
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．
②当 时，令 ，得到 ， ，当 变化时，
， 的变化情况如下表：
极大值 极小值
所以 在区间 ， ， 内为增函数，在区间 内为减函数．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
知识精讲
（3）讨论单调性——含参二次型导函数，不能因式分解型
这种类型通常分为两种情况：
①导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：
首先，确定定义域并求导后，算出二次函数的 ；
讨论 ， ＞ 两种情况，即导函数与 轴没有或只有一个交点、二次函数与 轴有两个不同交
点；
从而根据导函数图象得到函数的单调区间.
例如： ， ， , ，根据讨论情况的图象如下：
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【备注】【教师指导】
下面是“参数不在二次项系数上，不能因式分解型”，教师可为学生举例讲解
如： ， ，
（1）当 ，即 时，
恒成立且不恒为0， 增区间是 ．
（2）当 ，即 或 时，
由 ，得 或
增区间是 ， ；
由 ，得
减区间是 ．
②导函数参数 在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：
首先确定定义域并求导后，对参数 进行讨论，分为 , , ，即开口向上、开口向下、退
化成一次函数三类；
在 , 两种情况基础上，再分别算出二次函数的 ；
利用 ， ＞ 两种情况进行第二步分类讨论，即二次函数与 轴没有或只有一个交点、二次函
数与 轴有两个不同交点；
从而根据导函数图象得到函数的单调区间.
【备注】【教师可见】
此类型画图方式，同“导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型”类似.
下面是“参数 在二次项系数上，不能因式分解型”相关例题，教师可为学生进行举例讲解
如： ， ，
（1）当 时，
由 ，得 ， 的增区间是 ；
由 ，得 ， 的减区间是
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（2）当 时，
（i）当 时，即
恒成立且不恒为0， 的增区间是 ；
（ii）当 时，即
由 ，得 或
的增区间是 ， ;
由 ，得
的减区间是 ．
（3）当 时，
由 ，得
的增区间是 ．
由 ，得 或
的减区间是 ， ．
经典例题
15. 已知函数 （其中 是实数）．
求 的单调区间．
【备注】【教师指导】
本题考查的是参数不在二次项系数上，不能因式分解型的情况，需要对 进行讨论.
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
．
【解析】（ 1 ）∵ （其中 是实数），
∴ 的定义域为 ， ，
令 ， ，对称轴 ， ，
当 ，即 时， ，
∴函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
当 ，即 或 时，
①若 ，则 恒成立，
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∴ 的单调递增区间为 ，无减区间．
②若 ，令 ，得 ， ，
当 时， ，当 时， ．
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用韦达定理解决双变量问题
16. 设 ，当 时， 在 上的最小值为 ，求 在该区
间上的最大值．
【备注】【教师指导】
本题较难，需要由 判定 ，再判断导函数两根的大小与题目所给区间的关系，在求解
最值，需要让学生感受“判断导函数两根的大小与题目所给区间的位置关系”，题集中也有相
关练习.
【答案】
【解析】方法一：令 ，即 ∵
解得： ，
则 ， ， 的情况如下：
减 极小 增 极大 减
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增
∵ ∴
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 的最大值为
∵ ，∴
解得 ， ，∴ 的最大值为 ．
方法二：已知 ，
∴ ，
已知 ， 在 上的最小值为 ，
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而 的图象开口向下，且对称轴 ，
， ，
则必有一点 ，使得 ，
此时函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
，
∴ ，
此时，由 或 （舍去），
所以函数 在 上的最大值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）
巩固练习
17. 已知函数 ．
判断 的单调性．
【答案】（ 1 ）当 时，函数 在 上单调递减．
当 或 时，函数 在 上单调
递增，在 和 上单调递减．
【解析】（ 1 ）因为 ，
所以 ，
令 ，
，即 时， 恒成立，
此时 ，
所以函数 在 上为减函数．
，即 或 时，
有不相等的两根，设为 ， ，
则 ， ，
当 或 时， ，此时 ，
所以函数 在 和 上为减函数．
当 时， ，此时 ，
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所以函数 在 上为增函数．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递减．
当 或 时，函数 在 上单调
递增，在 和 上单调递减．
【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间
经典例题
18. 设函数 ．
求函数 单调区间．
【备注】【教师指导】
本题是参数在二次项系数上，不能因式分解型的情况，需要先讨论 ，在讨论 .
【答案】（ 1 ）见解析
【解析】（ 1 ）因为 ，
①当 时，由 得 ；由 得 ．
所以函数 在区间 单调递增, 在区间 单调递减．
②当 时，设 ，方程 的判别式
i)当 时，此时 ．
由 得 ,或 ；
由 得 ．
所以函数 单调递增区间是 和 ,
单调递减区间 ．
ii)当 时，此时 ．所以 ，
所以函数 单调递增区间是 ．
iii)当 时，此时 ．
由 得 ；
由 得 ,或 ．
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所以当 时，函数 单调递减区间是 和
,
单调递增区间 ．
vi)当 时，此时 ， ，所以函数 单调递减区间是
．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；求在某点处的切线方程
巩固练习
19. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）答案见解析．
【解析】（ 1 ） ，
令 ．
函数 的定义域为 ，设 ，
（ ）当 时， 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减，
（ ）当 时， ，
（i）若 ，由 ，即 ，
得 或 ，
由 ，即 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ．
（ii）若 ， 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，此时 在 上单调递增 ．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调区
间
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三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
20. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）当 ，函数 的单调递增区间为 ，
当 时，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ，
当 时，函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ，
，
若 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ．
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若 ，令 ，
解得 ， ，
当 时， ， 的变化情况如下表：
极大值
∴函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
当 时， ， 的变化情况如下表：
极大值
∴函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ．
【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式；利用导数求函数的单
调性、单调区间
21. 已知函数 ．
讨论函数 的单调性．
【答案】（ 1 ）①若 ， 在 单调递减；
②若 ， 在区间 递增，在区间
和 递减；
③若 ， 在区间 递增，在区间 递减．
【解析】（ 1 ） ，
①若 ， ， 在 单调递减；
②若 ，由 得 ；
由 得 ；
由 得 ．
即 在区间 递增，在区间 和
递减．
③若 ， 在区间 递增，在区间 递减．
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【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数证明不等式恒成立问题；利用
韦达定理解决双变量问题
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