组合【题集】
1. 组合与组合数
1. 若 ，则 ．
2. 式子 （ ）．
A. B. C. D.
3. 若 ，则 的值为（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
4. 下列等式正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2. 组合问题模型
不同元素分组分配问题
5. 名会员分成三组讨论问题，每组 人，则不同的分组方法种数为（ ）．
A. B.
C. D.
6. 某年级有 个班，派 名语文教师任教，每个教师教 个班，则不同的任课方法种数为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 将甲，乙等 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 所大学就读，则每所大学至
少保送 人的不同保送方法数共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.
1
将甲、乙等 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这 所学校就读，则每所大学至
少保送 人的不同保送方法种数为（ ）．
A. B. C. D.
9. 位同学分成 组，参加 个不同的志愿者活动，每组至少 人，其中甲乙 人不能分在同一组，则不同
的分配方案有 种．（用数字作答）
10. 在 张奖券中有一、二、三等奖各 张，其余 张无奖．将这 张奖券分配给 个人，每人 张，不同的
获奖情况有 种（用数字作答）．
11. 现有 个小球和 个小盒子，下面的结论正确的是 ．
①若 个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中（允许有空盒），则共有 种放法；
②若 个相同的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有 种；
③若 个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有 种；
④若编号为 ， ， ， 的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子
的编号全不相同的放法共有 种．
12. 有6本不同的书
（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？
（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？
（5）分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？
（6）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
（7）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
（8）假设6本书相同，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则有多少种不同的分法？
相同元素分组问题—隔板法
13. 个四大名校保送名额要分配到 个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有 种．
14. 某单位把 个“先进个人奖”分给 个部门，每个部门至少 个名额，那么不同的名额分配方案总数为（
）．
A. B. C. D.
15. 将 个相同名额分给 个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ）．
A. B. C. D.
16.
2
有 个大学保送名额，计划分到 个班级，每班至少一个名额，则不同的分法种数为 种．（用
数字回答）．
17. 有 个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙 人，若甲至少得 球，乙至少得 球，丙至少得 球，则
他们所得的球数的不同情况有 种．
18. 小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一
元一颗，小红只有 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有 种．
涂色问题
19. 如图，用 种不同的颜色给图中的 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 种颜色且相
邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
20. 如图，用 种不同的颜色给图中的 个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用 种颜色且相
邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
21. 用 种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有 、 、 、 、 号，而有公共边的两个面
不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为 ．
22. 如下图，圆被其内接三角形分为 块，现有 种颜色准备用来涂这 块，要求每块涂一种颜色，且相
邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有 种．（填数字）
“至多”或“至少”问题
23. 从 名男生， 名女生中选派 人参加社区服务，如果要求至多有 名女生参加，那么不同的选派方案
种数为 ．（用数字作答）
24. 从 名男同学和 名女同学中选出 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ）．
A. B. C. D.
3
25. 某医院从 名医疗专家中抽调 名奔赴赈灾前线，这 名医疗专家中有 名是外科专家问：
（ 1 ）至少有 名外科专家的抽调方法有多少种？
（ 2 ）至多有 名外科专家的抽调方法有多少种？
26. 已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 名男生， 名女生，舞蹈组有 名男生， 名女
生，学校计划从两兴趣小组中各选 名同学参加演出．
求选出的 名同学中至多有 名女生的选派方法数．
27. 从 名男生和 名女生中选出 名代表，至少有 名女生且至多有 名男生当选的选法数．
28. 一个口袋内装有大小相同的 个白球和 个黑球．
（ 1 ）从口袋内取出 个球，共有多少种取法？
（ 2 ）从口袋内取出 个球，使其中含有 个黑球，有多少种取法？
（ 3 ）从口袋内取出 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
29. 五本不同的语文书，四本不同的数学书，从中任意取出 本，则取出的书至多有一本是数学书的概
率是 ．
30. 在 件产品中，有 件次品，从中任取 件：
（ 1 ）至少有 件次品的取法有多少种？
（ 2 ）求至多 件次品的概率．
排列、组合综合问题
31. 从 ， ， ， ， 中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
32. 某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政
治、地理四门学科中任选两科，现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同
的选科方法有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
33. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要
内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的
热门 ．该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专
项答题”、“挑战答题”四个答题模块．某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有
且仅有三个答题版块相邻的学习方法有（ ）．
A. B. C. D.
34.
4
将 位大学生志愿者（ 男 女）分成两组，分配到两所薄弱校支教，若要求女大学生不能单独成组，
且每组最多 人，则不同的分配方案共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
35. 要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各 节，自习课 节的功课表，其中上午 节，下午 节，
若要求 节语文课必须相邻且 节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），
则不同的排法种数是（ ）．
A. B. C. D.
36. 某校迎新晚会上有 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三
位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5组合【题集】
1. 组合与组合数
1. 若 ，则 ．
【答案】
【解析】∴ ，
∴① ，
或 ②
解①求得 无解；解②求得 ，
所以 ．
【标注】【知识点】组合数计算
2. 式子 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
原式
．
【标注】【知识点】组合数计算
3. 若 ，则 的值为（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
1
【解析】依题意得： 或 ，
解得： ，或 ，
经检验 和 都符合题意．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】组合数计算
4. 下列等式正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】通过计算得到选项 ， ， 的左右两边都是相等的．
对于选项 ， ，所以选项 是错误的．
故选 ．
【标注】【知识点】组合数计算；排列数计算
2. 组合问题模型
不同元素分组分配问题
5. 名会员分成三组讨论问题，每组 人，则不同的分组方法种数为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】（平均分组问题）要在分组后除以三组的排列数 ．
【标注】【知识点】分组分配法
2
6. 某年级有 个班，派 名语文教师任教，每个教师教 个班，则不同的任课方法种数为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】先对班级进行平均分组有 种分法，
再对三个语文教师全排列，于是共有不同的任课方法种数为
．
【标注】【知识点】分组分配法
7. 将甲，乙等 位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这 所大学就读，则每所大学至
少保送 人的不同保送方法数共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】将 名同学分为 组，共有 种分法，
再将这 组分配给 所学校，共有 种分法，
∴总共有 种方法．
故选 ．
【标注】【知识点】分组分配法
8. 将甲、乙等 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这 所学校就读，则每所大学至
少保送 人的不同保送方法种数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 名学生分成 ， ， 或 ， ， 两种形式，
当 名学生分成 ， ， 时，共有 种；
3
当 名学生分成 ， ， 时，共有 种．
根据分类加法计数原理，共有 种．
故不同的保送的方法种数为 ．
【标注】【知识点】分组分配法
9. 位同学分成 组，参加 个不同的志愿者活动，每组至少 人，其中甲乙 人不能分在同一组，则不同
的分配方案有 种．（用数字作答）
【答案】
【解析】根据题意，分 步进行分析：
①，将 位同学分成 组，要求甲乙 人不能分在同一组，
若分成 、 、 的三组，有 种，
其中甲乙分在同一组的情况有 种，
此时有 种分组方法；
若分成 、 、 的三组，有 种，
其中甲乙分在同一组的情况有 种，
此时有 种分组方法；
则符合题意的分法有 种；
②，将分好的 组全排列，对应 个不同的志愿者活动，有 种情况，
则有 种不同的分配方案．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理；倍缩法；分组分配法
10. 在 张奖券中有一、二、三等奖各 张，其余 张无奖．将这 张奖券分配给 个人，每人 张，不同的
获奖情况有 种（用数字作答）．
【答案】
【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张，共 ,二是有三人各
获得一张，共有 ,因此不同的获奖情况有 种．
【标注】【知识点】排列；分组分配法
11. 现有 个小球和 个小盒子，下面的结论正确的是 ．
4
①若 个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中（允许有空盒），则共有 种放法；
②若 个相同的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有 种；
③若 个不同的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有 种；
④若编号为 ， ， ， 的小球放入编号为 ， ， ， 的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子
的编号全不相同的放法共有 种．
【答案】②③④
【解析】① 个不同小球放入 ， ， ， 盒子共有 种放法，故①错误；
② 个相同小球放入 ， ， ， 盒子中且恰有 个空盒，则一个盒子放 个小球，另一个盒
子放 个小球或两个盒子均放 个小球，共有 种放法，故②正确；
③ 个不同小球放入 ， ， ， 中且恰有 个空盒，则两个盒字中各放 个小球，另一个盒
子中放 个小球，共有 种放法，故③正确；
④编号 ， ， ， 的小球放入 ， ， ， 盒子中，没有一个空盒，但小球编号与盒子编
号全不相同，
若 代表编号 ， ， ， 小球分别放入盒子 ， ， ， 中，列出所有符合条件的
情况 ， ， ， ， ，
， ， ， 共 种放法，故④正确；
故填②③④．
【标注】【知识点】错位法；分组分配法；隔板法；分步乘法计数原理
12. 有6本不同的书
（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？
（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？
（5）分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？
（6）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
（7）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
（8）假设6本书相同，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则有多少种不同的分法？
【答案】见解析．
【解析】
5
（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有
（种）．这是均匀编号分组问题
（2）6本书平均分成3堆，用（1）中方法重复了 倍，故共有 （种）．
这是均匀分组问题．
（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做
一堆，共有 （种）．这是非均匀分组问题
（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有
（种）．
这是非均匀编号分组问题．
（5）甲先取1本，乙在剩下的取1本，余下4本给丙，故共有 （种）．这
是部分均匀编号分组问题．
（6）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有
（种）．
这是部分均匀分组问题．
（7）本题即为6本书放在6个位置上，共有 （种）．
（8）此为挡板问题，结果为 （种）．
【标注】【知识点】分组分配法
相同元素分组问题—隔板法
13. 个四大名校保送名额要分配到 个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有 种．
【答案】
【解析】 ．
【标注】【知识点】隔板法
14. 某单位把 个“先进个人奖”分给 个部门，每个部门至少 个名额，那么不同的名额分配方案总数为（
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】运用隔板法， 个空格 块板， ，
6
故选： ．
【标注】【知识点】隔板法
15. 将 个相同名额分给 个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将 个相同元素分成 组，用隔板法即可，
即每班至少得到一个名额的不同分法种数是 ，
故选： ．
【标注】【知识点】隔板法
16. 有 个大学保送名额，计划分到 个班级，每班至少一个名额，则不同的分法种数为 种．
（用数字回答）．
【答案】
【解析】一共有 个保送名额，分到 个班级，每个班级至少 个名额，即将名额分成 份，每份至
少 个．
将 个名额排成一列产生 个空，中间有 个空，只需在中间 个空中插入 个隔板，隔板不
同的方法共有 种．
故答案为 ．
【标注】【知识点】隔板法
17. 有 个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙 人，若甲至少得 球，乙至少得 球，丙至少得 球，则
他们所得的球数的不同情况有 种．
【答案】
【解析】隔板法，先给乙 球，丙 球，则问题变为剩余 个球分给甲、乙、丙 人，每人至少 个
球，相当于在 个球产生的 个空隙中插入 个隔板分成 堆，故共有 种不同情
况，故答案为 ．
【标注】【知识点】隔板法
7
18. 小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一
元一颗，小红只有 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有 种．
【答案】
【解析】由题意可知，小红要花光 元钱，则需要购买 颗糖果，
将 颗糖果看成是七个相同的小球，将四种糖果看成是四个不同的盒子，
问题变成了将七个小球放到四个盒子中，允许有空盒子，
利用隔板法，因为允许有空盒子，所以先补充四个小球进来，
则一共有 个小球，分到四个盒子中，每个盒子至少一个小球，
共有 种不同的分法．
故答案为： ．
【标注】【知识点】隔板法
涂色问题
19. 如图，用 种不同的颜色给图中的 个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 种颜色且相
邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】若从 中不同颜色中选 种有 种，则将次 种颜色涂入 个格子中，相邻的两个格子
颜色不同有 种，
若从 中不同颜色中选 种有 种，则将次 种颜色涂入 个格子中，相邻的两个格子
颜色不同有 种．
所以共有 （种）．
故选 ．
【标注】【知识点】染色问题
20. 如图，用 种不同的颜色给图中的 个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用 种颜色且相
邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
8
【答案】
【解析】方法一：用 色涂格子有 种方法，
用 色涂格子，第一步选色有 ，第二步涂色，从左至右，第一空 种，第二空 种，第三
空分两种情况，一是与第一空相同，一是不相同，共有 种，
所以涂色方法 种方法，
故总共有 种方法．
方法二：①用 种颜色涂格子有 种方法；
②用 种颜色涂格子：
最左边的格子有 种，第二格有 种（与第一格不同），第三格有 种（与第二格不同），
第四格有 种（与第三格不同），共有 种．但是这种方法可能只涂了 种颜
色，只涂了 色的共有 种．
综合知共有 种方法．
故答案为： ．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组
合
21. 用 种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有 、 、 、 、 号，而有公共边的两个面
不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为 ．
【答案】
【解析】首先给底面从 种颜色中选一个，共有 种方法，
剩下 种颜色给五个面涂色，
当只使用 种颜色涂色时，
可以有 ， 同色，且 ， 同色；
有 ， 同色，且 ， 同色
有 ， 同色，且 ， 同色；
有 ， 同色，且 ， 同色
有 ， 同色，且 ， 同色；
每一种情况都有 种结果，
当用 种颜色涂色时，
9
， ； ， ； ， ； ， ； ， 共有五种情况．
每一种情况有 种结果，
根据分类计数原理和分步计数原理知共有 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】染色问题
【素养】数学运算；直观想象
22. 如下图，圆被其内接三角形分为 块，现有 种颜色准备用来涂这 块，要求每块涂一种颜色，且相
邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有 种．（填数字）
【答案】
【解析】
①涂 色即 同色， （种）；
②涂 色即 中 个同色， （种）；
③涂 色，即 不同色， （种）；
∴共有 （种）．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；排列
“至多”或“至少”问题
23. 从 名男生， 名女生中选派 人参加社区服务，如果要求至多有 名女生参加，那么不同的选派方案
种数为 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】要求至多有 名女生参加测有两种情况：
10
①没有女生，有 种选派方案；
②有 名女生，有 种选派方案；
共 种选派方案．
故答案为 种．
【标注】【知识点】特殊元素优先法；组合
24. 从 名男同学和 名女同学中选出 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，分 种情况讨论：
①，选出的 人为 男 女，有 种选法；
②，选出的 人为 男 女，有 种选法；
则男女生都有的选法有 种．
故选 ．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用
25. 某医院从 名医疗专家中抽调 名奔赴赈灾前线，这 名医疗专家中有 名是外科专家问：
（ 1 ）至少有 名外科专家的抽调方法有多少种？
（ 2 ）至多有 名外科专家的抽调方法有多少种？
【答案】（ 1 ） 种．
（ 2 ） 种．
【解析】（ 1 ）方法一：（直接法）：
按选取的外科专家的人数分类：
①选 名外科专家，共有 种选法；
②选 名外科专家，共有 种选法；
③选 名外科专家，共有 种选法．
根据分类加法计数原理得，共有 种抽调方法．
方法二：（间接法）：
不考虑是否有外科专家，共有 种选法，选取 名外科专家参加，有 种选
法；没有外科专家参加，有 种选法．所以共有 种抽调
11
方法．
（ 2 ）“至多 名”包括“没有”“有 名”“有 名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有 种选法；
②有 名外科专家参加，有 种选法；
③有 名外科专家参加，有 种选法．
所以共有 种抽调方法．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理；分类加法计数原理；加法原理与乘法原理的综合运用；排
除法；组合
26. 已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 名男生， 名女生，舞蹈组有 名男生， 名女
生，学校计划从两兴趣小组中各选 名同学参加演出．
求选出的 名同学中至多有 名女生的选派方法数．
【答案】（ 1 ） 种．
【解析】（ 1 ）① 名女生： ，
② 名女生： ，
③ 名女生： ，
∴共 种．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；组合；加法原理与乘法原理的综合运用
27. 从 名男生和 名女生中选出 名代表，至少有 名女生且至多有 名男生当选的选法数．
【答案】 种．
【解析】分三类，第一类： 女 男有 种，第二类： 女 男有 种，第三类 女
男有 ，共有 种．
【标注】【知识点】分组分配法
28. 一个口袋内装有大小相同的 个白球和 个黑球．
（ 1 ）从口袋内取出 个球，共有多少种取法？
（ 2 ）从口袋内取出 个球，使其中含有 个黑球，有多少种取法？
（ 3 ）从口袋内取出 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
12
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）从口袋内的 个球中取出 个球，取法种数是 ．
（ 2 ）从口袋内取出 个球有 个是黑球，于是还要从 个白球中再取出 个，取法种数是
．
（ 3 ）由于所取出的 个球中不含黑球，也就是要从 个白球中取出 个球，取法种数是
．
【标注】【知识点】特殊元素优先法；组合
29. 五本不同的语文书，四本不同的数学书，从中任意取出 本，则取出的书至多有一本是数学书的概
率是 ．
【答案】
【解析】设事件 为从这 本书中任意取出 本，这 本书中至多有一本是数学书，
则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】古典概型的概率计算（涉及计数原理）
30. 在 件产品中，有 件次品，从中任取 件：
（ 1 ）至少有 件次品的取法有多少种？
（ 2 ）求至多 件次品的概率．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）至少有 件次品的取法有 ．
（ 2 ）设“至多 件次品”为事件 ，则
．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理；排除法；组合；古典概型；对立事件的概率和为1；互斥
事件与对立事件
13
排列、组合综合问题
31. 从 ， ， ， ， 中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】由题意，末尾是 ， ， ，
末尾是 时，有 个； 末尾是 时，有 个； 末尾是 时，有 个．
所以共有 个．
故选B．
【标注】【知识点】分类加法计数原理
32. 某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政
治、地理四门学科中任选两科，现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同
的选科方法有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】分为两类，第一类物理、历史两科中有相同学科，则有 种选法；
第二类物理、历史两科中没有相同学科，则有 种选法，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有 种．
故选： ．
【标注】【知识点】排列组合综合
33. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要
内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的
热门 ．该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专
项答题”、“挑战答题”四个答题模块．某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有
且仅有三个答题版块相邻的学习方法有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
14
【解析】将四个答题模块中选出三个作为一个整体 ，再进行排列，
则有 种方法，
则剩下的两个学习模块和一个答题模块以及整体 进行排列，
因为“阅读文章”不能放首位，且四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻，
则当整体 放于首位，且四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻，
则当整体 放于首位时，有 种方法，
当整体 放于第二位时，有： 种方法；
当整体 放于第三位时，有 种方法；
当整体 放于第四位时，有 种方法，
所以符合要求的学习方法有： 种．
故选 ．
【标注】【知识点】排列组合综合；特殊元素优先法
【素养】数学运算
【思想】分类讨论思想
34. 将 位大学生志愿者（ 男 女）分成两组，分配到两所薄弱校支教，若要求女大学生不能单独成
组，且每组最多 人，则不同的分配方案共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】C
【解析】方法一：分成一组 人，一组 人时， 人组至少有一个男生，且去往不同
的学校，
则只有一个男生时，分法有： （种），
两个都是男生时，分法有： （种），
分成一组 人，一组 人时， 人组至少有一个男生，
则只有一个男生时，分法有： （种），
有 个男生时，分法有： （种），
个都是男生时，分法有： （种），
所以总共有： （种）．
方法二：分组的方案有 、 和 、 两类，第一类有
（种）；
第二类有 （种），
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所以共有 种不同的方案．
故选 ．
【标注】【知识点】分组分配法；排列组合综合
35. 要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各 节，自习课 节的功课表，其中上午 节，下午 节，
若要求 节语文课必须相邻且 节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），
则不同的排法种数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，分 种情况进行讨论：
①，语文和数学都安排在上午，要求 节语文课必须相邻且 节数学课也必须相邻，
则语文、数学的安排方法有 种，
在剩下的 节课中任选 个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有 种情况，
此时有 种安排方法；
②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；
语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午，有 种情况，
安排在上午的有 种情况，则语文和数学安排方法有 种，
在剩下的 节课中任选 个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有 种情况，
则此时有 种安排方法；
则有 种不同的排法．
故选： ．
【标注】【知识点】排列组合综合；加法原理与乘法原理的综合运用
36. 某校迎新晚会上有 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三
位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】方法一：记演出顺序为 号，按甲的编排进行分类，
①当甲在 号位置时，丙、丁相邻的情况有 种，则有 （种），
②当甲在 号位置时，丙、丁相邻的情况有 种，共 （种）；
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③当甲在 号位置时，丙、丁相邻的情况有 种，共有 （种）．
所以编排方案共有 （种）．
记演出顺序为 号，对丙、丁的排序进行分类，
丙、丁占 和 号， 和 号， 和 号， 和 号， 和 号，
其排法分别为 ， ， ， ， ，
故总编排方案有 （种）．
故选： ．
方法二：先考虑将丙、丁排一起的排法种数，
将丙、丁捆绑在一起，与其他四个节目形成五个元素，
排列种数为 （种），
利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，
因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 （种）．
故选： ．
【标注】【知识点】捆绑法；排列组合综合；加法原理与乘法原理的综合运用
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