导数的概念及运算【题集】
1. 函数的平均变化率
1. 如图，函数 在 ， 两点间的平均变化率是（ ）．
A. B. C. D.
2. 求下列函数在区间 和 上的平均变化率．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
3. 在函数 的图象上取一点 及邻近一点 ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
4. 函数 的图象如图，则函数 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 瞬时变化率与导数
5. 利用导数的定义求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
6. 若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
7. 设 是可导函数，且 ，则 （ ）．
1
A. B. C. D.
8. 若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 基本初等函数的导数
9. 下列求导数运算正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
10. 下列导数运算错误的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
11. 如果函数 ，那么 ．
12. 已知 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. D.
4. 导数的四则运算
13. 函数 的导数是 ．
14. 函数 在 处的导数等于（ ）．
A. B. C. D.
15. 的导数 ．
16. 求下列函数的导数：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
2
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
（ 7 ） ．
17. 已知函数 的导数为 ，且满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
18. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
19. 已知函数 的导函数为 且满足 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
20. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
5. 复合函数求导法则
21. 求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
22. 求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
3
（ 7 ） ．
（ 8 ） ．
（ 9 ） ．
（ 10 ） ．
23. 已知函数 ，且 ，则 的值为 ．
24. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则函数 的部分图象是
（ ）．
A. B.
C. D.
6. 导数的几何意义
25. 曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）．
A. B.
C. D.
26. 设曲线 在点 处的切线斜率为 ，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
27. 导数等于切线斜率．
（ 1 ）如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 ．
4
（ 2 ）如图，曲线 在点 处的切线方程是 ， ．
（ 3 ）设 是偶函数．若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则该曲线在点
处的切线的斜率为 ．
28. 若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是 ．
29. 曲线 在点 处的切线方程为 ．
30. 曲线 在点 处的切线方程是（ ）．
A. B. C. D.
31. 已知函数 ，求过点 的切线方程．
32. 过点 的切线方程是( )．
A. B.
C. 或 D. 或
33. 已知曲线 ．
（ 1 ）求曲线在点 处的切线方程．
（ 2 ）求曲线过点 的切线方程．
34. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
35. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
5
6导数的概念及运算【题集】
1. 函数的平均变化率
1. 如图，函数 在 ， 两点间的平均变化率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图可知 ， ，所以 ，
所以函数 在 ， 两点间的平均变化率是 ．故选B．
【标注】【知识点】求平均变化率
2. 求下列函数在区间 和 上的平均变化率．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ）在区间 和 上的平均变化率均为 ．
（ 2 ）在区间 上的平均变化率 ，
在区间 上的平均变化率 ．
【解析】（ 1 ） 在区间 上的平均变化率为
，
在区间 上的平均变化率为
．
（ 2 ） 在区间 上的平均变化率为
，
在区间 上的平均变化率为
1
．
【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
【素养】数学运算
3. 在函数 的图象上取一点 及邻近一点 ，则 等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ， ．
【标注】【知识点】求平均变化率
4. 函数 的图象如图，则函数 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数 在区间上的平均变化率为 ，
由函数图象可得，在区间 上， ，
即函数 在区间 上的平均变化率小于 ；
在区间 、 、 上时， 且 相同，
由图象可知函数在区间 上的 最大，
所以函数 在区间 上的平均变化率最大．
故选： ．
【标注】【知识点】求平均变化率
2. 瞬时变化率与导数
2
5. 利用导数的定义求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）
．
从而，当 时， ，
∴ ．
（ 2 ）∵
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ．
【标注】【知识点】导数的定义
6. 若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
．
故选： ．
3
【标注】【知识点】导数的定义
7. 设 是可导函数，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
故选 C．
【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限
8. 若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为 在 可导，所以 ，
．
【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率
3. 基本初等函数的导数
9. 下列求导数运算正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有
4
选项 ，故 错误．
选项 ，故 错误．
选项 ，故 正确．
选项 ，故 错误．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】利用公式和四则运算法则求导
10. 下列导数运算错误的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 选项： ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
11. 如果函数 ，那么 ．
【答案】
【解析】由题意可知 ，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值
5
12. 已知 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，
【标注】【知识点】复合函数的求导法则
4. 导数的四则运算
13. 函数 的导数是 ．
【答案】
【解析】 ， ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
14. 函数 在 处的导数等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
15. 的导数 ．
【答案】
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
16. 求下列函数的导数：
（ 1 ） ．
6
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
（ 7 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
（ 7 ）
【解析】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ）
（ 6 ）先使用三角公式进行化简．
∴ ．
（ 7 ）
【标注】【素养】数学运算
17. 已知函数 的导数为 ，且满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数 ，
∴ ，
7
∴当 时，则有 ，
解得 ．
故选： ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
18. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
19. 已知函数 的导函数为 且满足 ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
20. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
8
【答案】B
【解析】 ，令 ，即 ，解得 ．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导
5. 复合函数求导法则
21. 求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
22. 求下列函数的导数．
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
（ 7 ） ．
（ 8 ） ．
9
（ 9 ） ．
（ 10 ） ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
（ 7 ） ．
（ 8 ） ．
（ 9 ）
．
（ 10 ）
．
【解析】（ 1 ）略．
（ 2 ）略．
（ 3 ）略．
（ 4 ）略．
（ 5 ）略．
（ 6 ）略．
（ 7 ）略．
（ 8 ）略．
（ 9 ）略．
（ 10 ）
略．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导
23. 已知函数 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】
10
【解析】 ， ．
【标注】【知识点】复合函数的求导法则
24. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则函数 的部分图象是
（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以
，可知 为奇函数，故排除 ， ；又
因为 ， ，排除选 ，故选 ．
【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导
6. 导数的几何意义
25. 曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
11
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】导数的几何意义
26. 设曲线 在点 处的切线斜率为 ，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用
27. 导数等于切线斜率．
（ 1 ）如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 ．
（ 2 ）如图，曲线 在点 处的切线方程是 ， ．
（ 3 ）设 是偶函数．若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则该曲线在点
处的切线的斜率为 ．
【答案】（ 1 ）
12
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）直线 的斜率为 ，所以 ．
（ 2 ） 时， ，∵ 的斜率为 ，故 ，∴
．
（ 3 ）由偶函数的图象关于 轴对称知，在对称点处的切线也关于 轴对称，故所求切线
的斜率为 ．也可由特殊函数 得到此题答案．
【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计
算
28. 若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为 ，
函数的导数为 ，
直线 的斜率 ，
∵曲线 上点 处的切线平行与直线 ，
∴ ，
即 ，解得 ，此时 ，
故点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义
29. 曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，
即 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】导数的几何意义
13
30. 曲线 在点 处的切线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，故 ，
所以曲线在 处的切线斜率为 ，切线方程为 ，
化简整理得 ，
故选 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程
31. 已知函数 ，求过点 的切线方程．
【答案】 和 ．
【解析】 ，因为点 在曲线上．
①若点 为切点，则此时切线斜率为 ，则切线方程为 ，
即 ；
②若点 不是切点，则设切点为 ，有 ， 切线方程满足
，（*）
整理得 ， 因为点 满足方程（*），则 是方程 的一
个根， 即 ， 即
， 所以 或 （舍，因为切点
不为 ）， 即 ， ，则此时切线的方程为 ，即
，
综上所述，过点 的切线方程为 和 ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义
32. 过点 的切线方程是( )．
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
14
【解析】设切点坐标为 ， ， 切线斜率 ，
则 ，
解得 或 ，
∴所求切线方程为 或 ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义
33. 已知曲线 ．
（ 1 ）求曲线在点 处的切线方程．
（ 2 ）求曲线过点 的切线方程．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 或
【解析】（ 1 ）方法一：∵ ，∴在点 处的切线的斜率 ，
∴曲线在点 处的切线方程为 ，即 ．
方法二：∵点 在曲线 上，
且
，
∴在点 处的切线的斜率为 ，
∴曲线在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（ 2 ）设曲线 与过点 的切线相切于点 ，则切线的
斜率为 ，
∴切线方程为 ，
即 ，
∵点 在切线上，
∴ ，
即 ，∴ ，
即 ，
∴ ，解得 或 ，
15
故所求的切线方程为 或 ．
【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程
34. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】
【解析】方法一：设直线 与曲线 和曲线 的切点分别为
和 ．
由导数的几何意义可得 ，即 ，
由切点也在各自的曲线上，可得 ，
解得 ，
从而 ，则 ．
方法二：由 ，得 ，
由 ，得 ．
设直线 与曲线 相切于点 ，
则 ①， ②，
设直线 与曲线 相切于点 ，
则 ③， ④，
由①得 ，代入②得 ，即 ⑤，
由③得 ，代入④得 ，即 ⑥，
⑤ ⑥得 ， ，
代入⑤得 ，
故答案为 ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义
35. 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】
【解析】
16
设 与曲线 的切线，曲线 的切点分别为 ，
，
∵ ，曲线 ，
∴ ， ，
∴ ，①
切线方程分别为 ，
即为 ，
或 ，即为 ，
解得 ，②
由①②解得 ， ，
可得： ，则有 ， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义
17
