高二数学培优（第二学期）导数的综合 【题集】（PDF版含解析）

导数的综合 【题集】
1. 不含参导数求极值、最值
1. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）经过点 作函数 图象的切线，求该切线的方程．
【答案】（ 1 ）增区间是 ，减区间是 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）定义域是 ，导函数 ，
由 得 ， ， ， ，
得 ，
综上所述，结论是：增区间是 ，减区间是 ．
（ 2 ）设切点 ，则 ，切线的斜率是 ，
∴切线方程是 ，
又过点 ，∴ ，
，
∴切线方程是 ．
综上所述，结论是：切线方程是 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；导数的几何意义；求在某点处的切线方
程
2. 函数 在 处的切线方程为 ，且 在 时有极值．
（ 1 ）求 的表达式．
（ 2 ）求 在 上的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
1
，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴切线： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
经检验 是 的极大值点．
（ 2 ）
，
∴ 在 ， ， ，
∵ ，
，
∴ 在 上最大值是 ．
【标注】【知识点】已知极值情况求函数解析式；利用导数求函数的最值；已知切线方程求参数；
导数的几何意义
3. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 ， 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 的极值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）极大值 ；极小值 ．
【解析】（ 1 ） 的导函数为 ，
∴ ， ，
∴曲线 在 ， 处的切线方程为 ．
（ 2 ）由 知 ，
令 ，则 ， ．
2
∴在 ， ，在 ， ．
故有如下表格：
极大值 极小值
∴ 的极大值为 ；
的极小值 ．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；求解函数极值；导数与单调性
2. 含参导数求极值、最值
4. 已知函数 ，
（ 1 ）若 ，试确定函数 的单调区间．
（ 2 ）若 且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围．
（ 3 ）设函数 求证： ．
【答案】（ 1 ） 在 上单调递增，在 上单调递减．
（ 2 ） ．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） ，当 时， ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
（ 2 ）由题意知，即要求 ，对 恒成立．
法一：变量分离法
对 恒成立，当 时，显然成立；
当 时， 恒成立．
令 ，则 ，故 在 上单调递减，在 上
单调递增．
故 在 处取到极小值，也是最小值 ．
故 即可．
法二：
令 ，得 ．故 在 上单调递减，在 上单调
递增．
3
①当 时， ，故 在 上单调递增， 的最小值为
；
故此时一定有 成立；
②当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递
增．
从而 的最小值为 ，解得 ．
综上知 时，满足题意．
（ 3 ） ．
即证 ．
，
， ， ， ；
于是有
．
又 ， ， ， ， ，
故有 ．
【标注】【素养】数学运算
5. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的极值．
（ 2 ）若函数 在 上的最小值为 ，求它在该区间上的最大值．
【答案】（ 1 ） 极大值 ， 极小值 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值 极大值
极大值 ， 极小值 ．
（ 2 ）由（ ）知 在 上单减，在 上单增，在 上单减，
4
又 ， ，
所以最小值为 ，且 ，
最大值在 或 处取，
，
，
所以 在 上的最大值为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；求解函数极值
6. 已知函数 ，当 时， 取得极小值 ．
（ 1 ）求 ， 的值．
（ 2 ）求函数 在 上的最大值和最小值．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ， ．
【解析】（ 1 ）根据题意， ，则 ，
因为 时， 有极小值 ，则有 ，
解可得： ，
所以 ，
经检验符合题意，则 ， ．
（ 2 ）由（ ）知 ，
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
又由 ， ，
得 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；已知极值情况求函数解析式
3. 恒成立与存在性问题
构造法
5
7. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程．
（ 2 ）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）因为 ，所以 ，
，切点为 ，
由 ，
所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ．
（ 2 ）由 ，令 ，
则 （当且仅当 取等号），
故 在 上为增函数，
①当 时， ，故 在 上为增函数，
所以 恒成立，故 符合题意；
②当 时，由于 ， ，
根据零点存在定理，
必存在 ，使得 ，由于 在 上为增函数，
故当 时， ，故 在 上为减函数，
所以当 时， ，
故 在 上不恒成立，所以 不符合题意，
综上所述，实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；通过构造函数证明不等式；导数的几何意
义；求在某点处的切线方程；数列的函数特性
8. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
【答案】（ 1 ）当 时，单调减区间： ，无单调增区间；
6
时， 单调减区间： 和
，
单调增区间： ；
时， 单调减区间： ，
单调增区间： ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由已知有 定义域： ，
， ，
令 ， ， ．
① 时，
由图可知： 恒成立，
恒成立，
在定义域内单调递减．
② 时，
有两根，记为 ， ，
，
解得 ，
由图可知：
7
当 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
③ 时，
有唯一根，记为 ，且 ，
由图可知：
当 时， ， ， 单调递减；
时， ， ， 单调递增，
综上所述，当 时， 在定义域内单调递减，
单调减区间： ，无单调增区间；
时， 单调减区间： 和
，
单调增区间： ；
时， 单调减区间： ，
单调增区间： ．
（ 2 ）由（ ）知： ， 为方程 的两根，
且 ， ，
由韦达定理有： ，
，
则
， ，
令 ， ，
， ，
， 恒成立，
令 ，
8
则 ，
单调递增，
∵ ，
故当 时， ，
，
∵ ，
令 ，
，
，
当 时，
，
而 ，
恒成立，
单调递减，
，
．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数与极值
9. 已知函数 ， ， 为自然对数的底数．
（ 1 ）若 ，证明： ．
（ 2 ）讨论 的极值点个数．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）当 时， 不存在极值点；
当 时， 存在两个极值点．
【解析】（ 1 ）方法一：若 ，则 ，
，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
9
因此 ，即 ；也有 ，
所以当 时， ，
所以 在 上单调递增；
又因为 ，
所以，当 时， ；当 时， ；
所以 ．
方法二：若 ，则 ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
因此 ，即 对 恒成立，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
所以，当 时， ；当 时， ；
所以 ．
（ 2 ）由题意知 ，
令 ，则 ，
当 时，
，
所以 在 上单调递增， 无极值点；
当 时， ， ，且 在 上单
调递增，
故存在 满足 ，
因此 ； ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减；
当 时， ，
所以 在 上单调递增；
所以 ，
10
再令 ， ， ，
所以 在 上单调递减，且 ，即
因为 ，又知 ， ，
所以
，
所以存在 ， 满足 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以，当 时， 存在两个极值点 ， ，
综上可知：当 时， 不存在极值点；
当 时， 存在两个极值点．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数求函数的零点及个数；函数零点存
在定理
参变分离
10. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）设函数 有两个极值点 ， ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ （ ），
令 ， ，
当 即 时，
，即 ，
∴函数 单调递增区间为 ，
当 即 或 时，
11
， ，
若 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴函数 单调递增区间为 ，
若 ，则 ，
由 ，即 得 或 ，
由 ，即 得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ，
综上，当 时，函数 单调递增区间为 ，
当 时，函数 的单调递增区间为
， ，
单调递减区间为 ．
（ 2 ）由（ ）得 （ ），
若 有两个极值点 ， ，
则 ， 是方程 的两个不等正实根，
由（ ）知 ，则 ， ，
故 ，
要使 恒成立，只需 恒成立，
∵
，
令 ，则 ，
当 时， ， 为减函数，
∴ ，
由题意，要使 ，恒成立，只需满足 ，
∴实数 的取值范围 ．
【标注】【知识点】导数与极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数与最值；利用导数解
决不等式恒成立问题
12
11. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）若关于 不等式 对任意 和正数 恒成立，求 的最小值．
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）对函数 求导，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减．
当 时，令 ，得 ，
则 时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减，
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
．
（ 2 ）由题意知 恒成立，则 ，
由（ ）知，当 时， 在 上单调递减，无最小值，舍去．
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 ，故 的最小值为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数证明不等式恒成立问题
4. 零点与交点问题
12. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 有零点，求实数 的取值范围．
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（ 2 ）证明：当 时， ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由题意可知，函数 的定义域为 ．
由 有解，得 有解，
令 ，则 ．
∵当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ．
∵ 有解，且 ， ，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
（ 2 ）要证当 时， ，
即证 ，
∵ ，
∴即证 ，
即证 ．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
故当 时， ①，
令 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ．
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ．
故当 时， ②，
显然，不等式①②中的等号不能同时成立，
故当 时， ．
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【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围；利用导数求函数的最值；通过构造函数证明不
等式；函数零点存在定理；分析法
13. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）已知 且 ，若函数 没有零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
和 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
当 时，令 得 或 ，
令 得 ，
∴函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ，
当 时，令 得 ，
令 得 或 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 和 ，
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ，当 时，函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 和 ．
（ 2 ）函数 在 时无零点，
即 在 无解，
则 与 在 无交点，
， 在 上单调递增，
，
∴ ，
则 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念；已知零点或根情况求参数
范围；利用导数求函数的单调性、单调区间
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14. 函数 ．
（ 1 ）求 的极值．
（ 2 ）当 在什么范围内取值时，曲线 与直线 有三个不同的交点．
【答案】（ 1 ） 的极大值是 ，极小值是 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
令 ，
则 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值 极小值
所以 的极大值是 ，极小值是 ．
（ 2 ）由（ ）知 的极大值为 ，
极小值为 ，
则若 与 存在 个交点，画出草图，
必有： ，
即 ．
【标注】【知识点】导数与单调性；求解函数极值；已知零点或根情况求参数范围；函数零点的概
念
15. 已知函数 ， ， ．
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（ 1 ）若 ， ，证明： ．
（ 2 ）若 ， 有且只有 个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题知， ，
因为 ，
所以，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 ．
（ 2 ）因为 ，
当 时， ， 在 上单调递增，不可能有 个零点，
当 时，令 ，解得 ，
所以，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 ，
若 只有 个零点，则 ，
解得： ，
由（ ）知： ，
所以 ，
令 ，
解得： 或 ，
所以，存在 ，满足 ；
存在 ，满足 ，
所以 在 和 上恰有 个零点，符合题意．
综上，所求实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；利用导数证明不等式恒成立问题；已知零点或根情况求参数
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范围；利用导数求函数的最值
18导数的综合 【题集】
1. 不含参导数求极值、最值
1. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）经过点 作函数 图象的切线，求该切线的方程．
2. 函数 在 处的切线方程为 ，且 在 时有极值．
（ 1 ）求 的表达式．
（ 2 ）求 在 上的最大值．
3. 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 ， 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 的极值．
2. 含参导数求极值、最值
4. 已知函数 ，
（ 1 ）若 ，试确定函数 的单调区间．
（ 2 ）若 且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围．
（ 3 ）设函数 求证： ．
5. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的极值．
（ 2 ）若函数 在 上的最小值为 ，求它在该区间上的最大值．
6. 已知函数 ，当 时， 取得极小值 ．
（ 1 ）求 ， 的值．
（ 2 ）求函数 在 上的最大值和最小值．
3. 恒成立与存在性问题
构造法
7. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程．
1
（ 2 ）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
8. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，证明： ．
9. 已知函数 ， ， 为自然对数的底数．
（ 1 ）若 ，证明： ．
（ 2 ）讨论 的极值点个数．
参变分离
10. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）设函数 有两个极值点 ， ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
11. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）若关于 不等式 对任意 和正数 恒成立，求 的最小值．
4. 零点与交点问题
12. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 有零点，求实数 的取值范围．
（ 2 ）证明：当 时， ．
13. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）已知 且 ，若函数 没有零点，求 的取值范围．
14. 函数 ．
（ 1 ）求 的极值．
（ 2 ）当 在什么范围内取值时，曲线 与直线 有三个不同的交点．
15. 已知函数 ， ， ．
（ 1 ）若 ， ，证明： ．
（ 2 ）若 ， 有且只有 个零点，求实数 的取值范围．
2