导数的综合
一、 课堂目标
1．掌握利用导数求解函数的单调区间及单调性、极值与最值．
2．掌握利用导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题．
3．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．
4．掌握利用导数求解函数的零点与交点问题．
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是掌握利用导数求解函数的单调区间及单调性、极值与最值、掌握利用导数
求解含参函数的单调性、极值与最值问题、熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解
法来解决原函数的最值问题、掌握利用导数求解函数的零点与交点问题．难点是掌握利用
导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题、熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题
的解法来解决原函数的最值问题、掌握利用导数求解函数的零点与交点问题.
2.本讲的关联知识是函数的基本性质、基本初等函数、三角函数.
二、 知识讲解
1. 利用导数求函数的单调性
知识精讲
求函数单调区间的方法步骤：
（1）确定函数 的定义域；
（2）求出导函数 解析式，解方程 ，求出该方程在定义域内的一切实根；
（3）把定义域端点和导函数零点按照由小到大的顺序排列在数轴上，将 的定义域分割成一系列区
间；
（4）考察各个小区间上 的符号，根据符号判断相应区间上的单调性．
注意：求函数单调区间注意书写规范，最后总结：函数的单调增区间是......，函数的单调减区间
是.......
经典例题
1. 已知函数 ．
1
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）经过点 作函数 图象的切线，求该切线的方程．
【备注】【教师指导】
本题考察简单的利用导数求函数单调区间问题及求切线问题
【答案】（ 1 ） 时，函数单调递减；
时，函数单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
故 ，
取 ，则 ，
故 时，函数单调递减；
时，函数单调递增．
（ 2 ）设切点为 ，则 ，
，
解得 ，
故切线方程为 ，即 ．
【标注】【知识点】求过某点的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调区间
巩固练习
2. 已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（ 1 ）求函数 的单调递增区间．
（ 2 ）求曲线 在点 处的切线方程．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
令 ，解得： ，
∴函数 的单调递增区间是 ．
（ 2 ）∵ ， ，
2
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用；求在某点处的切线方程；利用
导数求函数的单调性、单调区间
2. 利用导数求函数的极值与最值
知识精讲
求函数 极值的方法：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ；
（3）解出方程 在定义域内的全部实根；
（4）检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断：
①如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点；
②如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点；
③如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点．
【备注】【教师指导】
极值是一个局部性的概念，必须在函数定义域内的连续点处取得，而且只能反映出极值点
附近的函数值分布情况，那么完全可以产生这样的效果：存在某些函数，它的极大值反而
小于极小值.
知识点睛
（1）对于函数定义域内的某个点 来说，该点为极值点的充分条件是函数在这点的两侧导数异号，必
要条件是 ；
（2）判断函数的极值点，不能单单依赖于导数，还需要考察定义域内的不可导点，此时需要从极值的
定义出发．
知识精讲
求函数 最值的方法：
若函数 在 上连续，在 上可导，求其最值的步骤如下：
（1）求出函数 在 上的极值；
（2）将所求的若干极值与 和 比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．
3
知识点睛
（1）求最值时，定义域如果是全体实数与开区间，不用考虑端点值；定义域如果不是开区间，需考虑
端点值；
（2）在给定范围求参，如果范围的两个端点是常数，做题方法就是求在区间的单调性、比较端点值即
可；
（3）如果给的端点值是含参的，需要进行分类讨论：
首先求得函数得单调区间，将所给范围放在不同得单调区间进行讨论及所给区间夹得极值点范围．
经典例题
3. 已知函数 ．
（ 1 ）求 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求 的极值．
【备注】【教师指导】
本题考察简单的利用导数求函数的极值问题以及指数函数的图象与性质
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 有极小值 ．
【解析】（ 1 ） ，
设所求切线方程的斜率为 ，则 ，
又 ，
故所求切线方程为： ，
即 ．
（ 2 ）因为 ，
令 ，则 ；
令 ，则 ，
故函数 在 单调递减，在 单调递增，
时，函数 有极小值 ．
【标注】【知识点】求解函数极值；导数的几何意义；求在某点处的切线方程
巩固练习
4. 已知函数 ， 为 的导函数．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程．
4
（ 2 ）求函数 的单调区间和极值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）当 时， 在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递增，
的极小值为 ，无极大值．
【解析】（ 1 ） ，
∴ ，又 ．
∴曲线 在点 处的切线方程为： ，
∴ ．
（ 2 ）
，
∴
．
∴当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
．
∴ 有极小值 ，无极大值．
【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数的几何意义；求在
某点处的切线方程
5. 已知函数 的图象经过点 且在 处， 取得极值．求：
（ 1 ）函数 的解析式．
（ 2 ） 的单调区间．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
【解析】（ 1 ）由 的图象过点 得 ，
5
∵ ，
由 ，
∴由 得 ，
∴ ．
（ 2 ）∵ ，
∴由 得 或 ，
∴ 的单调递增区间为 和 ，
∴ 的单调递减区间为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；已知极值情况求函数解析式
3. 利用导数研究含参函数的单调性、极值与最值
知识精讲
直接求解含参函数的单调性、极值与最值 ：
（1）对函数 求导、合并、整理；
（2）针对函数含参导数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
（3）将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确
定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
知识点睛
求解含参函数的思想方法：
(1)求导之后，观察导函数的函数类型、画出草图、判断函数的单调性.
(2)二次型含参函数
①首先观察参数是否在二次项上，如果在二次项上需要先对二次函数的开口方向进行一次分类讨论
及参数为零的情况，然后根据图象画出草图判断函数的单调性．
②导函数是二次函数时求解根时主要两种：能因式分解与不能因式分解（利用求根公式及配方法求
根），在不能因式分解时需要首先应用判别式 来判断是否有根．
(3)当导函数是一次函数并且参数在一次项上，分类讨论注意参数为零的情况．
(4)当函数出现对数函数，注意定义域的判断．
给出已知区间的最值或极值而逆向求参：
做题思路：
①先对单调性进行分类讨论；
6
②再以极值点与端点进行分类讨论，确定每种情况的最值；
③最后与题目条件结合，判断参数的解值是否可取．
经典例题
6. 已知函数 ．
求 的单调区间．
【备注】【教师指导】
含参函数，注意对参数不同范围进行分类讨论
【答案】（ 1 ）当 时， 单增区间是 ； 单减区间是 ；当 时，
单增区间是 ， ； 单减区间是 ；
当 时， 单增区间是 ； 单减区间是 ，
．
【解析】（ 1 ）函数 的导数 ，
①当 时， ，
， 单调递增，
， 单调递减；
②当 时，由 或 ，
或 ， 单调递增， ，
单调递减；
③当 时， ， 单调递增，
或 ， 单调递减；
综上：当 时， 单增区间是 ； 单减区间是 ；
当 时， 单增区间是 ， ； 单减区间是
；当 时， 单增区间是 ； 单减区间是 ，
．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；已知单调性求参数的取值范围
7. 已知函数 ， ， 是自然对数的底数．
（ 1 ）若函数 在 处取得极值，求 的值及 的极值．
（ 2 ）求函数 在区间 上的最小值．
7
【备注】【教师指导】
此题同样对参数进行分类讨论，注意参数在不同范围，对导函数的影响
【答案】（ 1 ） ， 的极值为 ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ） ，
∵ 在 处取得极值，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的极值为 ．
（ 2 ）∵ ，
① 时， 恒大于 ，
∴ 在 上单增，
∴ ；
② 时，令 ，
∴ ，
（ ） ，
∴ 在 上单增，
∴ ；
（ ） ，
在 上单减，
∴ ；
（ ） ，
在 单减， 单增，
∴ ．
综上： ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；已知极值情况求函数解析式
巩固练习
8. 已知函数 ，其中 ．
8
求函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）当 时，单调减区间： ，无单调增区间；
时， 单调减区间： 和
，
单调增区间： ；
时， 单调减区间： ，
单调增区间： ．
【解析】（ 1 ）由已知有 定义域： ，
， ，
令 ， ， ．
① 时，
由图可知： 恒成立，
恒成立，
在定义域内单调递减．
② 时，
有两根，记为 ， ，
，
9
解得 ，
由图可知：
当 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减．
③ 时，
有唯一根，记为 ，且 ，
由图可知：
当 时， ， ， 单调递减；
时， ， ， 单调递增，
综上所述，当 时， 在定义域内单调递减，
单调减区间： ，无单调增区间；
时， 单调减区间： 和
，
单调增区间： ；
时， 单调减区间： ，
单调增区间： ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数与极值
9. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ （ ），
令 ， ，
10
当 即 时，
，即 ，
∴函数 单调递增区间为 ，
当 即 或 时，
， ，
若 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴函数 单调递增区间为 ，
若 ，则 ，
由 ，即 得 或 ，
由 ，即 得 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ，
综上，当 时，函数 单调递增区间为 ，
当 时，函数 的单调递增区间为
， ，
单调递减区间为 ．
【标注】【知识点】导数与极值；利用导数求函数的单调性、单调区间；导数与最值；利用导数解
决不等式恒成立问题
10. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
【答案】（ 1 ）当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
，当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
和 ．
【解析】（ 1 ） ，
当 时，令 得 或 ，
令 得 ，
∴函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ，
11
当 时，令 得 ，
令 得 或 ，
∴函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 和 ，
综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ，当 时，函数 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 和 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念；已知零点或根情况求参数
范围；利用导数求函数的单调性、单调区间
4. 利用导数研究函数的恒成立问题
知识精讲
单函数型
（1） ， 恒成立
（2） ， 恒成立
（3） ， 恒成立
（4） ， 恒成立
双函数型
（1） ， 恒成立
（2） ， 恒成立
方法提升
(1)整体函数构造法：转化为求含参的函数的最值问题求解.
构造法属于常用及通用方法，解题思路将所给不等式构造成左边为含参函数右侧是常数，通常是
零，将左侧设计成函数,根据题意求解最值，恒 常数．
(2)参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解．
①解题思路：将所给不等式变形,将参数分离出来，使参数在不等式左侧,其他项移到右侧，右侧形
成新的函数，根据题意求解最值，判断参数的范围.
②参变分离只对部分函数使用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是很好求导，
如果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．
经典例题
12
11. 已知函数 在 上是增函数，在 上是减函数．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）当 时，曲线 总在直线 上方，求 的取值范围．
【备注】【教师指导】
此题考察 ， 恒成立 ，将不等式右侧函数移到
左侧构建新的函数对其进行判断恒大于零情况
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ．
∵ 在 上是增函数，在 上是减函数，
∴当 时， 有极大值，即 ，
∴ ．
（ 2 ） ，
∵ 在 上是增函数，在 上是减函数，
∴ ，即 ．
∵曲线 在直线 的上方，
设 ，
∴在 时， 恒成立．
∵ ，
令 ，两个根为 ， ，且 ，
∴当 时， 有最小值 ．
令 ，
∴ ，由 ，
∴ ．
【标注】【知识点】已知极值情况求函数解析式；利用导数证明不等式恒成立问题
巩固练习
13
12. 设函数 ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
，
∴函数 为增函数，又 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ）不等式 即为 ，
设 ， ，
则 ，
由（ ）可知， 是 上的增函数，
因为 ，
所以当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
，符合题意；
当 时， ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，不合题意，
综上，实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题；利用导数求函数的单调性、单调区间；利用
导数求函数的最值
经典例题
13. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
14
（ 2 ）若 ， 在 上恒成立，求整数 的最大值．
【备注】【教师指导】
有的时候用构造法求解比较复杂，需要多次分讨论，此时可以对函数进行参变分离的方法
求解，本题应用参变分离方法给学生讲解
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上为增函数，
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
当 时， ，
则 在 上为增函数，
当 时，由 ，得 ，
则 在 上为增函数，
由 ，得 ，则 在 上为减函数．
综合可得，当 时， 在 上为增函数，
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数．
综上所述，结论：当 时， 在 上为增函数，
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数．
（ 2 ）由题意， 恒成立，
即 ，
设 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以， 在 上为增函数，
由 ， ，
，
故 在 上有唯一实数根 ，
使得 ，
15
则当 时， ，
当 时， ，
即 在 上为减函数， 上为增函数，
所以 在 处取得极小值，为 ，
∴ ，由 ，得整数 的最大值为 ．
综上所述，结论：整数 的最大值为 ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题；二阶导问题；利用导数求函数的单调性、单
调区间
巩固练习
14. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时，所以函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 上单调递增，函数 在 上
单调递减．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
当 时，由 ，得 ，函数 在 上单调递
增．
由 得 ，函数 在 上单调递减．
（ 2 ）不等式 恒成立，
即 ，等价于 ，由题意知，不等式
， 恒成立．
令 ，则 ，
又 时， ， ，∴ ，∴ ，
∴ 在 上是减函数，
∴ ，
即实数 的取值范围是 ．
16
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数证明不等式恒成立问题
知识精讲
存在性问题：
单函数
（1） ， 成立
（2） ， 成立
（3） ， 成立
（4） ， 成立
双函数
（1） ， 成立
（2） ， 成立
（3） ， ， 成立
（4） ， ， 成立
（5） ， ， 成立
方法提升
存在性问题求解方法与恒成立求解方法一样:整体函数构造法与参变分离法
经典例题
15. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值．
（ 2 ）已知 表示 的导数，若 ， ，（ 为自然对数的底数），使
成立，求实数 的取值范围．
【备注】【教师指导】
此题考察存在性问题中： ， 成立
【答案】（ 1 ） 的最小值为 ．
（ 2 ） 的取值范围为 ．
【解析】（ 1 ） ，
∵ 在 上是减函数，
17
∴ 在 上恒成立，
∴ ，设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（ 2 ）若 ， ，使 成立，
则有 ，
由（ ）知，当 时， ，
所以 ，
∴转化为当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
又当 时， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 单调递减，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；已知单调性求参数的取值范围；利用导数证明不等式
恒成立问题；双变量问题
巩固练习
16. 已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）已知函数 在 处取得极大值， 在 上有解，求实数 的取
值范围．
18
【答案】（ 1 ） 时，函数单调递减；
时，函数在 上单调递增，在 上单调递减．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，则 ，
当 时， ，故函数单调递减；
当 时，取 ，得到 ，
故函数在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述： 时，函数单调递减；
时，函数在 上单调递增，在 上单调递减．
（ 2 ） ，故 ， ，即 ，
设 ，则 ，函数在 上单调递减，在 上单调递
增．
故 ，
故 ，故 ，
即 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；利用导数求函数的单调性、单调区间
5. 函数的零点、交点
知识精讲
(1)单函数直接描绘图象法
直接描绘单函数 的图象求解函数零点相关问题的步骤：
①对函数 求导；
②求出函数 的单调性，极值点与极值；
③画出函数 的草图；
④数形结合，确定函数 与 轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．
注意：直接描绘单函数图象法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函
数的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．
知识精讲
（2）单函数参变分离描绘图象法
19
单函数 参变分离法描绘图象法的解题步骤：
①求出函数 的定义域；
②将函数 参变分离，转化为含参常函数 与不含参函数 的交点问题；
③对不含参函数 进行求导；
④求出 函数的单调性，极值点与极值；
⑤画出 函数的草图；
⑥数形结合，根据含参常函数 与不含参函数 的交点情况，写出对应的不等关系进而求解
参数 的取值范围．
【备注】【教师指导】
（1）利用导数研究函数的零点问题最核心的思路是利用导数研究函数的图象，由函数的单
调性、极值及区间端点的取值情况，得到函数零点的情况．
（2）处理含参单函数的零点或方程的根的问题时，也可以通过参变分离，将问题转化为常
函数与不含参函数的交点问题．
知识精讲
(3）双函数作差整体构造法
① 有几个根 函数 与 图象有几个交点
函数 图象与 轴有几个零点．
② 有几个根 函数 与函数 图象有几个交点
函数 的图象与 轴有几个零点．
双函数作差整体构造法研究 与 的交点情况的解题步骤：
①构造新函数 ，从而将研究 与 的交点问题转化为研究函数 的
零点问题；
②对 进行求导；
③通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；
④从而简单画出函数 的图象；
⑤故可以推出函数 与 轴交点的分布情况，即函数 与函数 的图象交点情况．
知识点睛
双函数作差整体构造法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函数
的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．
知识精讲
20
（4）双函数代数变形优化法
双函数代数变形优化法研究 与 的交点情况的解题步骤：
①取等双函数 ，代数变形优化等式，将等式两端转化为简单含参函数 φ 与不含参函数
的等式，即φ ；
②将等式φ 分离成新的双函数，即简单含参函数 φ 与不含参函数 ；
③对 进行求导；
④通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；
⑤从而简单画出函数 的图象；
⑥数形结合，根据参数的不同取值，确定函数 与φ 的交点的分布情况，即函数 与函数
的图象交点情况．
经典例题
17. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数），
，其中 在 处的切线方程为 ．
（ 1 ）求 ， 的值．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）求证： 有且仅有两个零点．
【备注】【教师指导】
本题比较简单，一个函数求零点问题，按照求零点步骤进行即可
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ） ，
，
故 ， ，
故 ， ．
（ 2 ）先证明 ，设 ，则 ，
函数在 上单调递减，在 上单调递减，
故 ，
故 恒成立．
再证明 ，设 ，
则 ，
21
函数在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
故 ．
故
，
，
当 时， ， ．
当 时，易知 ．
函数 为偶函数，故 恒成立，
故 ，
故 ，得证．
（ 3 ） ，则 ，
，
恒成立，
故 单调递增，
，
，
故存在 使 ，
故函数在 上单调递减，
在 上单调递增，
，
当 时， ，
故函数在 上有唯一零点，
在 上有唯一零点，
故有且仅有两个零点．
【标注】【知识点】利用导数求函数的零点及个数；通过构造函数证明不等式；已知切线方程求参
数
18. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）．
（ 1 ）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值．
（ 2 ）求函数 的极值．
（ 3 ）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值．
22
【备注】【教师指导】
此题属于已知零点情况求解参数；此题注意根据条件转化问题：
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）当 时，函数 无极小值，
当 ， 在 处取得极小值 ，无极大值．
（ 3 ） 的最大值为 ．
【解析】（ 1 ）由 ，得 ．
又曲线 在点 处的切线平行于 轴，
得 ，即 ，解得 ．
（ 2 ） ，
①当 时， ， 为 上的增函数，
所以函数 无极值．
②当 时，令 ，得 ， ．
， ； ， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值．
综上，当 时，函数 无极小值
当 ， 在 处取得极小值 ，无极大值．
（ 3 ）方法一：解法一：
当 时，
令 ，
则直线 ： 与曲线 没有公共点，
等价于方程 在 上没有实数解．
假设 ，此时 ， ，
又函数 的图象连续不断，由零点存在定理，
可知 在 上至少有一解，
与“方程 在 上没有实数解”矛盾，故 ．
又 时， ，知方程 在 上没有实数解．
所以 的最大值为 ．
方法二：当 时， ．
23
直线 ： 与曲线 没有公共点，
等价于关于 的方程 在 上没有实数解，即关于 的方程：
在 上没有实数解．
①当 时，方程 可化为 ，在 上没有实数解．
②当 时，方程 化为 ．
令 ，则有 ．
令 ，得 ，
当 变化时， 的变化情况如下表：
当 时， ，同时当 趋于 时， 趋于 ，
从而 的取值范围为 ．
所以当 时，方程 无实数解， 解得 的取值范围是
．
综上，得 的最大值为 ．
【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围；求函数极值（含参指对型导函数）
巩固练习
19. 已知函数 ．
（ 1 ）若 在 处取得极值，求实数 的值．
（ 2 ）求函数 的单调区间．
（ 3 ）若 在 上没有零点，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）函数 的单调增区间为 ，单减区间为 ．
（ 3 ）实数 的取值范围是 ．
【解析】（ 1 ） ， ，
∴ 在 处取得极值，
∴ ，解得 或 （舍），
24
当 时， 时 ， 单调递减；
时， ， 单调递增，
得 在 处取得极小值，故 ．
（ 2 ） ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故函数 的单调增区间为 ，单减区间为 ．
（ 3 ）要使 在 上没有零点，只需在 或 ，
又 ，只需在区间 上 ，
①当 时， 在区间 上单调递减，则 ，
解得： 与 矛盾；
②当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，解得 ，得 ，
③当 时， 在区间 上单调递增， 满足题意，
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知极值情况求参数范围；已知零点或根情况求参数范围
20. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，求函数 的单调区间．
（ 2 ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）函数 的增区间为 ， ，减区间为 ．
（ 2 ）实数 的取值范围为 ．
【解析】（ 1 ） ，则
，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
∴函数 的增区间为 ， ，减区间为 ．
（ 2 ） ，则 ，
②当 时， ，函数 只有一个零点 ，不符合题意；
②当 时， ，易知此时函数 在 上单调递减，在
上单调递增，
∴ ，
25
又 ，
∴当 时，存在 ，使得 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，
取 ，则 ，
∴ ，即函数 在 有一个零点，
∴函数 有两个零点；
③当 时，由 得 或 ，
（ ）当 ，即 时，由 得， 或 ，
∴ 在 ， 上递增，在 上递减，
∴ 极大值 ，
∴ 至多有一个零点，不合题意；
（ ）当 ，即 时， 在 上递增，
∴ 至多有一个零点，不合题意；
（ ）当 ，即 时， 得， 或 ，
∴ 在 ， 上递增，在 上递减，
∵ ， 时， ，
∴ ，
又 ，
∴ 至多有一个零点，不合题意，
综上，实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】函数零点的概念；利用导数求函数的单调性、单调区间；已知零点或根情况求
参数范围
三、 思维导图
你学会了吗？请你画出本节课的思维导图。
26
【备注】
四、 出门测
27
21. 已知函数 ， 为 的导数，证明：
（ 1 ） 在区间 上存在唯一极大值点．
（ 2 ） 在区间 上有且仅有一个零点．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）由题意知： 定义域为： ，且 ．
令 ， ，
, ．
∵ 在 上单调递减， 在 上单调递减，
在 上单调递减．
又 ,
．
∴ ，使得 ，
∴当 时， ；当 时， ．
即 在区间 上单调递增；在 上单调递减，
则 为 唯一的极大值点．
即： 在区间 上存在唯一的极大值点 ．
（ 2 ）由 知 ，且 在区间 上存在唯一极大
值点，
在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，
，故在 上恒有 ，
∴ 在 上单调递增，
又 ,
．
因此， 在区间 上有且仅有一个零点．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
22. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 在区间 上极值点个数．
28
（ 2 ）讨论函数 在区间 上零点个数．
【答案】（ 1 ） 在 上只有一个极值点．
（ 2 ） 在区间 上有 个零点．
【解析】（ 1 ） ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减．
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 在 上单增，在 单减，
∴ 在 上只有一个极值点．
（ 2 ）①当 时， ，
又因为令 ， ，
∴ ，
所以 在 单减，
所以 时， 所以 时， ，
所以当 时， ，
∴ 在 上没有零点．
②有 知，当 时， ，
在 上单增，在 单减，
∵ ， 或 ，
， ，
∴ 在 内有一个零点，在 内有一个零点，
综上： 在区间 上有 个零点．
【标注】【知识点】函数零点存在定理；利用导数求函数的零点及个数
29导数的综合
一、 课堂目标
1．掌握利用导数求解函数的单调区间及单调性、极值与最值．
2．掌握利用导数求解含参函数的单调性、极值与最值问题．
3．熟练运用导数中恒成立问题和存在性问题的解法来解决原函数的最值问题．
4．掌握利用导数求解函数的零点与交点问题．
二、 知识讲解
1. 利用导数求函数的单调性
知识精讲
求函数单调区间的方法步骤：
（1）确定函数 的定义域；
（2）求出导函数 解析式，解方程 ，求出该方程在定义域内的一切实根；
（3）把定义域端点和导函数零点按照由小到大的顺序排列在数轴上，将 的定义域分割成一系列区
间；
（4）考察各个小区间上 的符号，根据符号判断相应区间上的单调性．
注意：求函数单调区间注意书写规范，最后总结：函数的单调增区间是......，函数的单调减区
间是.......
经典例题
1. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）经过点 作函数 图象的切线，求该切线的方程．
巩固练习
2. 已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（ 1 ）求函数 的单调递增区间．
（ 2 ）求曲线 在点 处的切线方程．
1
2. 利用导数求函数的极值与最值
知识精讲
求函数 极值的方法：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数 ；
（3）解出方程 在定义域内的全部实根；
（4）检测每个实根左右两侧导函数的符号，进而判断：
①如果在某实根附近导数符号为左负右正，则该实根为极小值点；
②如果在某实根附近导数符号为左正右负，则该实根为极大值点；
③如果在某实根附近导数符号保持不变，则该实根不是极值点．
知识点睛
（1）对于函数定义域内的某个点 来说，该点为极值点的充分条件是函数在这点的两侧导数异号，必
要条件是 ；
（2）判断函数的极值点，不能单单依赖于导数，还需要考察定义域内的不可导点，此时需要从极值的
定义出发．
知识精讲
求函数 最值的方法：
若函数 在 上连续，在 上可导，求其最值的步骤如下：
（1）求出函数 在 上的极值；
（2）将所求的若干极值与 和 比较，数值最大的为最大值，数值最小的为最小值．
知识点睛
（1）求最值时，定义域如果是全体实数与开区间，不用考虑端点值；定义域如果不是开区间，需考虑
端点值；
（2）在给定范围求参，如果范围的两个端点是常数，做题方法就是求在区间的单调性、比较端点值即
可；
（3）如果给的端点值是含参的，需要进行分类讨论：
首先求得函数得单调区间，将所给范围放在不同得单调区间进行讨论及所给区间夹得极值点范围．
经典例题
2
3. 已知函数 ．
（ 1 ）求 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求 的极值．
巩固练习
4. 已知函数 ， 为 的导函数．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程．
（ 2 ）求函数 的单调区间和极值．
5. 已知函数 的图象经过点 且在 处， 取得极值．求：
（ 1 ）函数 的解析式．
（ 2 ） 的单调区间．
3. 利用导数研究含参函数的单调性、极值与最值
知识精讲
直接求解含参函数的单调性、极值与最值 ：
（1）对函数 求导、合并、整理；
（2）针对函数含参导数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；
（3）将函数 的极值点与端点处的横坐标 ， 进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确
定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．
知识点睛
求解含参函数的思想方法：
(1)求导之后，观察导函数的函数类型、画出草图、判断函数的单调性.
(2)二次型含参函数
①首先观察参数是否在二次项上，如果在二次项上需要先对二次函数的开口方向进行一次分类讨论
及参数为零的情况，然后根据图象画出草图判断函数的单调性．
②导函数是二次函数时求解根时主要两种：能因式分解与不能因式分解（利用求根公式及配方法求
根），在不能因式分解时需要首先应用判别式 来判断是否有根．
(3)当导函数是一次函数并且参数在一次项上，分类讨论注意参数为零的情况．
(4)当函数出现对数函数，注意定义域的判断．
给出已知区间的最值或极值而逆向求参：
做题思路：
3
①先对单调性进行分类讨论；
②再以极值点与端点进行分类讨论，确定每种情况的最值；
③最后与题目条件结合，判断参数的解值是否可取．
经典例题
6. 已知函数 ．
求 的单调区间．
7. 已知函数 ， ， 是自然对数的底数．
（ 1 ）若函数 在 处取得极值，求 的值及 的极值．
（ 2 ）求函数 在区间 上的最小值．
巩固练习
8. 已知函数 ，其中 ．
求函数 的单调区间．
9. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
10. 已知函数 ．
求函数 的单调区间．
4. 利用导数研究函数的恒成立问题
知识精讲
单函数型
（1） ， 恒成立
（2） ， 恒成立
（3） ， 恒成立
（4） ， 恒成立
双函数型
（1） ， 恒成立
（2） ， 恒成立
方法提升
(1)整体函数构造法：转化为求含参的函数的最值问题求解.
4
构造法属于常用及通用方法，解题思路将所给不等式构造成左边为含参函数右侧是常数，通常是
零，将左侧设计成函数,根据题意求解最值，恒 常数．
(2)参变分离法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解．
①解题思路：将所给不等式变形,将参数分离出来，使参数在不等式左侧,其他项移到右侧，右侧形
成新的函数，根据题意求解最值，判断参数的范围.
②参变分离只对部分函数使用，首先这个函数能将参数分离出来，其次分离出的函数是很好求导，
如果变形后发现新的函数特别繁琐，建议还是应用构造法．
经典例题
11. 已知函数 在 上是增函数，在 上是减函数．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）当 时，曲线 总在直线 上方，求 的取值范围．
巩固练习
12. 设函数 ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
经典例题
13. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 ， 在 上恒成立，求整数 的最大值．
巩固练习
14. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
知识精讲
存在性问题：
单函数
（1） ， 成立
（2） ， 成立
（3） ， 成立
5
（4） ， 成立
双函数
（1） ， 成立
（2） ， 成立
（3） ， ， 成立
（4） ， ， 成立
（5） ， ， 成立
方法提升
存在性问题求解方法与恒成立求解方法一样:整体函数构造法与参变分离法
经典例题
15. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值．
（ 2 ）已知 表示 的导数，若 ， ，（ 为自然对数的底数），使
成立，求实数 的取值范围．
巩固练习
16. 已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）已知函数 在 处取得极大值， 在 上有解，求实数 的取
值范围．
5. 函数的零点、交点
知识精讲
(1)单函数直接描绘图象法
直接描绘单函数 的图象求解函数零点相关问题的步骤：
①对函数 求导；
②求出函数 的单调性，极值点与极值；
③画出函数 的草图；
④数形结合，确定函数 与 轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．
6
注意：直接描绘单函数图象法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函
数的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．
知识精讲
（2）单函数参变分离描绘图象法
单函数 参变分离法描绘图象法的解题步骤：
①求出函数 的定义域；
②将函数 参变分离，转化为含参常函数 与不含参函数 的交点问题；
③对不含参函数 进行求导；
④求出 函数的单调性，极值点与极值；
⑤画出 函数的草图；
⑥数形结合，根据含参常函数 与不含参函数 的交点情况，写出对应的不等关系进而求解
参数 的取值范围．
知识精讲
(3）双函数作差整体构造法
① 有几个根 函数 与 图象有几个交点
函数 图象与 轴有几个零点．
② 有几个根 函数 与函数 图象有几个交点
函数 的图象与 轴有几个零点．
双函数作差整体构造法研究 与 的交点情况的解题步骤：
①构造新函数 ，从而将研究 与 的交点问题转化为研究函数 的
零点问题；
②对 进行求导；
③通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；
④从而简单画出函数 的图象；
⑤故可以推出函数 与 轴交点的分布情况，即函数 与函数 的图象交点情况．
知识点睛
双函数作差整体构造法在求导后，会出现含参导数，需要进行分类讨论，在每种情况下确定原函数
的单调性、极值点与极值，描绘每种情况下的简易图象，再分别探讨零点的个数问题．
知识精讲
（4）双函数代数变形优化法
7
双函数代数变形优化法研究 与 的交点情况的解题步骤：
①取等双函数 ，代数变形优化等式，将等式两端转化为简单含参函数 φ 与不含参函数
的等式，即φ ；
②将等式φ 分离成新的双函数，即简单含参函数 φ 与不含参函数 ；
③对 进行求导；
④通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；
⑤从而简单画出函数 的图象；
⑥数形结合，根据参数的不同取值，确定函数 与φ 的交点的分布情况，即函数 与函数
的图象交点情况．
经典例题
17. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数），
，其中 在 处的切线方程为 ．
（ 1 ）求 ， 的值．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）求证： 有且仅有两个零点．
18. 已知函数 （ ， 为自然对数的底数）．
（ 1 ）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值．
（ 2 ）求函数 的极值．
（ 3 ）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值．
巩固练习
19. 已知函数 ．
（ 1 ）若 在 处取得极值，求实数 的值．
（ 2 ）求函数 的单调区间．
（ 3 ）若 在 上没有零点，求实数 的取值范围．
20. 已知函数 ．
（ 1 ）若 ，求函数 的单调区间．
（ 2 ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
三、 思维导图
你学会了吗？请你画出本节课的思维导图。
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四、 出门测
21. 已知函数 ， 为 的导数，证明：
（ 1 ） 在区间 上存在唯一极大值点．
（ 2 ） 在区间 上有且仅有一个零点．
22. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 在区间 上极值点个数．
（ 2 ）讨论函数 在区间 上零点个数．
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