高二数学培优（第二学期）导数与函数的单调性、极值与最值【题集】（PDF版含解析）

导数与函数的单调性、极值与最值【题集】
1. 导数与函数单调性
1. 导函数 的图像如图所示，则函数 的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵ 当 时， ，当 时， ，
∴ 函数 在 上是增函数，
在 上是减函数，
故选 ．
【标注】【知识点】已知导函数确认原函数图象
1
2. 已知 是定义在 上的可导函数， 的图象如下图所示，则 的单调减区间是（
）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据函数的图象，求出 的符号，从而求出函数的单调区间即可．
由图象得： 时， ，
故 在 递减，
故选： ．
【标注】【知识点】已知导函数确认原函数图象
3. 已知函数 （ 是函数 的导函数）的图象，则下面四个图象中 的图像大
致是（ ）．
A. B.
C. D.
2
【答案】C
【解析】由题意可知： ， ， 单调递增；
， ， 单调递减；
， ， 单调递减；
， ， 单调递增．
故选 ．
【标注】【知识点】已知导函数确认原函数图象
4. 设函数 的图像如图所示，则导函数 的图像可能为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
3
【解析】∵ 在 ， 上为减函数，在 上为增函数，
∴当 或 时， ，
当 时， ，
故选 ．
【标注】【知识点】已知原函数确认导数图函象
2. 利用导数求函数的单调区间的步骤
5. 若 为函数 的递增区间，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵ 为函数 的递增区间，∴等价为 对 恒成立，∴
，∵当 时， ，∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
6. 若函数 为增函数，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 为增函数，
∴ 恒成立，
又∵ ，
∴ ，
的取值范围为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
7. 若函数 在 是增函数，则 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
4
【答案】A
【解析】要使 在 内是增函数，则等价为 恒成立，
∵ ，
∴ ． 即 当 时恒成立，
令 ， ，
故 在 递增， ，故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调
8. 函数 在 上单调递增．则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，
由题意可知当 时， 恒成立，
即 恒成立， 恒成立，
即 ，设 ，
，当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值， ，
所以 ，
解得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；区间上恒单调；求函数最值（含参指
对型导函数）
9. 函数 的单调递减区间是（ ）．
A. B.
5
C. D.
【答案】B
【解析】方法一：令 ，得 ，又 ，故所求函数的单调递减区
间为 ．
故选 ．
方法二：由题意知 ，故排除 ， 选项；又 ，故排除
选项．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的单调性（不含参）
10. 若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
由题意，知方程 在 上至少有一个实数根，
即 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上不单调
11. 已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，
，
6
：
：
依题意有 或 ，
解得 或 ，
故应选 ．
【标注】【知识点】区间上不单调
12. 若函数 在区间 内不单调，则实数 的取值范围（ ）．
A. B.
C. D. 不存在这样的实数
【答案】B
【解析】∵ ，
在 内不单调，
∴① ，
② ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】区间上不单调
13. 若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
7
【答案】D
【解析】∵
又∵函数 存在单调递减区间，
∴ 有区间解．
∴ 有区间解．
∵ ， ，
∴ 的最大值为 ，
∴ ．
则实数 的取值范围是 .
【标注】【知识点】存在单调增（减）区间
14. 设 ．
（ 1 ）若 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围．
（ 2 ）若 在 上单调递减，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
∵ 在 上存在单调递增区间，
∴ 在 上有解，
即 在 上有解，
函数 为开口向上的抛物线，
对称轴为 ，
当 时，函数 为单调递增，
∴当 时， ，
∴ ，
则 的取值范围为 ．
（ 2 ）∵ ，
∵ 在 上单调递减，
8
∴ 在 上恒成立，且 不恒为 ，
即 在 上恒成立，
∴ ，
函数 为开口向上的抛物线，
对称轴为 ，
当 时，函数 为单调递增，
∴ ，
∴ ，
则 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】区间上恒单调；存在单调增（减）区间
3. 导数与函数的极值
15. 定义在 上的函数 和 ，其各自导函数 和 的图像如图所示，则函数
其极值点的情况是（ ）．
A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点
C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点
【答案】C
【解析】 ，由图像得 和 有 个交点，从左到右分别为 、 、 ．
故 时 ， 递减．
时 ， 递增．
时 ， 递减．
故有一个极大值点，两个极小值点．
【标注】【知识点】函数极值的概念
9
16. 设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 只在 处取得极小值，则函数
的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 只在 处取得极小值，则 ，且 在 两侧的符号为“左负右
正”．
故 在 两侧的符号为“左正右负”，只有 选项满足．
【标注】【知识点】导数与极值
17. 已知 的一个极值点为 ，且 ，则 、 的值分别为（
）．
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
【答案】D
【解析】 ，
则 ，
解可得， ， ，
当 ， 时，
，函数单调递增，没有极值，故舍去，
故 ， ．
故选 ．
10
【标注】【知识点】已知极值情况求函数解析式
18. 下列函数中有且只有一个极值点的函数是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A 选项： ，即 在 上单增，故 无极值点， 错；
B 选项：由 图像可知， 有无数个极值点，故 错；
C 选项：由 图象可知，其函数有两个极值点，故 错；
D 选项： ，当 时 ，当 时， ，
∴ 在 上单减，在 上单增，因此，其函数只有一个极值点，故
正确．
故选 D .
【标注】【知识点】求解函数极值
19. 下列函数中，存在极值点的是（ ）．
A. B.
C. D.
E.
【答案】BDE
【解析】A 选项： 恒成立，则函数 不存在极值点；
B 选项： 在 单调递减，在 单调递增，则函数 有极小值
点；
C 选项： 恒成立，则函数 为减函数，不存在极值；
D 选项： ，当 时， ，函数单调递减，当
时， ，函数单调递增，则函数 有极小值点；
E 选项：函数 不单调，其既有极大值点又有极小值点．
故选 B D E .
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；求解函数极值
11
4. 求函数 的极值的方法
20. 若 ， 的极值等于 ．
【答案】
【解析】 ， ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
∴函数 在 递增，在 递减，
∴ 极大值 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
21. 已知函数 ．
求函数 的极值．
【答案】（ 1 ）在 处取得极大值，极大值是 ；
在 处取得极小值，极小值是 ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
∴函数 在 处取得极大值，极大值是 ；
在 处取得极小值，极小值是 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；求过某点的切线方程
22. 已知函数 ．
当 时，求 的极值．
【答案】（ 1 ） ．
12
【解析】（ 1 ）当 时， ，
∵ ，
∴当 ， 时， ，
当 时， ．
∴ 的递增区间为 ， ， 的递减区间为 ，
∴ 的极大值为 ， 的极小值为 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）；利用导数证明不等式能成立问题；直接求
函数的极值（不含参）
23. 已知函数 ．
求函数 的单调区间与极值．
【答案】（ 1 ）函数 的单调递减区间为 ，递增区间为 ，
极小值为 ，无极大值．
【解析】（ 1 ） ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是函数 的极小值点， 的极小值为 ，
综上，函数 的单调递减区间为 ，递增区间为 ，
极小值为 ，无极大值．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）；直接求函数的极值（不含参）；直接求函
数的单调性（不含参）
24. 已知函数 ．
当 时，求 的极值．
【答案】（ 1 ） 极小值 ，无极大值．
【解析】（ 1 ） ， ，
13
，
因式分解 ，
令 ，解得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 极小值 ，无极大值．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题
25. 若 是函数 的极值点，则(　　)
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
【答案】A
【解析】解： ， ，
，
是函数 的极值点，
，
解得 ，
，
在 上单调递增，在 上单调递减，
极大值 ，无极小值．
故选：A．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
26. 下列四个函数中，在 处取得极值的函数是（ ）．
① ，② ，③ ，④
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
【答案】B
【解析】① 恒成立，所以函数在 上单调递增，无极值点；
② ，当 时函数单调递增；当 时函数单调递减且 ，②符合；
14
③结合该函数图象可知函数在 上单调递增，在 上单调递减，③符合；
④ 在 上单调递增，无极值点．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）
5. 求函数 在 上的最值的步骤
27. 函数 在区间 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
∴ ，故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）
28. 已知函数 ．
求 的最值．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ） ，令 ， ， ， ， ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题
29. 若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知 ，令 得 ．因为函数
在区间 上有最小值，其最小值为 ，所以 在 内先减后增，即
15
先负后正，根据二次函数的性质可得 ，解得 ，故选 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
30. 若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
∴极小值点为 ，且 ，
令 ，即 ，即 ，
即 ，解得 或 ，
故有 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
31. 已知函数 ，若函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，
①当 时， ， 在 递增，
②当 时， 在 递增，在 递增，
当 时， 在 递增， ， 与 矛盾，
当 时， 在 上最小值为 ， ．
故选 ．
16
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式
32. 若函数 在区间 上的最大值是 ，则实数 的值为 ．
【答案】
【解析】 ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
∴ 在 递增，在 递减，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式
33. 若函数 的最大值为 ，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由 ，可得 在 恒成立，
即为 ，
当 时， 显然成立；
当 时，有 ，可得 ，
设 ， ，
，
由 时， ，则 ， 在 递减，
且 ，
可得 ；
当 时，有 ，可得 ，
设 ， ，
17
由 时， ， 在 递减
由 时， ， 在 递增，
即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，
可得 ，
综上可得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
34. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间和极值．
（ 2 ）当 时，求 的值域．
（ 3 ）求函数 在 上的最大值．
【答案】（ 1 ） 的单调增区间为 ， ；
单调减区间为 ；
极大值为 ，极小值为 ．
（ 2 ）
（ 3 ）①当 时，由（1）可知， ；
②当 时，由（1）可知 ．
【解析】（ 1 ） ，令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化如下表所示：
极大值 极小值
所以 的单调增区间为 ， ；
单调减区间为 ；
极大值为 ，极小值为 ．
（ 2 ）由（I）可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，又 ， ，所以 ，
所以 在 上的值域为 ．
（ 3 ）由（1）知当 时，令 ，解得 ．
①当 时，由（1）可知， ；
18
②当 时，由（1）可知 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；直接求函数的极值（不含参）
35. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为
（ 2 ）
【解析】（ 1 ） 的定义域是 ，且 ．
令 ，得 ， ．
与 在 上的情况如下：
极大值 极小值
所以 的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ．
（ 2 ）由 及（I）中结论可知：
当 时，函数 在区间 上的最小值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最小值大于 ．
因此， 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围
19导数与函数的单调性、极值与最值【题集】
1. 导数与函数单调性
1. 导函数 的图像如图所示，则函数 的图像可能是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 已知 是定义在 上的可导函数， 的图象如下图所示，则 的单调减区间是（
）．
A. B.
1
C. D.
3. 已知函数 （ 是函数 的导函数）的图象，则下面四个图象中 的图像大
致是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 设函数 的图像如图所示，则导函数 的图像可能为（ ）．
A. B.
2
C. D.
2. 利用导数求函数的单调区间的步骤
5. 若 为函数 的递增区间，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
6. 若函数 为增函数，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
7. 若函数 在 是增函数，则 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
8. 函数 在 上单调递增．则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
9. 函数 的单调递减区间是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
11. 已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
12. 若函数 在区间 内不单调，则实数 的取值范围（ ）．
3
A. B.
C. D. 不存在这样的实数
13. 若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
14. 设 ．
（ 1 ）若 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围．
（ 2 ）若 在 上单调递减，求 的取值范围．
3. 导数与函数的极值
15. 定义在 上的函数 和 ，其各自导函数 和 的图像如图所示，则函数
其极值点的情况是（ ）．
A. 只有三个极大值点，无极小值点 B. 有两个极大值点，一个极小值点
C. 有一个极大值点，两个极小值点 D. 无极大值点，只有三个极小值点
16. 设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 只在 处取得极小值，则函数
的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
4
17. 已知 的一个极值点为 ，且 ，则 、 的值分别为（
）．
A. 、 B. 、
C. 、 D. 、
18. 下列函数中有且只有一个极值点的函数是（ ）．
A. B.
C. D.
19. 下列函数中，存在极值点的是（ ）．
A. B.
C. D.
E.
4. 求函数 的极值的方法
20. 若 ， 的极值等于 ．
21. 已知函数 ．
求函数 的极值．
22. 已知函数 ．
当 时，求 的极值．
23. 已知函数 ．
求函数 的单调区间与极值．
24. 已知函数 ．
当 时，求 的极值．
25. 若 是函数 的极值点，则(　　)
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
26. 下列四个函数中，在 处取得极值的函数是（ ）．
① ，② ，③ ，④
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
5. 求函数 在 上的最值的步骤
5
27. 函数 在区间 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
28. 已知函数 ．
求 的最值．
29. 若函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
30. 若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
31. 已知函数 ，若函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（ ）．
A. B.
C. D.
32. 若函数 在区间 上的最大值是 ，则实数 的值为 ．
33.
若函数 的最大值为 ，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
34. 已知函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间和极值．
（ 2 ）当 时，求 的值域．
（ 3 ）求函数 在 上的最大值．
35. 已知函数 ．
（ 1 ）求 的单调区间；
（ 2 ）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围．
6