二项分布与超几何分布
一、 课堂目标
1．理解 次独立重复试验的概念．
2．熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．
3．熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．
二、 知识讲解
1. 次独立重复实验与二项分布
知识精讲
（一）伯努利试验与 重伯努利试验（或 次独立重复实验）
（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
（2） 重伯努利试验（或 次独立重复实验）：我们将一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随
机试验称为 重伯努利试验（或 次独立重复实验）.
（3） 重伯努利试验具有如下两个特征：
①同一个伯努利试验重复做 次（“重复”意味着各次试验成功的概率相同）；
②各次试验的结果相互独立.
（4）独立重复试验中事件 发生 次的概率
①公式：一般地，在 次独立重复试验中，设事件 发生的次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为
，那么在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率
.
②明确该公式中各量表示的意义： 为重复试验的次数； 是在一次试验中事件 发生的概率； 是
一次试验中事件 不发生的概率； 是在 次独立重复试验中事件 发生的次数.
（二）二项分布
（1）二项分布的概念
一般地，在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数，设每次试验中事件 发生的概率为 ，事
件 不发生的概率为 ，那么在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率
， ．
1
此时，称随机变量 服从二项分布，记作 ，并称 为成功的概率.
（2）二项分布的分布列
… …
… …
（3）二项分布的特点
①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；
②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行 次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保
持不变.
（4）二项分布的数学期望与方差
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
知识点睛
独立重复试验与二项分布的判断
（1）独立重复试验满足两个条件：
①在同样的条件下重复进行；②各次试验之间相互独立.
（2）二项分布满足四个条件：
①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
④随机变量是这 次独立重复试验中事件发生的次数.
经典例题
1. 已知 ，且 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 已知离散型随机变量 ，随机变量 ，则 的数学期望 ．
3. 已知随机变量 服从二项分布 ，若 ， ，则 ．
经典例题
2
4. 盒中有大小相同的 个红球， 个白球，现从盒中任取 球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取 次．
设 表示连续摸取 次中取得红球的次数，则 ， 的数学期望 ．
5. 在三次独立重复试验中，事件 在每次试验中发生的概率相同，若事件 至少发生一次的概率为
，则事件 发生次数 的期望和方差分别为（ ）．
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
巩固练习
6. 同时抛掷 枚质地均匀的硬币 次，设 枚硬币均正面向上的次数为 ，则 的数学方差是（ ）．
A. B. C. D.
7. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记 分，没有击中记 分，某人每次击中目标的概率为
，则此人得分的均值与方差分别为 ， ．
经典例题
8. 年 月 日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对 种垃圾辨识度进行了随
机调查，经分类整理得到下表：
垃圾分类 厨余垃圾 可回收物 有害垃圾 其他垃圾
垃圾种类
辨识率
辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．
（ 1 ）从社区调查的 种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率．
（ 2 ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记 为其中辨识度高的垃圾种数，求 的分布列和数学
期望．
巩固练习
9. 每年 月 日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取
名，用“ 分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为
茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于 分，则称该人的幸福度为“很幸福”．
幸福度
3
（ 1 ）求从这 人中随机选取 人，至少有 人是“很幸福”的概率．
（ 2 ）以这 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 人，记 表
示抽到“很幸福”的人数，求 的分布列及 ．
经典例题
10. 某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 名乘客，统计其乘车等待时间（指
乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 分钟）.将统计数据按 ， ，
， , 分组，制成频率分布直方图：
频率 组距
频率 组距
乘车等待时间 乘车等待时间
甲站 （分钟 ） 乙站 （分钟 ）
假设乘客乘车等待时间相互独立．
（ 1 ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取 人，记为 ；从乙站的乘客中随机抽取 人，记为
．用频率估计概率，求“乘客 ， 乘车等待时间都小于 分钟”的概率．
（ 2 ）在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取 人， 表示乘车等待时间小于 分钟的人
数，用频率估计概率，求随机变量 的分布列与数学期望．
巩固练习
11. 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标
准 ，用电量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为此，政府调查了 户居民的
月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ，
， 分组的频率分布直方图如图所示．
4
频率
组距
月平均月电量 度
（ 1 ）根据频率分布直方图的数据，求出 的值并估计该市每户居民月平均用电量 的值．
（ 2 ）现从该市所有居民中随机抽取 户，其中月平均用电量介于 的户数为 ，用频率估计
概率，求 的分布列及数学期望 ．
2. 超几何分布
知识精讲
（1）定义
一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取 件，若其中恰有 件次品，则
，即
其中 ，且 .
如果随机变量 的分布列具有上表的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.
（2）超几何分布的判断
①若随机变量 满足：
试验是不放回地抽取 次；随机变量 表示抽取到的次品件数.
则该随机变量服从超几何分布.
②一般地，设有 件产品，其中次品和正品分别为 件，从中任取
件产品，用 分别表示取出的 件产品中次品和正品的件数，则随机变量 服从参数为 的超
几何分布，随机变量 服从参数为 的超几何分布.
（3）超几何分布的数学期望和方差
5
若离散型随机变量 服从参数为 ， ， 的超几何分布，
则 ； .
知识点睛
二项分布与超几何分布的区别：
①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以
看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.
②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种
抽样为超几何分布模型.
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.
经典例题
12. 口袋中有相同的黑色小球 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取 个小球． 表示当 时取
出黑球的数目， 表示当 时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
巩固练习
13. 一袋中装有 个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的概率是
，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出 个球，则摸到白球的个数 的数学期望
为 ．
经典例题
14. 某校组织一次冬令营活动，有 名同学参加，其中有 名男同学， 名女同学，为了活动的需要，要
从这 名同学中随机抽取 名同学去执行一项特殊任务，记其中有 名男同学．
（ 1 ）求 的分布列．
（ 2 ）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
巩固练习
15. 安康市某中学在 月 日举行元旦歌咏比赛，参赛的 名选手得分的茎叶图如图所示．
6
（ 1 ）写出这 名选手得分的众数和中位数．
（ 2 ）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放 元、 元 元的奖品，从
该 名选手中随机选取 人，设这 人奖品的钱数之和为 ，求 的分布列与数学期望．
经典例题
16. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加
马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 人，
对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天
数
人数
（ 1 ）以这 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月
进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 个人，求恰
好有 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 天”的概率．
（ 2 ）依据统计表，用分层抽样的方法从这 个人中抽取 个，再从抽取的 个人中随机抽取
个， 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 天”的人数，求 的分布列及数学期望
．
巩固练习
17. 脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在
的脐橙是“普通果”，重量在 的脐橙是“精品果”，重量在 的脐橙是“特级果”，有一果农
今年种植脐橙，大获丰收．为了了解脐橙的品质，随机摘取 个脐橙进行检测，其重量分别在
， ， ， ， ， 中，经统计得到如图所示频率分布
直方图．
7
频率 / 组距
重量 千克
（ 1 ）将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取 个脐橙，求恰
有 个是“精品果”的概率．
（ 2 ）现从摘取的 个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为 ， 的脐橙中随机抽
取 个，再从这 个抽取 个，记随机变量 表示重量在 内的脐橙个数，求 的分布
列及数学期望．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
18. 某班有数学成绩优秀的学生数 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
19. 年 月 日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意
见》，卫生部对 所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满 分者为“安全食
堂”，评分 分以下的为“待改革食堂”．评分在 分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在
分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段
食堂个数
（ 1 ）现从 所大学食堂中随机抽取 个，求至多有 个评分不低于 分的概率．
（ 2 ）以这 所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选 个，记 表
示抽到评分不低于 分的食堂个数，求 的分布列及数学期望．
8
20. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环
境保护兴趣小组．该年级理科班有男生 人，女生 人；文科班有男生 人，女生 人．现按
男、女用分层抽样从理科生中抽取 人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取 人，组成环境保护兴
趣小组，再从这 人的兴趣小组中抽出 人参加学校的环保知识竞赛．
（ 1 ）设事件 为“选出的这 个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都
有”，求事件 发生的概率．
（ 2 ）用 表示抽取的 人中文科女生的人数，求 的分布列和数学期望．
9二项分布与超几何分布
一、 课堂目标
1．理解 次独立重复试验的概念．
2．熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．
3．熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．
【备注】【教师指导】
1.本讲内容属于考试的重点，要求学生理解 次独立重复试验，熟练求解二项分布的分布
列、数学期望和方差，熟练求解超几何分布的分布列和数学期望；重点题型概率中的综合
题型，第（1）问一般考查求某一事件发生的概率，第（2）问一般求随机变量的分布列、
数学期望或方差.
2.本讲的前置知识是离散型随机变量分布列，后置知识是正态分布.
二、 知识讲解
1. 次独立重复实验与二项分布
知识精讲
（一）伯努利试验与 重伯努利试验（或 次独立重复实验）
（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
（2） 重伯努利试验（或 次独立重复实验）：我们将一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随
机试验称为 重伯努利试验（或 次独立重复实验）.
（3） 重伯努利试验具有如下两个特征：
①同一个伯努利试验重复做 次（“重复”意味着各次试验成功的概率相同）；
②各次试验的结果相互独立.
（4）独立重复试验中事件 发生 次的概率
①公式：一般地，在 次独立重复试验中，设事件 发生的次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为
，那么在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率
.
1
②明确该公式中各量表示的意义： 为重复试验的次数； 是在一次试验中事件 发生的概率； 是
一次试验中事件 不发生的概率； 是在 次独立重复试验中事件 发生的次数.
【备注】【教师指导】
上述概率计算公式仅适用于求“独立重复试验中事件 恰有 次发生”的概率.
（二）二项分布
（1）二项分布的概念
一般地，在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数，设每次试验中事件 发生的概率为 ，事
件 不发生的概率为 ，那么在 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率
， ．
此时，称随机变量 服从二项分布，记作 ，并称 为成功的概率.
（2）二项分布的分布列
… …
… …
【备注】【教师指导】
①二项分布实际上只是对 次独立重复试验从概率分布的角度做了进一步的阐述，与 次独
立重复试验恰有 次发生的概率对应，是概率论中最重要的几种分布之一；
②由二项分布的定义知，若 ，则 .各个参数的意义：
表示试验的总次数； 是在 次独立重复试验中成功的次数； 表示试验成功的概率； 表示
试验不成功的概率.
③二项式 的展开式中，第 项为 ，所以 就是二项
式 的展开式中的第 的项，所以公式
称为二项分布.
④当 时，二项分布就是两点分布.
（3）二项分布的特点
①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；
②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行 次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保
持不变.
（4）二项分布的数学期望与方差
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
2
知识点睛
独立重复试验与二项分布的判断
（1）独立重复试验满足两个条件：
①在同样的条件下重复进行；②各次试验之间相互独立.
（2）二项分布满足四个条件：
①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
④随机变量是这 次独立重复试验中事件发生的次数.
经典例题
1. 已知 ，且 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
根据若 ，即可求得 .
【答案】A
【解析】∵ ，且 ， ，
∴ ，则 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
2. 已知离散型随机变量 ，随机变量 ，则 的数学期望 ．
【答案】
【解析】∵离散型随机变量 ，
∴ ．
∴ ．
3
故答案为： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
3. 已知随机变量 服从二项分布 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】∵随机变量 服从二项分布 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
经典例题
4. 盒中有大小相同的 个红球， 个白球，现从盒中任取 球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取 次．
设 表示连续摸取 次中取得红球的次数，则 ， 的数学期望 ．
【备注】【教师指导】
第一步：求每次取到红球的概率；
第二步：判断 即 ；
第三步：根据若 ，则 ，求期望.
【答案】 ;
【解析】采用有放回的取球，每次取得红球的概率都相等，均为 ，取得红球次数 的可能取值为
， ， ， ， ，
由以上分析，知随机变量 服从二项分布 ，
∴ ，
．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；n次独立重复试验与二项分布
4
5. 在三次独立重复试验中，事件 在每次试验中发生的概率相同，若事件 至少发生一次的概率为
，则事件 发生次数 的期望和方差分别为（ ）．
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【备注】【教师指导】
第一步：求每次试验事件A发生的概率；
第二步：判断 即 ；
第三步：根据若 ，则 ，若 ，则 ．求
期望和方差.
【答案】A
【解析】设事件 的概率为 ，
由题意，事件 一次都不发生的概率为 ，
解得 ，
则三次独立重复试验中， 发生次数
.
故选项 正确．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
6. 同时抛掷 枚质地均匀的硬币 次，设 枚硬币均正面向上的次数为 ，则 的数学方差是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】一次同时抛掷 枚质地均匀的硬币，恰好出现 枚正面向上的概率为 ．
服从二项分布 ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量
5
的方差
7. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记 分，没有击中记 分，某人每次击中目标的概率为
，则此人得分的均值与方差分别为 ， ．
【答案】 ;
【解析】记此人三次射击击中目标次数为 ，得分为 ，
则 ， ，
∴ ，
．
答案： ， ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
经典例题
8. 年 月 日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对 种垃圾辨识度进行了随
机调查，经分类整理得到下表：
垃圾分类 厨余垃圾 可回收物 有害垃圾 其他垃圾
垃圾种类
辨识率
辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．
（ 1 ）从社区调查的 种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率．
（ 2 ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记 为其中辨识度高的垃圾种数，求 的分布列和数学
期望．
【备注】【教师指导】
本题属于考试常考题型.一般第（1）问考查求某个事件发生的概率，
第（2）问该离散型随机变量服从二项分布，列出分布列，求期望.
本题难度不大，要求学生必须掌握.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
6
．
【解析】（ 1 ）∵辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数之比，
∴四类垃圾中辨识准确度高的种类有：
种，
∴设事件 为从 种垃圾中任取一种是辨识度高的垃圾，
∴ ．
（ 2 ）可回收垃圾中，辨识度高的有 种，
辨识度不高的有 种，
∴拿到辨识度高的概率为 ，
∴随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，记为 ，
∴ 可能的取值有 ， ， ， ，
∴ ，
，
，
，
∴随机变量 的分布列为：
∵期望 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与
二项分布
巩固练习
9. 每年 月 日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取
名，用“ 分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为
茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于 分，则称该人的幸福度为“很幸福”．
7
幸福度
（ 1 ）求从这 人中随机选取 人，至少有 人是“很幸福”的概率．
（ 2 ）以这 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选 人，记 表
示抽到“很幸福”的人数，求 的分布列及 ．
【备注】【教师指导】
本题中计算从18人中任抽取一人，则抽到“很幸福”人的概率为： .
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）分布列为：
．
【解析】（ 1 ）设事件 抽出的 人至少有 人是“很幸福”的 ，
则 表示 人都认为不很幸福，
∴ ．
（ 2 ）根据题意，随机变量 ~ ，
的可能的取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
所以 的期望 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列；古典概型
8
经典例题
10. 某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 名乘客，统计其乘车等待时间（指
乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过 分钟）.将统计数据按 ， ，
， , 分组，制成频率分布直方图：
频率 组距
频率 组距
乘车等待时间 乘车等待时间
甲站 （分钟 ） 乙站 （分钟 ）
假设乘客乘车等待时间相互独立．
（ 1 ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取 人，记为 ；从乙站的乘客中随机抽取 人，记为
．用频率估计概率，求“乘客 ， 乘车等待时间都小于 分钟”的概率．
（ 2 ）在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取 人， 表示乘车等待时间小于 分钟的人
数，用频率估计概率，求随机变量 的分布列与数学期望．
【备注】【教师指导】
第（1）问主要考查用频率估计概率，独立事件的概率乘法公式：
;
第（2）问主要考查二项分布，求二项分布的分布列和期望.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为
．
【解析】（ 1 ）设 表示事件“乘客 乘车等待时间小于 分钟”， 表示事件“乘客 乘车等时间小
于 分钟”， 表示事件“乘客 ， 乘车等待时间都小于 分钟”，
由题意知，乘客 乘车等待时间小于 分钟的频率为
，故 的估计值为 ，乘客 乘车等待时
9
间小于 分钟的频率为 ，故 的估计值为
，
，
故事件 的概率为 ．
（ 2 ）由（ ）知，乙站乘客乘车等待时间小于 分钟的频率为 ，
所以乙站乘客乘车等待时间小于 分钟的概率为 ，
显然， 的可能取值为 ， ， ， ，且 ，
所以 ，
，
，
，
故随机变量 的分布列为
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
11. 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标
准 ，用电量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为此，政府调查了 户居民的
月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ，
， 分组的频率分布直方图如图所示．
频率
组距
月平均月电量 度
10
（ 1 ）根据频率分布直方图的数据，求出 的值并估计该市每户居民月平均用电量 的值．
（ 2 ）现从该市所有居民中随机抽取 户，其中月平均用电量介于 的户数为 ，用频率估计
概率，求 的分布列及数学期望 ．
【备注】【教师指导】
第（1）中求每户居民平均用电量，以每个矩形的中间值代表平均值；
第（2）问，以频率估计概率，所以 .
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ） ，
解得： ，
．
（ 2 ）设月平均用电量介于 的频率为 ，
．
∵频率为概率，
∴此抽取符合二项分布，
即 ，
∴ ，
或 ．
【标注】【知识点】频率分布直方图；n次独立重复试验与二项分布
2. 超几何分布
知识精讲
（1）定义
11
一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取 件，若其中恰有 件次品，则
，即
其中 ，且 .
如果随机变量 的分布列具有上表的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.
【备注】【教师指导】
注意：
①若 服从超几何分布，则记为 ，超几何分布简记为 ，其
中 表示样本中的次品数， 表示样本容量， 表示次品总数， 表示总体中的个体总数.
②当抽取的产品件数不大于总体中次品件数（即 ）时， 的最大值为 ；当抽取的产
品的件数大于总体中次品件数（即 ）时， 的最大值为 .
（2）超几何分布的判断
①若随机变量 满足：
试验是不放回地抽取 次；随机变量 表示抽取到的次品件数.
则该随机变量服从超几何分布.
②一般地，设有 件产品，其中次品和正品分别为 件，从中任取
件产品，用 分别表示取出的 件产品中次品和正品的件数，则随机变量 服从参数为 的超
几何分布，随机变量 服从参数为 的超几何分布.
（3）超几何分布的数学期望和方差
若离散型随机变量 服从参数为 ， ， 的超几何分布，
则 ； .
知识点睛
二项分布与超几何分布的区别：
①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以
看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.
②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种
抽样为超几何分布模型.
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.
12
经典例题
12. 口袋中有相同的黑色小球 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取 个小球． 表示当 时取
出黑球的数目， 表示当 时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）．
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【备注】【教师指导】
本题主要考查直接利用公式求超几何分布的数学期望和方差：
若离散型随机变量 服从参数为 ， ， 的超几何分布，
则 ； .
重点要求学生必须掌握超几何分布数学期望的公式.
【答案】A
【解析】当 时表示口袋中有 个黑球， 个白球， 个红球， 个蓝球，从中任取 个球， 表示
取出黑球的数目，
则这个事件符合超几何模型，
其中 ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
，
当 时，表示口袋中有 个黑球， 个白球， 个红球， 个蓝球，从中任取 个球， 表
示取出黑球的数目，
则这个事件符合超几何分布模型，
其中 ， ， ，
∴ ，即 ，
，
13
，
∴ ， ．
故选： ．
【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的方差；离散型随机变量的数学期望
巩固练习
13. 一袋中装有 个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的概率是
，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出 个球，则摸到白球的个数 的数学期望
为 ．
【答案】 ;
【解析】设白球的个数为 ， 且 ，
∴至少得到 个白球的概率为 ，
∴解得 ，
∴袋中白球的个数为 ，
可知 ~ ，
∴ ，
∴摸到白球个数 的数学期望为 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；超几何分布；古典概型
经典例题
14. 某校组织一次冬令营活动，有 名同学参加，其中有 名男同学， 名女同学，为了活动的需要，要
从这 名同学中随机抽取 名同学去执行一项特殊任务，记其中有 名男同学．
（ 1 ）求 的分布列．
（ 2 ）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【备注】【教师指导】
本题主要考查超几何分布：第（1）问考查超几何分布的分布列，第（2）问考查某一事件
的概率，重点是求第（1）问中的分布列，难度不大，要求学生必须去掌握.
14
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 的可能取值为 ， ， ， ，则
；
；
；
；
即 的分布列为：
（ 2 ）去执行任务的同学中有男有女的概率为：
．
【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
巩固练习
15. 安康市某中学在 月 日举行元旦歌咏比赛，参赛的 名选手得分的茎叶图如图所示．
（ 1 ）写出这 名选手得分的众数和中位数．
（ 2 ）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放 元、 元 元的奖品，从
该 名选手中随机选取 人，设这 人奖品的钱数之和为 ，求 的分布列与数学期望．
【答案】（ 1 ）众数为 ，中位数为 ．
（ 2 ） 的分布列为
．
【解析】（ 1 ）由茎叶图可得众数为 ，中位数为 ．
15
（ 2 ） 的可能取值为 ， ， ， ，
， ，
， ，
∴ 的分布列为
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；众数、中位数、平均
数；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题
经典例题
16. 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加
马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 人，
对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天
数
人数
（ 1 ）以这 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月
进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 个人，求恰
好有 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 天”的概率．
（ 2 ）依据统计表，用分层抽样的方法从这 个人中抽取 个，再从抽取的 个人中随机抽取
个， 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 天”的人数，求 的分布列及数学期望
．
【备注】【教师指导】
第（1）以频率估计概率，求某一事件发生的概率；
第（2）问考查超几何分布，注意计算比较大，建议老师备课时做一遍.
通过这2道例题的讲解和2道练习，要求学生熟练掌握超几何分布，首先能够判断离散型随
机变量服从超几何分布，其次会求分布列和数学期望.
【答案】（ 1 ） ．．
（ 2 ）
16
．
【解析】（ 1 ）记“恰好有 个人平均每月进行训练的天数不少于 ”为事件 ，
由表可知 ，
∴ ．
（ 2 ）由题意得：
“ ”的人数为 （人），
“ ”的人数为 （人），
，
，
，
，
．
分布列：
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；超几何分布
巩固练习
17. 脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在
的脐橙是“普通果”，重量在 的脐橙是“精品果”，重量在 的脐橙是“特级果”，有一果农
今年种植脐橙，大获丰收．为了了解脐橙的品质，随机摘取 个脐橙进行检测，其重量分别在
， ， ， ， ， 中，经统计得到如图所示频率分布
直方图．
17
频率 / 组距
重量 千克
（ 1 ）将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取 个脐橙，求恰
有 个是“精品果”的概率．
（ 2 ）现从摘取的 个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为 ， 的脐橙中随机抽
取 个，再从这 个抽取 个，记随机变量 表示重量在 内的脐橙个数，求 的分布
列及数学期望．
【备注】【教师指导】
第（2）问的6和4：
.
【答案】（ 1 ） .
（ 2 ） 的分布列为：
．
【解析】（ 1 ）从脐橙果园中，随机摘取 个脐橙，其中“精品果”的个数记为 ，由图可知，随机
摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为∶ ，
,
随机摘取 个脐橙，恰有 个是“精品果”的概率为：
．
（ 2 ）依题意，抽取 个脐橙，重量为 ， 的个数分别为 和 ， 的可能
取值为 ， ， ， ，
，
18
，
的分布列为：
．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；超几何分布；离散型随机变量的分布列；离散
型随机变量的数学期望
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
18.
19
某班有数学成绩优秀的学生数 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】某班有数学成绩优秀的学生数 ，
则 ，
．
故选： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
19. 年 月 日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意
见》，卫生部对 所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满 分者为“安全食
堂”，评分 分以下的为“待改革食堂”．评分在 分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在
分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
分数段
食堂个数
（ 1 ）现从 所大学食堂中随机抽取 个，求至多有 个评分不低于 分的概率．
（ 2 ）以这 所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选 个，记 表
示抽到评分不低于 分的食堂个数，求 的分布列及数学期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）分布列见解析； ．
【解析】（ 1 ）设 表示所抽取 个中有 所大学食堂评分不低于 分，至多有 个评分不低于 分记
为事件 ，则 ，
（ 2 ）由表格数据知，从 所大学食堂任选 个评分不低于 分的概率为 ．
由题知 的可能取值为 ， ， ， ．
,
,
，
20
，
∴ 的分布列为：
∴ ．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学
期望
20. 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环
境保护兴趣小组．该年级理科班有男生 人，女生 人；文科班有男生 人，女生 人．现按
男、女用分层抽样从理科生中抽取 人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取 人，组成环境保护兴
趣小组，再从这 人的兴趣小组中抽出 人参加学校的环保知识竞赛．
（ 1 ）设事件 为“选出的这 个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都
有”，求事件 发生的概率．
（ 2 ）用 表示抽取的 人中文科女生的人数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为
．
【解析】（ 1 ）因为学生总数为 人，该年级分文，理科按男女用分层抽样抽取 人，则抽取
了理科男生 人，女生 人，文科男生 人，女生 人．
所以 ．
（ 2 ） 的取值可能为 ， ， ， ．
，
，
，
，
21
∴ 的分布列为
．
【标注】【知识点】分层随机抽样；离散型随机变量的数学期望；超几何分布
22
