二项分布与超几何分布【题集】
1. 次独立重复实验与二项分布
1. 若随机变量 ，则 的数学期望 是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；n次独立重复试验与二项分布
2. 已知随机变量 ， 则 的值为 ．
【答案】
【解析】 ，故 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
3. 某班有 名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出 名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数
，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵数学成绩优秀的学生 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
1
4. 随机变量 服从二项分布 ，且 ，则 等于（ ）．
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】∵随机变量 服从二项分布 ，且 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
5. 已知随机变量 服从二项分布，即 ，且 ， ，则二项分布的参数 ，
的值为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由二项分布的期望和方差公式，
，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
6. 一袋中有 个白球， 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现
次时停止，设停止时共取了 次求，则 等于（ ）．
A.
B.
C.
2
D.
【答案】B
【解析】 个球中，有 次取到红球， 次取到白球，且第 次必然取到红球．
同时，取到红球概率每次都相等为 ，
则 ，
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
7. 一名射手击中靶心的概率是 ，如果他在同样的条件下连续射击 次，则他击中靶心的次数的均值
为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
8. 某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补
种的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】每粒种子发芽的概率为 ，
则不发芽的概率为 ，
没有发芽的种子数 服从二项分布，
即 ，
∴ ，
∴没有发芽的种子每粒补 粒，
记补的种子数为 ，故 ，
3
则 ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
9. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 ， ， 层停靠，若该电梯在底层载有 位乘客，且每位
乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用 表示这 位乘客在第 层下电梯的人数，则
．
【答案】
【解析】 服从二项分布，
即 ，
∴ ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
10. 某工厂质检部要对即将出厂的 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 ，且每个
零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 ，则随机变量 的方差 ．
【答案】
【解析】由题意可知， ， ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差；n次独立重复试验与二项分布
11. 某校组织知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是 ，答对第二题的概率是 ，并且他们回答问
题相互之间没有影响．
（ 1 ）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率．
（ 2 ）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求 的分布列及数学期望 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为
4
．
【解析】（ 1 ）设“学生答对第一题”为事件 ，“学生答对第二题”为事件 ．
所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率
．
（ 2 ） 的可能取值为 ， ， ， ，且 （ ）．
，
，
，
．
所以， 的分布列为
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；相互独立事件的概率
乘法公式；互斥事件的概率加法公式
12. 设 ， 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由 只小白鼠组成，
其中 只服用 ，另 只服用 ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 有效的小白鼠的只数比服
用 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用 有效的概率为 ，服用 有效的概
率为 ．
（ 1 ）求一个试验组为甲类组的概率．
（ 2 ）观察三个试验组，用 表示这三个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为：
数学期望为 ．
【解析】（ 1 ）设 表示事件“一个试验组中，服用 有效的小鼠有 只”， ， ， ，
表示事件“一个试验组中，服用 有效的小鼠有 只”， ， ， ，
5
依题意有： ，
，
，
，
所求概率为：
．
（ 2 ） 的可能值为 ， ， ， 且 ，
，
，
，
，
∴ 的分布列为：
∴数学期望为 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的
数学期望
13. 如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 开始到出口 ，每遇到一个岔路口，每位游
客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从
进口 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口 集合，设点 是其
中的一个交叉路口点．
进口
出口
（ 1 ）求甲经过点 的概率．
（ 2 ）设这 名游客中恰有 名游客都是经过点 ，求随机变量 的概率分布列和数学期望．
6
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）概率分布列为：
数学期望： ．
【解析】（ 1 ）设“甲从进口 开始到出口 经过点 ”为事件 ，
甲选中间的路的概率为 ，在前面从岔路到达点 的概率为 ，这两个事件相互独
立，
所以选择从中间一条路走到点 的概率为 ，
同理，选择从最右边的道路走到点 的概率为 ，
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，
所以 ．
答：甲从进口 开始到出口 经过点 的概率为 ．
（ 2 ）随机变量 可能的取值为 ， ， ， ， ，
则 ，
，
，
，
，
的概率分布列为：
数学期望 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
14. 某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销
售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．
7
（ 1 ）来的连续 天中，有 天的日销售量低于 枝且另外 天不低于 枝的概率．
（ 2 ） 表示在未来 天里日销售量不低于 枝的天数，求随机变量 的分布列和数学期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设日销量为 ，有 天日销售量低于 枝，另外 天不低于 枝为事件 ．
则 ，
，
∴在未来的连续 天中，有 天的日销售量低于 枝且另外 天不低于 枝的概
率：
．
（ 2 ）日销售量不低于 枝的概率 ，则 ，
于是 ，
则分布列为
∴ ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
2. 超几何分布
15. 秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某
艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 人，会跳舞的有 人，现从中选 人，设
8
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其中 ，则选该艺术课程的学生人数
为 ， 的 是 ．
【答案】 人 ;
【解析】设既会唱歌又会跳舞的有 人，
则文娱队中共有 人，则只会一项的人数是 人，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴选该艺术课程的学生人数共有 人，
由题意知 的可能取值为 ， ， ，
，
，
，
∴ 的概率分布列为：
∴ ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；超几何分布
16. 一个坛子里有编号为 ， ， ， 的 个大小相同的球，其中 到 号球是红球，其余的是黑球，
若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 个球的号码是偶数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从坛子中任取两个球共有 种取法从坛子中取两个红球，且至少有 个球的编号为
偶数的取法可以分两类：
第一类，两个球的编号均为偶数，有 种取法；
第二类，两个球的编号为一奇一偶，有 种取法，
9
因此所求的概率为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】超几何分布
17. 某班 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： ，
， ， ， ， ．从样本成绩不低于 分的学生中随机选取 人，记
这 人成绩在 分以上（含 分）的人数为 ，则 的数学期望为（ ）．
频率
组距
成绩 分
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图知 ，
则 频率为 ，人数为 人，
频率为 ，人数为 人，
共 人，
则抽取 人分数在 分以上人数的分布列为：
，
，
，
，
10
．
【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望
18. 现有来自甲、乙两班的学生共 名，从中任选 名都是甲班的概率为 ．
（ 1 ）求 名学生中甲班的学生数．
（ 2 ）设所选 名学生中甲班的学生数为 ，求 的分布列，并求甲班学生数不少于 人的概率．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为
．
【解析】（ 1 ）设甲班的学生数为 ，
由题意得，
，
整理得 ，解得 或 （舍去）．
即 个学生中，有甲班 人．
（ 2 ）由题意知 服从参数 ， ， 的超几何分布，
其中 的所有可能取值为 ， ， .
．
∴ ，
，
．
∴ 的分布列为
由分布列知 ．
即所选两人中甲班学生数不少于 人的概率为 ．
11
【标注】【知识点】古典概型；超几何分布
19. 某大学在一次公益活动中聘用了 名志愿者，他们分别来自于 、 、 三个不同的专业，其中 专
业 人， 专业 人， 专业 人，现从这 人中任意选取 人参加一个访谈节目．
（ 1 ）求 个人来自两个不同专业的概率．
（ 2 ）设 表示取到 专业的人数，求 的分布列．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为：
【解析】（ 1 ）令事件 表示“ 个来自于两个不同专业”，
表示“ 个人来自于同一个专业”，
表示“ 个人来自于三个不同专业”，
，
，
∴ 个人来自两个不同专业的概率：
．
（ 2 ）随机变量 有取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
∴ 的分布列为：
【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；对立事件的概率和为1；离散型随机变量的数学期望；
超几何分布；离散型随机变量的分布列
12
20. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也随机抽取一
定数量的产品做检查，以决定是否接收这批产品．
（ 1 ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 ，从中任意取出 件进行检验，求至少有 件是合格
品的概率．
（ 2 ）若厂家发给随机 件产品，其中有 件不合格，按合同规定该随机从中任取 件，都进行检
验，只有 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数 的分
布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） $$
．
【解析】（ 1 ）记“厂家任取 件产品检验，其中至少有 件是合格品”为事件 ，
∴ ．
（ 2 ） 的可能取值为 ， ， ，
， ，
，
记“任取 件都合格”为事件 ，
则商家拒收的概率为 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
21. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村 户贫困户．
为了做到精准帮扶，工作组对这 户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把
调查结果转化为各户的贫困指标将指标 ．按照 ， ， ， ，
分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若 ，则认定该户为“绝对贫困户”，否
则认定该户为“相对贫困户”；当 时，认定该户为“亟待帮助户”．
13
频率 组距
指标
（ 1 ）为了更好的了解和帮助该村的这些贫困户，决定用分层抽样的方法从这 户中随机抽取 户
进行更深入的调查，求应该抽取“绝对贫困户”的户数．
（ 2 ）从这 户中任取 户，求“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率．
（ 3 ）现在从（ ）中所抽取的“绝对贫困户”中任取 户，用 表示所选 户中“亟待帮助户”的户数，求
的分布列和数学期望 ．
【答案】（ 1 ） 户．
（ 2 ） ．
（ 3 ）
．
【解析】（ 1 ）由题意知：“绝对贫困户”的概率为： ，
故随机抽取 户进行更深入的调查，应该抽取“绝对贫困户”的户数是：
．
（ 2 ）由（ ）可知： 户中有 户是“绝对贫困户”，有 户是“相对贫困户”，任
取三户，“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率为： ．
（ 3 ）由题意可知，“亟待帮助户”的概率为： ，
故 中所抽取的“绝对贫困户”中有 户“亟待帮助户”，
故 ， ，
， ．，
故列出 的分布列如下：
14
故数学期望 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算
（涉及计数原理）
22. 高二年级某班 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：
， ， ， ， ， ， ．其中 ， ， 成等差数
列，且 ．
物理成绩统计如下表．（说明：数学满分 分，物理满分 分）
分组
频数
频率 组距
成绩
（ 1 ）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分．
（ 2 ）若数学成绩不低于 分的为“优”，物理成绩不低于 分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”
的学生总数为 人，从此 人中随机抽取 人，记 为抽到两个“优”的学生人数，求 的分布列
和期望值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）根据频率分布直方图得，
．
又因 ， ，
解得 ， ， ，
故数学成绩的平均分
15
．
（ 2 ）数学成绩为“优”的学生有 人，物理成绩为“优”有 人，
因为至少有一个“优”的学生总数为 名同学，
故两科均为“优”的人数为 人，故 的取值为 、 、 、 ，
， ，
， ．
所以分布列为：
期望值为： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；超几何分布；频率分布直方图；用样本的数字特征
估计总体的数字特征问题
23. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取
了 人，统计结果整理如下：
以下 以上
使用人数
未使用人数
（ 1 ）现随机抽取 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率．
（ 2 ）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 人进一步了解情况，用 表示这
人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望．
（ 3 ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 个环保购物袋．若某日该超市预
计有 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为：
所以 的数学期望为：
．
16
（ 3 ） 个．
【解析】（ 1 ）在随机抽取的 名顾客中，
年龄在 且未使用自由购的共有 人，
所以，随机抽取 名顾客，估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率为
．
（ 2 ） 所有的可能取值为 ， ， ，
,
,
．
所以 的分布列为：
所以 的数学期望为：
．
（ 3 ）在随机抽取的 名顾客中，
使用自由购的共有 人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 ．
【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；用样本
的数字特征估计总体的数字特征问题
24. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 名志愿者中随
机抽取 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是： ， ，
， ， ．
频率 组距
年龄 岁
17
（ 1 ）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这 名志愿者中年龄在 岁的人数．
（ 2 ）在抽出的 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 名参加中心广场的宣传活动，再从
这 名中采用简单随机抽样方法选取 名志愿者担任主要负责人．记这 名志愿者中“年龄低于
岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】（ 1 ） 人．
（ 2 ） 的分布列为
．
【解析】（ 1 ）∵小矩形的面积等于频率，
∴除 外的频率和为 ，
∴ ．
名志愿者中，年龄在 岁的人数为 （人）．
（ 2 ）用分层抽样的方法，从中选取 名，
则其中年龄“低于 岁”的人有 名，
“年龄不低于 岁”的人有 名．
故 的可能取值为 ， ， ， ，
， ，
， ，
故 的分布列为
所以 ．
【标注】【知识点】超几何分布
18二项分布与超几何分布【题集】
1. 次独立重复实验与二项分布
1. 若随机变量 ，则 的数学期望 是 ．
2. 已知随机变量 ， 则 的值为 ．
3. 某班有 名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出 名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数
，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
4. 随机变量 服从二项分布 ，且 ，则 等于（ ）．
A. B. C. 或 D.
5. 已知随机变量 服从二项分布，即 ，且 ， ，则二项分布的参数 ，
的值为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 一袋中有 个白球， 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现
次时停止，设停止时共取了 次求，则 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 一名射手击中靶心的概率是 ，如果他在同样的条件下连续射击 次，则他击中靶心的次数的均值
为（ ）．
A. B. C. D.
8. 某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补
种的种子数记为 ，则 的数学期望为（ ）．
A. B. C. D.
9.
1
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 ， ， 层停靠，若该电梯在底层载有 位乘客，且每位
乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用 表示这 位乘客在第 层下电梯的人数，则
．
10. 某工厂质检部要对即将出厂的 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 ，且每个
零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为 ，则随机变量 的方差 ．
11. 某校组织知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是 ，答对第二题的概率是 ，并且他们回答问
题相互之间没有影响．
（ 1 ）求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率．
（ 2 ）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求 的分布列及数学期望 ．
12. 设 ， 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由 只小白鼠组成，
其中 只服用 ，另 只服用 ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 有效的小白鼠的只数比服
用 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用 有效的概率为 ，服用 有效的概
率为 ．
（ 1 ）求一个试验组为甲类组的概率．
（ 2 ）观察三个试验组，用 表示这三个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望．
13. 如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 开始到出口 ，每遇到一个岔路口，每位游
客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从
进口 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口 集合，设点 是其
中的一个交叉路口点．
进口
出口
（ 1 ）求甲经过点 的概率．
（ 2 ）设这 名游客中恰有 名游客都是经过点 ，求随机变量 的概率分布列和数学期望．
14. 某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销
售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．
2
（ 1 ）来的连续 天中，有 天的日销售量低于 枝且另外 天不低于 枝的概率．
（ 2 ） 表示在未来 天里日销售量不低于 枝的天数，求随机变量 的分布列和数学期望．
2. 超几何分布
15. 秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某
艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 人，会跳舞的有 人，现从中选 人，设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其中 ，则选该艺术课程的学生人数
为 ， 的 是 ．
16. 一个坛子里有编号为 ， ， ， 的 个大小相同的球，其中 到 号球是红球，其余的是黑球，
若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 个球的号码是偶数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
17. 某班 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： ，
， ， ， ， ．从样本成绩不低于 分的学生中随机选取 人，记
这 人成绩在 分以上（含 分）的人数为 ，则 的数学期望为（ ）．
频率
组距
成绩 分
A. B. C. D.
18. 现有来自甲、乙两班的学生共 名，从中任选 名都是甲班的概率为 ．
3
（ 1 ）求 名学生中甲班的学生数．
（ 2 ）设所选 名学生中甲班的学生数为 ，求 的分布列，并求甲班学生数不少于 人的概率．
19. 某大学在一次公益活动中聘用了 名志愿者，他们分别来自于 、 、 三个不同的专业，其中 专
业 人， 专业 人， 专业 人，现从这 人中任意选取 人参加一个访谈节目．
（ 1 ）求 个人来自两个不同专业的概率．
（ 2 ）设 表示取到 专业的人数，求 的分布列．
20. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也随机抽取一
定数量的产品做检查，以决定是否接收这批产品．
（ 1 ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 ，从中任意取出 件进行检验，求至少有 件是合格
品的概率．
（ 2 ）若厂家发给随机 件产品，其中有 件不合格，按合同规定该随机从中任取 件，都进行检
验，只有 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数 的分
布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率．
21. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村 户贫困户．
为了做到精准帮扶，工作组对这 户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把
调查结果转化为各户的贫困指标将指标 ．按照 ， ， ， ，
分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若 ，则认定该户为“绝对贫困户”，否
则认定该户为“相对贫困户”；当 时，认定该户为“亟待帮助户”．
频率 组距
指标
（ 1 ）为了更好的了解和帮助该村的这些贫困户，决定用分层抽样的方法从这 户中随机抽取 户
进行更深入的调查，求应该抽取“绝对贫困户”的户数．
（ 2 ）从这 户中任取 户，求“绝对贫困户”多于“相对贫困户”的概率．
（ 3 ）现在从（ ）中所抽取的“绝对贫困户”中任取 户，用 表示所选 户中“亟待帮助户”的户数，求
的分布列和数学期望 ．
22.
4
高二年级某班 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： ，
， ， ， ， ， ．其中 ， ， 成等差数列，
且 ．
物理成绩统计如下表．（说明：数学满分 分，物理满分 分）
分组
频数
频率 组距
成绩
（ 1 ）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分．
（ 2 ）若数学成绩不低于 分的为“优”，物理成绩不低于 分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”
的学生总数为 人，从此 人中随机抽取 人，记 为抽到两个“优”的学生人数，求 的分布列
和期望值．
23. 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取
了 人，统计结果整理如下：
以下 以上
使用人数
未使用人数
（ 1 ）现随机抽取 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率．
（ 2 ）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 人进一步了解情况，用 表示这
人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望．
（ 3 ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 个环保购物袋．若某日该超市预
计有 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
24. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 名志愿者中随
机抽取 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是： ， ，
， ， ．
5
频率 组距
年龄 岁
（ 1 ）求图中 的值并根据频率分布直方图估计这 名志愿者中年龄在 岁的人数．
（ 2 ）在抽出的 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 名参加中心广场的宣传活动，再从
这 名中采用简单随机抽样方法选取 名志愿者担任主要负责人．记这 名志愿者中“年龄低于
岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
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