概率与统计
一、 课堂目标
1．掌握条件概率的定义和计算公式．
2．掌握求离散型随机变量分布列、期望和方差的步骤．
3．能熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．
4．能熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是掌握条件概率、乘法公式以及独立事件的关系和综合应用，理解互斥事件
和独立事件的区别，掌握求离散型随机变量分布列的步骤，熟练求解离散型随机变量的期
望和方差，熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差，熟练求解超几何分布的分布列
和数学期望；重点题型是求离散型随机变量的分布列、均值和方差，离散型随机变量均值
和方差性质的应用，以及概率中的综合题型：第（1）问一般考查求某一事件发生的概率，
第（2）问一般求随机变量的分布列、数学期望或方差；难点是正态分布及其应用.
2.关联知识包括统计、概率、离散型随机变量及其分布列、二项分布、超几何分布、正态
分布.
二、 知识讲解
1. 条件概率与相互独立事件
知识精讲
（1）条件概率及其性质
①定义：设 为两个随机事件，且 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条
件概率，记作 ，其公式为 .
②性质：
. ．
. 若事件 与 互斥，即 与 不可能同时发生，则 ．
. 如果 和 是两个互斥事件，则 ．
③其他相关公式
全概率公式：
1
贝叶斯公式：一般地，当 且 时，有
.
【备注】【教师指导】
1.条件概率的其他求法
基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件 包含的基本事件数 ，再求事件 所包
含的基本事件数 ，得 ．
2.注意：
求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事
件的条件概率，再利用概率的可加性，得到最终结果．
（2）相互独立事件
①定义：当 时， 与 独立的充要条件是 ，称事件 、 相互独立，并把这两
个事件叫做相互独立事件．
②性质：
. 与 ， 与 ， 与 也相互独立；
. ．
知识点睛
互斥事件与独立事件的区别：
“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．
【备注】已知两个事件 ，它们的概率分别为 .将 中至少有一个发生记为事件
，都发生记为事件 ，都不发生记为事件 ，恰有一个发生记为事件
，至多有一个发生记为事件 ，则它们的概率间的关系见下表.
概率 互斥 相互独立
0
1
2
经典例题
1. 已知盒中装有 只螺口灯泡与 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要
一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第
次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题是对概率公式的直接考查.
【答案】D
【解析】方法一：设事件 为“第 次抽到的螺口灯泡”，
事件 为“第 次抽到的是卡口灯泡”，
则 ，
，
则所求概率为 ．
方法二：第 次取到螺口灯泡后还剩余 只灯泡，其中有 只卡口灯泡，故第 次取到卡口
灯泡的概率为 .
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
巩固练习
2. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于 ”为事件 ，“两颗
骰子的点数之和等于 ”为事件 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，事件 为“红骰子向上的点数小于 ”，
而红骰子向上的点数小于 的有： ， ， ，共 种情况，
则 ，
而“红骰子向上的点数小于 且两颗骰子的点数之和等于 ”，
有： ， ， ，共 种情况，
3
则 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
3. 某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答案，且每道题他猜
对的概率均为 ．
（ 1 ）求该同学三道题都猜对的概率．
（ 2 ）求该同学至少猜对一道题的概率．
【备注】【教师指导】
本题考查：
1.相互独立事件的乘法公式
2.对立事件的概率公式和相互独立事件的乘法公式
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）记事件 ：该同学第 题猜对了，其中 ， ， ，则
，
三道题都猜对可以表示为 ，又因为 ， ， 相互独立，因此
．
（ 2 ）“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”，后者可以表示为 ，
所以
，
因此所求概率为
．
【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；对立事件的概率和为1；相互独立事件的概率乘法公式
巩固练习
4
4. 两位射击选手彼此独立地向同一目标射击一次，若甲射中的概率为 ，乙射中的概率为 ，则目标
被击中的概率为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，目标被击中的概率是 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差
知识精讲
（1）离散型随机变量的分布列求法及性质
求法：
①找出随机变量 所有可能取的不同值 ；
②求出取每一个值的概率 ， ；
③列出表格.
性质：
性质①： ， ；
性质②： ；
性质③： 且 .
【备注】【教师指导】
1.离散型随机变量的概念
如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量．
与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量的取值范围包含
一个区间.例如，用 表示某品牌节能灯的寿命，则 的取值范围可以认为是 ， ，这
里的 是一个连续型随机变量.
2.离散型随机变量分布列的概念
一般地，当离散型随机变量 的取值范围是 时，如果对任意
，概率 都是已知的，则称 的概率分布是已知的.离散型随机变量 的概率
分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 的概率分布或分布列．
5
（2）离散型随机变量的数学期望与方差
（i）数学期望与方差概念
一般地，如果离散型随机变量 的分布列为：
①均值或数学期望（简称期望）： ，它反映了离散型随机
变量取值的平均水平.
②方差：
，它刻
画了随机变量的取值相对于期望的平均离散程度（或波动大小）． 叫做离散型随机变量 的标
准差，也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）．
（ii）性质
① .
② .
【备注】【教师指导】
其他性质
① （ 为常数）.
② .
③若 相互独立，则 .
④ （ 为常数）.
⑥随机变量 的方差是它与期望 （ ）差的平方的数学期望，即
） .
⑦ ．
⑧若 两两独立，则
.
知识点睛
（1）求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤：
6
①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率；
③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证；
④根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算
说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意计数原
理、排列组合及常见概率模型.
（2）离散型随机变量分布列的均值、方差问题的解决策略
①把握“1”实质：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值
的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.
①运用“2”策略
.当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断；
.若两随机变量的均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳
定程度，进行决策.
【备注】【教师指导】
求解步骤和策略适用于后面的不同概率模型，后面将不再赘述.
经典例题
5. 若随机变量 的分布列如下表所示，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
考查分布列的性质：
【答案】B
【解析】由于分布列中，所有概率和为 ，
∴
．
故选： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
7
巩固练习
6. 已知随机变量 的概率分布列如下：
那么 ， ．
【答案】 ;
【解析】由随机变量 的概率分布列可得：
，
则 ，
，
所以 ， ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
经典例题
7. 已知随机变量 的分布列如下表所示，若 ，则 ．
【备注】【教师指导】
考查期望和方差的求法
【答案】
【解析】根据分布列性质可得， ，
又∵ ，
解得 ， ，
．
8
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差
8. 已知随机变量 的分布列：
若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查方差的性质.
【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴由离散型随机变量 的分布列的性质知：
并且
，
，
可得 ，
即 ，
解得： ， ．
故选： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差
巩固练习
9. 已知随机变量 的分布列为 ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】随机变量 的分布列为 ， ， ， ．
可得 ，
则 ．
9
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
10. 设离散型随机变量 的方差 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差
3. 两点分布
知识精讲
定义
若随机变量 的分布列为：
则称这个随机变量服从参数为 的两点分布（或0-1分布）.
【备注】【教师指导】
（1）两点分布的试验结果只有两种可能性，且它们的概率之和为 .
（2）一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验.不难看出，如果将伯
努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为 ，一次伯努利试验中
成功的次数为 ，则 服从参数为 的两点分布.因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分
布中的 也常称为成功概率.
知识点睛
两点分布的数学期望和方差
①两点分布的数学期望
10
若随机变量 服从参数为 的两点分布，则 ．
②两点分布的方差
若随机变量 服从参数为 的两点分布，则 ．
经典例题
11. 已知随机变量 随从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
【备注】【教师指导】
考查两点分布概率特征.
【答案】
【解析】 ，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；概率的基本性质
12. 若随机变量 服从两点分布，且成功的概率 ，则 和 分别为（ ）．
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【备注】【教师指导】
本题考查两点分布期望和方差的求解公式.
【答案】A
【解析】∵ 服从两点分布，
∴ 的概率分布为
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差
巩固练习
11
13. 若随机变量 服从两点分布，其中 ，则 和 的值分别是（
）．
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从两点分布，且 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差
4. 次独立重复实验与二项分布
知识精讲
独立重复试验与二项分布
12
独立重复试验 二项分布
一般地，在 次独立重复试验
中，设事件 发生的次数为 ，
一般地，在相同条件下重复做
定义 在每次试验中事件 发生的概率
次试验称为 次独立重复试验
为 ，此时称随机变量 服从二
项分布，记作 ．
在 次独立重复试验中，事件
用 表示第 次
恰好发生 次的概率
计算公式 试验结果，则
．
①在每次试验中，事件发生的概
率是相同的；
②各次试验中的事件是相互独立
①在同样的条件下重复进行 的；
判断条件
②各次试验之间相互独立 ③每次试验只有两种结果：事件
要么发生，要么不发生；
④随机变量是这 次独立重复试
验中事件发生的次数.
知识点睛
二项分布
①分布列
… …
… …
②二项分布的数学期望与方差
.若 ，则 ．
.若 ，则 ．
【备注】【教师指导】
（1）二项分布的特点
13
①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；
②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行 次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成
功”的概率都保持不变.
（2）由二项分布的定义知，若 ，则 .各个参数的意义：
表示试验的总次数； 是在 次独立重复试验中成功的次数； 表示试验成功的概率； 表
示试验不成功的概率.
（3）二项式 的展开式中，第 项为 ，所以 就是二
项式 的展开式中的第 的项，所以公式
称为二项分布.
（4）当 时，二项分布就是两点分布.
经典例题
14. 设随机变量 ， ，若 ，则 ．
【备注】【教师指导】
本题考查二项分布的表示方法以及期望和方差的求法.
【答案】
【解析】∵变量 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
巩固练习
15. 如果随机变量 ，且 ， ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
14
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
经典例题
16. 现有 道题，其中 道甲类题， 道乙类题，张同学从中任取 道题解答．
（ 1 ）求张同学至少取到 道乙类题的概率；
（ 2 ）已知所取的 道题中有 道甲类题， 道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道
乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用 表示张同学答对题的个数，求 的分布
列和数学期望．
【备注】【教师指导】
本题属于二项分布重点题型
1.第一问求概率，第二问求分布列和期望
2.要注意计算正确
3.难度适中，若出错，要看学生是否对题目类型掌握清楚，或概率是否计算正确
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 的分布列为：
．
【解析】（ 1 ）设事件 “张同学所取的 道题至少有 道乙类题”，则有 “张同学所取的 道题
都是甲类题”．
因为 ，所以 ．
（ 2 ） 所有的可能取值为 ， ， ， ．
；
；
；
．
所以 的分布列为：
15
所以 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
17. 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在 年
这一年内从 市到 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 万人次．为了解乘客出行的满意度，现从
中随机抽取 人次作为样本，得到下表（单位：人次）：
满意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
分（满
意）
分（一般）
分（不满
意）
（ 1 ）在样本中任取 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率．
（ 2 ）在 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次，记其中老年人出行的人次
为 ．以频率作为概率，求 的分布列和数学期望．
（ 3 ）如果甲将要从 市出发到 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机 并说
明理由．
【备注】【教师指导】
本题较综合
1.考查分层抽样和古典概型
2.考查二项分布
3.第三问从均值来分析较快捷，更精准一些的话可以计算标准差和方差
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
（ 3 ）建议甲乘坐高铁从 市到 市．证明见解析．
【解析】（ 1 ）设事件：“在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人”为 ，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 ， ， ，
16
所以在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人的概率
．
（ 2 ）由题意， 的所有可能取值为： ， ， ．
因为在 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次，此人为老
年人概率是 ．
所以 ，
，
．
所以随机变量 的分布列为：
故 ．
（ 3 ）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为 ，
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为 ，
所以建议甲乘坐高铁从 市到 市．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；n次独立重复试验与二项分布
巩固练习
18. 甲、乙两名同学分别回答 道题目，每题回答正确得 分，回答错误得 分．已知甲同学回答正确各
题的概率分别为 ， 和 ；乙同学回答正确各题的概率均为 ．假设两名同学回答每道题目正确
与否都不互相影响．
（ 1 ）求事件 “甲至少回答正确 道题目”的概率．
（ 2 ）设 表示乙同学回答这 道题目后的得分，写出 的分布列，并求出 的数学期望 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列：
17
．
【解析】（ 1 ）甲答对 道：
，
甲答对 道：
，
．
（ 2 ）乙全对时 ，
，
乙对 道， ，
，
乙对 道， ，
，
乙全错， ，
，
∴
∴
．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的
数学期望；古典概型
18
5. 超几何分布
知识精讲
定义
在含有 件次品的 件产品中，任取 件，若其中恰有 件次品，则
，即
其中 ，且 ， 、 、 .
如果随机变量 的分布列具有上表的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.
【备注】【教师指导】
注意：
①若 服从超几何分布，则记为 ，超几何分布简记为 ，其
中 表示样本中的次品数， 表示样本容量， 表示次品总数， 表示总体中的个体总数.
②当抽取的产品件数不大于总体中次品件数（即 ）时， 的最大值为 ；当抽取的产
品的件数大于总体中次品件数（即 ）时， 的最大值为 .
知识点睛
（1）超几何分布的判断
①若随机变量 满足：试验是不放回地抽取 次；随机变量 表示抽取到的次品件数. 则该随机变量服从
超几何分布.
②一般地，设有 件产品，其中次品和正品分别为 件，从中任取
件产品，用 分别表示取出的 件产品中次品和正品的件数，则随机变量 服从参数为 的超
几何分布，随机变量 服从参数为 的超几何分布.
【备注】【教师指导】
超几何分布的数学期望和方差
若离散型随机变量 服从参数为 ， ， 的超几何分布，则：
① ；
② .
上述公式用的不多，可给学生作为拓展.
19
（2）二项分布与超几何分布的区别
①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以
看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.
②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种
抽样为超几何分布模型.
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.
经典例题
19. 某小组共 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 ， ， 的人数分别为 ， ， ．
现从这 人中随机选出 人作为该组代表参加座谈会．
（ 1 ）设 为事件“选出的 人参加义工活动次数之和为 ”，求事件 发生的概率．
（ 2 ）设 为选出的 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望．
【备注】【教师指导】
本题属于超几何分布重点题型
1.第一问求概率，第二问求分布列和期望
2.要注意计算正确
3.难度适中，若出错，要看学生是否弄清楚了这道题是超几何分布
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）随机变量 的分布列为：
.
【解析】（ 1 ）由题意知 ．
（ 2 ）随机变量 可能取值 ， ， ，
，
，
．
随机变量 的分布列为：
20
随机变量 的期望为 .
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型的概率计算（涉及计数原理）
巩固练习
20. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热
议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 人进行调查，调查情况如下
表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
赞成的人数
（ 1 ）从赞成“延迟退休”的人中任选 人，此人年龄在 的概率为 ，求出表格中 ， 的值．
（ 2 ）若从年龄在 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取
人参与某项调查，然后再从这 人中随机抽取 人参加座谈会，记这 人中赞成“延迟退休”的人
数为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）因为总共抽取 人进行调查，所以 ，因
为从赞成“延迟退休”的人中任选 人，其年龄在 的概率为 ，所
以 ．
（ 2 ）从年龄在 中按分层抽样抽取 人，赞成的抽取 人，不赞成的
抽取 人，再从这 人中随机抽取 人，则随机变量 的可能取值为 ， ， ．
，
，
，
的分布列为
21
所以 ．
【标注】【知识点】频率与概率问题；离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；超
几何分布；分层随机抽样
经典例题
21. 月 日，某品牌的两款最新手机（记为 型号， 型号）同时投放市场．手机厂商为了解这两款
手机的销售情况，在 月 日当天，随机调查了 个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到
下表．
手机店
型号手机销售
型号手机销售
（ 1 ）若在 月 日当天，从 ， 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 部，求抽取的 部
手机中至少有 部为 型号的概率．
（ 2 ）现从这 个手机店中任选 个举行促销活动，用 表示其中 型号手机销量超过 型号手机销量
的手机店的个数，求随机变量 的分布列和数学期望．
（ 3 ）经测算， 型号手机的销售成本 （百元）与销量 （部）满足关系， ．若表中
型号手机销量的方差 ，试给出表中 个手机店的 型号手机销售成本的方差
的值．（用 表示，结论不要求证明）
【备注】【教师指导】
本题前两问难度适中，主要让学生熟悉第三问，直接写结论的类型.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为：
．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）将从 ， 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的 部手机记为甲和乙，
记事件“甲手机为 型号手机”为 ，记事件“乙手机为 型号手机”为 ，
依题意，有 ， ，且事件 ， 相互
独立，
22
设“抽取的 部手机中至少有 部为 型号手机”为事件 ，
则 ．
即抽取的 部手机中至少有 部为 型号手机的概率为 ．
（ 2 ）由表可知 型号手机销售量超过 型号的手机店共有 个，
故 的所有可能取值为 ， ， ，
且 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
故 ．
（ 3 ） ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
巩固练习
22. 从 名男生和 名女生中任选 人参加抗疫志愿服务活动．
（ 1 ）设 表示所选 人中男生的人数，求 的分布列和数学期望 ．
（ 2 ）已知选出了 ， 这两人参加此次服务活动， 的服务满意率为 ， 的服务满意率为
，用“ ， ，”分别表示对 ， 的服务满意，“ ， ，”分别表示对 ，
的服务不满意，写出方差 ， 的大小关系．（只需写出结论）
【答案】（ 1 ） 的分布列如下：
数学期望 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 表示所选 人中男生的人数， 的所有可能的取值为： ， ， ，
，
23
，
，
的分布列如下：
数学期望 ．
（ 2 ）根据已知条件， ， 服从两点分布，
则 ，
．
∴ ．
【标注】【知识点】两点分布；超几何分布
6. 正态分布
知识精讲
（1）正态曲线及其特点
①正态曲线的定义
如图，函数 ， （其中实数 和 为参数），称
为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
②正态曲线的特点
. 曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
. 曲线是单峰的，它关于直线 对称；
. 曲线在 处达到峰值（最大值） ；
24
. 曲线与 轴之间的面积为 ；
. 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如左图;
. 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散，如右图．
【备注】【教师指导】
性质①说明函数的值域为正实数集的子集，即函数的图像以 轴为渐近线；
性质②说明随机变量 落在关于直线 对称的区间上的概率相等；
性质④说明随机变量 落在 内的概率为 ；
性质⑤可结合性质②理解；
性质⑥说明当 一定， 变化时，总体分布的集中、分散程度．
（2）正态分布
①正态分布的定义及表示
若随机变量 的概率分布密度函数为： ， （其中实数 和
为参数），则称随机变量 服从正态分布，记为 ．
若 ，则 ．
②正态分布的三个常用数据
，
，
．
经典例题
25
23. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查正态曲线的对称性
【答案】B
【解析】根据正态分布的对称性， ．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
巩固练习
24. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ 服从正态分布 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
经典例题
25. 在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调
查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 人的得分（满分：
分）数据，统计结果如下表所示：
组别
频数
26
（ 1 ）已知此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这 人得分的平均值（同一
组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求 ．
（ 2 ）在（ ）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠 次随机话费，得分低于 的可以获赠 次随机话费：
②每次赠送的随机话费和相应的概率如右表．现市民甲要参加此次问卷调查，记 为该市民
参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列及数学期望．
赠送的随机话费（单位：元）
概率
附：若 ，则 ，
， ．
【备注】【教师指导】
本题考查正态分布、相互独立概率乘法公式以及运算能力.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）∵
，
．
∴
．
（ 2 ）根据题意可知所得话费的可能值为 ， ， ， ，
由题可知
，
，
，
，
．
∴ 的分布列如下：
27
∴ ．
【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；用样本的
数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数
巩固练习
26. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面
包的平均质量是 ，上下浮动不超过 ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从
期望为 ，标准差为 的正态分布．
（ 1 ）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大
于 的个数为 ，求 的分布列和数学期望．
（ 2 ）由统计学知识可知，若随机变量 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个
数据的平均值为 ，则随机变量 ．
1 假设面包师没有撒谎，记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 ，从 的取值中随
机抽取 个数据，记这 个数据的平均值为 ，根据所附信息，求 的概率．
2 为验证面包师是否撒谎，庞加莱在 天里每天都会将买来的面包称重并记录，发现得
到的数据都落在 内，但这 个面包总质量为 ．作为一个善于思考的
数学家，庞加莱还是认为面包师撒谎了．根据所附信息，从概率的角度说明理由．
附：①若 ，则 ，
， ；
②通常把发生概率在 以下的事件称为小概率事件．
【答案】（ 1 ） 的分布列为：
．
（ 2 ）1 ．
2 证明见解析．
【解析】（ 1 ）由题意知， 的所有可能取值为 ， ， ．
；
28
；
．
所以 的分布列为：
所以 （个）．
（ 2 ）1 记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 ．
假设面包师没有撒谎，则 ．
由题意，从 的取值中随机抽取 个数据，
记这 个数据的平均值为 ，则 ．
由附①数据知，
．
2 庞加莱记录的 个面包质量，相当于从 的取值中随机抽取了 个数据，
这 个数据的平均值为 ，
而 ，
由（i）知， ，
由附②知，事件“ ”为小概率事件，
所以“假设面包师没有撒谎”有误，
所以庞加莱认为面包师撒谎．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；正态分布；离散型随机变量的分布列
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
29
四、 出门测
27. 下数表是随机变量 的分布列，
则 的数学期望为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由分布列知 ，
∴ ，
即 ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的数学期望
28. 顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 个红
球、 个黑球的甲箱和装有 个红球， 个黑球的乙箱中，各随机摸出 个球，在摸出的 个球中，若都
是红球，则获一等奖；若只有 个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖．
（ 1 ）求顾客抽奖 次能获奖的概率．
30
（ 2 ）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期
望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）方法一：记“甲箱中摸出红球”为事件 ，“乙箱中摸出红球”为事件 ，
则 ， ，
顾客抽奖 次能获奖的概率为：
．
方法二：顾客抽奖 次能获奖的概率为：
．
（ 2 ）在一次抽奖中，获得一等奖的概率为 ，
随机变量 ， 的所有可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
∴ 的分布列为
数学期望 ．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的
数学期望；离散型随机变量的分布列
31概率与统计
一、 课堂目标
1．掌握条件概率的定义和计算公式．
2．掌握求离散型随机变量分布列、期望和方差的步骤．
3．能熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．
4．能熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．
二、 知识讲解
1. 条件概率与相互独立事件
知识精讲
（1）条件概率及其性质
①定义：设 为两个随机事件，且 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条
件概率，记作 ，其公式为 .
②性质：
. ．
. 若事件 与 互斥，即 与 不可能同时发生，则 ．
. 如果 和 是两个互斥事件，则 ．
③其他相关公式
全概率公式：
贝叶斯公式：一般地，当 且 时，有
.
（2）相互独立事件
①定义：当 时， 与 独立的充要条件是 ，称事件 、 相互独立，并把这两
个事件叫做相互独立事件．
②性质：
. 与 ， 与 ， 与 也相互独立；
1
. ．
知识点睛
互斥事件与独立事件的区别：
“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．
经典例题
1. 已知盒中装有 只螺口灯泡与 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要
一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第
次抽到的是卡口灯泡的概率为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于 ”为事件 ，“两颗
骰子的点数之和等于 ”为事件 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
经典例题
3. 某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选了一个答案，且每道题他猜
对的概率均为 ．
（ 1 ）求该同学三道题都猜对的概率．
（ 2 ）求该同学至少猜对一道题的概率．
巩固练习
4. 两位射击选手彼此独立地向同一目标射击一次，若甲射中的概率为 ，乙射中的概率为 ，则目标
被击中的概率为 ．
2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差
知识精讲
（1）离散型随机变量的分布列求法及性质
求法：
①找出随机变量 所有可能取的不同值 ；
2
②求出取每一个值的概率 ， ；
③列出表格.
性质：
性质①： ， ；
性质②： ；
性质③： 且 .
（2）离散型随机变量的数学期望与方差
（i）数学期望与方差概念
一般地，如果离散型随机变量 的分布列为：
①均值或数学期望（简称期望）： ，它反映了离散型随机
变量取值的平均水平.
②方差：
，它刻
画了随机变量的取值相对于期望的平均离散程度（或波动大小）． 叫做离散型随机变量 的标
准差，也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度（或波动大小）．
（ii）性质
① .
② .
知识点睛
（1）求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤：
①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率；
③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证；
3
④根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算
说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意计数原
理、排列组合及常见概率模型.
（2）离散型随机变量分布列的均值、方差问题的解决策略
①把握“1”实质：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值
的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.
①运用“2”策略
.当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断；
.若两随机变量的均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳
定程度，进行决策.
经典例题
5. 若随机变量 的分布列如下表所示，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
6. 已知随机变量 的概率分布列如下：
那么 ， ．
经典例题
7. 已知随机变量 的分布列如下表所示，若 ，则 ．
8. 已知随机变量 的分布列：
若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
4
巩固练习
9. 已知随机变量 的分布列为 ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
10. 设离散型随机变量 的方差 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
3. 两点分布
知识精讲
定义
若随机变量 的分布列为：
则称这个随机变量服从参数为 的两点分布（或0-1分布）.
知识点睛
两点分布的数学期望和方差
①两点分布的数学期望
若随机变量 服从参数为 的两点分布，则 ．
②两点分布的方差
若随机变量 服从参数为 的两点分布，则 ．
经典例题
11. 已知随机变量 随从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
12. 若随机变量 服从两点分布，且成功的概率 ，则 和 分别为（ ）．
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
巩固练习
13. 若随机变量 服从两点分布，其中 ，则 和 的值分别是（
）．
5
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
4. 次独立重复实验与二项分布
知识精讲
独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
一般地，在 次独立重复试验
中，设事件 发生的次数为 ，
一般地，在相同条件下重复做
定义 在每次试验中事件 发生的概率
次试验称为 次独立重复试验
为 ，此时称随机变量 服从二
项分布，记作 ．
在 次独立重复试验中，事件
用 表示第 次
恰好发生 次的概率
计算公式 试验结果，则
．
①在每次试验中，事件发生的概
率是相同的；
②各次试验中的事件是相互独立
①在同样的条件下重复进行 的；
判断条件
②各次试验之间相互独立 ③每次试验只有两种结果：事件
要么发生，要么不发生；
④随机变量是这 次独立重复试
验中事件发生的次数.
知识点睛
二项分布
①分布列
… …
… …
6
②二项分布的数学期望与方差
.若 ，则 ．
.若 ，则 ．
经典例题
14. 设随机变量 ， ，若 ，则 ．
巩固练习
15. 如果随机变量 ，且 ， ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
16. 现有 道题，其中 道甲类题， 道乙类题，张同学从中任取 道题解答．
（ 1 ）求张同学至少取到 道乙类题的概率；
（ 2 ）已知所取的 道题中有 道甲类题， 道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是 ，答对每道
乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用 表示张同学答对题的个数，求 的分布
列和数学期望．
17. 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在 年
这一年内从 市到 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 万人次．为了解乘客出行的满意度，现从
中随机抽取 人次作为样本，得到下表（单位：人次）：
满意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
分（满
意）
分（一般）
分（不满
意）
（ 1 ）在样本中任取 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率．
（ 2 ）在 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次，记其中老年人出行的人次
为 ．以频率作为概率，求 的分布列和数学期望．
（ 3 ）如果甲将要从 市出发到 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机 并说
明理由．
7
巩固练习
18. 甲、乙两名同学分别回答 道题目，每题回答正确得 分，回答错误得 分．已知甲同学回答正确各
题的概率分别为 ， 和 ；乙同学回答正确各题的概率均为 ．假设两名同学回答每道题目正确
与否都不互相影响．
（ 1 ）求事件 “甲至少回答正确 道题目”的概率．
（ 2 ）设 表示乙同学回答这 道题目后的得分，写出 的分布列，并求出 的数学期望 ．
5. 超几何分布
知识精讲
定义
在含有 件次品的 件产品中，任取 件，若其中恰有 件次品，则
，即
其中 ，且 ， 、 、 .
如果随机变量 的分布列具有上表的形式，那么称随机变量 服从超几何分布.
知识点睛
（1）超几何分布的判断
①若随机变量 满足：试验是不放回地抽取 次；随机变量 表示抽取到的次品件数. 则该随机变量服从
超几何分布.
②一般地，设有 件产品，其中次品和正品分别为 件，从中任取
件产品，用 分别表示取出的 件产品中次品和正品的件数，则随机变量 服从参数为 的超
几何分布，随机变量 服从参数为 的超几何分布.
（2）二项分布与超几何分布的区别
①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以
看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.
②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种
抽样为超几何分布模型.
8
因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.
经典例题
19. 某小组共 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 ， ， 的人数分别为 ， ， ．
现从这 人中随机选出 人作为该组代表参加座谈会．
（ 1 ）设 为事件“选出的 人参加义工活动次数之和为 ”，求事件 发生的概率．
（ 2 ）设 为选出的 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望．
巩固练习
20. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，从 年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热
议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取 人进行调查，调查情况如下
表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
赞成的人数
（ 1 ）从赞成“延迟退休”的人中任选 人，此人年龄在 的概率为 ，求出表格中 ， 的值．
（ 2 ）若从年龄在 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取
人参与某项调查，然后再从这 人中随机抽取 人参加座谈会，记这 人中赞成“延迟退休”的人
数为 ，求 的分布列及数学期望．
经典例题
21. 月 日，某品牌的两款最新手机（记为 型号， 型号）同时投放市场．手机厂商为了解这两款
手机的销售情况，在 月 日当天，随机调查了 个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到
下表．
手机店
型号手机销售
型号手机销售
（ 1 ）若在 月 日当天，从 ， 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取 部，求抽取的 部
手机中至少有 部为 型号的概率．
（ 2 ）现从这 个手机店中任选 个举行促销活动，用 表示其中 型号手机销量超过 型号手机销量
的手机店的个数，求随机变量 的分布列和数学期望．
（ 3 ）经测算， 型号手机的销售成本 （百元）与销量 （部）满足关系， ．若表中
型号手机销量的方差 ，试给出表中 个手机店的 型号手机销售成本的方差
9
的值．（用 表示，结论不要求证明）
巩固练习
22. 从 名男生和 名女生中任选 人参加抗疫志愿服务活动．
（ 1 ）设 表示所选 人中男生的人数，求 的分布列和数学期望 ．
（ 2 ）已知选出了 ， 这两人参加此次服务活动， 的服务满意率为 ， 的服务满意率为
，用“ ， ，”分别表示对 ， 的服务满意，“ ， ，”分别表示对 ，
的服务不满意，写出方差 ， 的大小关系．（只需写出结论）
6. 正态分布
知识精讲
（1）正态曲线及其特点
①正态曲线的定义
如图，函数 ， （其中实数 和 为参数），称
为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
②正态曲线的特点
. 曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
. 曲线是单峰的，它关于直线 对称；
. 曲线在 处达到峰值（最大值） ；
. 曲线与 轴之间的面积为 ；
. 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如左图;
. 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散，如右图．
10
（2）正态分布
①正态分布的定义及表示
若随机变量 的概率分布密度函数为： ， （其中实数 和
为参数），则称随机变量 服从正态分布，记为 ．
若 ，则 ．
②正态分布的三个常用数据
，
，
．
经典例题
23. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
24. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
经典例题
25. 在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调
查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 人的得分（满分：
11
分）数据，统计结果如下表所示：
组别
频数
（ 1 ）已知此次问卷调查的得分 服从正态分布 ， 近似为这 人得分的平均值（同一
组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求 ．
（ 2 ）在（ ）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 的可以获赠 次随机话费，得分低于 的可以获赠 次随机话费：
②每次赠送的随机话费和相应的概率如右表．现市民甲要参加此次问卷调查，记 为该市民
参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列及数学期望．
赠送的随机话费（单位：元）
概率
附：若 ，则 ，
， ．
巩固练习
26. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面
包的平均质量是 ，上下浮动不超过 ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从
期望为 ，标准差为 的正态分布．
（ 1 ）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大
于 的个数为 ，求 的分布列和数学期望．
（ 2 ）由统计学知识可知，若随机变量 ，从 的取值中随机抽取 个数据，记这 个
数据的平均值为 ，则随机变量 ．
1 假设面包师没有撒谎，记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 ，从 的取值中随
机抽取 个数据，记这 个数据的平均值为 ，根据所附信息，求 的概率．
2 为验证面包师是否撒谎，庞加莱在 天里每天都会将买来的面包称重并记录，发现得
到的数据都落在 内，但这 个面包总质量为 ．作为一个善于思考的
数学家，庞加莱还是认为面包师撒谎了．根据所附信息，从概率的角度说明理由．
附：①若 ，则 ，
， ；
②通常把发生概率在 以下的事件称为小概率事件．
三、 思维导图
12
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
27. 下数表是随机变量 的分布列，
则 的数学期望为（ ）．
A. B. C. D.
28. 顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 个红
球、 个黑球的甲箱和装有 个红球， 个黑球的乙箱中，各随机摸出 个球，在摸出的 个球中，若都
是红球，则获一等奖；若只有 个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖．
（ 1 ）求顾客抽奖 次能获奖的概率．
（ 2 ）若某顾客有 次抽奖机会，记该顾客在 次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期
望．
13
