概率与统计【题集】
1. 条件概率与相互独立事件
1. 盒子中有 个白球和 个红球，现从盒子中依次不放回地抽取 个球，那么在第一次抽出白球的条件
下，第二次抽出红球的概率是 ．
【答案】
【解析】设事件 为第一次抽取的为白球
；
设事件 为第二次抽到红球，
∴ ；
∴第一次抽到白球条件下，第二次抽到红球的概率为
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】超几何分布；条件概率
2. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完 局仍未出现连胜，则判定获胜
局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．则
甲在 局以内（含 局）赢得比赛的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】用 表示“甲在 局以内（含 局）赢得比赛”， 表示“第 局甲胜”， 表示“第 局乙胜”，
则 ， ， ， ， ， ， ，
∴
．
1
故选 项．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差
3. 设 是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：
则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
4. 已知随机变量 的分布列如表（其中 为常数）
则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由概率之和等于 可知 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；概率的基本性质
5. 若随机变量 的概率分布如表，则表中 的值为 ．
2
【答案】
【解析】由随机变量 的概率分布表得：
，
解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式
6. 设离散型随机变量 的分布列为（ ）．
若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由离散型随机变量 的分布列的性质得︰
，
则 ，
，
即 ，
离散型随机变量 满足 ，
∴ ，
故结果正确的有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】期望与方差的性质
3. 两点分布
3
7. 已知随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
【答案】
【解析】∵随机变量 服从两点分布，且 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；两点分布
8. 设某项试验的成功率是失败率的 倍，用随机变量 去描述 次试验的成功次数，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设失败率为 ，则成功率为 ．
∴ 的分布列为：
则“ ”表示试验失败，“ ”表示试验成功，
∴由 ，得 ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
9. 若 的分布列为：
其中 ，则 ， ．
【答案】 ;
【解析】 ，
4
，
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
10. 若随机变量 服从两点分布，其中 ，则 和 的值分别是（
）．
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】∵随机变量 服从两点分布，且 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差
11. 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 ， ， ，只有通过前一关才能进入下
一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 ， ， ，
只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．
一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：
．
故选： ．
【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式
5
4. 次独立重复实验与二项分布
12. 已知随机变量 服从二项分布，即 ，且 ， ，则二项分布的参数
， 的值为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由二项分布的期望和方差公式，
，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
13. 已知服从二项分布的随机变量 满足 ，则 （ ）的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
14. 一批产品的次品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的次
品件数，则 ．
【答案】
【解析】∵一批产品的次品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，
有放回地抽取 次， 表示抽到的次品件数，
6
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
15. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 ， ， 层停靠，若该电梯在底层载有 位乘客，且每
位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用 表示这 位乘客在第 层下电梯的人数，则
．
【答案】
【解析】 服从二项分布，
即 ，
∴ ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布
16. 新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知 ， ， 三人与新
冠肺炎病人甲近距离接触，由于 ， ， 三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口
罩，近距离接触病人被感染的概率为 ，记 ， ， 三人中被感染的人数为 ，则 的数学期望
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，
，
，
，
故
7
．
故选 ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
17. 在天猫进行 大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
人数
消费金额 元
（ 1 ）将当日的消费金额超过 元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取
人，求至少有 位消费者，当日的消费金额超过 元的概率．
（ 2 ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案 ：按分层抽样从消费金额在不超过 元，超过 元且不超过 元， 元以上
的消费者中总共抽取 位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为 元、 元和 元．
方案 ：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有 张牌，背面都是相同的喜
羊羊头像，正面有 张笑脸、 张哭脸，将 张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻
一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得 元奖励金．如果消费金额不超过 元
的消费者均可参加 轮翻牌游戏；超过 元且不超过 元的消费者均可参加 轮翻牌游
戏； 元以上的消费者均可参加 轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．
以方案 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）方案 投资较少；证明见解析．
【解析】（ 1 ）记“在抽取的 人中至少有 位消费者消费超过 元”为事件 ，
由图可知，去年消费金额在 内的有 人，
在 内的有 人，
消费金额超过 元的“消费达人”共有 （人），
从这 人中抽取 人，共有 种不同方法，
其中抽取的 人中没有 位消费者消费超过 元，
8
共有 种不同方法，
所以 ．
（ 2 ）方案 按分层抽样从消费金额在不超过 元，
超过 元且不超过 元，
元以上的消费者中总共抽取 位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的人数分别为：
，
，
，
按照方案 奖励的总金额为：
（元），
方案 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，
则 的可能取值为 ， ， ， ，
由题意，每翻牌 次，翻到笑脸的概率为：
，
所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
数学期望为：
（元），
按照方案 奖励的总金额为：
（元），
因为由 ，所以施行方案 投资较少．
【标注】【知识点】组合；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；古典概型
18.
9
年 月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟 年
的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程度，
随机抽取了学校中的 名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：若根
据频率分布直方图得到的评分不低于 分的概率估计值为 ．
频率
组距
评分
（ 1 ）求直方图中的 ， 值，若评分的平均值不低于 分视为满意，判断该校学生对线上课程是否
满意？并说明理由．
（ 2 ）若采用分层抽样的方法，从评分在 和 内的学生中共抽取 人，再从这 人中随
机抽取 人检验他们的网课学习效果，求抽取到的 人中至少一人评分在 内的概率．
（ 3 ）若从该校学生中随机抽取 人，记评分标准在 的人数为 ，用频率估计概率，求随机变
量 的分布列与数学期望．
【答案】（ 1 ）满意，证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） 的分布列为：
．
【解析】（ 1 ）由已知得 ，
解得 ，
又 ，∴ ，
评分的平均值为：
，
因此该校学生对线上课程满意．
（ 2 ）由题知评分在 和 内的频率分别为 和 ，
则抽取的 人中，评分在 内的为 人，评分在 的有 人，
记评分在 的 位学生为 , , ，
10
评分在 内的 位学生为 ， ，
则从 人中任选 人的所有可能结果为：
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共 种，
其中，评分在 内的可能结果为 ， ， ，共 种，
∴这 人中至少一人评分在 的概率为 ．
（ 3 ）学生在 分的频率为 ，用频率估计概率，
则每个学生评分在 分的概率为 ，
据题意知， 的可能取值为 ， ， ， ，所以，
，
，
，
，
那么 的分布列为：
则数学期望 ，
或 知 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的
数学期望；古典概型；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均
数；频率分布直方图；分层随机抽样
19. 改革开放 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国 年至 年体
育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业
年增长率（ ）．
11
体育产业增加值 体育产业年增长率
（ 1 ）从 年至 年随机选择 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多
亿元以上的概率．
（ 2 ）从 年至 年随机选择 年，设 是选出的三年中体育产业年增长率超过 的年数，求
的分布列与数学期望．
（ 3 ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育
产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）分布列为：
期望值 ．
（ 3 ）从 年或 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．
从 年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．
【解析】（ 1 ）设 表示事件“从 年至 年随机选出 年，该年体育产业年增加值比前一年
的体育产业年增加值多 亿元以上”．
由题意可知， 年， 年， 年， 年满足要求，
故 ．
（ 2 ）由题意可知， 的所有可能取值为 ， ， ， ，且
； ；
； ．
12
所以 的分布列为：
故 的期望值 ．
（ 3 ）从 年或 年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．
从 年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
20. 已知某同学每次投篮的命中率为 ，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮 次．
（ 1 ）求至少有 次投篮命中的概率．
（ 2 ）设投篮命中的次数为 ，求 的分布列和期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为：
．
【解析】（ 1 ）设 次投篮至少有 次投篮命中为事件 ，
则 ，
∴至少有 次投篮命中的概率为 ．
（ 2 ）由题意知 的可能取值为 ， ， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
∴ 的分布列为：
13
∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的
数学期望
5. 超几何分布
21. 某小组有 名男生， 名女生，从中任选 名同学参加活动，若 表示选出女生的人数，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 名男生， 名女生中任选 名参加活动，
则女生人数为 人时 ，
女生人数为 人时， ，
∴ ，
∴故答案选 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】超几何分布
22. 已知箱中装有 个白球和 个黑球，且规定：取出一个白球得 分，取出一个黑球得 分．现从该箱中
任取（无放回，且每球取到的机会均等） 个球，记随机变量 为取出 球所得分数之和．
（ 1 ）求 的分布列；
（ 2 ）求 的数学期望 ．
【答案】（ 1 ）分布列为
（ 2 ） ．
14
【解析】（ 1 ） 的可能取值有： ，4，5， ．
，
故所求 的分布列为
（ 2 ）所求 的数学期望为 ．
【标注】【知识点】超几何分布
23. 某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从 道题目中随机抽取 道回答，至少答对
道可以晋级．已知甲同学能答对其中的 道题．
（ 1 ）设甲同学答对题目的数量为 ，求 的分布列及数学期望．
（ 2 ）求甲同学能晋级的概率．
【答案】（ 1 ） 的分布列为
数学期望 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 可取 ， ， ， ，
则 ，
，
，
，
的分布列为
．
（ 2 ）甲同学能晋级的概率
15
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
24. 在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完
全相同，一次从中摸出 个球， 表示摸出红球的个数．
（ 1 ）求 的分布列．（用数字作答）
（ 2 ）至少摸到 个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 的取值为 ， ， ， ，
设摸出 个红球的概率为 ，
，
，
，
．
（ 2 ）中奖的概率为 ．
【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
25. 年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经
济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某
企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其
中 、 、 、 、 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到 ）如下：
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
16
总计
（ 1 ）从表中所有应聘人员中随机选择 人，试估计此人被录用的概率．
（ 2 ）从应聘 岗位的 人中随机选择 人．记 为这 人中被录用的人数，求 的分布列和数学期
望．
（ 3 ）表中 、 、 、 、 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于
），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗
位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为：
．
（ 3 ） ， ， ，
【解析】（ 1 ）由表可得：应聘人员总数为： ，
被录用的人数为： ，
所以从表中所有应聘人员中随机选择 人，
此人被录用的概率为： ．
（ 2 ） 可能的取值为 ， ， ，
∵ 岗位的 人中，被录用的有 人，未被录用的有 人，
∴ ，
，
，
∴ 的分布列为：
∴ ．
（ 3 ）取掉 岗位，男性录用比例为： ，
女性录用比例为： ，
17
∴去掉 岗位后，男女比例接近，
∴这四种岗位是： ， ， ， ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型；分层随机抽样
26. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 件产品作为样本并称
出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 ， ， ， ，
，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
频率
组距
重量 克
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）在上述抽取的 件产品中任取 件，设 为重量超过 克的产品数量，求 的分布列．
（ 3 ）用这 件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取 件产品，求
恰有 件产品的重量超过 克的概率．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）频率分布直方图中每个矩形面积之和为 ，
可得 ，
解得 ．
（ 2 ） 件产品中任取 件重量超过 克的产品数量为：
，
的所有取值为 ， ， ；
，
18
，
，
（ 3 ）从流水线上任取 件产品，重量超过 克的概率为 ，
重量不超过 克的概率为 ，
恰有 件产品的重量超过 克的概率 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；频率分布直方图
27. 从 名演员中选 人参加表演．
（ 1 ）求甲在乙前表演的概率．
（ 2 ）若甲参加表演，门票收入会增长 万元，若乙参加表演，门票收入会增长 万元，若甲乙都参
加演出，门票收入会增加 万元，记门票增长为 （万元），求 的分布列和数学期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）记“甲在乙前表演”为事件 ，
∴ ，
∴甲在乙前表演的概率是 ．
（ 2 ） 可能取值有 ， ， ， ，
∴ ，
，
，
，
∴ 的分布列为：
19
∴ ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；古典概型
28. 新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的 倍．下表是通过
抽样调查得到的某地区 年到 年的年新生婴儿性别比．
年份
新生婴儿性别
比
（ 1 ）根据样本数据，估计从该地区 年的新生儿中随机选取 人为女婴的概率（精确到 ）．
（ 2 ）从 年到 年这五年中，随机选取两年，用 表示该地区的新生婴儿性别比高于 的年
数，求 的分布列和数学期望．
（ 3 ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明
理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列为
的数学期望 .
（ 3 ）可以否定，证明见解析；不能否定，证明见解析；无法判断，证明见解析．
【解析】（ 1 ）设“从该地区 年的新生儿中随机选取 人为女婴”为事件 ，
则
．
（ 2 ） 的可能取值为 ， ， ，
，
，
，
所以 的分布列为
20
所以 的数学期望 .
（ 3 ）答案一：可以否定；从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于 ，
由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；
答案二：不能否定；
尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于 ，
但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，
男女婴在新生儿中的比例都近似于 ，
所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；
答案三：无法判断；由于样本容量未知，如果样本容量较小，
那么通过样本数据不能“否定生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，
如果样本容量足够大，那么根据样本数据，
可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．
【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望；超几何分布；离散型随机变量的分布
列
29. 年 月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难
等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用
网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙
两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从 个问题中随机抽 个．
已知这 个问题中，甲能正确回答其中的 个，而乙能正确回答每个问题的概率均为 ，甲、乙两人
对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，
则由乙再从剩下的 道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（ 1 ）求甲、乙两人共答对 个问题的概率．
（ 2 ）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．
（ 3 ）求乙答对题目数的分布列和期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）乙胜出的可能性更大，证明见解析．
（ 3 ）分布列为：
21
期望 ．
【解析】（ 1 ）推出两人共答 题，甲答对 个，乙答对 个，
两人共答 题，甲答对 个，乙答对 个．
然后求解甲、乙两名学生共答对 个问题的概率．
甲、乙共答对 个问题分别为：
两人共答 题，甲答对 个，乙答对 个，
两人共答 题，甲答对 个，乙答对 个，
所以甲、乙两名学生共答对 个问题的概率﹔
．
故答案为： ．
（ 2 ）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答 题甲获胜”和“两人共答 题甲获胜”两类情
况，
其中第一类包括甲乙答对题个数比为 ， ， ， ， ， 六种情
况，
第二类包括前三题甲乙答对题个数比为 ， ， 三种情况，
然后求解概率；设乙获胜为事件 ，
则 ， 为对立事件，求出 的概率，得到结论．
设甲获胜为事件，
则事件包含“两人共答 题甲获胜”和“两人共答 题甲获胜”两类情况，
其中第一类包括甲乙答对题个数比为 ， ， ， ， ， 六种情
况，
第二类包括前三题甲乙答对题个数比为 ， ， 三种情况，
所以甲胜的概率
，
设乙获胜为事件 ，则 ， 为对立事件，
所以 ， ，
所以乙胜出的可能性更大．
（ 3 ）设学生乙答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 ， ， ， ， ，求出概率，
22
得到随机变量 的分布列，然后求解期望．
设学生乙答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 ， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
所以期望 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算
（涉及计数原理）
6. 正态分布
30. 已知随机变量 ，若 ， ，则 =（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意， ，
∵随机变量 ，
∴ ，
故选： ．
【标注】【知识点】正态分布
31. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
23
【答案】
【解析】因为 ，所以 ．
【标注】【知识点】正态分布
32. 下列有关说法正确的是（ ）．
A. 的展开式中含 项的二项式系数为
B. 的展开式中含 项的系数为
C. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
D. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
【答案】ACD
【解析】 、 选项：对于二项式 的展开式中 项为 ，
∴系数为 ，
二次项系数为 ，故 正确， 错误；
、 选项：对于随机变量 服从正态分布 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵对于随机变量 服从正态分布 且正态分布为
∴ ，
故 正确、 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】求二项式展开式的特定项；求项的系数或二项式系数；正态分布
33. 在某市 年 月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布 ，现任
取一名学生，则他的数学成绩在区间 内的概率为 ．
24
（附：若 ，则 ，
．)
【答案】
【解析】∵学生的数学成绩服从正态分布 ，
∴ ，
．
故答案为 ．
【标注】【知识点】正态分布
34. 在一次数学测验中，学生的成绩 服从正态分布 ，其中 分为及格线， 分为优秀
线．下面说法正确的是（ ）．
附： ； ；
．
A. 学生数学成绩的期望为
B. 学生数学成绩的标准差为
C. 学生数学成绩及格率超过
D. 学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】AC
【解析】 ， ，
∴ ，显然 正确， 错误；
． ，故 正确；
． ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正态分布
35. 已知随机变量 ， ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错
误的是（ ）．
25
A.
B.
C. 的取值比 的取值更集中于平均值左右
D. 两支密度曲线与 轴之间的面积均为
【答案】B
【解析】A 选项：因为 ， ，
故 正确；
B 选项：由图可知 ，故 错误；
C 选项：因为正态分布曲线越瘦高，数据越集中，故
正确；
D 选项：根据正态分布曲线的性质可知，故 正确．
故选 B .
【标注】【知识点】正态分布
36. 某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对 辆车的速
度进行取样，根据测量的车速制成下表：
车速
频数
经计算，样本的平均值 ，标准差 ，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都
被认为是需矫正速度，现规定车速小于 或车速大于 需矫正速度．
（ 1 ）从该快速车道上的所有车辆中任取 辆，求该车辆需矫正速度的概率．
（ 2 ）从样本中任取 辆车，求这 辆车均需矫正速度的概率．
（ 3 ）从该快速车道上的所有车辆中任取 辆，记其中需矫正速度的车辆数为 ．求 的分布列和数学
期望．
【答案】（ 1 ） ．
26
（ 2 ） ．
（ 3 ）分布列：
，
．
【解析】（ 1 ） ， ，
∴小于 有 辆，大于 有 辆，
∴所求概率 ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ， ， ，
∴ ，
，
，
∴分布列：
，
∴ ．
【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型
37. 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理
科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：
频率
组距
分数
（ 1 ）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 ．精确到个位）
（ 2 ）研究发现，本次检测的理科数学成绩 近似服从正态分布 （ ， 约为 ），
按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 ．
1
27
估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个
位）
2 从该市高三理科学生中随机抽取 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数
为 ，求 的分布列及数学期望 ．
（说明： 表示 的概率．参考数据（
， ）
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）1 ．
2 分布列为：
∴ ．
【解析】（ 1 ）
．
（ 2 ）1 设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
2 由题意可知 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ 的分布列为：
∴ ．
【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望
38. 《山东省高考改革试点方案》规定：从 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科； 年高考
总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩
从高到低划分为 、 ， ， ， 、 、 、 共 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人
28
数所占比例分别为 、 ， ， ， ， ， ， ，选考科目成绩计入考生总成绩
时，将 至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 ， ，
， ， ， ， ， 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生
共 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩 大
致服从正态分布 ．
（ 1 ）求该市化学原始成绩在区间 的人数．
（ 2 ）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机
抽取 人，记 表示这 人中等级成绩在区间 的人数，求 ．
（附：若随机变量 ，则 ，
， ）．
【答案】（ 1 ） 人．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵化学原始成绩 ，
∴
，
∴化学原始成绩在 的人数为 （人）．
（ 2 ）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，
且等级成绩在区间 、 的人数所占比例分别为 ， ，
则随机抽取 人，其等级成绩在区间 内的概率为 ，
所以从全省考生中随机抽取 人，则 的所有可能取值为 ， ， ， ，
且 ，
∴
．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；正态分布；n次独立重复试验与二项分布
29概率与统计【题集】
1. 条件概率与相互独立事件
1. 盒子中有 个白球和 个红球，现从盒子中依次不放回地抽取 个球，那么在第一次抽出白球的条件
下，第二次抽出红球的概率是 ．
2. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完 局仍未出现连胜，则判定获胜
局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立．则
甲在 局以内（含 局）赢得比赛的概率为（ ）．
A. B. C. D.
2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差
3. 设 是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：
则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知随机变量 的分布列如表（其中 为常数）
则 等于（ ）．
A. B. C. D.
5. 若随机变量 的概率分布如表，则表中 的值为 ．
6. 设离散型随机变量 的分布列为（ ）．
若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（ ）．
A. B.
C. D.
1
3. 两点分布
7. 已知随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
8. 设某项试验的成功率是失败率的 倍，用随机变量 去描述 次试验的成功次数，则
（ ）．
A. B. C. D.
9. 若 的分布列为：
其中 ，则 ， ．
10. 若随机变量 服从两点分布，其中 ，则 和 的值分别是（
）．
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
11. 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 ， ， ，只有通过前一关才能进入下
一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）．
A. B. C. D.
4. 次独立重复实验与二项分布
12. 已知随机变量 服从二项分布，即 ，且 ， ，则二项分布的参数
， 的值为（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13. 已知服从二项分布的随机变量 满足 ，则 （ ）的值为（ ）．
A. B. C. D.
14. 一批产品的次品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的次
品件数，则 ．
15. 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 ， ， 层停靠，若该电梯在底层载有 位乘客，且每
位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用 表示这 位乘客在第 层下电梯的人数，则
．
16.
2
新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知 ， ， 三人与新冠
肺炎病人甲近距离接触，由于 ， ， 三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，
近距离接触病人被感染的概率为 ，记 ， ， 三人中被感染的人数为 ，则 的数学期望
（ ）．
A. B. C. D.
17. 在天猫进行 大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
人数
消费金额 元
（ 1 ）将当日的消费金额超过 元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取
人，求至少有 位消费者，当日的消费金额超过 元的概率．
（ 2 ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案 ：按分层抽样从消费金额在不超过 元，超过 元且不超过 元， 元以上
的消费者中总共抽取 位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为 元、 元和 元．
方案 ：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有 张牌，背面都是相同的喜
羊羊头像，正面有 张笑脸、 张哭脸，将 张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻
一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得 元奖励金．如果消费金额不超过 元
的消费者均可参加 轮翻牌游戏；超过 元且不超过 元的消费者均可参加 轮翻牌游
戏； 元以上的消费者均可参加 轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．
以方案 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．
18. 年 月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟
年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程
度，随机抽取了学校中的 名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：
若根据频率分布直方图得到的评分不低于 分的概率估计值为 ．
3
频率
组距
评分
（ 1 ）求直方图中的 ， 值，若评分的平均值不低于 分视为满意，判断该校学生对线上课程是否
满意？并说明理由．
（ 2 ）若采用分层抽样的方法，从评分在 和 内的学生中共抽取 人，再从这 人中随
机抽取 人检验他们的网课学习效果，求抽取到的 人中至少一人评分在 内的概率．
（ 3 ）若从该校学生中随机抽取 人，记评分标准在 的人数为 ，用频率估计概率，求随机变
量 的分布列与数学期望．
19. 改革开放 年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国 年至 年体
育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业
年增长率（ ）．
体育产业增加值 体育产业年增长率
（ 1 ）从 年至 年随机选择 年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多
亿元以上的概率．
（ 2 ）从 年至 年随机选择 年，设 是选出的三年中体育产业年增长率超过 的年数，求
的分布列与数学期望．
（ 3 ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育
产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
4
20. 已知某同学每次投篮的命中率为 ，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮 次．
（ 1 ）求至少有 次投篮命中的概率．
（ 2 ）设投篮命中的次数为 ，求 的分布列和期望．
5. 超几何分布
21. 某小组有 名男生， 名女生，从中任选 名同学参加活动，若 表示选出女生的人数，则
（ ）．
A. B. C. D.
22. 已知箱中装有 个白球和 个黑球，且规定：取出一个白球得 分，取出一个黑球得 分．现从该箱中
任取（无放回，且每球取到的机会均等） 个球，记随机变量 为取出 球所得分数之和．
（ 1 ）求 的分布列；
（ 2 ）求 的数学期望 ．
23. 某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从 道题目中随机抽取 道回答，至少答对
道可以晋级．已知甲同学能答对其中的 道题．
（ 1 ）设甲同学答对题目的数量为 ，求 的分布列及数学期望．
（ 2 ）求甲同学能晋级的概率．
24. 在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完
全相同，一次从中摸出 个球， 表示摸出红球的个数．
（ 1 ）求 的分布列．（用数字作答）
（ 2 ）至少摸到 个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）
25. 年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经
济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某
企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其
中 、 、 、 、 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到 ）如下：
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
总计
5
（ 1 ）从表中所有应聘人员中随机选择 人，试估计此人被录用的概率．
（ 2 ）从应聘 岗位的 人中随机选择 人．记 为这 人中被录用的人数，求 的分布列和数学期
望．
（ 3 ）表中 、 、 、 、 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于
），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗
位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
26. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 件产品作为样本并称
出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 ， ， ， ，
，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
频率
组距
重量 克
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）在上述抽取的 件产品中任取 件，设 为重量超过 克的产品数量，求 的分布列．
（ 3 ）用这 件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取 件产品，求
恰有 件产品的重量超过 克的概率．
27. 从 名演员中选 人参加表演．
（ 1 ）求甲在乙前表演的概率．
（ 2 ）若甲参加表演，门票收入会增长 万元，若乙参加表演，门票收入会增长 万元，若甲乙都参
加演出，门票收入会增加 万元，记门票增长为 （万元），求 的分布列和数学期望．
28. 新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的 倍．下表是通过
抽样调查得到的某地区 年到 年的年新生婴儿性别比．
年份
新生婴儿性别
比
（ 1 ）根据样本数据，估计从该地区 年的新生儿中随机选取 人为女婴的概率（精确到 ）．
6
（ 2 ）从 年到 年这五年中，随机选取两年，用 表示该地区的新生婴儿性别比高于 的年
数，求 的分布列和数学期望．
（ 3 ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明
理由．
29. 年 月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难
等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用
网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙
两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从 个问题中随机抽 个．
已知这 个问题中，甲能正确回答其中的 个，而乙能正确回答每个问题的概率均为 ，甲、乙两人
对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，
则由乙再从剩下的 道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（ 1 ）求甲、乙两人共答对 个问题的概率．
（ 2 ）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．
（ 3 ）求乙答对题目数的分布列和期望．
6. 正态分布
30. 已知随机变量 ，若 ， ，则 =（ ）．
A. B. C. D.
31. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
32. 下列有关说法正确的是（ ）．
A. 的展开式中含 项的二项式系数为
B. 的展开式中含 项的系数为
C. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
D. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
33. 在某市 年 月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布 ，现任
取一名学生，则他的数学成绩在区间 内的概率为 ．
（附：若 ，则 ，
．)
34. 在一次数学测验中，学生的成绩 服从正态分布 ，其中 分为及格线， 分为优秀
线．下面说法正确的是（ ）．
7
附： ； ；
．
A. 学生数学成绩的期望为
B. 学生数学成绩的标准差为
C. 学生数学成绩及格率超过
D. 学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
35. 已知随机变量 ， ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错
误的是（ ）．
A.
B.
C. 的取值比 的取值更集中于平均值左右
D. 两支密度曲线与 轴之间的面积均为
36. 某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对 辆车的速
度进行取样，根据测量的车速制成下表：
车速
频数
经计算，样本的平均值 ，标准差 ，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都
被认为是需矫正速度，现规定车速小于 或车速大于 需矫正速度．
（ 1 ）从该快速车道上的所有车辆中任取 辆，求该车辆需矫正速度的概率．
（ 2 ）从样本中任取 辆车，求这 辆车均需矫正速度的概率．
（ 3 ）从该快速车道上的所有车辆中任取 辆，记其中需矫正速度的车辆数为 ．求 的分布列和数学
期望．
37. 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理
科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：
8
频率
组距
分数
（ 1 ）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 ．精确到个位）
（ 2 ）研究发现，本次检测的理科数学成绩 近似服从正态分布 （ ， 约为 ），
按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 ．
1 估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个
位）
2 从该市高三理科学生中随机抽取 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数
为 ，求 的分布列及数学期望 ．
（说明： 表示 的概率．参考数据（
， ）
38. 《山东省高考改革试点方案》规定：从 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科； 年高考
总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩
从高到低划分为 、 ， ， ， 、 、 、 共 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人
数所占比例分别为 、 ， ， ， ， ， ， ，选考科目成绩计入考生总成绩
时，将 至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 ， ，
， ， ， ， ， 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生
共 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩 大
致服从正态分布 ．
（ 1 ）求该市化学原始成绩在区间 的人数．
（ 2 ）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机
抽取 人，记 表示这 人中等级成绩在区间 的人数，求 ．
（附：若随机变量 ，则 ，
， ）．
9
