恒成立与存在性问题【题集】
1. 单变量型
恒成立问题
1. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求函数 的单调区间和极值．
（ 2 ）若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， 的单调增区间为 ，
无单调减区间，无极值．
当 时， 的单调增区间为 ，
单调减区间为 ，极小值为 ，无极大值．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ， ，
∴ ．
①当 时，∵ ，∴ ．
在 无单调减区间，无极值．
②当 时，令 得 ．
当 时， ，
当 时， ．
∴ 在 ．
在 的极小值为 ，无极大值．
综上：当 时， 的单调增区间为 ，
无单调减区间，无极值．
当 时， 的单调增区间为 ，
单调减区间为 ，极小值为 ，无极大值．
（ 2 ）∵对于任意 ，都有 成立．
∴ ．
即 ， 恒成立．
即 对于 恒成立．
令 ，则 ．
1
令 ， ，
则 ，
∴ 在 上 ．
．
要使 对于 恒成立，
需 ，即 ．
∴ ．
【标注】【知识点】导数与最值
2. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）当 时，求函数 单调区间．
（ 2 ）设 ，若 在 上恒成立，求实数 的最大值．
【答案】（ 1 ） 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（ 2 ）实数 的最大值为 ．
【解析】（ 1 ）当 时， ， ，
令 ，解得 （舍去）， ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
∴ 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ．
（ 2 ）由题意，可知 在 上恒成立，
（ⅰ）若 ，
∵ ，
∴ ，
2
∴ ，
构造函数 ， ，
则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴当 时， 在 上恒成立．
（ⅱ）若 ，构造函数 ， ，
∵ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ 恒成立，即 ，
∴ ，即 ，
由题意，知 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立，
由（ ），可知 最小值 ，
又∵ ，
当 ，即 时， 在 上单调递减，
，不合题意．
∴ ，即 ，
此时
，
构造函数 ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
3
，
∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
∴ 恒成立．
综上，实数 的最大值为 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题
3. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题知：
当 时 ，化为：
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
综上： ．
故答案为： ．
【标注】【方法】参变分离法
【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】区间上恒单调
4. 若对任意的 ， 不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵ 对任意的 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
4
∴令 ，故 ，
，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得最小值，
∴ ，故 的最大值为 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题
5. 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 恒成立，即 恒成立．设
，则 ．当 时，
，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，所以
．所以 ．
【标注】【知识点】导数与单调性；利用导数解决不等式恒成立问题；导数与最值
6. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 单调递减，在 单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
当 时， ， ，
∴ 在 上单调递增，
当 时，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增．
（ 2 ）令 ，
问题转化为 在 上恒成立，
5
，注意到 ，
当 时， ，
，
因为 ，
所以 ， ，
所以存在 ，使 ，
当 时， ， 递减，
所以 ，不满足题意，
当 时， ，
当 时， ， ，
所以 ， 在 上单调递增，所以 ，满足题意，
综上所述： ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题
7. 已知函数 ， .
（ 1 ）求 的极值；
（ 2 ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）令 ，则
∴
， ∴ .
（ 2 ）由已知，当 时， 恒成立， 即
恒成立， 令 ， 则
， ∴当 时， ， 单调递增； 当
时， ， 单调递减， 故当 时，
， ∴ .
【标注】【知识点】导数与最值；利用导数证明不等式恒成立问题；求解函数极值
6
8. 已知函数 ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）令 ，
由 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，从而 ．
（ 2 ） ，对任意的 恒成立
对任意的 恒成立，
令 ， ，
∴
，
由(1)可知当 时， 恒成立，
令 ，得 ； 得 ，
∴ 的增区间为 ，减区间为 ， ，
∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】导数与最值；利用导数证明不等式恒成立问题；通过构造函数证明不等式；导
数与单调性
存在性问题
9. 已知函数 ，存在 ，使得 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
7
【解析】由于函数 的定义域是 ，不等式 有解，
即 在 上有解，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 ， ，
当 时， ，
可得当 时，函数 取得最大值，
要使不等式 在 上有解，只需 即可，即 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
10. 若 ，不等式 成立，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若 ，不等式 成立，
则 ，不等式 成立，
令 ，则 ，
∵ ，
则 时， ， 为增函数，
时， ， 为减函数，
故 时， ，
故 的取值范围是 ．故选 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式能成立问题
11. 已知 ．
若存在 使得 成立，求 的范围．
【答案】（ 1 ） ．
8
【解析】（ 1 ）存在 使得 ，
设 ，
则 ，
令 ，则 或 ，
所以 在 递减，在 递增，
又因为 ， ，
，
所以 在 的最大值为 ，
所以 ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用导数证明不等式能成立问题
12. 已知函数 ．
（ 1 ）求 在点 处的切线方程．
（ 2 ）若存在 ，满足 成立，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ，
∴ 在 处的切线方程为： ，
即 ．
（ 2 ） ，即 ，
令 ，得 ．
∵ 时， ， 时， ，
∴ 在 上减，在 上增，
又 时，
∴ 的最大值在区间端点处取到，
， ，
，
∴ ，
9
∴ 在 上最大值为 ，
故 的取值范围是： ．
【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；利用导数证明不等式能成立问题
13. 已知函数 ，函数 的导函数 ，且 ，其中 为自然对数的底
数．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）若 ，使得不等式 成立，试求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
【解析】（ 1 ）∵函数 的导函数 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ） ，使得不等式 成立，
∴ ，使得 成立，
令 ，则问题可转化为： ，
对于 ， ，
由于 ，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，从而 在 上为减函数，
∴ ，∴
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数解决不等式能成立问题
14. 已知函数 ．
（ 1 ）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
10
（ 2 ）若存在正数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ，
且 ，
若 在区间 上单调递增，
则 在 恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，
易知函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
（ 2 ）存在正数 ，使得 成立，
即存在正数 ，
使得 ，
即存在 使得 即 ，
令 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以当 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，
故 ，即实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】已知单调性求参数的取值范围；通过构造函数证明不等式；利用导数证明不等
式能成立问题；导数与最值；利用公式和四则运算法则求导
15. 已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围．
11
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ，
求导， ，
则函数 在点 处切线方程 ，
即 ，
由函数 在 处的切线方程为 ，比较可得 ，
实数 的值 ．
（ 2 ）由 ，即 ，
则 在 ，上有解，
设 ， ，
求导 ，
令 ，
∴ 在 时， ，
则函数 在 上单调递减，
∴ ，
则 ，及 在区间 单调递减，
，
∴实数 的取值范围 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式能成立问题
16. 设函数 ，已知曲线 在 处的切线 的方程为 ，且
．
（ 1 ）求 的取值范围．
（ 2 ）若存在 ，满足 ，求 的最小值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ，
12
∴ ，
，
∴ 在 处的切线为 ，
∴切线为 ，
∴ ．
（ 2 ）若存在 ，满足 ，
即在 ， ，
∵设函数 ，
∴ ，
又∵设 ，
∴ ，
又∵在 ， 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用；利用导数证明不等式能成立问
题
17. 已知函数 在 处的切线与直线 垂直．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）若存在 ，使 成立，求 的最小值．
【答案】（ 1 ）函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（ 2 ） 的最小值是 ．
【解析】（ 1 ） ，
由已知： ，
解得： ，
13
∴ ，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，
∴函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（ 2 ）∵ ，
∴ 等价于 ，
即存在 ，使 成立，
∴ ，
设 ，
则 ，
设 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
∴ 在 上有唯一零点，
设为 ，则 ，
且 ，
，
又 ，
∴ 的最小值是 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值；利用导数证明
不等式能成立问题；导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用
2. 双变量型
恒成立问题
18. 已知函数 ， 为函数 的一个极值点．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）对于任意的 ， ，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
14
【解析】（ 1 ） 的导数为 ，
由 为函数 的一个极值点，可得 ，
即 ，可得 ．
（ 2 ）由（ ）可得 的导数为 ，
由 ，解得 ，
可得 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
则 的极大值为 ，极小值为 ，
又 ， ，
可得 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
则 ，
由对于任意的 ， ，都有 ，
可得 ，
即 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；双变量问题；已知极值情况求函数解析式
19. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求实数 的取值范
围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由题设可知：
，
则 ， ，
令 ，则
，
故 在 上单调递增，则
，
故实数 的取值范围为 ．
（ 2 ）当 时， ， ，
则 ，
15
令 ，即 ，则设 为其 的解，
则当 时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，
则 极大值 ，
又由 ， 均有 ，恒成立，
则 ，故 ，
令 ， ，则易知 ，
则 ，即实数 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】双变量问题；已知单调性求参数的取值范围
20. 设函数 （ ）．
（ 1 ）当 时，讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若对任意 及任意 ， ，恒有 成立，求
实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上是减函数；
当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递
增；
当 时， 在 和 上单调递减，在 上单
调递增．
（ 2 ） 的取值范围是 ．
【解析】（ 1 ）
．
①当 ，即 时， 在定义域上是减函
数；
②当 ，即 时， 令 ，得 或 ； 令
，得 ．
③当 ，即 时， 令 ，得 或 ； 令
，得 ．
16
综上，当 时， 在 上是减函数； 当 时， 在
和 上单调递减；在 上单调递增； 当 时， 在
和 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ）由（ ）知，对任意 ，函数 在区间 上单调递减，
因此 ．
．
由对任意 及任意 ， ，恒有
成立，
∴对任意 及任意 ， ，恒有
成立．
化为： ， ．
令 ， ．
，
∴函数 在 上单调递减．
∴ ．
∴实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；利用导数解决不等式恒成立问题
存在性问题
21. 已知函数 ，存在 ， ，使 成立，则实数 的最小值
为 （其中 是自然对数的底数）．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ，
∴当 时， ，
故只需存在 ，使得 ，
17
即 ，即 ，
令 ，
∴ ，
当 ， ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴由题可知，只需 即可，
∴ ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；利用导数解决不等式能成立问题
22. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值．
（ 2 ）已知 表示 的导数，若 ， ，（ 为自然对数的底数），使
成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 的最小值为 ．
（ 2 ） 的取值范围为 ．
【解析】（ 1 ） ，
∵ 在 上是减函数，
∴ 在 上恒成立，
∴ ，设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（ 2 ）若 ， ，使 成立，
则有 ，
18
由（ ）知，当 时， ，
所以 ，
∴转化为当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
又当 时， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 单调递减，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；已知单调性求参数的取值范围；利用导数证明不等式
恒成立问题；双变量问题
23. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求函数 的单调区间．
（ 2 ）设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使
，证明： ．
【答案】（ 1 ）当 时，单调减区间是 ，单调增区间是 ， ；
当 时，单调增区间是 ，没有单调减区间．
（ 2 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）函数 的定义域为 ，
又 ，
由 ，得 或 ，
当 即 时，
由 得 ，由 得 或 ；
当 即 时，当 时都有 ；
∴当 时，单调减区间是 ，单调增区间是 ， ；
19
当 时，单调增区间是 ，没有单调减区间．
（ 2 ）当 时，由（ ）知 在 单调递减，在 单调递增，
从而 在 上的最小值为 ，
对任意 ，存在 ，使 即存在
，使 的值不超过 在区间 上最小值 ，
由 得 ，
∴ ，
令 ，
则当 时， ，
∵ ，
当 时， ，
当 时， ， ，
故 在 上单调递减，从而 ，
从而实数 ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式；利用导数解决不等式恒成立与能成立综合问题
24. 已知函数 ， ．
（ 1 ）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若存在 ，都有 ，求实数 的取值范围．
（ 3 ）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
（ 4 ）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
（ 5 ）若对任意 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值．范围．
（ 6 ）若存在 ，对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 的取值范围是 ．
（ 2 ） 的取值范围是 ．
（ 3 ） 的取值范围是 ．
（ 4 ） 的取值范围是 ．
（ 5 ） 的取值范围是 ．
（ 6 ） 的取值范围是 ．
【解析】（ 1 ）设函数 ，
，令 得 或 ，
20
∵ ， ， ， ，
∴当 时， ， ，
设等价于 在 时恒成立，即 ，解得
∴ 的取值范围是 ．
（ 2 ）设函数 ，
，令 得 或 ，
∵ ， ， ， ，
∴当 时， ， ，
设等价于 在 时恒成立，即 ，解得
∴ 的取值范围是 ．
（ 3 ） ，令 ，解得 或
，
∵ ， ， ， ．
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
∵函数 的对称轴为 ，
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
．
设等价于 ，即 ，
∴ 的取值范围是 ．
（ 4 ） ，令 ，解得 或
，
∵ ， ， ， ．
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
∵函数 的对称轴为 ，
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
．
设等价于 ，即 ，
∴ 的取值范围是 ．
（ 5 ） ，令 ，解得 或
，
∵ ， ， ， ．
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
∵函数 的对称轴为 ，
21
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
．
设等价于 ，即 ，
∴ 的取值范围是 ．
（ 6 ） ，令 ，解得 或
，
∵ ， ， ， ．
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
∵函数 的对称轴为 ，
∴函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
．
设等价于 ，即 ， ∴ 的取值范围是
．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式能成立问题；利用导数证明不等式恒成立问题；利用导数
证明不等式恒成立与能成立综合问题；导数与最值
22恒成立与存在性问题【题集】
1. 单变量型
恒成立问题
1. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求函数 的单调区间和极值．
（ 2 ）若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
2. 已知函数 ，其中 ．
（ 1 ）当 时，求函数 单调区间．
（ 2 ）设 ，若 在 上恒成立，求实数 的最大值．
3. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
4. 若对任意的 ， 不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）．
A. B.
C. D.
5. 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 ，求实数 的取值范围．
7. 已知函数 ， .
（ 1 ）求 的极值；
（ 2 ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
8. 已知函数 ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
存在性问题
9. 已知函数 ，存在 ，使得 有解，则实数 的取值范围是（ ）．
1
A. B. C. D.
10. 若 ，不等式 成立，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
11. 已知 ．
若存在 使得 成立，求 的范围．
12. 已知函数 ．
（ 1 ）求 在点 处的切线方程．
（ 2 ）若存在 ，满足 成立，求 的取值范围．
13. 已知函数 ，函数 的导函数 ，且 ，其中 为自然对数的底
数．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）若 ，使得不等式 成立，试求实数 的取值范围．
14. 已知函数 ．
（ 1 ）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若存在正数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
15. 已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围．
16. 设函数 ，已知曲线 在 处的切线 的方程为 ，且
．
（ 1 ）求 的取值范围．
（ 2 ）若存在 ，满足 ，求 的最小值．
17. 已知函数 在 处的切线与直线 垂直．
（ 1 ）求函数 的单调区间．
（ 2 ）若存在 ，使 成立，求 的最小值．
2. 双变量型
恒成立问题
2
18. 已知函数 ， 为函数 的一个极值点．
（ 1 ）求实数 的值．
（ 2 ）对于任意的 ， ，都有 ，求实数 的取值范围．
19. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求实数 的取值范
围．
20. 设函数 （ ）．
（ 1 ）当 时，讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若对任意 及任意 ， ，恒有 成立，求
实数 的取值范围．
存在性问题
21. 已知函数 ，存在 ， ，使 成立，则实数 的最小值
为 （其中 是自然对数的底数）．
22. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 在 上是减函数，求实数 的最小值．
（ 2 ）已知 表示 的导数，若 ， ，（ 为自然对数的底数），使
成立，求实数 的取值范围．
23. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求函数 的单调区间．
（ 2 ）设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使
，证明： ．
24. 已知函数 ， ．
（ 1 ）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若存在 ，都有 ，求实数 的取值范围．
（ 3 ）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
（ 4 ）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
（ 5 ）若对任意 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值．范围．
（ 6 ）若存在 ，对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围．
3
4
