空间向量与立体几何综合
一、 课堂目标
1．掌握空间向量的概念及相关运算并能熟练运用．
2．掌握利用空间向量证明空间中平行或垂直问题．
3．掌握利用空间向量求空间中角的方法步骤并能熟练运用．
4．掌握利用空间向量求空间中距离的方法步骤并能熟练运用．
【备注】【教师指导】
1.本讲是空间向量与立体综合的综合练习，题目大多是各地期末考试题，重点是空间向量
的概念及相关运算，利用空间向量证明空间中平行或垂直问题；难点是，法向量的求解步
骤，利用空间向量求空间中角的方法步骤，利用空间向量求空间中距离的方法步骤，在求
解时要注意计算.
2.本讲的关联知识包括立体几何初步、空间向量、空间向量与立体几何
二、 知识讲解
1. 空间向量
知识精讲
（1）空间向量线性运算
如下图：
①
②
③当 时 ；当 时 ；当 时 .
（2）空间向量的数量积
空间中的两个向量 ，则 ．
1
【备注】【教师指导】
1.运算律：
①交换律： ；
②结合律： ．
③分配律： ； ．
④数乘结合律： ．
2.空间向量数量积的运算律
① ．
②交换律： ．
③分配律： ．
常用性质：
①若 是非零向量， ⊥ ，且 ⊥ ．
② ，即 ．
3.空间向量共线的充要条件：
与平面向量共线的充要条件类似，对于空间任意两个向量 ， 的充
要条件是存在实数 ，使得 ．
4.空间三个向量共面的充要条件：
如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对 ，使 ．
5.空间向量基本定理
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组
，使得 ．
其中 叫做空间的一组基底． 都叫做基向量．
任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
（3）空间向量运算的坐标表示
设 ， ，则容易得到：
① ；
② ；
③ ．
根据向量的减法运算法则，我们还能得到：
④如 ，则 .
（4）空间向量平行和垂直的条件
2
设 ， ，
① ， ， ；
② ．
（5）两个向量夹角与模长的坐标计算公式
设 ， ，则
．
．
经典例题
1. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 为 的中点，点 在线段
上，且 ，则 ．
A.
B.
C.
D.
【备注】【教师指导】
1.本题考查空间向量的线性运算；
2.将所求向量用已知向量表示即可.
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，点 为 的中点，且 ，
则
3
，
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
巩固练习
2. 如图，平行六面体 中， 与 交于点 ，设 ， ，
，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】 ， ， ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量基本定理
经典例题
3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）．
4
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
1.本题考查平面向量线性运算与数量积运算
2.注意计算准确
【答案】B
【解析】∵ ， ， ，
∴
，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的坐标表示
4. 已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，且
，则实数 的值为 ．
【备注】【教师指导】
1.本题考查两个向量垂直的条件
设 ， ，
．
2.代入上式求解即可.
【答案】 或
【解析】 ，
整理得： ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；直线的方向向量与平面的法向量
巩固练习
5. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）．
5
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，解得 ， ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决异面直线所成角问题
知识精讲
（6）直线的方向向量
一般地，如果 是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与
平行或重合，则称 是直线 的一个方向向量.
（7）平面的法向量
①概念
直线 ，取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的法向量．
②平面法向量的求法
第一步：设平面的一个法向量为 ；
第二步：找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标 ；
第三步：根据法向量的定义建立关于 的方程组 ；
第四步：解方程组，取其中的一组解，即得法向量.
【备注】【教师指导】
法向量的性质：
①如果直线 垂直平面 ，则直线 的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量；
②如果 是平面 的一个法向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是平面 的一个法
向量，而且平面 的任意两个法向量都平行；
③如果 为平面 的一个法向量， 为平面 上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 ，
向量 一定与向量 垂直，即 ，从而可知平面 的位置可由 和 唯一确定.
经典例题
6
6. 若两个向量 ， ，则平面 的一个法向量为（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查平面法向量的求解方法，可不用解析中的代入法
第一步：设平面的一个法向量为 ；
第二步：找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标
；
第三步：根据法向量的定义建立关于 的方程组 ；
第四步：解方程组，取其中的一组解，即得法向量.
【答案】A
【解析】∵两个向量 ， ，
∴平面 的法向量应与 、 均垂直，
选项 ，若法向量为 ，
则 ， ，
，
，
故 正确；
选项 ，若法向量为 ，
则 ， ，即 ， ，
，
，
故 错误；
选项 ，若法向量为 ，
则 ， ，即 ， ，
，
，
故 错误；
选项 ，若法向量为 ，
则 ， ，即 ， ，
，
7
，
故 错误．
综上所述，故选 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；向量法解决空间中的垂直问题
巩固练习
7. 如图在正方体 中， 、 分别是棱 ， 的中点，求证： 为平面
的一个法向量．
【答案】证明见解析
【解析】如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐
标系 ．
设正方体的棱长为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ， ，
8
又 ，所以 是平面 的一个法向量．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；直线的方向向量与平面的法向量
2. 利用空间向量证明直线、平面平行或垂直
【备注】【教师指导】
证明空间中的平行或垂直首选方法是利用判定定理来证明，如果判定定理不能直接判定，
选择空间向量来证明空间中的平行或垂直.
知识精讲
（1）利用空间向量证明直线与直线平行或垂直
设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则有：
；
．
（2）利用空间向量证明直线与平面平行或垂直
如图，设 是平面 的一个法向量， 是直线 的方向向量，则：
；
或 .
（3）利用空间向量证明平面与平面平行或垂直
如图，设平面 的法向量分别是 ，则
；
或 与 重合.
9
经典例题
8. 如图所示，直角梯形 中， ， ， ，四边形
为矩形， ，平面 平面 ．
求证： 平面 ．
【备注】【教师指导】
本题考查利用向量法证明线面平行，属于建系不规则类型
1.先找到直线的方向向量
2.再找到平面的法向量
3.证明上述方向向量与法向量垂直
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示；
则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，
不妨设 ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
又∵ 平面 ，
10
∴ 平面 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；向量法解决二面角问题；向量法解决空间中
的平行问题；向量法求空间距离
巩固练习
9. 如图，四棱锥 中，底面 是菱形， 是等边三角形，平面 平面
， ．
求证：平面 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）取 中点 ，连接 ， ， ，
∵底面 为菱形，且 ，
∴ 为等边三角形，则 ，
又 为等边三角形，则 ，
由平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图，
设 ，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
11
令 得 ， ，故 ，
同理可求平面 的一个法向量 ，
∵ ，则平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的垂直问题
3. 向量法求空间中的角
知识精讲
（1）利用向量法求异面直线所成角
步骤：
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②定向量：确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
③计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
④下结论：两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值，
即 ．
注意：向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
【备注】【教师指导】
设两条异面直线所成的角为 ，则 ， ．
设两条异面直线的方向向量分别为 ，则其夹角 与 相等或互补．
．
注意：空间两条直线夹角的范围： ；两条异面直线夹角的范围： ， ．
经典例题
10. 正方体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，则 与 所成角的余弦
值为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
1.本题考查求利用向量法求异面直线所成角，运用上述步骤求解即可
2.主要让学生掌握求余弦值的公式.
12
【答案】A
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为 ，
则 ， ， ， ，
， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
巩固练习
11. 已知正方体 中， ，异面直线 与 所成角的余弦值
是 ；若 ，则 ．
【答案】 ;
【解析】
13
以 为原点， ， ， ，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
，
又 ，∴ ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
知识精讲
（2）利用向量法求直线 与平面 所成角
步骤
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②求坐标：确定相关点的坐标；
③求向量：求出直线 的方向向量 和平面 的法向量 ；
④求角（或所成角的三角函数值）：设直线与平面 所成角为 ，则
．
【备注】【教师指导】
1.直线与其在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角．
由此得出：
14
①若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为 ；
②若直线与平面平行，则直线与平面所成角为 ．
直线与平面所成角的取值范围是 ．
2.向量法求线面角的两大途径：
①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角
（或其补角）.
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角
就是斜线和平面所成的角.
一般都选择第②个途径来求线面角.
经典例题
12. 已知长方体 中， ， ， ， ， 分别是棱 ， 的
中点．
（ 1 ）求证：直线 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【备注】【教师指导】
1.第一问题考查面面平行的性质定理，同学往往容易忽略
2.第二问考查向量法求解线面角的步骤，主要掌握对公式的运用
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）取 中点 ，连结 ， ，
15
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴平面 平面 ，
∴直线 平面 ．
（ 2 ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
平面 的法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题；平面和平面平行的性
质；线面平行的证明问题
巩固练习
13. 如图，已知四棱锥 的底面为矩形， 为 的中点， 平面 ．
16
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）若 ， ，
1 求 的长．
2 求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）1 ．
2 ．
【解析】（ 1 ）连接 ， 交于点 ，连接 ，
因为 ， 分别为 和 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（ 2 ）1 因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
在 中，因为 ， ，
所以 ．
2 根据题意知 、 、 两两互相垂直，
17
以 为原点， 所在的直线为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系如图所
示，
得 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
得 ，
令 ，则 ，
设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 ．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；点、直线、平面之间的位置关
系；向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
知识精讲
（3）利用向量法求二面角
步骤
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②求坐标：确定相关点的坐标；
③求向量：分别求出两个平面的法向量 ，设二面角为 ， ，
④求角（或所成角的三角函数值）：
18
若 为锐角，则 ；
若 为钝角，则 .
【备注】【教师指导】
平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平
面 与平面 的夹角．
所形成的二面角的大小与两个平面的夹角相等或互补．
所以平面与平面的夹角的范围是 ， ，二面角的范围是 ．
【注意】
①对于某些平面的法向量要注意题目中条件隐含着，不用单独求；
②注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行分析，以防结论错误.
经典例题
14. 如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形， ， ，四边形
为矩形，平面 平面 ， ， ，点 为 的中点，
点 为 的中点．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
【备注】【教师指导】
1.第一问使用空间向量证明，用定理证明较难；
2.第二问主要是练习求二面角的步骤，让学生掌握公式.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）证明：因为平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
19
所以 平面 ，又 ，
如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空
间直角坐标系，
由已知得 ， ， ， ， ，
， ， ，
所以 ，
所以 ．
（ 2 ）设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，解得 ， ，
得 ，
又 平面 ，故取平面 的一个法向量 ，
∴ ， ，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的性质；向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的垂直问
题
巩固练习
15. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ．
20
（ 1 ）若 ，求证：平面 平面 ．
（ 2 ）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）二面角 的余弦值为 ．
【解析】（ 1 ）因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
，
所以 平面 ，
由 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
（ 2 ）过 作 ，因为平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，
不妨设 ，所以 ，
以 为原点，分别以 ， 所在的直线为 ， 轴，以过 点且平行于 的直线
为 轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设 为面 的一个法向量，
则有 ，即 ，令 ，可得 ，
设 为面 的一个法向量，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，所以二面角 的余弦值为
．
21
【标注】【知识点】平面和平面垂直的判定；面面垂直的证明问题；向量法解决二面角问题
经典例题
16. 如图 所示，在等腰梯形 中， ， ，垂足为 ， ，
，将 沿 折起到 的位置，使平面 平面 ，如图 所示，点 为棱
上一个动点．
图
图
（ 1 ）当点 为棱 中点时，求证： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（ 3 ）是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值，若不存
在，请说明理由．
【备注】【教师指导】
本题属于立体几何综合题
1.包含证明平行垂直问题、折叠问题、存在性问题
2.第二问可以利用空间向量求法向量的步骤
3.第三问通过共线向量基本定理，找 点坐标，按照求二面角的步骤，求解，解方程即可.
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）方法一：在图 的等腰梯形 内，过 作 的垂线，垂足为 ，
图
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴四边形 为正方形， ， 为 中点 ，
22
在图 中，连结 ，
图
∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵ ， ， ， 平面 ， 平面
，
∴平面 平面 ，
又∵ 面 ，
∴ 平面 ．
方法二：在图 的等腰梯形 内，过 作 的垂线，垂足为 ，
图
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴四边形 为正方形 ， 为 中点 ，
在图 中，连结
∵点 是 的中点，
图
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
又∵ ，
23
∴平面 平面 ，
又∵ ，
∴ 平面 ．
方法三：在图 的等腰梯形 内，过 作 的垂线，垂足为 ，
图
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴四边形 为正方形， ，得 ，
∴ ， ，
在图 中设点 为线段 的中点，连结 ，
图
∵点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）∵ ， ， 三线两两垂直，如图：
以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 ，
∴ ， ， ， ，
24
∴ ， ，
∵平面 平面 ，
平面 平面 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ，
又 ， ， ，满足 ，
∴ ，
又 ，
∴ 平面 ，
∴ 为平面 的一个法向量，
则设 与平面 所成的角为 ，
易知 ．
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ．
（ 3 ）假设存在点 满足题意，
设 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，
取 ，则 ，
由（ ）， 为平面 的法向量，
令
，
解得 或 （舍），
所以存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；向量法解决二面角问题；向量
25
法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
巩固练习
17. 如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ，点 为 的中
点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ？ 若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）如图所示，连接 和 交于点 ，连接 ．
∵四边形 为正方形，
∴ 为 中点．
又∵ 为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
26
∴ 平面 ．
（ 2 ）∵在正方形 中， ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ 平面 ，
∴ ．
又∵长方形 中， ，
∴如图所示，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
（ 3 ）设线段 上存在点 ，使得 （ ），
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ．
∵ 平面 ，
∴不妨取平面 的法向量为 ．
∵二面角 的余弦值为 ，
27
∴ ．
即 ，
即 ，
∴ 或 （舍），
∴ ．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；向量法解决空间中的垂直问
题；向量法解决异面直线所成角问题；向量法解决二面角问题
4. 空间中的距离
知识精讲
（1）点到直线的距离
点 是直线 外一点，若 是直线 的垂线段，则 的长度就是点 到直线 的距离，这一距离也等于
.
【备注】【教师指导】
（1）空间中两点间的距离公式
已知空间两点 和 ，则两点之间的距离
．
（2）点到平面的距离
求平面 外一点 到平面 的距离的解题步骤：
①建立适当的空间直角坐标系；
②找到平面 内一定点，如 ，求出向量 的坐标；
③求出平面 的法向量 ；
④利用公式 ，求出点 到平面 的距离 ．
【备注】【教师指导】
向量法求其他距离问题
（1）相互平行的直线与平面间的距离
28
直线 与平面 平行， 是平面 的一个法向量， 分别是 上和 内的点，则直线 与平面
之间的距离为： .
（2）相互平行的平面与平面间的距离
如果平面 和平面 平行， 是平面 的一个法向量（当然也是平面 的一个法向量）， 和
分别是平面 和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为： .
经典例题
18. 如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， ， ， ，
， 分别是 ， ， 的中点．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求点 到平面 的距离．
【备注】【教师指导】
1.本题主要让学生掌握利用向量法求空间距离
2.第一问可不按解析，用几何法也可以证明
【答案】（ 1 ）见解析
（ 2 ）见解析
【解析】（ 1 ）证明： 直四棱柱 的底面是菱形，
， ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中
点．
平面 ， ，
29
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
取 ，则 ， ，得 ，
， 平面 ，
平面 ．
（ 2 ） ， ，
平面 的法向量 ，
点 到平面 的距离：
．
【标注】【知识点】向量法求空间距离；向量法解决空间中的平行问题
巩固练习
19. 如图，长方体 的底面 是正方形，点 为棱 的中点， ，
．
30
求点 到平面 的距离．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 且 得：
，
取 ，于是平面 的一个法向量为 ，且 ，
所以点 到平面 的距离为：
．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法求空间距离
31
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
20. 如图，已知正方体 ，点 是上底面 的中心，若
，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
32
【解析】
，
由空间向量基本定理知， ，∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量基本定理
21. 如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， 为
的中点．
（ 1 ）求异面直线 与 所成角的大小．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，∴ ，
，
∵四边形 为正方形，∴ ，∴如图所示，建立空间直角坐标系，
33
∴ ， ， ， ， ， ．
∵点 为 中点，∴ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴异面直线 和 所成角为 ．
（ 2 ）∵平面 即为 平面，故不妨取平面 法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
∵ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
由图可知，二面角 为锐角二面角，
∴二面角 的余弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决异面直线所成角问题
34空间向量与立体几何综合
一、 课堂目标
1．掌握空间向量的概念及相关运算并能熟练运用．
2．掌握利用空间向量证明空间中平行或垂直问题．
3．掌握利用空间向量求空间中角的方法步骤并能熟练运用．
4．掌握利用空间向量求空间中距离的方法步骤并能熟练运用．
二、 知识讲解
1. 空间向量
知识精讲
（1）空间向量线性运算
如下图：
①
②
③当 时 ；当 时 ；当 时 .
（2）空间向量的数量积
空间中的两个向量 ，则 ．
（3）空间向量运算的坐标表示
设 ， ，则容易得到：
① ；
② ；
③ ．
1
根据向量的减法运算法则，我们还能得到：
④如 ，则 .
（4）空间向量平行和垂直的条件
设 ， ，
① ， ， ；
② ．
（5）两个向量夹角与模长的坐标计算公式
设 ， ，则
．
．
经典例题
1. 如图，空间四边形 中， ， ， ，点 为 的中点，点 在线段
上，且 ，则 ．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
2. 如图，平行六面体 中， 与 交于点 ，设 ， ，
，则 （ ）．
2
A.
B.
C.
D.
经典例题
3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
4. 已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，且
，则实数 的值为 ．
巩固练习
5. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
知识精讲
（6）直线的方向向量
一般地，如果 是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与
平行或重合，则称 是直线 的一个方向向量.
（7）平面的法向量
①概念
直线 ，取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的法向量．
②平面法向量的求法
第一步：设平面的一个法向量为 ；
第二步：找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标 ；
3
第三步：根据法向量的定义建立关于 的方程组 ；
第四步：解方程组，取其中的一组解，即得法向量.
经典例题
6. 若两个向量 ， ，则平面 的一个法向量为（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
7. 如图在正方体 中， 、 分别是棱 ， 的中点，求证： 为平面
的一个法向量．
2. 利用空间向量证明直线、平面平行或垂直
知识精讲
（1）利用空间向量证明直线与直线平行或垂直
设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则有：
；
．
（2）利用空间向量证明直线与平面平行或垂直
如图，设 是平面 的一个法向量， 是直线 的方向向量，则：
；
或 .
4
（3）利用空间向量证明平面与平面平行或垂直
如图，设平面 的法向量分别是 ，则
；
或 与 重合.
经典例题
8. 如图所示，直角梯形 中， ， ， ，四边形
为矩形， ，平面 平面 ．
求证： 平面 ．
巩固练习
9. 如图，四棱锥 中，底面 是菱形， 是等边三角形，平面 平面
， ．
求证：平面 平面 ．
5
3. 向量法求空间中的角
知识精讲
（1）利用向量法求异面直线所成角
步骤：
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②定向量：确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
③计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
④下结论：两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值，
即 ．
注意：向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
经典例题
10. 正方体 中，点 ， 分别是 ， 的中点，则 与 所成角的余弦
值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
11. 已知正方体 中， ，异面直线 与 所成角的余弦值
是 ；若 ，则 ．
知识精讲
（2）利用向量法求直线 与平面 所成角
步骤
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②求坐标：确定相关点的坐标；
③求向量：求出直线 的方向向量 和平面 的法向量 ；
④求角（或所成角的三角函数值）：设直线与平面 所成角为 ，则
．
经典例题
6
12. 已知长方体 中， ， ， ， ， 分别是棱 ， 的
中点．
（ 1 ）求证：直线 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
巩固练习
13. 如图，已知四棱锥 的底面为矩形， 为 的中点， 平面 ．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）若 ， ，
1 求 的长．
2 求 与平面 所成角的正弦值．
知识精讲
（3）利用向量法求二面角
步骤
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②求坐标：确定相关点的坐标；
③求向量：分别求出两个平面的法向量 ，设二面角为 ， ，
④求角（或所成角的三角函数值）：
若 为锐角，则 ；
若 为钝角，则 .
7
经典例题
14. 如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形， ， ，四边形
为矩形，平面 平面 ， ， ，点 为 的中点，
点 为 的中点．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
巩固练习
15. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ．
（ 1 ）若 ，求证：平面 平面 ．
（ 2 ）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
经典例题
16. 如图 所示，在等腰梯形 中， ， ，垂足为 ， ，
，将 沿 折起到 的位置，使平面 平面 ，如图 所示，点 为棱
上一个动点．
图
图
（ 1 ）当点 为棱 中点时，求证： 平面 ．
8
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（ 3 ）是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值，若不存
在，请说明理由．
巩固练习
17. 如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ，点 为 的中
点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求证： ．
（ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ？ 若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
4. 空间中的距离
知识精讲
（1）点到直线的距离
点 是直线 外一点，若 是直线 的垂线段，则 的长度就是点 到直线 的距离，这一距离也等于
.
（2）点到平面的距离
求平面 外一点 到平面 的距离的解题步骤：
①建立适当的空间直角坐标系；
②找到平面 内一定点，如 ，求出向量 的坐标；
③求出平面 的法向量 ；
④利用公式 ，求出点 到平面 的距离 ．
经典例题
9
18. 如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， ， ， ，
， 分别是 ， ， 的中点．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求点 到平面 的距离．
巩固练习
19. 如图，长方体 的底面 是正方形，点 为棱 的中点， ，
．
求点 到平面 的距离．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
20.
10
如图，已知正方体 ，点 是上底面 的中心，若
，则 （ ）．
A. B. C. D.
21. 如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， ， 为
的中点．
（ 1 ）求异面直线 与 所成角的大小．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
11
