利用导数解决实际问题
一、 课堂目标
1．理解最优化问题的概念．
2．掌握解决优化问题的步骤并会运用．
二、 知识讲解
1. 利用导数研究生活中的优化问题
知识精讲
1．最优化问题
寻求问题相应的最佳解决方案或最佳解决策略，称为最优化问题.例如，生活中经常遇到求利润最大、用
料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．
2．解决优化问题的四个步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关
系式 ；
（2）求函数的导数 ，解方程 ；
（3）比较函数在区间端点和 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）回归实际问题作答.
知识点睛
解决生活中优化问题应注意的问题
（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑使实际问题有意义，不符合题意的值应舍去；
（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情况.如果函数在这点处有极大
（小）值，那么不与端点值比较，也可知这就是最大（小）值；
（3）注意实际问题中自变量的取值范围.
经典例题
1. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该
药物在人体血管中药物浓度 与时间 的关系为 ，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度
1
随时间 变化的关系如下图所示．
y
甲
乙
x
给出下列四个结论：
①在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
②在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③在 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④在 ， 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
巩固练习
2. 已知劳动的平均产出是指产量除以劳动投入所得的值，劳动的边际产出是指劳动投入增加一个单位
时所增加的产量，若产量与劳动投入的关系如图所示，则下列四个结论：
①当劳动的边际产出下降时，产量下降；
②当劳动投入由 增加至 时，劳动的边际产出最大；
③当劳动投入为 时，劳动的平均产出最大；
④当劳动的边际产出下降时，劳动的平均产出也下
降．
其中，正确的结论个数是（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
3. 将一个边长为 的正方形铁片的四角截去四个边长为 的小正方形，做成一个无盖方盒．当方盒的容
积 取得最大值时， 的值为 ．
4. 成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三
角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）．
A.
B.
2
C.
D.
巩固练习
5. 从一张长为 ，宽为 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则
盒子容积的最大值为 ．
6. 学校科技节制作纸箱车后，班里剩余一块长为 厘米、宽为 厘米的矩形纸板．如果从纸板的四个
角各截取一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，问截下的小正方形的边长（也就是
该容器的高）是多少时，该容器的容积最大？
经典例题
7. 某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式为
，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）．
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
8. 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提
高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，改造后旅游增加值 万元与投入
万元之间满足： （ ， 为常数）．当 万元时， 万
元；当 万元时， 万元．
（参考数据： ， ， ）
（ 1 ）写出该景点改造升级后旅游增加利润 万元与投入 万元的函数解析式．（利润 旅游增加
值 投入）
（ 2 ）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到 ）
巩固练习
9. 某商场销售某商品的经验表明，该商品每日的销售 （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克）
满足关系式 ，其中 且 ， 为常数．已知销售价格为 元/千克
时，每日可售出该商品 千克，则 ；若该商品的成本为 元/千克，当 时，商
场每日销售该商品获得的利润（销售收入 成本）最大．
10. 某建筑公司用 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 层、每层 平方米的楼
房．经初步估计得知，如果将楼房建为 层，则每平方米的平均建筑费用为
（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的
3
平均综合费最小值是多少？（注：平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用，平均购地费用
购地总费用
）
建筑总面积
经典例题
11. 海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 海里 小时，
当速度为 海里 小时时，它的燃料费是每小时 元，其余费用（无论速度如何）都是每小时
元．如果甲乙两地相距 海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（
）．
A. 海里 小时 B. 海里 小时
C. 海里 小时 D. 海里 小时
巩固练习
12. 现有一批货物从海上由 地运往 地，已知货船的最大航行速度为 海里/时， 地至 地之间的航
行距离约为 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度
的平方成正比（比例系数为 ），其余费用为每小时 元．
（ 1 ）把全程运输成本 （元）表示为速度 （海里/时）的函数．
（ 2 ）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
13. 从边长为 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子
容积的最大值为 ．
14. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 （吨）与每吨产品的价格 （元 吨）之间的关系为
，且生产 吨的成本为 元，则该厂每月生产 吨产品才能
使利润达到最大．
15. 某品牌电动汽车的耗电量 与速度 之间满足的关系式为： ，为使耗
电量最小，则速度为（ ）．
A. B. C. D.
4
5利用导数解决实际问题
一、 课堂目标
1．理解最优化问题的概念．
2．掌握解决优化问题的步骤并会运用．
【备注】【教师指导】
1.本堂课较综合，属于利用导数解决实际问题的内容，重点是掌握最优化问题的概念，掌
握解决最优化问题的步骤；难点是利用最优化问题的步骤求解体积、面积、利润、速度等
问题，这类问题的难点在于列表达式、确定定义域等方面，因此要求学生理解题干中的每
一个条件.
2.这讲内容关联的知识点包括导数的概念，导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最
值问题.在平时的考试中考查较多.
二、 知识讲解
1. 利用导数研究生活中的优化问题
知识精讲
1．最优化问题
寻求问题相应的最佳解决方案或最佳解决策略，称为最优化问题.例如，生活中经常遇到求利润最大、用
料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．
2．解决优化问题的四个步骤
（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关
系式 ；
（2）求函数的导数 ，解方程 ；
（3）比较函数在区间端点和 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；
（4）回归实际问题作答.
知识点睛
解决生活中优化问题应注意的问题
（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑使实际问题有意义，不符合题意的值应舍去；
1
（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情况.如果函数在这点处有极大
（小）值，那么不与端点值比较，也可知这就是最大（小）值；
（3）注意实际问题中自变量的取值范围.
经典例题
1. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该
药物在人体血管中药物浓度 与时间 的关系为 ，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度
随时间 变化的关系如下图所示．
y
甲
乙
x
给出下列四个结论：
①在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
②在 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③在 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④在 ， 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
【备注】【教师指导】
这道题实际是考查平均变化率和瞬时变化率，根据图象分析即可.
【答案】①③④
【解析】①项： 时刻，甲乙两人纵坐标一样，故血管中药物浓度相同，①正确；
②项： 时刻，甲乙两人曲线在 处切线倾斜角不同，故瞬时变化率不同，②错；
③项： 这个时段内，甲、乙两人 、 时刻血管内药物浓度相同，故平均变化率相
同，③正确；
甲 甲
④项： 甲血管中药物浓度平均变化率为 ， 为
甲 甲 ，即过 甲 ， 甲 的直线斜率与 甲 ， 甲
的直线斜率明显不同，故④正确；
综上，选①③④．
2
【标注】【知识点】导数的实际应用
巩固练习
2. 已知劳动的平均产出是指产量除以劳动投入所得的值，劳动的边际产出是指劳动投入增加一个单位
时所增加的产量，若产量与劳动投入的关系如图所示，则下列四个结论：
①当劳动的边际产出下降时，产量下降；
②当劳动投入由 增加至 时，劳动的边际产出最大；
③当劳动投入为 时，劳动的平均产出最大；
④当劳动的边际产出下降时，劳动的平均产出也下
降．
其中，正确的结论个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：劳动的平均产出是劳动的投入与对应产量构成的点与原点连线的斜率，由图
可知，劳动投入为 时，平均产出最大，故③错；
边际产出为劳动投入增加一个单位时，产量的变化，即 ，
由图可知，投入由 增加至 时， 最大，故②正确；
减小时 值也可以增大，故①错误；
对比劳动投入由 增加至 时，与由 增至 时，边际产出是下降的，平均产出是上升的，
故④错误．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
经典例题
3. 将一个边长为 的正方形铁片的四角截去四个边长为 的小正方形，做成一个无盖方盒．当方盒的容
积 取得最大值时， 的值为 ．
【备注】【教师指导】
本题考查的是体积问题，这道题要注意的是：1.要求解底面边长，并表示出体积公式；2.求
最值时需要求导，让学生感受利用导数求体积的问题.
【答案】
3
【解析】设无盖方盒的底面边长为 ，则 ，
则无盖方盒的容积为： ．
得 ．
令 ，
解得 或 ；
令 ，解得 ．
∵函数 的定义域为 ，
∴函数 的单调增区间是： ；函数 的单调减区间是： ．
令 ，
得 或 （舍）．
并求得 ．
由 的单调性知， 为 的最大值．
故截去的小正方形的边长 为 时，无盖方盒的容积最大，其最大容积是 ．
【标注】【知识点】导数的实际应用；直接求函数的最值（不含参）
4. 成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三
角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】【教师指导】
这道题考查的是面积问题，要注意的是：1.题目中讲的是正三角形，首先要确定三角形的
边长，并确定表达式；2.求面积时运用的是用 进行求解的；3.求最值时注
意求导.
【答案】D
【解析】方法一：把长为 的细铁丝截成两段，设其中一段为 ，则另一段
为 ，
则这两个正三角形面积之和
，
4
当且仅当 时取等号，
∴这两个正三角形面积之和的最小值为 ．
方法二：设其中一段铁丝长为 ，则另一段长为
，
则两个三角形面积之和
，
∴ ，
令 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， 最小，
∴ （ ）．
【标注】【知识点】二次函数模型；导数的实际应用
巩固练习
5. 从一张长为 ，宽为 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则
盒子容积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设剪去的四个边角正方形边长为 ，
且 ，
无盖盒
，
， ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 为 的极大值，也是最大值点，
，
故答案为 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；导数的实际应用
5
6. 学校科技节制作纸箱车后，班里剩余一块长为 厘米、宽为 厘米的矩形纸板．如果从纸板的四个
角各截取一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，问截下的小正方形的边长（也就是
该容器的高）是多少时，该容器的容积最大？
【答案】截下的小正方形的边长是 厘米，该容器的容积最大．
【解析】设所求边长为 分米，长方形容器的容积记为 立方分米，
则长方体底面的长和宽依次为 分米和 分米，
， ，
，
， （舍）， ，
时 ， 是增函数， 时 ， 是减函数，
故当 时， 有最大值 ，
答：截下的小正方形的边长是 厘米，该容器的容积最大．
【标注】【知识点】函数的实际应用；导数的实际应用；利用导数求函数的最值；导数与单调性
经典例题
7. 某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式为
，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）．
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【备注】【教师指导】
本题考查利用导数求解利润最大值问题，这道题比较基础，直接求导得到单调性，在分析
最值即可，但要注意定义域.
【答案】B
【解析】函数的定义域是 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
函数在 上是增函数，在 上是减函数，
当 时，函数取到最大值 ，
所以该生产厂家获取的最大年利润为 万元．
故选 ．
6
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；导数与单调性；导数的实际应用
8. 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提
高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，改造后旅游增加值 万元与投入
万元之间满足： （ ， 为常数）．当 万元时， 万
元；当 万元时， 万元．
（参考数据： ， ， ）
（ 1 ）写出该景点改造升级后旅游增加利润 万元与投入 万元的函数解析式．（利润 旅游增加
值 投入）
（ 2 ）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到 ）
【备注】【教师指导】
这道题也是考查利润最大值的问题，第一问需要先根据已知条件求得增加值的表达式，再
求得利润的表达式，计算量较大.第二问是在第一问的基础上进行求导求解.
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 万元，最大利润为 万元．
【解析】（ 1 ）
由已知得： ，
化简得： ， ．
∴ ，
则该景点改造升级后旅游增加利润为：
．
（ 2 ）由（ ）得： ，
故旅游增加利润为 ，
则 ，
令 得， ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
∴ 时， 取得最大值，且 ，
∴当投入 万元时，旅游增加利润最大，最大利润为 万元．
【标注】【知识点】对数函数模型；对数函数类型；导数的实际应用
7
巩固练习
9. 某商场销售某商品的经验表明，该商品每日的销售 （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克）
满足关系式 ，其中 且 ， 为常数．已知销售价格为 元/千克
时，每日可售出该商品 千克，则 ；若该商品的成本为 元/千克，当 时，商
场每日销售该商品获得的利润（销售收入 成本）最大．
【答案】 ;
【解析】∵ 时， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴商场每日销售该商品获得的利润：
，
极大值
．
∴当 时，商场每日销售该商品获得的利润最大．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】函数的实际应用；导数的实际应用
10. 某建筑公司用 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 层、每层 平方米的楼
房．经初步估计得知，如果将楼房建为 层，则每平方米的平均建筑费用为
（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的
平均综合费最小值是多少？（注：平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用，平均购地费用
购地总费用
）
建筑总面积
【答案】 层， 元．
【解析】方法一：设楼房每平方米的平均综合费为 元，
依题意得：
，
8
因为 ，
当且仅当 即 上式取“ ”，
因此，当 时， 取得最小值 元，
所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 层，每平方米的平均综
合费最小值为 元．
方法二：设楼房每平方米的平均综合费为 元，
依题意得：
，
因为 ，
，
令 （其中 ），得 ，
当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数；
所以，当且仅当 时， 有最小值，为 ，
即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 层，每平方米的平均综合费
最小值为 元．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；导数的实际应用
经典例题
11. 海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 海里 小时，
当速度为 海里 小时时，它的燃料费是每小时 元，其余费用（无论速度如何）都是每小时
元．如果甲乙两地相距 海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（
）．
A. 海里 小时 B. 海里 小时
C. 海里 小时 D. 海里 小时
【备注】【教师指导】
本题属于速度问题，这道题需要先写出总费用和航速的表达式，要注意题目中所给数据的
单位.
【答案】C
【解析】设当航行速度为 海里 小时时，燃料费为 元，则 ，
9
根据“当速度为 海里 小时时，它的燃料费是每小时 元”得 ，
解得 ，
所以 ，
若从甲地到乙地船以 海里 小时的速度航行，
则总费用 ．
所以 ，
令 ，
则 ，
解得 ．
所以当航行速度为 海里 小时时总费用最低．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；导数的实际应用
巩固练习
12. 现有一批货物从海上由 地运往 地，已知货船的最大航行速度为 海里/时， 地至 地之间的航
行距离约为 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度
的平方成正比（比例系数为 ），其余费用为每小时 元．
（ 1 ）把全程运输成本 （元）表示为速度 （海里/时）的函数．
（ 2 ）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）为使 最小，此时轮船应以 海里/时的速度行驶．
【解析】（ 1 ）根据题意 ， ．
（ 2 ）由（ ）可知 ，当 时， ，即 在 是
减函数．
∴为使 最小，此时轮船应以 海里/时的速度行驶．
【标注】【知识点】导数的实际应用；分式函数模型
三、 思维导图
10
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
13. 从边长为 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子
容积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设截去正方形边长为 ，则盒子容积 ，
令 ， ，
，
令 ， 或 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
，
故 ．
【标注】【知识点】导数的实际应用
14. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 （吨）与每吨产品的价格 （元 吨）之间的关系为
，且生产 吨的成本为 元，则该厂每月生产 吨产品才能
使利润达到最大．
【答案】
【解析】每月生产 吨时的利润为
11
，
由 得 ， ，舍去负值，
在 内有唯一的极大值点，也是最大值点．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】直接求函数的最值（不含参）；导数的实际应用
15. 某品牌电动汽车的耗电量 与速度 之间满足的关系式为： ，为使耗
电量最小，则速度为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设知 ，
令 ，解得 ，或 ，
故函数 在 上增，在 上减，
当 ， 取得最小值，
由此得为使耗电量最小，则其速度应定 ．
故选： ．
【标注】【知识点】导数的实际应用
12
