空间向量与立体几何综合【题集】
1. 空间向量
1. 如图，在四面体 中， ， 分别在棱 ， 上，且满足 ， ，点
是线段 的中点，用向量 ， ， 表示向量 应为（ ）．
A. ，
B.
C.
D.
2. 如图，平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ，
，则下列选项中与向量 相等的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
3. 在三棱锥 中， 是棱 的中点，且 ，则 （ ）．
A.
1
B.
C.
D.
4. 如图所示的平行六面体 中，已知 ，
， ， 为 上的一点，且 ．若 ，则 的值为 ；若
为棱 的中点， 平面 ，则 的值为 ．
2. 利用空间向量证明直线、平面平行或垂直
5. 若两不重合直线 和 的方向向量分别为 ， ，则 与 的位置关系是
（ ）．
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
6. 已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，且
，则实数 的值为 ．
7. 如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ， ， 在 上，且
平面 ，则 点的坐标为（ ）．
A. B.
C. D.
8.
2
如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则下列判断错误的是（
）．
A. B. 平面
C. 平面 D.
9. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点
， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
求证： ．
3. 向量法求空间中的角
利用向量法求异面直线所成角
10. 在空间直角坐标系 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为 ．
11. 三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）．
3
A. B.
C. D.
12. 如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， 是线段 的中点，二
面角 的大小为 ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）试在线段 上找一点 ，使得 与 所成的角是 ．
利用向量法求直线 与平面 所成角
13. 如图，在正方体 中， ， 分别是上底棱 ， 的中点，则 与平面
所成的角的大小是（ ）．
A. B. C. D.
14. 如下图所示，已知在直四棱柱 中，底面 为矩形， ，
．
4
（ 1 ）求线段 的长．
（ 2 ）求异面直线 与 所成角的余弦值．
15. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，点 为 的中点．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
16. 如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ， ，点
， 分别为 ， 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
利用向量法求二面角
17. 正方形 的边长为 ， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到
达点 的位置，平面 平面 ．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
18. 如图，在四棱锥 中，已知平面 平面 ， ， 为等边三角
形， ， ， ， 与 所成角的正弦值为 ．
5
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）若 是 的中点，求二面角 的余弦值．
19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
为 的中点， ， ， ．
（ 1 ）证明：直线 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
（ 3 ）在棱 上是否存在点 ，使 平面 ，若存在，求线段 的长度．若不存在，说明
理由．
20. 如图，四边形 是边长为 的菱形， ， 平面 ， ，且
．
（ 1 ）求直线 和平面 所成角的大小．
（ 2 ）求二面角 的平面角的大小．
21.
6
如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 中，
， ， ．
（ 1 ）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；
（ 2 ）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长．
22. 如图，已知直线 平面 ，四边形 是梯形，四边形 为矩形，线段 交
于点 ， ，点 为 中点， ， ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求：二面角 的正弦值．
（ 3 ）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
线段 的长，若不存在，请说明理由．
23. 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）求二面角 的正弦值．
（ 3 ）
7
设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的
长．
4. 空间中的距离
24. 四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 且 ， ，点 是线
段 上一点，当面 与面 的夹角为 时， ，这时点 到直线 的距离
是 ．
25. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，
， 是 中点．
（ 1 ）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
（ 2 ）求点 到平面 的距离．
26. 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截而得到的，其中 ，
， ， ．
（ 1 ）求 的长．
（ 2 ）求点 到平面 的距离．
8
27. 如图，棱锥 的底面 是矩形， 平面 ， ， ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 余弦值的大小．
（ 3 ）求点 到平面 的距离．
28. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长都
相等，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（ ）．
A.
B.
C. 向量 与 的夹角是
D. 与 所成角的余弦值为
29. 如图，在长方体 中， ，点 为线段 上的动
点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 当 时， ， ， 三点共线
9
B. 当 时，
C. 当 时， 平面
D. 当 时， 平面
30. 如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则（ ）．
A. 直线 与 的夹角为
B. 平面 平面
C. 点 到平面 的距离为
D. 若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面只能是三角形和六边
形
10空间向量与立体几何综合【题集】
1. 空间向量
1. 如图，在四面体 中， ， 分别在棱 ， 上，且满足 ， ，点
是线段 的中点，用向量 ， ， 表示向量 应为（ ）．
A. ，
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵在四面体 中， ， 分别在棱 、 上，且满足 ，
，点 是线段 的中点，
∴
，故选 ．
【标注】【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算（非坐标）
2. 如图，平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ，
，则下列选项中与向量 相等的是（ ）．
1
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
．
故选 ．
【标注】【知识点】平面向量基本定理及其意义；平面向量的减法运算及运算规则；平面向量线性
运算综合（非坐标）；平面向量的加法运算及运算规则；平面向量的数乘运算及运算规则
3. 在三棱锥 中， 是棱 的中点，且 ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据题意画出图形：
2
则 ，又因为 ，
所以 ，
，
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量基本定理；空间向量的线性运算（非坐标）
4. 如图所示的平行六面体 中，已知 ，
， ， 为 上的一点，且 ．若 ，则 的值为 ；若
为棱 的中点， 平面 ，则 的值为 ．
【答案】 ;
【解析】① ，不妨设 ，
∴
，
3
∴ ．
② 连接 ，与 交于点 ．
连接 ，交 于点 ，连接 ．
∵ 平面 ，
∴ ．
∵ 为 的中点，
∴ 点为 的中点．
延长 交线段 的延长线于点 ．
∵ ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
则 ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；平行的探索性问题；直线和平面平行的性质
2. 利用空间向量证明直线、平面平行或垂直
5. 若两不重合直线 和 的方向向量分别为 ， ，则 与 的位置关系是
（ ）．
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
【答案】A
【解析】 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题
4
6. 已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，且
，则实数 的值为 ．
【答案】 或
【解析】 ，
整理得： ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；直线的方向向量与平面的法向量
7. 如图，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ， ， 在 上，且
平面 ，则 点的坐标为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由选项特点，设 ， 又 ， ， ， ，
则 ， ， ， 设平面
的法向量 ，则 ，即 ， 不妨取 ，则
，由于 平面 ， 所以 ，即 ， 所以
，解得 ， 即 点坐标为 ． 故选
．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题
5
8. 如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则下列判断错误的是（
）．
A. B. 平面
C. 平面 D.
【答案】D
【解析】A 选项：在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标
系．
设正方体 的棱长为 ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
∴ ，故 正确；
B 选项： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平面 ，故 正确；
C 选项：∵平面 的法向量 ， ，
又 平面 ，
6
∴ 平面 ，故 正确；
D 选项： ， ，
∴ ，
∴ 与 不平行，故 错误．
故选 D .
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的平行问题
9. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点
， 分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
求证： ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）依题意，以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建
立空间直角坐标系（如图），
可得 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
从而 ，
7
∴ ．
【标注】【知识点】线线垂直的证明问题；向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问
题；向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决线面角问题；向量法解决异面直线所成角
问题；建立空间直角坐标系
3. 向量法求空间中的角
利用向量法求异面直线所成角
10. 在空间直角坐标系 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为 ．
【答案】
【解析】在空间直角坐标系 - 中， ， ， ，
， ，
所以 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
11. 三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
8
【解析】如图，
设 ， ， ，棱长均为 ，
则 ， ， ，
∴ ，
， ， ，
∴ ， ，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
12. 如图，已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， 是线段 的中点，二
面角 的大小为 ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）试在线段 上找一点 ，使得 与 所成的角是 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）点 为线段 的中点时，直线 与 所成的角为 ．
【解析】（ 1 ）设 ，连接 ，
∴ ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，
9
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， , ,
∴ 平面 ，
∴ 为平面 的法向量，
设平面 的法向量为 ，
，
令 ，则平面 的一个法向量为
设二面角 的大小为 ，
则 ，
解得 ，
设 ， ， ，
则 ，
解得 或 （舍去），
所以当点 为线段 的中点时，直线 与 所成的角为 ．
10
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；线面平行的证明问题
利用向量法求直线 与平面 所成角
13. 如图，在正方体 中， ， 分别是上底棱 ， 的中点，则 与平面
所成的角的大小是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设 ，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，可取 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
故 与平面 所成的角为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决线面角问题
11
14. 如下图所示，已知在直四棱柱 中，底面 为矩形， ，
．
（ 1 ）求线段 的长．
（ 2 ）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）如图所示，建立空间直角坐标系，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故 的长为 ．
（ 2 ）∵ ， ，
∴ ， ．
12
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题；向量法求空间距离；空间向量的数量积及其
坐标表示
15. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，点 为 的中点．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）取 中点 ，连接 ， ，
又 为 的中点，
∴ ，又 ，
∴ ，又 ，
∴ ．
故四边形 为平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）取 中点 ，连接 ，
13
则 ，又 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，又 ，
∴ ，
如图建立空间坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ,
则 ，
即： ，即： ，
令 ，则 ，
与 夹角的余弦值：
．
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【标注】【知识点】直线和平面平行的判定；线面平行的证明问题；直线的方向向量与平面的法向
量；向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
14
16. 如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ， ，点
， 分别为 ， 的中点．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ ， 底面 ， ， 平面 ，
∴ ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
，
设平面 法向量为 ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
而 平面 ，
∴ 平面 ．
15
（ 2 ）由（ ）知 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 法向量 ，
，
∴ ，
，
∴ ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量
【素养】直观想象
利用向量法求二面角
17. 正方形 的边长为 ， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到
达点 的位置，平面 平面 ．
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）二面角 的余弦值为 ．
【解析】（ 1 ）由已知可得，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ，
所以 平面 ， ，
又 ，
所以 ，又 ，
且 ，
所以 平面 ．
（ 2 ）作 ，垂足为 ，由（ ）得， 平面 ，
16
作 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
由（ ）可得， ，又 ， ，
所以 ，故 ，
可得 ， ，
则 ， ， ， ， ，
， ，
由（ ）知： 为平面 的法向量， ，
设平面 的法向量为 ，则： ，即
，
所以 ，令 ，则 ， ，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；线面垂直的证明问题；直线和平面垂直的判定
18. 如图，在四棱锥 中，已知平面 平面 ， ， 为等边三角
形， ， ， ， 与 所成角的正弦值为 ．
17
（ 1 ）证明： 平面 ．
（ 2 ）若 是 的中点，求二面角 的余弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵ 平面 平面 ，
平面 平面 ，
又 ，
平面 ，
平面 ，
∴ 平面 ，
， 平面 ，
∴ ， ，
∴ ，
平面 ，
平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）∵ 为正三角形，
∴ ， ，
过 作 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直
角坐标系，
18
， ， ，
设 ，
∴ ， ， ， ，
设平面 法向量为 ，
，
∴ ， ， ，
故 ，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ， ，
，
，
，
设平面 法向量为 ，
平面 法向量为 ，
，
，
19
∴ ，
∴ ，
又二面角为锐角，
∴ 二面角 的余弦值为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
为 的中点， ， ， ．
（ 1 ）证明：直线 平面 ．
（ 2 ）求二面角 的余弦值．
（ 3 ）在棱 上是否存在点 ，使 平面 ，若存在，求线段 的长度．若不存在，说明
理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）在棱 上存在点 ，使 平面 ．线段 的长度为 ．
【解析】（ 1 ）∵ ， 为 中点．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ．
∴ 平面 ．
（ 2 ）∵ ， 是 的中点．
∴ ．
又∵平面 平面 ．
20
∴ 平面 ．
由（ ） 知， ．
以 为原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
则 ， ， ．
∴ ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则：
．即 ．
∴平面 的一个法向量为 ．
而平面 的法向量为 ．
∴ ．
∴二面角 的余弦值为 ．
（ 3 ）若存在 上一点 ，使 平面 ．
则存在 ，使得 ．
∵ ， ．∴ ．
∴ ．
∴ ．
由（ ）知平面 的法向量 ．
∵ 平面 ．
∴ ．即 ．
∴ ，即 ．
∴存在点 是棱 上一点，使 平面 ．
此时 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的垂直问题；直线和平面垂直的判
21
定；线面垂直的证明问题
20. 如图，四边形 是边长为 的菱形， ， 平面 ， ，且
．
（ 1 ）求直线 和平面 所成角的大小．
（ 2 ）求二面角 的平面角的大小．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）因为 ，所以 ， ， ， 四点共面，
因为四边形 是菱形，所以 ，
设 与 的交点为 ，以 为坐标原点， ， 以及垂直于平面 的方向
为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ， ， ，
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
22
则 ，
令 ，得 ，
设直线 和平面 所成角为 ，
则 ,
所以直线 和平面 所成角为 ．
（ 2 ）由 可知，平面 的一个法向量为 ，
设 为平面 的一个法向量，
，令 ，得 ，
因为 ，
所以二面角 的平面角为 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的平行问题；向量法解决线面角问
题
21. 如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 中，
， ， ．
（ 1 ）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；
（ 2 ）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）以 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建系 如
图，
23
由题可知 ， ， ， ．
∵ 平面 ，∴ ，是平面 的一个法向量，
∵ ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，得 ，
∴ ， ，
∴平面 与平面 所成两面角的余弦值为 ．
（ 2 ）∵ ，设 ，
又 ，则 ，
又 ，从而 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
当且仅当 ，即 时， ， 的最大值为 ，
因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成角取得最小值．
又∵ ，∴ ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决异面直线所成角问题
22. 如图，已知直线 平面 ，四边形 是梯形，四边形 为矩形，线段 交
于点 ， ，点 为 中点， ， ．
24
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求：二面角 的正弦值．
（ 3 ）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
线段 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ）存在， ．
【解析】（ 1 ）连接 ，在 中， ， 分别为 ， 中点，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（ 2 ）如图以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立空间直角
坐标系 ，
25
则 ， ， ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，
即 ，解得 ．
令 ，得 ，
所以 ．
因为平面 的法向量 ，
所以 ， ．
由图可知二面角 为锐二面角，
所以二面角 得大小为 ．
所以正弦值为 ．
（ 3 ） ,设 ，
整理得： ， ．
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以
．
解得： ．
，故 ．
【标注】【知识点】向量法解决二面角问题；向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问
题；线面平行的证明问题；直线和平面平行的判定
26
23. 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
（ 1 ）证明： ．
（ 2 ）求二面角 的正弦值．
（ 3 ）设点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的
长．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如
图，
依题意得 ， ， ， ， ， ．
则 ， ，
因为 ．
所以 ．
（ 2 ） ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 ， ．
27
所以 ．
由(1)知 ，又 ， 平面 ，
故 为平面 的一个法向量，
于是 ．
从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
（ 3 ）由 知 ， ，
设 ，
有 ．
取 为平面 的一个法向量，
设 为直线 与平面 所成的角，
则
．
于是 ．
解得 ．所以 ．
所以线段 的长为 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题；向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决
二面角问题；向量法解决线面角问题；向量法解决空间中的平行问题
4. 空间中的距离
24. 四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 且 ， ，点 是线
段 上一点，当面 与面 的夹角为 时， ，这时点 到直线 的距离
是 ．
28
【答案】 ;
【解析】如图，以 为原点，射线 、 、 为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，
解之得 ，
记 ，而平面 的法向量 ，
二面角 的平面角 ，
∴ ，
∴ ．
∴当 时，二面角 的平面角为 ．
此时 点坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
29
∴点 到直线 的距离为 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离
25. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，
， 是 中点．
（ 1 ）求直线 与平面 所成的角的正弦值．
（ 2 ）求点 到平面 的距离．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ ， ，
则有 ， ， ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
30
则有 ，
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
（ 2 ）∵ ，
平面 的一个法向量为 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则有 ，
故点 到平面 的距离为 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决线面角问题；向量法求空间距离
26. 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截而得到的，其中 ，
， ， ．
（ 1 ）求 的长．
（ 2 ）求点 到平面 的距离．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）方法一：过 作 交 于 ，
则 ， ，且 ，
31
又∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，
∵ 为平行四边形，
∴由 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
于是 ，即 的长为 ．
（ 2 ）方法一：延长 与 交于 ，连 ，
则平面 与平面 相交于 ，
过 作 ，垂足为 ，连 ，
32
由三垂线定理可知 ，
由于 面 ，
且 面 ，
所以平面 面 ，
在 中，
作 ，垂足为 ，
则 的长即为 到平面 的距离，
由 可得， ，
从而 ，
由 知，
，
∴ ．
方法二：设 为平面 的法向量，显然 不垂直于平面 ，故可设
，
由 得 ，
即 ，
∴ ，
33
又 ，
设 与 的夹角为 ，
则
，
∴ 到平面 的距离为 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离；空间向量线性运算的坐标表示；棱柱、棱锥、棱台的结构
特征；平面图形、空间几何体的直观图认识
27. 如图，棱锥 的底面 是矩形， 平面 ， ， ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
（ 2 ）求二面角 余弦值的大小．
（ 3 ）求点 到平面 的距离．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）方法一：建立如图所示的直角坐标系，
34
则 、 、 ，
在 中， ， ，
∴ ，∴ 、 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，即 ， ，
又因为 ，
∴ 平面 ．
方法二：∵棱锥 的底面 是矩形，
且 平面 ， ， ，
∴ ，
且 ，
∴四边形 是正方形，
即 ．
∵ ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）方法一：由（ ）得 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
即 ，
∴ ，故平面 的法向量可取为 ，
∵ 平面 ，
∴ 为平面 的法向量，
设二面角 的大小为 ，
35
依题意可得 ．
方法二：由（ ）得： 是正方形，
∴ ，
又∵ 底面 ，
∴ ，
∴ 是二面角 的平面角．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴二面角 余弦值为 ．
（ 3 ）由（ ）得 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，即 ，
∴ ，故可取为 ，
∵ ，
∴ 到面 的距离为 ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离；向量法解决二面角问题；向量法解决空间中的垂直问题；
直线和平面垂直的判定
28. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长都
相等，且它们彼此的夹角都是 ，下列说法中正确的是（ ）．
A.
B.
36
C. 向量 与 的夹角是
D. 与 所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】以顶点 为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是 ，
可设棱长为 ，则 ，
，
而
，
所以 正确；
，
所以 正确；
向量 = ，
显然 为等边三角形，则 ，
所以向量 与 的夹角是 ，
向量 与 的夹角是 ，
则 不正确；
又 ， ，
则 ，
，
，
所以
，
所以 不正确．
故选 ．
37
【标注】【知识点】平面向量线性运算综合（非坐标）；向量的数量积的定义
29. 如图，在长方体 中， ，点 为线段 上的动
点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 当 时， ， ， 三点共线
B. 当 时，
C. 当 时， 平面
D. 当 时， 平面
【答案】ACD
【解析】A 选项：∵ ，
∴ 为 中点，
又 为长方形体 体对角线，
∴ 为长方形 中心，
故 三点共线．
故 正确；
B 选项：
∵ ，
而 ，
，
，
∴ ，
∴ ，
38
又： ，
若 ，
则 ，
而 ，
∴ ，
但 平面 ，
∴ 不垂直于 ．
故 错误；
C 选项：以上 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如右图所示的空间直角
坐标系．
又 ，
∴ ，
， ，
设 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
，
设平面 法向量为 ，
39
则 ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，
故 正确；
D 选项：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
，
，
又 ，
，
∴ 平面
故 正确．
故选 A C D .
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决空间中的垂直问题
30. 如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则（ ）．
A. 直线 与 的夹角为
B. 平面 平面
40
C. 点 到平面 的距离为
D. 若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面只能是三角形和六边
形
【答案】ABD
【解析】A 选项：连接 ， ， ，
∵ ，
∴ 与 所成角与 与 所成角 相等，
在 中，
∵ ，
∴ ，
即 与 所成角为 ，
故 正确．
B 选项：以 为原点， 方向为 轴正向，
方向为 轴正向， 方向为 轴正向，
建立空间直角坐标系，如图所示
， ， ，
41
， ， ，
设平面 的法向量 ，
， ，
得 ，
令 ， ， ，
设平面 的法向量 ，
，
令 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
，
∴平面 平面 ，
故 正确．
C 选项：设平面 的法向量 ，
， ，
得 ，
令 ，则 ，
，
，
故 错误．
D 选项：若正方形每条棱所在直线与平面 所成角相
等，
则平面如图所示，
42
所以只需将 平移即可，如图，
故 正确．
故选 A B D .
【标注】【知识点】几何法求空间角
43
