离散型随机变量及其分布列【题集】
1. 随机变量及其与事件的联系
1. 引入随机变量后，下列说法正确的有： （填写出所有正确的序号）．
①随机事件个数与随机变量—对应；
②随机变量与自然数一对应；
③随机变量的取值是实数．
2. 给出下列四个命题：
① 秒内，通过某十字路口的汽车的数量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数；
③掷骰子一次向上的点数；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数．
其中是随机变量的个数是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列随机变量中，不是离散随机变量的是（ ）
A. 从 只编号的球（ 号到 号）中任取一只，被取出的球的号码
B. 抛掷两个骰子，所得的最大点数
C. 区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值
D. 一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数
4. 判断下列变量是否为离散型随机变量．
1. 单身锃光瓦亮牌灯泡的使用寿命．（ ）
2. 流亭机场每天的人流量．（ ）
3. 扔一次硬币，出现正面的次数．（ ）
4. 教老师从一岁到二十岁每年女朋友数量．（ ）
5. 崔老师每顿午饭的开销．（ ）
5. 某学校在高一年级开设了 门选修课，每名学生必须且只需选修 门选修课，对于该年级甲、乙、丙
名学生，求某 门选修课被这 名学生选择的人数 的可能取值以及每个取值所表示的事件．
2. 离散型随机变量的分布列
6. 若随机变量 的分布列如下表所示，则 等于（ ）．
1
A. B. C. D.
7. 随机变量 所有可能取值的集合是 ，且 ， ，
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
8. 设离散型随机变量 的分布列为：
则 （ ）．
A. B.
C. D.
9. 设离散型随机变量 的概率分布列为
则下列各式中不成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
10. 设随机变量 的分布列为 ， ， ， ，则 的值为 ．
11. 若离散型随机变量 的分布列函数为 ， ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
12. 设随机变量 的分布列为 （ ， ， ， ），则 （ ）．
A. B. C. D.
13. 若随机变量 的分布列如表：
则当 时，实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
2
3. 两点分布
14. 下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（ ）．
A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量
B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量
C. 取出白球从装有 个红球， 个白球的袋中取 个球，令随机变量
取出红球
D. 某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量
15. 设随机变量 服从两点分布，若 ，则成功概率 （ ）．
A. B. C. D.
16. 韩德君罚篮一次的得分 服从参数为 的两点分布，则 ．
17. 若离散型随机变量 的分布列为
则常数 ， ．
18. 在掷一枚图钉的随机试验中，令 针尖向上，
针尖向下
如果针尖向上的概率为 ，试写出随机变量 的分布列．
19. （两球全红）一个盒子中装有 个白色玻璃球和 个红色玻璃球，从中摸出两球，记 ，求
（两球非全红）
的分布列．
4. 离散型随机变量的均值
20. 若随机变量 的分布列为
则 的数学期望 是（ ）．
A. B. C. D.
21. 设随机变量 的分布列 ，则 为（ ）．
A. B. C. D.
22. 随机变量 的分布列如表：
3
若随机变量 ，则 为（ ）．
A. B.
C. D. 随 变化而变化
23. 盒中有大小相同的 个白球和 个黑球，从中随机摸出 个小球，记摸到黑球的个数为 ，则概率
，期望 ．
24. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品
，乙组研发新产品 ．设甲、乙两组的研发相互独立．
（ 1 ）求至少有一种新产品研发成功的概率．
（ 2 ）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润
万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
5. 离散型随机变量的方差
25. 随机变量 ， 的分布列如下图所示，则 和 的大小关系是 ．
26. 已知某离散型随机变量 服从的分布列如图，则随机变量 的方差 等于（ ）．
A. B. C. D.
27. 已知离散型随机变量 的分布列为
则方差 的值是（ ）．
A. B. C. D.
28. 若随机变量 服从两点分布，且成功的概率 ，则 和 分别为（ ）．
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
29. 设离散型随机变量 的分布列为（ ）．
4
若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（ ）．
A. B.
C. D.
5离散型随机变量及其分布列【题集】
1. 随机变量及其与事件的联系
1. 引入随机变量后，下列说法正确的有： （填写出所有正确的序号）．
①随机事件个数与随机变量—对应；
②随机变量与自然数一对应；
③随机变量的取值是实数．
【答案】③
【解析】引入随机变量，使我们可以研究一个随机试验中中所有的可能结果，
我们引入的随机变量不仅仅有离散性随机变量，还有连续性随机变量．
∴在①中，随机事件个数不与随机变量一一对应，故①错误；
在②中，随机变量不与自然数一—对应，故②错误；
在③中，随机变量的取值是实数，故③正确．
故答案为：③．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
2. 给出下列四个命题：
① 秒内，通过某十字路口的汽车的数量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数；
③掷骰子一次向上的点数；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数．
其中是随机变量的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】① 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③掷骰子一次向上的点数是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
故随机变量共有 个，
1
故选： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的概念
3. 下列随机变量中，不是离散随机变量的是（ ）
A. 从 只编号的球（ 号到 号）中任取一只，被取出的球的号码
B. 抛掷两个骰子，所得的最大点数
C. 区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值
D. 一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数
【答案】C
【解析】 中 为取值于 的随机变量，自然是离散型； 中 为取值于 的随机
变量，离散型； 中 为取值于 非负整数集的随机变量，离散型，故而选 ．事
实上， 为取值于 区间的连续型随机变量．
【标注】【知识点】离散型随机变量的概念
4. 判断下列变量是否为离散型随机变量．
1. 单身锃光瓦亮牌灯泡的使用寿命．（ ）
2. 流亭机场每天的人流量．（ ）
3. 扔一次硬币，出现正面的次数．（ ）
4. 教老师从一岁到二十岁每年女朋友数量．（ ）
5. 崔老师每顿午饭的开销．（ ）
【答案】× ×
【标注】【知识点】离散型随机变量的概念
5. 某学校在高一年级开设了 门选修课，每名学生必须且只需选修 门选修课，对于该年级甲、乙、丙
名学生，求某 门选修课被这 名学生选择的人数 的可能取值以及每个取值所表示的事件．
【答案】 的可能取值为 ， ， ， ．
表示 名学生都没有选择该选修课；
表示有 名学生选择该选修课；
表示有 名学生选择该选修课；
2
表示 名学生都选择该选修课．
【解析】 的可能取值为 ， ， ， ．
表示 名学生都没有选择该选修课；
表示有 名学生选择该选修课；
表示有 名学生选择该选修课；
表示 名学生都选择该选修课．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
2. 离散型随机变量的分布列
6. 若随机变量 的分布列如下表所示，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于分布列中，所有概率和为 ，
∴
．
故选： ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
7. 随机变量 所有可能取值的集合是 ，且 ， ，
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，所以由概率和为 ，可得
，故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
3
8. 设离散型随机变量 的分布列为：
则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
解：由分布列性质知 ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
9. 设离散型随机变量 的概率分布列为
则下列各式中不成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 是不可能事件，故概率为 ；
， 均为必然事件，故概率为 ；
，故不成立．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
10. 设随机变量 的分布列为 ， ， ， ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】∵随机变量 的分布列为：
4
， ， ， ，
∴ ，
，
，
则 ，
解得 ．
故 的值为 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
11. 若离散型随机变量 的分布列函数为 ， ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】离散型随机变量 的分布列函数为 ， ， ， ， ，
则 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
12. 设随机变量 的分布列为 （ ， ， ， ），则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵随机变量 的分布列为
（ ， ， ， ），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
5
13. 若随机变量 的分布列如表：
则当 时，实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由离散型随机变量的概率分布列知：
， ，
， ，
则当 时，实数 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
3. 两点分布
14. 下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（ ）．
A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量
B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量
C. 取出白球从装有 个红球， 个白球的袋中取 个球，令随机变量
取出红球
D. 某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量
【答案】A
【解析】两点分布又叫 分布，所有的实验结果只有两个， ， ， 满足定义，而 ，抛掷一
枚骰子，所得点数为随机变量 ，则 的所有可能的结果有 种，不是两点分布．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；两点分布
15. 设随机变量 服从两点分布，若 ，则成功概率 （ ）．
A. B. C. D.
6
【答案】C
【解析】∵随机变量 服从两点分布，
∴ ①，
∵ ②，
由②知 ③,
将③代入①得 ，得 ，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列
16. 韩德君罚篮一次的得分 服从参数为 的两点分布，则 ．
【答案】
【解析】两点分布，即事物出现概率为 ，不出现概率 ，得分 服从参数 的两点分布，
即 ，
．
【标注】【知识点】两点分布
17. 若离散型随机变量 的分布列为
则常数 ， ．
【答案】 ;
【解析】
依分布列的性质知 ，解得 ，
故 ．
故答案为： ； ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；两点分布；概率的基本性质
18. 在掷一枚图钉的随机试验中，令 针尖向上，
针尖向下
7
如果针尖向上的概率为 ，试写出随机变量 的分布列．
【答案】
【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率为（ ）．于是，随机变量 的分布列为
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列
19. 一个盒子中装有 个白色玻璃球和 个红色玻璃球，从中摸出两球，记 （两球全红） ，求
（两球非全红）
的分布列．
【答案】
【解析】 （两球全红）由 ，可知随机变量 服从两点分布，因为 服从两点分布，则
（两球非全红）
， ．
的分布列为
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望
4. 离散型随机变量的均值
20. 若随机变量 的分布列为
则 的数学期望 是（ ）．
A. B. C. D.
8
【答案】C
【解析】 ，
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望
21. 设随机变量 的分布列 ，则 为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望
22. 随机变量 的分布列如表：
若随机变量 ，则 为（ ）．
A. B.
C. D. 随 变化而变化
【答案】C
【解析】 ，
∴ ，
∴ ．
故选 .
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
23. 盒中有大小相同的 个白球和 个黑球，从中随机摸出 个小球，记摸到黑球的个数为 ，则概率
，期望 ．
【答案】 ;
9
【解析】∵盒中有大小相同的 个白球和 个黑球，
从中随机摸出 个球，记摸到黑球的个数为 ，
∴ 的可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
∴ 的分布列为：
∴ ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
24. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品
，乙组研发新产品 ．设甲、乙两组的研发相互独立．
（ 1 ）求至少有一种新产品研发成功的概率．
（ 2 ）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润
万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 的分布列如下:
则数学期望 ．
【解析】（ 1 ）设至少有一组研发成功的事件为事件 且事件 为事件 的对立事件,则事件 为一
种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为 ,
则 ,再根据对立事件概率之间的公
式可得 ,所以至少一种产品研发成功的概率为 ．
（ 2 ）
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由题可得设该企业可获得利润为 ,则 的取值有 , , , ,即
,由独立重复试验的概率计算公式可得:
; ;
; ;
所以 的分布列如下:
则数学期望
．
【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望
5. 离散型随机变量的方差
25. 随机变量 ， 的分布列如下图所示，则 和 的大小关系是 ．
【答案】
【解析】 ，
，
，
，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差
26. 已知某离散型随机变量 服从的分布列如图，则随机变量 的方差 等于（ ）．
A. B. C. D.
11
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，则 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列
27. 已知离散型随机变量 的分布列为
则方差 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：利用均值和方差公式
由 ，
得 ，
由均值公式，得 ，
由方差公式，得
．
故选 ．
方法二：利用公式
由题意，得 ．
由均值公式，得 ， ，
由方差性质公式，得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差
28. 若随机变量 服从两点分布，且成功的概率 ，则 和 分别为（ ）．
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】∵ 服从两点分布，
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∴ 的概率分布为
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】离散型随机变量的方差
29. 设离散型随机变量 的分布列为（ ）．
若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
注意：本题是多选题.
【答案】AC
【解析】由离散型随机变量 的分布列的性质得︰
，
则 ，
，
即 ，
离散型随机变量 满足 ，
∴ ，
故结果正确的有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】期望与方差的性质
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