利用导数解决实际问题【题集】
体积、面积问题
1. 用长 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长 ，那么容器
的最大容积为 ．
【答案】
【解析】设容器底面短边长为 ，则另一边长为 ，高为
，
由 和 ，得 ，
设容器的容积为 ，则有 ，
整理得， ，
∴ ，
令 ，有 ，即 ，
解得 ， （舍去），
∴当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，
∴当 时， 取得最大值， ，
此时，高为 ，
故当容器的高为 时容积最大，最大容积为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】导数的实际应用
2. 一个等腰三角形的周长为 ，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都
绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为（ ）．
A. B.
1
C. D.
【答案】A
【解析】四棱锥如图，
设底面正方形边长的一半为 ，
则有 ，
．
设 ，
则 ，
由 ，可得 （舍）或 ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间几何体的体积；直接求函数的最值（不含参）
3. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形（矩形的一个边在三角形的边上），并
以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面，问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？
【答案】以 为底、 为高，且 时，体积最大．
【解析】设正三角形边长为 ，如图，
2
设 ，则 ， ，
若以 为底、 为高，则圆柱底面半径 ，
， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
若以 为底， 为高，则圆柱底面半径 ，
， ，
，令 ，得 、 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
因为 ，
所以以 为底、 为高，且 时，体积最大．
【标注】【知识点】导数的实际应用；利用导数求函数的最值
4. 把边长为 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖
的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为 ，容积为 ．
（ 1 ）写出函数 的解析式，并求出函数的定义域．
3
（ 2 ）求当 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
【答案】（ 1 ） ，定义域为 ．
（ 2 ） 是 的最大值点，最大容积 ．
【解析】（ 1 ）∵高为 ，
∴正三棱柱形容器的底边长为 ，
，
∴定义域为 ．
（ 2 ） ，
，
令 ，
∴ ，解得 ， （舍），
∵ 在区间 内， 可能是极值点，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 是极大值点，且在区间 内， 是唯一的极值点，
∴ 是 的最大值点，并且 ．
【标注】【知识点】立体几何与函数、导数综合
5. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形
状，下底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 ．
（1）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积 的最大值．
【答案】见解析．
4
【解析】（1）依题意，以 的中点 为原点建立直角
坐标系 （如图）：
则点 的横坐标为 ．
点 的纵坐标 满足方程 ，
解得
，
其定义域为 ．
（2）记 ，
则 ．
令 ，得 ．
因为当 时， ；当 时， ，
所以 是 的最大值．
因此，当 时， 也取得最大值，最大值为 ．
即梯形面积 的最大值为 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；导数的实际应用
【素养】逻辑推理；数学运算
6. 某隧道设计为双向四车道，车道总宽 米，要求通行车辆限高 米，隧道口截面的拱线近似地看成
抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系 ．
y x
O
（ 1 ）若最大拱高 为 米，则隧道设计的拱宽 是多少；
（ 2 ）
5
为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高 不小于 米，
则应如何设计拱高 和拱宽 ，使得隧道口截面面积最小？
（隧道口截面面积公式为 ）．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） ，
【解析】（ 1 ）设抛物线的方程为： ，
则抛物线过点 ，
代入抛物线方程解得： ，
令 ，解得： ，
则隧道设计的拱宽 是 米．
（ 2 ）抛物线最大拱高为 米， ，
抛物线过点 ，
代入抛物线方程得： ，
令 ，则 ，
解得： ，
则 ， ．
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
，
当 时， ；
当 时， ，
即 在 上单调减，在 上单调增，
∴ 在 时取得最小值，
此时 ， ．
答：当拱高为 米，拱宽为 米时，使得隧道口截面面积最小．
6
【标注】【知识点】抛物线的标准方程；利用导数求函数的最值；导数的实际应用
利润问题
7. 某厂生产某种产品 件的总成本： ，产品单价的平方与产品件数 成反比，生产
件这样的产品的单价为 元，则总利润最大时，产量应定为（ ）．
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
【答案】A
【解析】设产品单价为 元，因为产品单价的平方与产品件数 成反比，所以 ．由题意，知
，即 ，所以 ．
总利润 （ ）， ．
由 ，得 ，当 时， ，
时， ，所以当 时， 取最大值．
【标注】【知识点】导数的实际应用
8. 某商场销售某种商品经验表明，该商品每日销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克）
满足关系式 ，其中 ， 为常数．已知销售价格为 元/千克时，每日
可售出该商品 千克．若该商品成本为 元/千克，要使商场每日销售该商品所获得利润最大，则销售
价格 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当 时， ，所以 ，解得 ．
该商品每日的销售量为 ．
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
，
， ．
则 ．
于是，当 变化时， ， 的变化情况如下表：
7
单调递增 极大值 单调递减
由上表可得，当 时，函数 取得极大值，也是最大值．
所以，当 时，函数 取得最大值且最大值等于 ．
答：当销售价格为 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
故选 ．
【标注】【知识点】导数的实际应用
9. 企业生产一品牌电视投入成本是 元/台．当电视售价为 元/台时，月销售 万台；根据市场分
析的结果表明，如果电视销售价提高的百分率为 ，那么月销售量减少的百分率为 ．
记销售价提高的百分率为 时，电视企业的月利润是 (元)．
（ 1 ）写出月利润 (元)与 的函数关系式．
（ 2 ）试确定电视销售价，使得电视企业的月利润最大．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 元 .
【解析】（ 1 ）依题意，销售价提高后为 元/台，月销售量为 台，
则 ，
即 ．
（ 2 ） ，令 ，
得 ，解得 ， （舍去）， 当 时，
；当 时， ．
当 时， 取得最大值．此时销售价为 (元)，
答：电视的销售价为 元时，电视企业的月利润最大．
【标注】【知识点】导数与最值；函数的实际应用
10. 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．每个瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径
（单位：厘米）．已知每出售 毫升的饮料，制造商可获利 分，且制造商能制作的瓶子的最大半
径为 厘米，问瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
【答案】 ．
【解析】由于瓶子的半径为 ， ，
∴每瓶饮料的利润是 ，
8
即 ，
，
令 ，解得 （ 舍去），
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，它表示 在区间 上单调递增，即半径越大，利润越
高，
当 时， ，它表示 在区间 上单调递减，即半径越大，利润越低，
又 ，
故半径为 时，能使每瓶饮料的利润最大．
【标注】【素养】数学建模；数学运算
【知识点】导数的实际应用；求函数最值（含参二次型导函数）
11. 已知某商品的进货单价为 元 件，商户甲往年以单价 元 件销售该商品时，年销量为 万件．今年
拟下调销售单价以提高销量增加利润．据估算，若今年的实际销售单价为 元 件 ，则新
增的年销量 （万件）．
（ 1 ）写出今年商户甲的利润 （单位：万元）与 的函数关系式．
（ 2 ）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的利润（即比往年利
润更多）？请说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）不能；证明见解析．
【解析】（ 1 ）由题意知，今年的年销售量为 （万件），
因为每销售一件，商户甲可获利 元，
所以今年商户甲的收益
．
（ 2 ）由 ，
得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数；
9
当 时， ， 是增函数，
∴ 为极大值点，极大值为 ，
∵ ，
∴当 或 时， 在区间 上的最大值为 （万元），
而往年的收益为 （万元），
所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．
【标注】【知识点】导数的实际应用；利用导数求函数的最值；函数的实际应用
12. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 元，并且每件产品需向总公司交 元( )的
管理费，预计当每件产品的售价为 元( )时，一年的销售量为 万件．
（ 1 ）求分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价 （元）的函数关系式．
（ 2 ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值 ．
【答案】（ 1 ）函数关系式为
， ．
（ 2 ）若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大值
（万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分
公司一年的利润 最大，最大值 （万元）．
【解析】（ 1 ）分公司一年的利润 （万元）与售价 （元）的函数关系式为
， ．
（ 2 ） ．
令 ，得 或 （不符合题意，舍去）．
， ．
在 两侧 的值由正变负，
当 ，即 时，
．
当 ，即 时，
．
，
10
综上，若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大值
（万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分
公司一年的利润 最大，最大值 （万元）．
【标注】【知识点】导数的实际应用；幂函数模型
速度问题
13. 今年 月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 ．假设“绿巨
人”开出站一段时间内，速度 与行使时间 的关系 ，则出站后“绿巨人”速度
首次达到 时加. 速. 度. 为 ．
【答案】
【解析】根据题意， ，
若 ，
解可得 或 ，
则 ，
又由 ，
则 ，
则 ，
即此时“绿巨人”的加速度为 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】导数的实际应用
14. 一个物体做变速直线运动，在时刻 的速度为 （ 的单位： ， 的单位： ），那
么它在 这段时间内行驶的路程 （单位： ）的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在时刻 速度为 ,
∴在 这段时间内行驶路程 ；
故选 ．
11
【标注】【知识点】微积分基本定理；定积分计算
15. 海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 海里 小时，
当速度为 海里 小时时，它的燃料费是每小时 元，其余费用（无论速度如何）都是每小时
元．如果甲乙两地相距 海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（
）．
A. 海里 小时 B. 海里 小时
C. 海里 小时 D. 海里 小时
【答案】C
【解析】设当航行速度为 海里 小时时，燃料费为 元，则 ，
根据“当速度为 海里 小时时，它的燃料费是每小时 元”得 ，
解得 ，
所以 ，
若从甲地到乙地船以 海里 小时的速度航行，
则总费用 ．
所以 ，
令 ，
则 ，
解得 ．
所以当航行速度为 海里 小时时总费用最低．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；导数的实际应用
16. 某货轮匀速行驶在相距 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．
已知该货轮每小时的燃料费用 与其航行速度 的平方成正比（即： ，其中 为比例系数)；
当航行速度为 海里/小时时，每小时的燃料费用为 元，其他费用为每小时 元，且该货轮的最
大航行速度为 海里/小时．
（ 1 ）请将从甲地到乙地的运输成本 （元）表示为航行速度 （海里/小时）的函数．
（ 2 ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶
【答案】（ 1 ） ．
12
（ 2 ） 海里/小时．
【解析】（ 1 ）由题意，每小时的燃料费用为 ，
当 时， ，解得 ，
从甲地到乙地所用的时间为 小时，
则从甲地到乙地的运输成本：
，
故所求的函数为 ．
（ 2 ）方法一： ，
令 ，解得 ，
时， ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增，
因此当 时， 取得极小值，也是最小值，
故当货轮航行速度为 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
方法二：由（ ）得：
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故当货轮航行速度为 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
【标注】【知识点】导数的实际应用；利用导数求函数的最值；函数的实际应用
其他问题
17. 某车间有 名工人，要完成 件产品的生产任务，每件产品由 个 型零件和 个 型零件配套组
成，每个工人每小时能加工 个 型零件或者 个 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组
后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件．设加工 型零件的工人数为 名 ．
（ 1 ）设完成 、 型零件加工所需的时间分别为 、 小时，写出 与 的解析式．
（ 2 ）当 取何值时，完成全部生产任务的时间最短．
【答案】（ 1 ） ( 且 )．
( 且 )．
（ 2 ） ．
13
【解析】（ 1 ）生产 件产品，需加工 型零件 个，
则完成 型零件加工所需时间 ( 且 )．
生产 件产品，需加工 型零件 个，
则完成 型零件加工所需时间 ( 且
)．
（ 2 ）设完成全部生产任务所需时间为 小时，则 为 与 的较大者．
令 ，即 ，解得 ．
所以，当 时， ；
当 时， ．
故 ．
当 时， ，
故 在 上单调递减，
则 在 上的最小值为 （小时）；
当 时， ，
故 在 上单调递增，
则 在 上的最小值为 （小时）
∵ ，∴ 在 上的最小值为 ．
∴ ．
为了在最短时间内完成生产任务， 应取 ．
【标注】【知识点】导数的实际应用；利用导数求函数的最值
18. 一个玩具盘由一个直径为 米的半圆 和一个矩形 构成， 米，如图所示．小球从 点
出发以 的速度沿半圆 轨道滚到某点 处后，经弹射器以 的速度沿与点 切线垂直的方向弹射到
落袋区 内，落点记为 ．设 弧度，小球从 到 所需时间为 ．
（ 1 ）试将 表示为 的函数 ，并写出定义域．
14
（ 2 ）当 满足什么条件时，时间 最短．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）连接 并延长交半圆于 ，
则 ，故 ，
同理可得 ，
∴ ．
过 作 于 ，则 ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ， ．
（ 2 ）
，
令 可得 ，
解得 或 （舍）．
设 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
∴当 ， 取得最小值．
故 时，时间 最短．
【标注】【知识点】三角函数的实际应用；导数的实际应用；利用导数求函数的最值
19. 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知 ， 两座烟囱相距 ，其中 烟囱喷出的烟尘
量是 烟囱的 倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而
15
与烟囱喷出喷出的烟尘量成正比（比例系数为 ， ），若 是 连线上的点，设 ，
点的烟尘浓度记为 ．
（ 1 ）写出 关于 的函数表达式．
（ 2 ）是否存在这样的点 ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出 的距离，若不存在，说明理
由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）存在； ．
【解析】（ 1 ）不妨设 烟囱喷出的烟尘量为 ，则 烟囱喷出的烟尘量为 ，
由 ，可得 ．
依题意，点 处的烟尘浓度 的函数表达式为：
．
（ 2 ）对 中的函数表达式求导得
，
令 ，得 ；
又 ，
∴ ，
∵当 时， ；
当 时， ，
∴当 时， 取最小值．
故存在点 ，当 时，该点的烟尘浓度最低．
【标注】【知识点】导数的实际应用；直接求函数的最值（不含参）；分式函数模型
20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形 ）
及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形 和 ）组成，其中半圆的圆心为 ，半径为
米，矩形 的一边 在 上，矩形 的一边 在 上，点 ， ， ， 在圆周上，
， 在直径上，且 ，设 ，若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为
万元和 万元．记病床区及休闲区的总造价为 （单位：万元）．
16
（ 1 ）求 的表达式．
（ 2 ）为进行改建预算，当 为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 时， 最大为 万元．
【解析】（ 1 ）如图，
， ，
， ，
，
则
．
（ 2 ）
，
， ，
∵ ，
∴ ，
， ，
， ，
∴ 在 递增， 递减，
∴当 时， 取得最大为 万元．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；导数的实际应用；三角函数的实际应用
17
18利用导数解决实际问题【题集】
体积、面积问题
1. 用长 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长 ，那么容器
的最大容积为 ．
2. 一个等腰三角形的周长为 ，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都
绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形（矩形的一个边在三角形的边上），并
以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面，问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？
4. 把边长为 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖
的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为 ，容积为 ．
（ 1 ）写出函数 的解析式，并求出函数的定义域．
（ 2 ）求当 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
5.
1
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形
状，下底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 ．
（1）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积 的最大值．
6. 某隧道设计为双向四车道，车道总宽 米，要求通行车辆限高 米，隧道口截面的拱线近似地看成
抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系 ．
y x
O
（ 1 ）若最大拱高 为 米，则隧道设计的拱宽 是多少；
（ 2 ）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高 不小于 米，
则应如何设计拱高 和拱宽 ，使得隧道口截面面积最小？
（隧道口截面面积公式为 ）．
利润问题
7. 某厂生产某种产品 件的总成本： ，产品单价的平方与产品件数 成反比，生产
件这样的产品的单价为 元，则总利润最大时，产量应定为（ ）．
A. 件 B. 件 C. 件 D. 件
8. 某商场销售某种商品经验表明，该商品每日销售量 （单位：千克）与销售价格 （单位：元/千克）
满足关系式 ，其中 ， 为常数．已知销售价格为 元/千克时，每日
可售出该商品 千克．若该商品成本为 元/千克，要使商场每日销售该商品所获得利润最大，则销售
价格 （ ）．
A. B. C. D.
9. 企业生产一品牌电视投入成本是 元/台．当电视售价为 元/台时，月销售 万台；根据市场分
析的结果表明，如果电视销售价提高的百分率为 ，那么月销售量减少的百分率为 ．
记销售价提高的百分率为 时，电视企业的月利润是 (元)．
（ 1 ）写出月利润 (元)与 的函数关系式．
（ 2 ）试确定电视销售价，使得电视企业的月利润最大．
2
10. 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．每个瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径
（单位：厘米）．已知每出售 毫升的饮料，制造商可获利 分，且制造商能制作的瓶子的最大半
径为 厘米，问瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
11. 已知某商品的进货单价为 元 件，商户甲往年以单价 元 件销售该商品时，年销量为 万件．今年
拟下调销售单价以提高销量增加利润．据估算，若今年的实际销售单价为 元 件 ，则新
增的年销量 （万件）．
（ 1 ）写出今年商户甲的利润 （单位：万元）与 的函数关系式．
（ 2 ）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的利润（即比往年利
润更多）？请说明理由．
12. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 元，并且每件产品需向总公司交 元( )的
管理费，预计当每件产品的售价为 元( )时，一年的销售量为 万件．
（ 1 ）求分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价 （元）的函数关系式．
（ 2 ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值 ．
速度问题
13. 今年 月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 ．假设“绿巨
人”开出站一段时间内，速度 与行使时间 的关系 ，则出站后“绿巨人”速度
首次达到 时加. 速. 度. 为 ．
14. 一个物体做变速直线运动，在时刻 的速度为 （ 的单位： ， 的单位： ），那
么它在 这段时间内行驶的路程 （单位： ）的值为（ ）．
A. B. C. D.
15. 海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为 海里 小时，
当速度为 海里 小时时，它的燃料费是每小时 元，其余费用（无论速度如何）都是每小时
元．如果甲乙两地相距 海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（
）．
A. 海里 小时 B. 海里 小时
C. 海里 小时 D. 海里 小时
16. 某货轮匀速行驶在相距 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．
已知该货轮每小时的燃料费用 与其航行速度 的平方成正比（即： ，其中 为比例系数)；
当航行速度为 海里/小时时，每小时的燃料费用为 元，其他费用为每小时 元，且该货轮的最
大航行速度为 海里/小时．
（ 1 ）请将从甲地到乙地的运输成本 （元）表示为航行速度 （海里/小时）的函数．
3
（ 2 ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶
其他问题
17. 某车间有 名工人，要完成 件产品的生产任务，每件产品由 个 型零件和 个 型零件配套组
成，每个工人每小时能加工 个 型零件或者 个 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组
后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件．设加工 型零件的工人数为 名 ．
（ 1 ）设完成 、 型零件加工所需的时间分别为 、 小时，写出 与 的解析式．
（ 2 ）当 取何值时，完成全部生产任务的时间最短．
18. 一个玩具盘由一个直径为 米的半圆 和一个矩形 构成， 米，如图所示．小球从 点
出发以 的速度沿半圆 轨道滚到某点 处后，经弹射器以 的速度沿与点 切线垂直的方向弹射到
落袋区 内，落点记为 ．设 弧度，小球从 到 所需时间为 ．
（ 1 ）试将 表示为 的函数 ，并写出定义域．
（ 2 ）当 满足什么条件时，时间 最短．
19. 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知 ， 两座烟囱相距 ，其中 烟囱喷出的烟尘
量是 烟囱的 倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而
与烟囱喷出喷出的烟尘量成正比（比例系数为 ， ），若 是 连线上的点，设 ，
点的烟尘浓度记为 ．
（ 1 ）写出 关于 的函数表达式．
（ 2 ）是否存在这样的点 ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出 的距离，若不存在，说明理
由．
20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形 ）
及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形 和 ）组成，其中半圆的圆心为 ，半径为
米，矩形 的一边 在 上，矩形 的一边 在 上，点 ， ， ， 在圆周上，
， 在直径上，且 ，设 ，若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为
万元和 万元．记病床区及休闲区的总造价为 （单位：万元）．
4
（ 1 ）求 的表达式．
（ 2 ）为进行改建预算，当 为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．
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