零点与交点问题
一、 课堂目标
1．熟练掌握函数零点、实根、交点的联系以及零点存在性判定定理．
2．会利用导数判断函数零点的个数．
3．会由函数零点存在的情况求参数范围．
二、 知识讲解
1. 函数的零点与交点
知识精讲
（1）函数零点、实根、交点的联系
①对于函数 ，使 的实数 叫做函数 的零点．
②函数 的零点就是方程 实数根，即 的图象与 轴交点的横坐标．
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
（2）零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ，则函 在区
间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 就是方程 的根．
（3）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤
方法一：直接描绘图象法
①对函数 求导；
②求出函数 的单调性，极值点与极值；
③画出函数 的草图；
④数形结合，确定函数 与 轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．
方法二：作差整体构造法
①构造新函数 ，从而将研究 与 的交点问题转化为研究函数 的
零点问题；
②对 进行求导；
③通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；
1
④从而简单画出函数 的图象；
⑤故可以推出函数 与 轴交点的分布情况，即函数 与函数 的图象交点情况．
经典例题
1. 函数 在 内零点的个数为（ ）．
A. B. C. D.
2. 函数 的零点的个数是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
3. 已知 ，则 零点个数 ．
4. 函数 的零点的个数是（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
5. 已知函数 ， ．
求证： 有两个不同的实数解．
6. 已知函数 .
当 时，证明：函数 只有一个零点．
巩固练习
7. 已知函数 ．
讨论函数 的零点的个数．
2. 利用导数研究函数零点的个数
知识精讲
（1）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤
方法三：参变分离法描绘图像法
①求出函数 的定义域；
②将函数 参变分离，转化为含参常函数 与不含参函数 的交点问题；
③对不含参函数 进行求导；
④求出 函数的单调性，极值点与极值；
2
⑤画出 函数的草图；
⑥数形结合，根据含参常函数 与不含参函数 的交点情况，写出对应的不等关系进而求解
参数 的取值范围．
（2）研究含参函数的零点个数
函数的零点个数是函数图象与 轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数
问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可以从两个方面讨论：
①一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数
零点的个数；
②二是分离参数，将问题转化为求直线 和 的图象的交点个数问题.
经典例题
8. 已知函数 ，当 时，函数的零点个数为 ．
巩固练习
9. 求函数 的零点个数．
经典例题
10. 讨论函数 的零点个数．
巩固练习
11. 讨论函数 的零点个数．
12. 讨论函数 （ ）的零点个数，并说明理由．
3. 由函数零点存在的情况求参数范围
知识精讲
研究此类问题可以从以下两点考虑：
（1）根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出参数需要满足的条件，进
而求出参数的取值范围（值）；
（2）可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需
要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.
经典例题
3
13. 函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
14. 已知函数 ( 为自然对数的底数)在 上有两个零点，则实数 的取值范
围是( )
A. B.
C. D.
经典例题
15.
已知函数 ，若函数 （ 为常数）有三个零点，则实数 的取值
范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
16. 已知函数 ，函数 有四个零点，则实数 的取值范围
是 ．
经典例题
17. 已知函数 ．
若 有两个零点，求 的取值范围．
巩固练习
18. 已知函数 ，其中 ．
若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．
4
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
19. 函数 的零点个数为 ．
20. 若函数 有零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
5零点与交点问题
一、 课堂目标
1．熟练掌握函数零点、实根、交点的联系以及零点存在性判定定理．
2．会利用导数判断函数零点的个数．
3．会由函数零点存在的情况求参数范围．
【备注】【教师指导】
1.本堂课重点内容是会利用导数判断具体函数的零点问题；难点是利用导数判断含参函数
的零点问题，由函数零点存在的情况求参数范围.主要方法包括直接绘图法、参变分离法以
及构造法.并且学生要掌握利用零点存在性定理判断函数零点所在的区间.
2.本讲关联知识包括导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值与最值问题.
二、 知识讲解
1. 函数的零点与交点
【备注】【教师指导】
这部分知识点下所涉及的题目都是具体函数的，不涉及含参函数.
知识精讲
（1）函数零点、实根、交点的联系
①对于函数 ，使 的实数 叫做函数 的零点．
②函数 的零点就是方程 实数根，即 的图象与 轴交点的横坐标．
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
（2）零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ，则函 在区
间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 就是方程 的根．
（3）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤
方法一：直接描绘图象法
①对函数 求导；
1
②求出函数 的单调性，极值点与极值；
③画出函数 的草图；
④数形结合，确定函数 与 轴的交点情况，写出对应的不等关系进而求解参数的取值范围．
【备注】【教师指导】
函数 的图象与 轴交点的横坐标称为这个函数的零点．函数的零点、方程的根及两
个函数的交点等实质上是零点问题的不同表现形式．而导数是研究函数图象和性质的一个
有力工具，通过导函数可以研究函数的单调性、极值点与极值，从而简单画出函数的图
象，故可以推出原函数与 轴交点的分布情况
方法二：作差整体构造法
①构造新函数 ，从而将研究 与 的交点问题转化为研究函数 的
零点问题；
②对 进行求导；
③通过导函数研究函数 的单调性、极值点与极值；
④从而简单画出函数 的图象；
⑤故可以推出函数 与 轴交点的分布情况，即函数 与函数 的图象交点情况．
【备注】【教师指导】
（1） 有几个根 函数 与 图象有几个交点
函数 图象与 轴有几个零点．
（2） 有几个根 函数 与函数 图象有几个交点
函数 的图象与 轴有几个零点．
经典例题
1. 函数 在 内零点的个数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
这道题是运用直接描绘图象法
1.先判断定义域，求导，判断函数单调性
2.作出函数简图
3.代入区间端点值，利用零点存在性判定定理即可
【答案】B
【解析】函数的定义域为 ，
求导函数得： ，
2
∵ ，
∴ ，
∴函数在 上为单调增函数，
∵ ， ，
∴函数 在 内零点的个数为 个．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）；函数零点存在定理
【素养】数学运算
2. 函数 的零点的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
这道题考查构造新函数法
1.先化简原函数，将函数不易判断零点的部分构造新函数
2.将新函数判断定义域，求导，判断单调性
3.确定零点个数
【答案】B
【解析】由
，
故 是函数 的零点，
构造函数 ，
注意到 ，
，
在 上单调递增，
故 只有唯一零点 ，
所以 有两个零点 或 ，
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
巩固练习
3. 已知 ，则 零点个数 ．
3
【答案】
【解析】 ，
令 ，得 ， ，
则 在 ， 单调递增，在 单调递减，
又 ，
，
故有 个零点．
【标注】【素养】数学运算；数学抽象
【知识点】直接求函数的零点（不含参）
4. 函数 的零点的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 恒成立，
∴ 在 上单调递增，
又 ，
∴ 有且只有 个零点．故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】直接求函数的零点（不含参）
经典例题
5. 已知函数 ， ．
求证： 有两个不同的实数解．
【备注】【教师指导】
本题考查整体构造函数
1.理解题意是 有两个零点
2.对 判断定义域，求导，判断单调性，判断极值点及端点值对应函数值正负
3.确定零点个数
【答案】（ 1 ）证明见解析．
4
【解析】（ 1 ）运用零点定理：
令 ，则只需证明 有两个不同的零点．
，
则 时， ；
时， ．
则 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ， ， ，
则由零点定理有 在 和 上各有一个零点，证毕！
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题；直接求函数的零点（不含参）；隐零点问题
6. 已知函数 .
当 时，证明：函数 只有一个零点．
【备注】【教师指导】
这道题涉及二次求导
1.先判断定义域，对函数进行求导，求导后依旧有对数函数，并不能判断函数的单调性
2.因此要进行二次求导，从而判断导函数的单调性及最值
3.根据导函数的最值判断原函数的单调性，从而判断函数零点的情况
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵当 时， ，其定义域为 ，
，
令 ， ，解得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，即 ，
∴ 在 上单调递减．
又∵ ，
∴ 有唯一的零点 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题
巩固练习
7. 已知函数 ．
讨论函数 的零点的个数．
5
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ） ， 恒成立，
在 上单增，在 上单增，
当 时， ， ， ， 在 上无零点；
当 时， ， ，
，
∵ ， 在 上单增，
∴ ，使 ．
即 在 上存在 个零点；
当 时， ，当 时， ；
综上 存在 个零点．
【标注】【知识点】放缩法；直接求函数的零点（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题
2. 利用导数研究函数零点的个数
知识精讲
（1）利用导数研究函数零点问题的方法及步骤
方法三：参变分离法描绘图像法
①求出函数 的定义域；
②将函数 参变分离，转化为含参常函数 与不含参函数 的交点问题；
③对不含参函数 进行求导；
④求出 函数的单调性，极值点与极值；
⑤画出 函数的草图；
⑥数形结合，根据含参常函数 与不含参函数 的交点情况，写出对应的不等关系进而求解
参数 的取值范围．
【备注】【教师指导】
（1）利用导数研究函数的零点问题最核心的思路是利用导数研究函数的图象，由函数的单
调性、极值及区间端点的取值情况，得到函数零点的情况．
（2）处理含参单函数的零点或方程的根的问题时，也可以通过参变分离，将问题转化为常
函数与不含参函数的交点问题．
6
（2）研究含参函数的零点个数
函数的零点个数是函数图象与 轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数
问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可以从两个方面讨论：
①一是利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数
零点的个数；
②二是分离参数，将问题转化为求直线 和 的图象的交点个数问题.
经典例题
8. 已知函数 ，当 时，函数的零点个数为 ．
【备注】【教师指导】
从这道题开始，后面都是利用导数研究含参函数的零点相关问题
这道题相对简单，给定了参数的范围
1.首先确定定义域，求导，判断函数的单调性
2.根据函数单调性，代值判断函数的零点个数
【答案】
【解析】函数 ，可得 ，
时， ，函数是减函数，
， ，
所以函数 ，
当 时，函数的零点个数为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】求函数零点（含参指对型导函数）
巩固练习
9. 求函数 的零点个数．
【答案】 个．
【解析】函数 的定义域为 ，且 ．
令 ，得 ．
当 时， ， 在区间 内单调递减；
7
当 时， ， 在区间 内单调递增．
故 ．
因为 ，当 时， ，即 ，
所以函数 在区间 内无零点．
因为 ， ．
又 在区间 内单调递增．
根据零点存在性定理，得
函数 在区间 内有且只有一个零点．
综上，当 时，函数 在 的零点个数为1.
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】求函数零点（含参指对型导函数）
经典例题
10. 讨论函数 的零点个数．
【备注】【教师指导】
这道题可以有两种思路，建议老师都讲解一下
第一种是参变分离，令参数在左边，其他在右边，求出右边函数的范围
第二种是分类讨论，这类比较复杂，也是学生通常会用的方法
1.先确定定义域求导
2.对参数分类讨论，确定原函数单调性
3.讨论参数不同时，零点个数
【答案】 时， 个零点．
， 个零点．
时，无零点．
时， 个零点．
时， 个零点．
【解析】思路一：参变分离，函数 的交点个数，作函数 的图象求解．
思路二：讨论函数 ，
（ ） 时， 个零点， ， 单调递增，
， ，
（ ） ， 个零点 ．
8
（ ） 时，无零点， ， ．
（ ） 时， 个零点， ， ．
（ ） 时， 个零点， ，
， ．
【标注】【知识点】导数与最值；利用导数求函数的零点及个数；函数零点存在定理
巩固练习
11. 讨论函数 的零点个数．
【答案】（ ） 时， 个零点；（ ） 时，无零点；
（ ） 时，无零点；（ ） 时， 个零点．
【解析】思路一：参变分离，函数 的交点个数，作函数 的图像求解；
思路二：不完全参变分高，令 ， ，数形结合求解；
思路三：讨论函数 ．
（ ） 时， 个零点．
， 单调递增，
且 ， ，
所以在 上有一个零点；
（ ） 时，无零点．
恒成立；
（ ） 时，无零点．
；
（ ） 时， 个零点．
， ， ．
【标注】【知识点】函数零点存在定理；导数与最值；利用导数求函数的零点及个数
12. 讨论函数 （ ）的零点个数，并说明理由．
【答案】 ，无零点，
或 ，一个零点，
9
，两个零点．
【解析】讨论 （ ）的零点个数，
时， 恒成立， 在 上单调增， ，
时， ， ，
∴ ，
∴ ， ，此时 仅有一个零点，
， （ ），无零点，
，令 得， ， 在 ， 上单调减， 上单调增，
，
时， ， 无零点，
， ， 有唯一零点 ，
时， ，∵ ， ，∴ ， ，
∵ ， （需证），
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 时， 有两个零点，
∴综上所述，
，无零点，
或 ，一个零点，
，两个零点．
【标注】【知识点】函数零点存在定理；利用导数求函数的零点及个数；利用导数证明不等式恒成
立问题；利用导数求函数的最值
3. 由函数零点存在的情况求参数范围
知识精讲
研究此类问题可以从以下两点考虑：
（1）根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出参数需要满足的条件，进
而求出参数的取值范围（值）；
（2）可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需
要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解.
10
经典例题
13. 函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】【教师指导】
本题考查根据函数零点情况求解参数范围问题，主要利用了参变分离
1.将参数分离出，右边得到一个新的具体函数
2.求具体函数的单调性、最值问题
3.利用参数与新函数图象有两个交点，即可得到参数范围
【答案】C
【解析】函数 在 上有两个不同的零点，
即 时，方程在 上有两个不同的根，
故 和 的图象有两个交点，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 上单调递减， 单调递增，
所以 ， ， ，
由于 ，
所以当函数的图象有两个交点时， ．
故选 ．
【标注】【方法】参变分离法
【知识点】导数与最值；导数与单调性；已知零点或根情况求参数范围；函数零点的概念
【思想】转化化归思想
巩固练习
14. 已知函数 ( 为自然对数的底数)在 上有两个零点，则实数 的取值范
围是( )
11
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题建议利用方法一讲解
【答案】D
【解析】解：方法 ：由 得 ，
当 时，方程不成立，即 ，
则 ，
设 ( 且 )，
则 ，
且 ，
由 得 ，
当 时， ，函数 为增函数，
当 时， ，函数 为减函数，
则当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，
当 时， ，且单调递减，作出函数 的图象如图：
12
要使 有两个不同的根，
则 即可，
即实数 的取值范围是 ，
故选：D．
方法 ：由 得 ，
设 ， ，
，当 时， ，则 为增函数，
设 与 相切时的切点为 ，切线斜率为
，
则切线方程为 ，
当切线过 时， ，
即 ，即 ，解得 或 (舍)，则切线斜率
为 ，
要使 与 在 上有两个不同的交点，则 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：D．
【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围
经典例题
15.
已知函数 ，若函数 （ 为常数）有三个零点，则实数 的取值
范围为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【备注】【教师指导】
分段函数与零点结合的题属于常考题型
1.分段函数一般利用数形结合会简单些
2.本题难点在于 时，函数图象的画法
13
3.利用 与 的交点去找范围即可
【答案】A
【解析】方法一：∵函数 （ 为常数）有三个零点，
∴即 与 有三个交点，
①当 时， ，
，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
且当 时， ，
当 时， 且 ；
②当 时， ，
，
令 ，则 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴ ，
且 ．
方法二：∵函数 （ 为常数）有三个零点，
∴即 与 有三个交点，
①当 时， ，
，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
且当 时， ，
当 时， 且 ；
②当 时， 为一个开口向上的二次函数，
∴ ，
且对称轴为 ，
．
综上所述：画出 图象：
14
若要使 与 有三个交点，
由图象可知：
∴ 的取值为： ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；数学抽象
【知识点】利用函数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；已知零点情况求参
数的取值范围
【思想】数形结合思想
【特色题型】选择压轴
巩固练习
16. 已知函数 ，函数 有四个零点，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】由 得 ，
当 时， 不成立，
即 ，
则 ，
若 有四个零点，则等价为 有四个不同的根，
设 ，
则当 时， ，
，
则当 时， ，函数为增函数，
15
当 时， ，函数为减函数，
即此时当 时， 取得极小值，
极小值为 ，
当 ， ，
当 时， ，
，
由 得 （舍）或 ，此时函数为增函数，
由 得 ，此时 为减函数，
即当 时， 取得极大值，极大值为 ，
作出函数 的图象如图：
要使 有四个根，
则满足 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学抽象；数学运算
【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
【思想】数形结合思想
经典例题
17. 已知函数 ．
若 有两个零点，求 的取值范围．
【备注】【教师指导】
16
这道题属于综合题，也是常见题型，主要是利用直接法，注意对参数的分类讨论.
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ） ．
当 时， ，所以 在 上单调递增，故 至多存在 个
零点，不合题意．
当 时，由 可得 ．
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
①若 ，则 ， 在 上至多存在 个零点，不
合题意．
②若 ，则 ，
由于 ，所以 在 上存在唯一零点．
由 知，当 时， ，所以当 且 时，
，
故 在 上存在唯一零点．从而 在 上有两个零点．
综上， 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
巩固练习
18. 已知函数 ，其中 ．
若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时，
在 上无零点，不符合题意，
当 时，
，
时， 或 ，
17
设 ，
∵ ，
∴ 与 同号，
时， 单调增，
时， 单调减，
∵ 有两个而不同的两点，
则 不可在 恒单调，
即只有 时满足 在 上单调递增， 上单调减，
可能存在两个零点，且由于 在 取最大， ，
．
∵ ，
∴ 即 ，
得： ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参二次型导函数）；求函数极值（含参二次型导函数）
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
四、 出门测
19. 函数 的零点个数为 ．
18
【答案】
【解析】 单调递减， ．接下来寻找位于 的自变量使其函数值为正．
当 时， ．
故 ，从而 在 上存在一个零点．
【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；导数与单调性；利用导数求函数的零点及个数
20. 若函数 有零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数 有零点，等价于方程 有根，
令 ，则 ，
由 得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
则 ，即实数 的取值范围是 ，
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围
19
