零点与交点问题【题集】
1. 函数零点、实根、交点的联系
1. 设 ，则 有（ ）．
A. 唯一一个极大值点和唯一一个零点 B. 唯一一个极大值点和两个不同零点
C. 唯一一个极小值点和唯一一个零点 D. 唯一一个极小值点和两个不同零点
2. 函数 的零点个数为 ．
3. 函数 的零点个数为（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知函数 ，则该函数有（ ）个零点
A. B. C. D.
5. 记函数 的零点为 ，则关于 的结论正确的为（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知函数 ．
当 ，证明：函数 的导函数 存在唯一的零点．
7. 已知函数 ．
设 ，求证： 在 上有两个零点．
8. 已知函数 ．
（ 1 ）求 在 上的最大值．
（ 2 ）判断 的零点个数，并说明理由．
2. 利用导数研究函数零点的个数
9. 讨论函数 （ ）的零点个数．
10. 设函数 ，讨论 的零点个数．
11. 已知函数 ，讨论其零点个数．
12. 已知函数 ，试求 的零点个数．
13.
1
已知函数 ．
若 ，讨论函数 在 上的零点个数．
14. 已知函数 ．
讨论 在 上的零点个数．
15. 已知函数 （ ）．
（ 1 ）试讨论函数 的单调区间．
（ 2 ）设 在 上有最小值，试求 的零点个数，并证明你的结论．
3. 由函数零点存在的情况求参数范围
16. 若函数 有且仅有一个零点，则实数 的值为（ ）．
A. B.
C. D. 不存在
17. 已知函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
18. 函数 ，关于 的方程 恰有四个不同的实数解，则正数 的
取值范围为 ．
19. 已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
20. 已知函数 ， ，若方程 恰有三个不相等的实根，则
的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
21. 已知函数 ( 为自然对数的底数)，若函数 恰好有两
个零点，则实数 等于（ ）．
A. B. C. D.
22.
2
已知函数 ，若方程 有且仅有两个不同的解，则实
数 的值为（ ）．
A. B. C. D.
23. 设函数 ，其中 ．
若函数 在区间 上有两个零点，求 的取值范围．
24. 设 ，函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的极值．
（ 2 ）若函数 在区间 上有唯一零点，试求 的值．
25. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
（ 2 ）若 有两个零点，求 的取值范围．
26. 已知函数 ，且函数 为偶函数．
若方程 有三个不同的实数根，求实数 的取值范围．
3零点与交点问题【题集】
1. 函数零点、实根、交点的联系
1. 设 ，则 有（ ）．
A. 唯一一个极大值点和唯一一个零点 B. 唯一一个极大值点和两个不同零点
C. 唯一一个极小值点和唯一一个零点 D. 唯一一个极小值点和两个不同零点
【答案】A
【解析】 ，
，
令 ，得 ，
当 时， ，
单调递增，
当 时， ，
单调递减，
∴有极大值点 ，
令 ，得 ，
∴有唯一零点 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算；逻辑推理
【知识点】直接求函数的零点（不含参）；直接求函数的极值（不含参）
2. 函数 的零点个数为 ．
【答案】
【解析】 ，
，
，
令 ， ，
1
∴ 在 上单调递减，在 单调递增，
，
，
，
∴ 有两个解，
即 的零点个数为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
3. 函数 的零点个数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，所以当 时 ；当
时 ；因此零点个数为 ，选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
4. 已知函数 ，则该函数有（ ）个零点
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知 ，
①当 时， ，
则 恒成立，即 在 上单调减，
， ，
根据零点存在定理， 在 上存在 个零点；
②当 时， ，
则 恒成立，即 在 上也单减，
2
则 ，故 ，
则 在 上无零点，
综上所述 只有 个零点．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）
【素养】逻辑推理；数学运算
5. 记函数 的零点为 ，则关于 的结论正确的为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】函数 的定义域为 ，
则 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
又因为 ，
，
所以 ，
故存在 ，
使 ，
即 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直接求函数的零点（不含参）；函数零点存在定理
6. 已知函数 ．
当 ，证明：函数 的导函数 存在唯一的零点．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
3
【解析】（ 1 ）当 时， ，
令 ，
则 ，
令 ， ，
则 ，
令 ，由 ，且二次项系数为负得
，从而 单调递减，
∴ ，
∴ ，
∴ 单调递减，
而 ， ，
故 仅有一个零点．
∴ 亦仅有一个零点．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题；直接求函数的零点（不含参）
7. 已知函数 ．
设 ，求证： 在 上有两个零点．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵ ，
∴当 时， ．
令 ，
∴要证 在 上有两个零点，即证 在 有 个零点．
又 ，
令 ，
则 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，即 在 上单调递增．
又 ， ，
∴由零点存在性定理可知，存在 使得 ，
∴在 在 上有 个零点得证，即 在 上有两个零点得证．
4
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；直接求函数的零点（不含参）；函数零点存在
定理
8. 已知函数 ．
（ 1 ）求 在 上的最大值．
（ 2 ）判断 的零点个数，并说明理由．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 有两个零点；证明见解析．
【解析】（ 1 ） ，
当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
∴ 在 上的最大值为 ．
（ 2 ）由（ ）知，当 时， 在 上单调递减，
而 ， ．
∴由零点存在定理知， 在 上有唯一零点：
当 时， ，
∴ 在 上单调递减．
又 ， ．
故存在 ，使得 ，
且 时， ， 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ，
，
∴ 在 上有一个零点，在 上无零点，
综上， 有两个零点．
【标注】【知识点】利用导数求函数的零点及个数；隐零点问题；利用导数求函数的最值
2. 利用导数研究函数零点的个数
9. 讨论函数 （ ）的零点个数．
5
【答案】证明见解析．
【解析】 （ ），
， ，
时， （ ）
，∴ ， ，
此时一解，
，无解，
时，仅一解 ，
时，∵ ， ， ， ，
∵ （ ， ），
∴ ， ，
此时两解，
时，无解．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的零点及个数；利用函
数图象研究方程根的分布问题（图象与零点综合）；函数零点存在定理
10. 设函数 ，讨论 的零点个数．
【答案】当 时， 在 上有 零点；
当 时， 在 上有 个等点；
当 时， 在 上有 个零点．
【解析】当 时， ，则 在 上为减函数，
由 ， ，
∴ 在 上有一个零点；
当 时，令 得 ，即 ，令 ，则
．
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，作出 的图象如下图，
6
由图象可知：
①当 即 时， 在 上无零点；
②当 即 时， 在 上只有 个零点；
③当 即 时，即 在 上有 个零点，
综上可知，当 时， 在 上有 零点；当 时， 在 上有 个等点；当
时， 在 上有 个零点．
【标注】【知识点】函数零点的概念；导数与单调性；利用导数求函数的零点及个数
11. 已知函数 ，讨论其零点个数．
【答案】（ ） ，无零点，
（ ） ，有唯一的零点，
（ ） ，
① 无零点，
② ， 个．
【解析】定义域 ，
．
（ ） ， ，无零点，
（ ） ， 单增，
， ，（ ）有唯一的零
点，
（ ） ， 在 ， ，
，
① ， 无零点，
② ， ， 个，
③ ， ，
7
在 左侧（此时 ）， ．
在 右侧， ，（ ， ， ， ）．
【标注】【知识点】利用导数求函数的零点及个数；导数与单调性；函数零点存在定理
12. 已知函数 ，试求 的零点个数．
【答案】当 时， ， 无零点，
当 时， ， 有 个零点，
当 时， ， 有 个零点．
【解析】
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，
在 上单调递增．
，
显然当 时， ， 无零点，
当 时， ， 有 个零点，
当 时， ， 有 个零点．
【标注】【知识点】利用导数求函数的零点及个数
13. 已知函数 ．
若 ，讨论函数 在 上的零点个数．
【答案】（ 1 ）当 时，函数 在 上的零点个数为 ；
当 时，函数 在 上的零点个数为 ；
当 时，函数 在 上的零点个数为 ．
【解析】（ 1 ） ， ，
当 时， ， 在 上为单调递增函数，
，此时函数 的零点个数为 ；
当 时，在 上， ， 单调递减，在 上，
， 单调递增，
8
所以 ，
当 时， ，此时函数 在 上的零点个数为 ；
当 时， ，此时函数 在 上的零点个数为 ；
当 时， ，此时函数 在 上的零点个数为 ．
综上，当 时，函数 在 上的零点个数为 ；
当 时，函数 在 上的零点个数为 ；
当 时，函数 在 上的零点个数为 ．
【标注】【知识点】对数函数类型；利用导数求函数的零点及个数；求解函数极值
14. 已知函数 ．
讨论 在 上的零点个数．
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上没有零点；当 时， 在 上只有一个
零点；当 时， 在 上有两个零点．
【解析】（ 1 ）令 ，得 ，
设 ，则 ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ．
当 时， 在 上无解，
∴ 在 上没有零点；
当 时， 在 上有且仅有一个解，
∴ 在 上有一个零点；
当 时， 在 上有两个解，
∴ 在 上有两个零点．
综上，当 时， 在 上没有零点；
当 时， 在 上只有一个零点；
当 时， 在 上有两个零点．
【标注】【知识点】参变分离法求零点个数；直接求函数的极值（不含参）；指数函数类型
15. 已知函数 （ ）．
（ 1 ）试讨论函数 的单调区间．
（ 2 ）设 在 上有最小值，试求 的零点个数，并证明你的结论．
9
【答案】（ 1 ）当 时， 在 上递增，无递减区间，
当 时， 在 上递减，在 上递增．
（ 2 ）当 时， 无零点；
当 时， 有唯一零点；
当 时， 有两个零点，
证明见解析．
【解析】（ 1 ）由函数 可知， ， ．
①当 时， 恒成立，
此时 在 上单调递增；
②当 时，令 得 或 （舍），
且当 时 ，当 时 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
综上，当 时， 在 上递增，无递减区间，
当 时， 在 上递减，在 上递增．
（ 2 ）由 ，可知， ，
要使 在 上有最小值，
则 在 有极小值，显然 ，
令 得 ．
则有 ，即 ，
此时，当 时， ，当 时 ，
∴ 在 处取极小值，符合题意，
∴ 符合，
由（ ）右知，此时 在 处取极小值，也为最小值且
，
当 时， ，当 时， ，
当 时，即 时， ，
此时， 无零点，
当 即 时， 存在唯一零点，
10
当 即 时， ，
此时， 存在两个零点．
综上，当 时， 无零点；
当 时， 有唯一零点；
当 时， 有两个零点．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）
3. 由函数零点存在的情况求参数范围
16. 若函数 有且仅有一个零点，则实数 的值为（ ）．
A. B.
C. D. 不存在
【答案】B
【解析】∵函数 有且只有一个零点，
则 有且只有一个解，
即 ，即 在 只有一个解，
令 ， ，
则 ， ， ，
∴当 时， ；当 时，
∴ 在 上递增，在 上递减，
∴ 函数在 处取极大值，即 ，
∴ 的图象如下，
要使 只有一个解，则 与 只有一交点，
又∵ ，则 ．
11
故选 ．
【标注】【知识点】求参数范围（不含参型导函数）
17. 已知函数 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ．
当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增．
当 ，令 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时， ，当 时， ，所以函数有唯一零点，
∴ ．
综上， ．
故选 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参一次型导函数）
18. 函数 ，关于 的方程 恰有四个不同的实数解，则正数 的
取值范围为 ．
【答案】
【解析】 ，
令 ，得 或 ．
当 时， ，函数 在 上单调递增，且 ；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增．
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ．
令 ，则方程 有两个不同的实数根，且一个根在 内，另
一个根在 内，或者两个根都在 内，
12
或者一根为 ，另一根在 内，或者一根为 ，另一根在 内，
因为两根之和为 ， 为正数，
所以两个根不可能都在 内，也不可能一根为 ，
另一根在 内，也不可能一根为 ，另一根在 内，
令 ，
因为 ，
所以只需 ，
即 ，得 ，
即 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】函数零点存在定理；已知零点或根情况求参数范围
19. 已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，
当 时， ， 在 上单调递增，不合题意．
当 时， ， 在 上单调递减，也不合题意．
当 时，当 时， ， 在 上单调递减；
时， ， 在 上单调递增．
又 ，所以 在 上有两个零点，
只需 即可，
所以 ．
综上， 的取值范围是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】求参数范围（含参指对型导函数）
20. 已知函数 ， ，若方程 恰有三个不相等的实根，则
的取值范围为（ ）．
13
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知方程 在 上恰有三个不相等的实根，
即 ，①
因为 ，①式两边同除以 ，
得 ，
所以方程 有三个不等的正实根，
记 ， ，
则上述方程转化为 ，
即 ，
所以 或 ，
因为 ，
当 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，且 时， ，
当 时， ，
在 上单调递减，且 时， ，
所以当 时， 取最大值 ，
当 ，有一根，
所以 恰有两个不相等的实根，
所以 ．
【标注】【知识点】已知零点或根情况求参数范围
21. 已知函数 ( 为自然对数的底数)，若函数 恰好有两
个零点，则实数 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，
14
∴ 时， ，则 恒成立，
显然函数 有 个零点，设为 ，则 ，
∴ ， ，
显然 在 上有一个零点，
时，若 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
∴当 时， ，即函数 在 上单调递减．
当 时， ，即函数 在 上单调递增．
∴ ，即 时， ，
若 在 上有且只有两个零点，则 ，即 ，故选 ．
【标注】【知识点】分段函数；已知零点情况求参数的取值范围
【素养】数学运算；逻辑推理
22. 已知函数 ，若方程 有且仅有两个不同的解，则
实数 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ，可得 ， 即有 为偶函数，
由题意考虑 时， 有一个零点，
当 时， ， ，
即有 时， ，
由 ，可得 ，
由 ， 相切，设切点为 ，
的导数为 ，可得切线的斜率为 ，
可得切线的方程为 ，
由切线经过点 ，可得 ，
解得 或 （舍去），即有切线的斜率为 ，
由图象可得 时，直线与曲线有两个交点．
故选 ．
15
y
4
2
O x
–2
【标注】【知识点】导数的几何意义；已知零点或根情况求参数范围；函数零点的概念
23. 设函数 ，其中 ．
若函数 在区间 上有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 或 ．
【解析】（ 1 ）由 ，得 ，
所以“ 在区间 上有两个零点”等价于“直线 与曲线 ，
有且只有两个公共点”，
对函数 求导，得 ，
由 ，解得 ， ，
当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：
极小值 极大值
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ， ，
所以当 或 时，直线 与曲线 ，
有且只有两个公共点，
即当 或 ，函数 在区间 上有两个零点．
【标注】【知识点】参变分离法求零点个数；直接求函数的极值（不含参）
16
24. 设 ，函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的极值．
（ 2 ）若函数 在区间 上有唯一零点，试求 的值．
【答案】（ 1 ） 有极大值 ，无极小值．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） 的定义域为 ，
，
令 ，
则 ，故 在 单调递减，又知 ，
故当 时， ；
当 时， ，
因此 在 单调递增，在 单调递减，
所以 有极大值 ，无极小值．
（ 2 ）方法一：由 得： ，
由（ ）级 知： 即 ．
方法二： ，
由于 ，故 ，
由 得 （舍）， ，
且当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递减，在 单调递增，
因为 在 有唯一零点，
所以 ，即 ①，
又知 ，即 ②，
由①②两式得 ，
所以 ，
代入②的 ，因此 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；直接求函数的单调性（不含参）；求参数范围
（含参二次型导函数）
25. 已知函数 ．
（ 1 ）讨论 的单调性．
17
（ 2 ）若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时， ，则 在 内单调递减；
当 时，则 在 内单调递减，在 内单调递增．
（ 2 ）当 时，函数 有两个不同的零点．
【解析】（ 1 ）方法一：函数 ， ；
∴
，
当 时， ，则 在 内单调递减；
当 时，则 在 内单调递减，在 内单调递增．
方法二：由（1）得若函数 有两个零点，则 且 的最小值
，
即 ，
∵ ，
∴ ，
令 ， 在 上为增函数，
且 ， ，
∴存在 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴满足条件的最小正整数 ．
（ 2 ）由（ ）知，当 时， 在 内单调递减，最多只有一个零点，舍去；
时，
；
当 时， ；
当 时， ；
∴当 ，令 ，
则 ，
∴ ；
则 在 上单调递增；
18
又 ，解得 ；
∴当 时，函数 有两个不同的零点．
【标注】【知识点】函数零点的概念；函数零点存在定理；利用导数求函数的单调性、单调区间；
已知零点或根情况求参数范围
26. 已知函数 ，且函数 为偶函数．
若方程 有三个不同的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ）方程 有三个不同的实数根，
即方程 有三个不同实数根，
令 ，由（ ）有 ，
所以 ，
令 ，则 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 ， 单调递增，
所以，当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值 ，
又由于 ，且当 时， ，
当 时， ，
所以，方程 有三个不同实数根时， 的范围是 ．
【标注】【知识点】利用函数奇偶性求参数；已知零点或根情况求参数范围
19
