排列
一、 课堂目标
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理并会解决相关数学问题．
2．掌握排列的计算公式并会求解相关的排列问题．
3．掌握一些特殊的排列模型并会运用．
二、 知识讲解
1. 计数原理
知识精讲
（1）分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中有 种不同的方法，那
么完成这件事共有 种不同的方法.
知识点睛
推广
完成一件事，完成它有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种方
法，……，在第 类办法中有 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同
的方法．
经典例题
1. 如图，在由开关组 与 组成的并联电路（规定只能合上其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的
方法有 种．
1
巩固练习
2. 从 地到 地有 趟对开飞机， 趟对开列车．
从 地到 地有多少种不同的方式？
知识精讲
（2）分步乘法计数原理
完成一件事情需要两个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事
共有 种不同的方法.
知识点睛
推广
完成一件事，完成它需要分成 个子步骤，做第一个步骤有 种不同的方法，做第二个步骤有 种不
同方法，……，做第 个步骤有 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不
同的方法．
经典例题
3. 把 封信投到 个信箱，则不同的投法共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
巩固练习
4. 将 封信投入 个信箱内，不同的投法有 种．
5. 由数字 ， （可重复）组成的三位数的个数是 ．(用数字作答)
知识精讲
（3）两个基本计数原理的联系与区别
联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.
区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完
成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，只有各个步骤都完成才算完成这件事 .
知识点睛
两种基本计数原理的综合
解决有些计数问题时需要兼顾两种基本计数原理，此时要结合题目分析“分类”与“分步”的顺序，而且，
在具体的“分类”和“分步”的过程中，要明确“分类”的标准和“分步”的步骤．对于更复杂的一类问题，甚至
2
会出现“分类中有分步，分步中有分类”的情况．
经典例题
6. 有三个车队，三个车队分别有 辆、 辆、 辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，
设不同的抽调方案数为 ，则 的值为 ．
巩固练习
7. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 种蔬菜品种中选出 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必
须种植，求：有多少种不同的种植方法？
经典例题
8. 如图，正五边形 中，若把顶点 、 、 、 、 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使
得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
巩固练习
9. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 、 、 、 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区
（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．
A. B. C. D.
2. 排列
知识精讲
（1）排列
3
一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中
取出 个元素的一个排列．
（2）排列数
从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排
列数，用符号 表示．
（3）排列数公式
， ，且 ．
（4）全排列
一般地， 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列．
全排列公式 ．
（5） 的阶乘
正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示．所以 个不同元素的全排列公式可以写成 ．
规定： ．
（6）排列数公式的阶乘表示
，
即 ， ， ，并且
（7）排列数的性质
①
②
经典例题
10. 计算：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
（ 7 ） ．
（ 8 ） ．
11. 下列各式与排列数 相等的是（ ）．
4
A. B.
C. D.
巩固练习
12. 可表示为（ ）．
A. B.
C. D.
经典例题
13. 用数字 ， ， 组成无重复数字的三位数的个数是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
14. 现有 辆公交车、 位司机和 位售票员，每辆车上需配 位司机和 位售票员，问车辆、司机、售票
员搭配方案一共有 种？
3. 排列问题模型
知识精讲
（1）捆绑法
①模型：将 个不同元素排成一排，其中某 个元素相邻，求不同排法种数的方法．
②思路：将相邻的 个元素“捆绑”在一起看成一个整体，此时变为 个元素的全排列，排法为
；再将“捆绑”在一起的元素内部排列，排法为 ．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数
有 种．
经典例题
15. 一排 个座位坐了 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
16. 一排 个座位坐了 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A. B.
C. D.
5
知识精讲
（2）插空法
①模型：将 个不同的元素排成一排，其中某 个元素互不相邻（ ），求不同排法种数的
方法．
②思路：Ⅰ.将没有要求的 个元素全排列，排列方法有 种；Ⅱ.将要求互不相邻的 个元素插入
个空隙中，相当于从 个空隙中选取出 个分配给互不相邻的那 个元素，其排列方法
有 种．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数有 种．
经典例题
17. 年 月 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 个国家和地
区， 个国际组织参加．现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一
个展位．在排成一排的 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有 种．
巩固练习
18. 某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目
插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
19. 已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排
队方法数为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
20. 现有甲、乙、丙、丁、戊 人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有
（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
21. 在某校召开的高考总结表彰会上有 位数学老师、 位英语老师和 位语文老师做典型发言．现在安
排这 位老师的发言顺序，则 位数学老师互不相邻的排法共有 种．（请用数字作答）
经典例题
22. 位同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
（ 1 ）甲站在最左端．
6
（ 2 ）甲、乙相邻．
（ 3 ）甲、乙不相邻．
（ 4 ）甲在乙的左边（但不一定相邻）．
（ 5 ）甲、乙、丙两两不相邻．
巩固练习
23. 有 名老师、 位家长以及 个学生站在一排合影，要求 位家长不能站在一起，学生必须和 名老师
中的王老师站在一起，则共有（ ）种不同的站法．
A. B. C. D.
知识精讲
（3）优先排列法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊
元素(位置)优先原则，即先安排有限制条件的元素(位置)，对于分类过多的问题可以采用间接法.
经典例题
24. 有 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么 名同学值日顺序的编排
方案共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
巩固练习
25. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位
爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 人的入园顺序排法种数为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
26. 用 种不同的颜色给图中 个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的
方法有（ ）种．
A. B. C. D.
巩固练习
7
27. 用五种不同的颜色给图中， 六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜
色不同，则共有涂色方法（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
知识精讲
（4）定序问题
在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是固定的（但是不一定相邻）．这类问题可采用分类法.
个不同元素的全排列有 种排法， 个元素的全排列有 种排法.因此 种排法中，关于 个元素的
不同分法有 类，而且每一类的排法数是一样的.当这 个元素顺序确定时，共有 种排法.
经典例题
28. 个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
巩固练习
29. 有 名男生， 名女生． 名女生高矮互不等，将 名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排
列，有多少种排法？
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
四、 出门测
30. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
31.
三位旅客到 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
32. 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 种．
8
9排列
一、 课堂目标
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理并会解决相关数学问题．
2．掌握排列的计算公式并会求解相关的排列问题．
3．掌握一些特殊的排列模型并会运用．
【备注】【教师指导】
1.本讲的重点是掌握分类加法计数原理及应用、掌握分步乘法计数原理及应用，掌握排列
的定义及应用；难点是解决排列问题的常见模型；重点题型是利用分类加法计数原理、分
步乘法计数原理以及排列的定义、排列问题的常见模型解决计数问题.
2.排列组合与二项式定理属于历年高考必考题，在期中期末也属于常考题，属于重点内容.
对于排列与组合的考查，有时难度比较大，学生也不好理解，在求解时会漏掉一些情况或
者多数一些情况.对于这些问题，学生要理解对应的模型，熟练掌握对应模型的应用.
二、 知识讲解
1. 计数原理
知识精讲
（1）分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中有 种不同的方法，那
么完成这件事共有 种不同的方法.
知识点睛
推广
完成一件事，完成它有 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种方
法，……，在第 类办法中有 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同
的方法．
【备注】【教师指导】
下面是定义中要注意的地方，要给学生讲解：
1
（1）从分类加法计数原理可以看出，各类方法之间相互独立，且用每一种方法都能完成这
件事，各类方法数相加，即得完成这件事的方法总数；
（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定分类标准下进行分
类；
（3）完成这件事的任何一种方法必属于且只能属于其中某一类方案，并且分别属于不同两
类的任意两种方法都是不同的方法，即分类时要做到不重不漏.
经典例题
1. 如图，在由开关组 与 组成的并联电路（规定只能合上其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的
方法有 种．
【备注】【教师指导】
本题考查分类加法计数原理，引导学生进行先分类分析，在把各类方法相加.
【答案】
【解析】要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组 与 组成的并联电路中，只要合上图中
的任一开关，接通电源，灯泡就会发光．因此接通电源使灯泡发光的方法有
（种）．
【标注】【知识点】分类加法计数原理
巩固练习
2. 从 地到 地有 趟对开飞机， 趟对开列车．
从 地到 地有多少种不同的方式？
【答案】（ 1 ） ．
【解析】（ 1 ） ．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理；分类加法计数原理
2
知识精讲
（2）分步乘法计数原理
完成一件事情需要两个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事
共有 种不同的方法.
知识点睛
推广
完成一件事，完成它需要分成 个子步骤，做第一个步骤有 种不同的方法，做第二个步骤有 种不
同方法，……，做第 个步骤有 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不
同的方法．
【备注】【教师指导】
在“分类”问题中，各类方法中的任何一种都可以把这件事做完；在“分步”问题中，每一个步
骤中的任何一种方法都不能把这件事做完，只有把各个步骤依次全部完成，才能把这件事
做完．
经典例题
3. 把 封信投到 个信箱，则不同的投法共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【备注】【教师指导】
本题考查分步乘法计数原理，思路分析每一封信的投递方式.
【答案】C
【解析】第 封信投到信箱有 种方法，
第 封信投到信箱有 种方法，第 封信投到信箱有 种方法，
由分步计数原理可知共有 种方法．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】分步乘法计数原理
巩固练习
4. 将 封信投入 个信箱内，不同的投法有 种．
3
【答案】
【解析】第 封信有 种投法，第 、第 封信也分别有 种投法，
因此共有 （种）投法．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理
5. 由数字 ， （可重复）组成的三位数的个数是 ．(用数字作答)
【答案】
【解析】个位，十位，百位，每一位都有两种可能，故有 个三位数．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理
知识精讲
（3）两个基本计数原理的联系与区别
联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.
区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完
成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，只有各个步骤都完成才算完成这件事 .
知识点睛
两种基本计数原理的综合
解决有些计数问题时需要兼顾两种基本计数原理，此时要结合题目分析“分类”与“分步”的顺序，而且，
在具体的“分类”和“分步”的过程中，要明确“分类”的标准和“分步”的步骤．对于更复杂的一类问题，甚至
会出现“分类中有分步，分步中有分类”的情况．
经典例题
6. 有三个车队，三个车队分别有 辆、 辆、 辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，
设不同的抽调方案数为 ，则 的值为 ．
【备注】【教师指导】
本题考查两种计数原理综合，属于先分类后分步的问题.
【答案】
【解析】
4
不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，可分 种情况：甲、乙各一辆，共 种；
甲、丙各一辆，共 种；乙、丙各一辆，共 种．所以共有
（种），即 的值为 ．
【标注】【知识点】加法原理与乘法原理的综合运用；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
巩固练习
7. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 种蔬菜品种中选出 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必
须种植，求：有多少种不同的种植方法？
【答案】 （种）．
【解析】若黄瓜种在第一块土地上，则有 （种）不同的种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 （种）不同的种植方法．
故不同的种植方法共有 （种）．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理
经典例题
8. 如图，正五边形 中，若把顶点 、 、 、 、 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使
得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【备注】【教师指导】
本题考查两种计数原理综合，并且是涂色问题，但未涉及排列组合，先分类再分步即可.
【答案】A
【解析】
5
由题意知本题需要分类来解答，首先 选取一种颜色，有 种情况．如果 的两个相邻点
颜色相同， 种情况；这时最后两个边也有 种情况；如果 的两个相邻点颜色不同， 种
情况；这时最后有两个边有 种情况．
∴方法共有 种．
故选 ．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理
巩固练习
9. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 、 、 、 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区
（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【标注】【知识点】染色问题
2. 排列
知识精讲
（1）排列
一般地，从 个不同的元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中
取出 个元素的一个排列．
【备注】【教师指导】
注意：
①排列的定义中包含三个方面：a.要排列的对象两两不同；b.取出元素；c.按一定的顺序排
成一列.
②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.
③定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条
件进行判断，这一点要特别注意.
6
④可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是
排列问题.
（2）排列数
从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排
列数，用符号 表示．
（3）排列数公式
， ，且 ．
【备注】【教师指导】
注意：
排列与排列数是两个不同的概念
（1）“一个排列”是指从 个不同元素中任取 个元素，按照一定的顺序排成一列，它不是
一个数，而是具体的一件事；
（2）“排列数”是指从 个不同的元素中取出 个元素的所有排列的个数，它是一个数.
（3）排列数公式推导的思路：
第1步，排第1个位置的元素有 种排法；第2步，排第2个位置的元素有 种排法；
第3步，排第3个位置的元素有 种排法;...;第m步，排第 个位置的元素有 种
排法.
因此，由分步乘法计数原理知共有 种不同
的排法.
（4）排列数公式的特征：第一个因数是 ，后面每一个因数比它前面一个因数少 ，最后
一个因数是 ，共有 个因数.
（5）排列数 中，隐含着条件“ ， ， ”.
（4）全排列
一般地， 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列．
全排列公式 ．
（5） 的阶乘
正整数由 到 的连乘积，叫作 的阶乘，用 表示．所以 个不同元素的全排列公式可以写成 ．
规定： ．
（6）排列数公式的阶乘表示
，
即 ， ， ，并且
（7）排列数的性质
①
7
②
【备注】【教师指导】
性质①的证明及意义
证明：
性质①指从 个不同元素中取出 （ ）个元素进行排列，分两步完成：第一步，从
个元素中选出 个元素排在一个位置上；第二步，从余下的 个元素中选出 个
元素排在其他 个位置上，得到 ．同理， ，
， ．
性质②的证明及意义
证明：
.
性质②是指从 个不同元素中取出 （ ）个元素进行排列，用分类的方法解决此类问
题，分两类情况：
第 类，取出的 个元素中含有 ，首先将 排在某一位置上，有 种方法；其次从其余
个元素中取出 个元素排在剩余的位置上，有 种方法，则此类情况有
种方法．
第 类，取出的 个元素中不含有 ，从除 外的 个元素中取出 个元素进行排列，
则此类情况有 种方法．
故共有 种方法，即 ．
经典例题
10. 计算：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
8
（ 6 ） ．
（ 7 ） ．
（ 8 ） ．
【备注】【教师指导】
本题考查排列数的计算，让学生掌握其运算规则.
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ）
（ 6 ）
（ 7 ）
（ 8 ）
【解析】（ 1 ） ．
故答案为： ．
（ 2 ） ．
故答案为： ．
（ 3 ） ．
故答案为： ．
（ 4 ） ．
故答案为： ．
（ 5 ） ．
故答案为： ．
（ 6 ） ．
故答案为： ．
（ 7 ） ．
故答案为： ．
（ 8 ） ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】排列数计算
9
11. 下列各式与排列数 相等的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查排列数与阶乘的计算.
【答案】D
【解析】∵排列数
．
故选 ．
【标注】【知识点】排列数计算
巩固练习
12. 可表示为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，
．
故选 ．
【标注】【知识点】排列数计算
经典例题
13. 用数字 ， ， 组成无重复数字的三位数的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题考查简单的排列问题，将三个数进行全排列即可.
【答案】B
10
【解析】用数字 ， ， 组成无重复数字的三位数相当于将 ， ， 全排列，共有 个．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】特殊元素优先法
巩固练习
14. 现有 辆公交车、 位司机和 位售票员，每辆车上需配 位司机和 位售票员，问车辆、司机、售票
员搭配方案一共有 种？
【答案】
【解析】方法一： ．
故答案为： ．
方法二：分两步完成，第一步，把 名司机安排到 辆车中，有 种安
排方法；
第二步把 名售票员安排到 辆车中，有 种排法．故搭配
故答案为： ．
【标注】【知识点】简单的排列问题
3. 排列问题模型
知识精讲
（1）捆绑法
①模型：将 个不同元素排成一排，其中某 个元素相邻，求不同排法种数的方法．
②思路：将相邻的 个元素“捆绑”在一起看成一个整体，此时变为 个元素的全排列，排法为
；再将“捆绑”在一起的元素内部排列，排法为 ．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数
有 种．
经典例题
15. 一排 个座位坐了 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
11
通过题意“每家人坐在一起”对应的排列问题的模型是捆绑法，加深学生对捆绑法应用的理解
【答案】C
【解析】根据题意，分 步进行：
①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有 种排法， 个三口之家共有 种
排法；
②将 个整体元素进行排列，共有 种排法；
由分步乘法计数原理可得，不同的坐法种数为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】捆绑法；分步乘法计数原理
巩固练习
16. 一排 个座位坐了 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，分 步进行： 将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有 种排法； 三
个三口之家共有 种排法， 将三个整体元素进行排列，共有 种排法
故不同的坐法种数为 故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】捆绑法
知识精讲
（2）插空法
①模型：将 个不同的元素排成一排，其中某 个元素互不相邻（ ），求不同排法种数的
方法．
②思路：Ⅰ.将没有要求的 个元素全排列，排列方法有 种；Ⅱ.将要求互不相邻的 个元素插入
个空隙中，相当于从 个空隙中选取出 个分配给互不相邻的那 个元素，其排列方法
有 种．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法种数有 种．
经典例题
12
17. 年 月 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 个国家和地
区， 个国际组织参加．现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一
个展位．在排成一排的 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有 种．
【备注】【教师指导】
通过题意“互不相邻”对应的排列问题的模型是插空法，加深学生对插空法应用的理解.
【答案】
【解析】采用插空法，先将丁、戊，己三家企业进行排序，共有 种情况，产生 个空位，再
将甲、乙、丙插入到 个空位中，共有 种情况．
总情况有 种．
【标注】【知识点】插空法
巩固练习
18. 某班新年联欢会原定的 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目
插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，
∴可以应用插空法来解，
原来的 个节目形成 个空，新增的两个节目插到 个空中，共有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】插空法
经典例题
19. 已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排
队方法数为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
13
本题是对捆绑法和插空法的综合考查：由“甲丁相邻”知要将甲丁捆绑在一起；由“甲乙丙两
两不相邻”知要将他们进行插空，进一步加深学生对捆绑法和插空法的理解和应用.
【答案】B
【解析】设另外三人为戊己庚，可以分步完成，
①甲、丁捆绑后排序有 种方法，
②捆绑后得甲丁戊己庚排序，有 种方法，
③将乙、丙插空，五个空位中与甲相邻的空位不能选择，有 种方法，
根据分步乘法原理，共有 ．
故选 ．
【标注】【知识点】插空法
巩固练习
20. 现有甲、乙、丙、丁、戊 人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有
（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】先把甲乙捆绑在一起看作一个元素，再和戊全排列，形成 个空，然后插入丙、丁，故站
法有 种．
故选 ．
【标注】【知识点】捆绑法；插空法
21. 在某校召开的高考总结表彰会上有 位数学老师、 位英语老师和 位语文老师做典型发言．现在安
排这 位老师的发言顺序，则 位数学老师互不相邻的排法共有 种．（请用数字作答）
【答案】
【解析】采用插空法，先排英语老师和语文老师，共 种．
再插空： 种．
故答案为： ．
【标注】【知识点】插空法
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经典例题
22. 位同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
（ 1 ）甲站在最左端．
（ 2 ）甲、乙相邻．
（ 3 ）甲、乙不相邻．
（ 4 ）甲在乙的左边（但不一定相邻）．
（ 5 ）甲、乙、丙两两不相邻．
【备注】【教师指导】
本题考查相邻与不相邻问题的综合，需结合插空法捆绑法
【答案】（ 1 ） 种．
（ 2 ） 种．
（ 3 ） 种．
（ 4 ） 种．
（ 5 ） 种．
【解析】（ 1 ）甲站在最左端，其他 名同学任意排列，所以不同的排法有 种．
（ 2 ）第一步，先把甲、乙捆绑，看作一个元素，再跟其他五个元素全排列，共有 种
排法；第二步，给甲、乙松绑，有 种排法，所以不同的排法总共有
种．
（ 3 ）先让甲、乙以外的五个人站好，不同的站法共有 种，再让甲、乙插空，由于
个人形成了 个空位，所以甲、乙插空有 种，所以不同的排法总共有
种；另外，此题也可以用减法，即 个人的全排列数减去甲、乙
相邻的排列数，所以不同的排法总共有
种．
（ 4 ） 名同学的全排列数是 ，”甲左乙右”与”乙左甲右”的站法一样多，所以不同的排
法总共有 种；另外，此题也可以这样解，先让甲、乙以外的五个
人从 个位置中选其中 个站好，不同的站法共有 种，然后，剩下的两个位置甲
左乙右，有 种站法，所以不同的排法总共有 种．
（ 5 ）先让甲、乙、丙以外的 个人站好，不同的站法共有 种，再让甲、乙、丙插
空，由于 个人形成了 个空位，所以甲、乙、丙插空有 种，所以不同的排法总
共有 种．
【标注】【知识点】特殊位置优先法；排列数计算；捆绑法；插空法；排除法
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巩固练习
23. 有 名老师、 位家长以及 个学生站在一排合影，要求 位家长不能站在一起，学生必须和 名老师
中的王老师站在一起，则共有（ ）种不同的站法．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先将学生和王老师进行捆绑，共有 种站法，再将老师进行站队，共有 种站法，最后
将 位家长进行插空，共有 种站法，则一共有 种不同的站法．
故选 ．
【标注】【知识点】捆绑法；插空法
知识精讲
（3）优先排列法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊
元素(位置)优先原则，即先安排有限制条件的元素(位置)，对于分类过多的问题可以采用间接法.
经典例题
24. 有 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么 名同学值日顺序的编排
方案共有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【备注】【教师指导】
由题意“甲只能值周一或周二”知甲属于特殊元素，优先排甲，再排其他元素，属于特殊元素
优先排列.
【答案】B
【解析】甲排周一时，剩下的四人随便排是 ，即 种，
甲排周二时，剩下的四人随便排是 ，即 种，
所以共有 种．
【标注】【知识点】特殊元素优先法
【素养】逻辑推理
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巩固练习
25. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位
爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 人的入园顺序排法种数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分三步：①先分派两位爸爸，必须一首一尾，有 种排法；
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有 种排法；
③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有 种排法．
则共有 种排法．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】特殊位置优先法
经典例题
26. 用 种不同的颜色给图中 个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的
方法有（ ）种．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
由题意属于特殊位置优先排列，可选择1,4为优先位置.
【答案】A
【解析】①区域 、 同色．
即在 种颜色中任选 种，涂在 个区域，有 种涂法．
②区域 、 不同色．
即在 中颜色中任选 种，涂在 个区域，有 种涂法．
综上，共有 种涂法．
【标注】【知识点】特殊位置优先法
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巩固练习
27. 用五种不同的颜色给图中， 六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜
色不同，则共有涂色方法（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】其中可能共色的区域有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，则共
有涂色方法 ．
故选 ．
【标注】【知识点】简单的组合问题；特殊位置优先法
【素养】数学运算；直观想象
知识精讲
（4）定序问题
在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是固定的（但是不一定相邻）．这类问题可采用分类法.
个不同元素的全排列有 种排法， 个元素的全排列有 种排法.因此 种排法中，关于 个元素的
不同分法有 类，而且每一类的排法数是一样的.当这 个元素顺序确定时，共有 种排法.
经典例题
28. 个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（ ）．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【备注】【教师指导】
通过题意“甲乙丙三个节目按给定顺序”，可知甲乙丙顺序固定，可分析为定序问题，让学生
加深理解.
【答案】D
【解析】 个节目全排列共有 种可能，甲、乙、丙三个节目全排列共有 种可能，
由于甲、乙、丙三个节目的顺序已知确定，所以不同的排法有 种．
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故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】倍缩法
巩固练习
29. 有 名男生， 名女生． 名女生高矮互不等，将 名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排
列，有多少种排法？
【答案】
【解析】先在 个位置上作全排列，有 种排法，其中 个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺
序，故只对应一种排法，所以共有 种．
【标注】【知识点】倍缩法
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！
【备注】
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四、 出门测
30. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
整理，得，
；
解得 ，或 （不合题意，舍去）；
∴ 的值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】排列数计算
31.
三位旅客到 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
【答案】（ 1 ） 种．
【解析】（ 1 ）分三步，每位旅客都有 种不同的住宿办法，因而共有不同的方法
（种）．
【标注】【知识点】分步乘法计数原理
32. 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 种．
【答案】
【解析】把甲乙二人看成一个整体，有 种方法，
这样 个人成了 个人，再把这 个人全排列，有 种方法．
根据分步计数原理可得
甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 种．
故答案为： ．
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【标注】【知识点】捆绑法
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