条件概率与事件的独立性
一、 课堂目标
1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．
2．掌握独立事件的定义和性质．
3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．
4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．
二、 知识讲解
1. 条件概率
知识精讲
（1）定义
一般地，当事件 发生的概率大于 时（即 ），则事件 发生的条件下事件 发生的概率，称为
条件概率，记作 .
（2）计算公式
一般地，设 为两个随机事件，且 ，则：
．
（3）性质
①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ．
②若事件A与B互斥，即 与 不可能同时发生，则 ．
③可加性：如果 和 是两个互斥事件，则 ．
（4）条件概率的求法
①定义法，先求 和 ，再求 ；
②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件 包含的基本事件数 ，再求事件 所包含的基本
事件数 ，得 ．
注意：
1
求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概
率，再利用概率的可加性，得到最终结果．
经典例题
1. 某地气象台预计， 月 日该地区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
设 表示下雨， 表示刮风，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
2. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为
，在第二个路口遇到红灯的概率为 ，在两个路口连续遇到红灯的概率是 ．某天早上小明在
第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
3. 一个盒子内装有 个红球， 个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球
的概率是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
4. 某盒中装有 只乒乓球，其中 只新球， 只旧球，不放回地依次摸出 个球使用，在第一次摸出新球
的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
5. 袋中装有形状和大小完全相同的 个黑球， 个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一
次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
6. 抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合 ，令事件 ，
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
2
2. 乘法公式
知识精讲
由条件概率的计算公式 可知，
这就是说，根据事件 发生的概率，以及事件 发生的条件下事件 发生的概率，可以求出 与 同时发
生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.
经典例题
7. 甲袋中有 个白球， 个红球；乙袋中有 个白球， 个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到
的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是 ．
巩固练习
8. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率
是 ，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）．
A. B. C. D.
9. 已知 箱中有红球 个，白球 个， 箱中有白球 个，（ 、 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现
随意从 箱中取出 个球放入 箱，将 箱中的球充分搅匀后，再从 箱中随意取出 个球放入 箱，
则红球从 箱移到 箱，再从 箱返回 箱中的概率等于（ ）．
A. B. C. D.
3. 事件的独立性
知识精讲
（1）定义
当 时， 与 独立的充要条件是
这时，我们称事件 、 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
（2）独立事件的性质
对于两个独立事件 和 ，有如下两个性质：
① 与 ， 与 ， 与 也相互独立；
② ．
3
经典例题
10. 袋中有大小形状都相同的 个黑球和 个白球．如果不放回地依次取 次球，每次取出 个，那么在第
次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
11. 已知 件次品和 件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放
回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）．
A. B. C. D.
经典例题
12. 甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ， ， ，则此密码能被译出
的概率为 ．
巩固练习
13. 某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概
率都是 ，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 ．
4. 互斥事件与独立事件
知识精讲
互斥事件与独立事件的区别：
“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．
知识点睛
已知两个事件 ，它们的概率分别为 .将 中至少有一个发生记为事件 ，都发生
记为事件 ，都不发生记为事件 ，恰有一个发生记为事件 ，至多有一个发生记为事件
，则它们的概率间的关系见下表.
4
概率 互斥 相互独立
0
1
经典例题
14. 一袋中装有 只白球， 只黄球，在有放回地摸球中，用 表示第一次摸得白球， 表示第二次摸
得白球，则事件 与 是（ ）．
A. 不相互独立事件 B. 相互独立事件 C. 互斥事件 D. 对立事件
巩固练习
15. 掷一颗骰子一次，设事件 ：“掷出奇数点”，事件 ：“掷出 点或 点”，则事件 ， 的关系（
）．
A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥
经典例题
16. 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，其中有且只有一人能
通过概率是（ ）．
A. B. C. D.
17. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为 ，数学为 ，英
语为 ，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：
（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
巩固练习
18. 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，假设各项
标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．
5
A. B. C. D.
19. 社区开展“建军 周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，
两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 全概率公式
知识精讲
（1）公式
公式的推导：
一般地，如果样本空间为 ，而 为事件，则 与 是互斥的，
且 ,
所以 ,
当 且 时，由乘法公式得：
,
所以， ．
（2）全概率公式的一般结论
前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即 与 ）后得到的.
如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：
定理：若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事均互斥，即 ；
② ；
③ .
则对 中的任意事件 ，都有 ，且
.
上述公式也称为全概率公式.
经典例题
20. 某射击小组共有 名射手，其中一级射手 人， 二级射手 人， 三级射手 人， 四级射手 人． 一、
二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 、 、 、 ． 求任选一名射手能通过选
拔进入比赛的概率．
6
巩固练习
21. 某仓库有同样规格的产品 箱，其中 箱、 箱、 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂
的次品率分别为 、 、 ．现从这 箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，
求：
（ 1 ）取得一件产品是次品的概率．
（ 2 ）若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．
6. 贝叶斯公式
知识精讲
（1）贝叶斯公式
一般地，当 且 时，有
.
这称为贝叶斯公式.
（2）贝叶斯公式的推广
同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.
定理：若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ；
② ；
③ .
则对 中的任意概率非零事件 ，有
.
上述公式也称为贝叶斯公式.
经典例题
22. 甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的 ，乙厂生产的占 ；甲厂商品的
合格率为 ，乙厂商品的合格率为 ．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产
的概率为 ．
巩固练习
23. 某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明，化验结果是存在错
误的已知患有肝癌的人其化验结果 呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果 呈阴性
7
（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
24. 下面结论正确的是（ ）．
A. 若 ，则事件 与 是互为对立事件
B. 若 ，则事件 与 是相互独立事件
C. 若事件 与 是互斥事件，则 与 也是互斥事件
D. 若事件 与 是相互独立事件，则 与 也是相互独立事件
25. 根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
则在刮风天里，下雨的概率为 ，在下雨天里，刮风的概率为 ．
26. 已知 件产品中有 件次品，现逐一不放回的检验，直到 件次品都能被确认为止，则检验次数为 的
概率为 ．
27. 甲、乙、丙的投篮命中率分别为 ， ， ．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有
一人命中的概率是 ．
8条件概率与事件的独立性
一、 课堂目标
1．掌握条件概率的定义和计算公式，以及条件概率与乘法公式之间的关系．
2．掌握独立事件的定义和性质．
3．掌握互斥事件和独立事件的综合应用．
4．掌握全概率公式的定义及应用，了解贝叶斯公式．
【备注】1.本讲的重点是掌握掌握条件概率、乘法公式以及独立事件的关系和综合应用，理解互斥
事件和独立事件的区别：互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式；难点
是全概率公式的理解和应用；重点题型是利用条件概率公式、乘法公式和事件的相互独立
性求事件的概率，独立事件和互斥事件的综合应用.
2.本讲的关联知识是：离散型随机变量及其分布列.
二、 知识讲解
1. 条件概率
知识精讲
（1）定义
一般地，当事件 发生的概率大于 时（即 ），则事件 发生的条件下事件 发生的概率，称为
条件概率，记作 .
【备注】【教师指导】
在很多实际问题中，需要考虑一个事件在“某事件已发生”这个附加条件下的概率．
我们来看下面的问题：
抛掷红、蓝两颗骰子．设事件 “蓝色骰子的点数为 或 ”，事件 “两颗骰子的点数之
和大于 ”．
我们用 代表抛掷红骰子所得到的点数，用 代表抛掷蓝骰子所得到的点数，则这个试验的
基本事件空间为 ．作出下图：
1
容易看出，基本事件空间的元素与上图中的点一一对应．所以抛掷红、蓝两颗骰子这一试
验的基本事件总数为 ．事件 包含所包含的基本事件对应图中三角虚线所包围的十个
点，所以，事件 发生的概率 ．
当一只蓝色骰子的点数为 或 时，事件 发生的概率是多少呢？也就是说，要求事件 在
“事件 ”已发生这个附加条件下的概率是多少．
事件 已发生的所有可能的结果对应图中长条虚线所包围的 个点，其中重叠部分的 个点
的“点数之和大于 ”．所以事件 在“事件 已发生”条件下的概率是 ．
从这个例子中看到，事件 在“事件 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的
概率是不同的．
（2）计算公式
一般地，设 为两个随机事件，且 ，则：
．
（3）性质
①非负性：条件概率具有的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ．
②若事件A与B互斥，即 与 不可能同时发生，则 ．
③可加性：如果 和 是两个互斥事件，则 ．
【备注】【教师指导】
③可加性的推导过程：
由事件 和事件 互斥知，事件 与事件 也互斥，从而有：
,
2
由条件概率的定义得：
（4）条件概率的求法
①定义法，先求 和 ，再求 ；
②基本事件法，借助古典型概率公式，先求事件 包含的基本事件数 ，再求事件 所包含的基本
事件数 ，得 ．
注意：
求复杂事件的条件概率时，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，求出这些简单事件的条件概
率，再利用概率的可加性，得到最终结果．
经典例题
1. 某地气象台预计， 月 日该地区下雨的概率为 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
设 表示下雨， 表示刮风，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要利用定义法求条件概率，简单题.
【答案】B
【解析】 ， ， ，
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
2. 小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为
，在第二个路口遇到红灯的概率为 ，在两个路口连续遇到红灯的概率是 ．某天早上小明在
第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）．
A. B. C. D.
3
【答案】D
【解析】设事件 ：小明在第一个路口遇到了红灯，
事件 ：小明在第二个路口遇到了红灯．
由题意得： ， ， ．
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
3. 一个盒子内装有 个红球， 个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球
的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题利用定义法求条件概率，重点是先分别求出其中一个球的事件概率 和两个球都是
红球的事件概率
【答案】B
【解析】取出两个球，设其中一个球是红球为事件 ，
则 ，
设取出的另一个球是红球为事件 ，
则 ，
从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，
则另一个也是红球的概率是：
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
4.
4
某盒中装有 只乒乓球，其中 只新球， 只旧球，不放回地依次摸出 个球使用，在第一次摸出新球
的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】第一次摸出新球记为事件 ，则 ，
第二次取到新球记为事件 ，则 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
经典例题
5. 袋中装有形状和大小完全相同的 个黑球， 个白球，从中不放回地依次随机摸取两个球，则在第一
次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
借助古典型概率公式，利用基本事件法求条件概率.
【答案】C
【解析】设在这两次摸球过程中，第一次摸到黑球为 事件，第二次摸到白球为 事件，
则 ， ，
所以 ，
故选： ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
6. 抛掷一颗质地均匀的骰子的基本事件构成集合 ，令事件 ，
，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
5
【答案】B
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
2. 乘法公式
知识精讲
由条件概率的计算公式 可知，
这就是说，根据事件 发生的概率，以及事件 发生的条件下事件 发生的概率，可以求出 与 同时发
生的概率.一般地，这个结论称为乘法公式.
经典例题
7. 甲袋中有 个白球， 个红球；乙袋中有 个白球， 个红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到
的袋子中任取一球 ,则取到白球的概率是 ．
【备注】【教师指导】
本题主要利用乘法公式求事件发生的概率，注意互斥事件概率的可加性:
【答案】
【解析】设事件 为“取出甲袋”,事件 为“取出白球”,分两种情况进行讨论．
若取出的是甲袋，则 ，
依题意可得 ， ，
所以 ；
若取出的是乙袋，则 ，
依题意可得 ， ，所以 ．
综上所述，取到白球的概率 ．
6
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
8. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 ，乙厂占 ，甲厂产品的合格率是 ，乙厂产品的合格率
是 ，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记 “甲厂产品”， “合格产品”，则
， ，
．故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
9. 已知 箱中有红球 个，白球 个， 箱中有白球 个，（ 、 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现
随意从 箱中取出 个球放入 箱，将 箱中的球充分搅匀后，再从 箱中随意取出 个球放入 箱，
则红球从 箱移到 箱，再从 箱返回 箱中的概率等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记“红球从 ”为事件 ．“红球从 ”为事件 ，
已知 ，
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
3. 事件的独立性
知识精讲
（1）定义
7
当 时， 与 独立的充要条件是
这时，我们称事件 、 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
【备注】【教师指导】
注意：
事件的独立性在必修中已经学过，这里再复习一遍，因为事件的独立性不仅和条件概率有
一定的联系，而且利用事件的独立性求事件发生的概率属于常考题，在本章中考查的非常
多.
当 且 时，
由条件概率的计算公式有
,
即 .这就是说，此时事件 发生的概率与已知事件 发生时事件 发生的概
率相等.也就是事件 的发生，不会影响事件 发生的概率.
类似地，可以看出，如果 ，那么一定有 .
因此，当 时， 与 独立的充要条件是
这也就同时说明，当 时，事件 的发生会影响事件 发生的概率，此时 与
是不独立的.事实上，“ 与 独立”也经常被说成“ 与 互不影响”等.
（2）独立事件的性质
对于两个独立事件 和 ，有如下两个性质：
① 与 ， 与 ， 与 也相互独立；
② ．
经典例题
10. 袋中有大小形状都相同的 个黑球和 个白球．如果不放回地依次取 次球，每次取出 个，那么在第
次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
本题主要考查条件概率与事件独立性的综合，利用两次取球是相互独立的可求“第一次取出
黑球，第二次取出白球”的概率.
【答案】B
【解析】设事件 表示“第一次取出黑球”，事件 表示“第二次取出白球”，
， ，
8
∴在第 次取到的是黑球的条件下，第 次取到白球的概率为：
．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
11. 已知 件次品和 件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放
回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记“第一次取出次品”为事件 ，“第二次取出次品”为事件 ，
则 ， ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率；古典概型
经典例题
12. 甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 ， ， ，则此密码能被译出
的概率为 ．
【备注】【教师指导】
利用相互独立事件的概率乘法公式求解.
【答案】
【解析】三个人独立日破译密码，成功概率为 ， ， ，
则不能破译的情况概率为 ，
∴能破译的概率 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件
9
巩固练习
13. 某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概
率都是 ，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为 ．
【答案】
【解析】某学生在上学的路上要经过三个路口，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇
到红灯的概率都是 ，这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯是指前 次
都遇到绿灯，第 次遇到红灯，
则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
4. 互斥事件与独立事件
知识精讲
互斥事件与独立事件的区别：
“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示两个事件不可能同时发生，后者指一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．
【备注】【教师指导】
学生要深刻理解和记忆：
互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率乘法公式.
知识点睛
已知两个事件 ，它们的概率分别为 .将 中至少有一个发生记为事件 ，都发生
记为事件 ，都不发生记为事件 ，恰有一个发生记为事件 ，至多有一个发生记为事件
，则它们的概率间的关系见下表.
10
概率 互斥 相互独立
0
1
经典例题
14. 一袋中装有 只白球， 只黄球，在有放回地摸球中，用 表示第一次摸得白球， 表示第二次摸
得白球，则事件 与 是（ ）．
A. 不相互独立事件 B. 相互独立事件 C. 互斥事件 D. 对立事件
【备注】【教师指导】
相互独立事件的辨析，注意相互独立事件与互斥事件的区别.
【答案】B
【解析】由题意可得 表示第二次摸到的不是白球，即 表示第二次摸到的是黄球，由于采用有
放回地摸球，
故每次是否摸到黄球互不影响，故事件 与 是相互独立事件．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件；相互独立事件的辨析
巩固练习
15. 掷一颗骰子一次，设事件 ：“掷出奇数点”，事件 ：“掷出 点或 点”，则事件 ， 的关系（
）．
A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥
【答案】B
11
【解析】掷一颗骰子一次，设事件 “出现奇数点”，事件 “出现 点或 点”，
则事件 与 能同时发生，故 与 不是互斥事件，
又事件 发生与否与 无关，同时，事件 发生与否与 无关，
则事件 与事件 是相互独立事件．
故选： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的辨析；互斥事件与对立事件的概念辨析
经典例题
16. 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为 和 ，两人同时参加测试，其中有且只有一人能
通过概率是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【教师指导】
互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的综合应用，属于常考题型，本题
的难度不大.
【答案】C
【解析】设事件 表示“甲通过听力测试”，事件 表示“乙通过听力测试”．
根据题意知，事件 和 相互独立，且 ， ．记“有且只有一人通过听
力测试”为事件 ，
则 ，且 和 互斥．
故
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
17. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为 ，数学为 ，英
语为 ，并且该生各科取得第一名相互独立．问一次考试中：
（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
【备注】【教师指导】
12
互斥事件概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的综合应用，属于常考题型，本题
的难度比上一题难度大一些，学生要认真读题，明确题目的问题.
【答案】（ 1 ）三科成绩均未获得第一名的概率是 ．
（ 2 ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是 ．
【解析】（ 1 ）分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 ， ， ，
则 、 、 两两相互独立且 ， ， ．
“三科成绩均未获得第一名”可以用： 表示，
．
答：三科成绩均未获得第一名的概率是 ．
（ 2 ）分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 ， ， ，
则 、 、 两两相互独立且 ， ， ．
“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 表示，
由于事件 ， 和 两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为：
．
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
巩固练习
18. 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 ，视力合格的概率为 ，假设各项
标准互不影响，从中任选一名学生，则该学生恰有一项合格的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】体型合格视力不合格： ，
13
体型不合格视力合格： ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式
19. 社区开展“建军 周年主题活动——军事知识竞赛”，甲乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，
两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分别设甲、乙获得一等奖为事件 ， ，则 ， ， ，
．事件“两人中至少有一人获得一等奖”为“ ”，由于两人是否获
得一等奖相互独立，所以所求的概率为
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
5. 全概率公式
知识精讲
（1）公式
公式的推导：
一般地，如果样本空间为 ，而 为事件，则 与 是互斥的，
且 ,
所以 ,
当 且 时，由乘法公式得：
,
所以， ．
14
（2）全概率公式的一般结论
前面提到的全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分（即 与 ）后得到的.
如果将样本空间分成更多互斥的部分，从而得到更一般的结论，如下：
定理：若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事均互斥，即 ；
② ；
③ .
则对 中的任意事件 ，都有 ，且
.
上述公式也称为全概率公式.
经典例题
20. 某射击小组共有 名射手，其中一级射手 人， 二级射手 人， 三级射手 人， 四级射手 人． 一、
二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是 、 、 、 ． 求任选一名射手能通过选
拔进入比赛的概率．
【备注】【教师指导】
本题利用全概率公式求解，考查全概率公式的应用.
【答案】 ．
【解析】设事件 表示“射手能通过选拔进入比赛”,
设事件 表示“射手是第 级射手”．
显然, 、 、 、 构成一个完备事件组,且
， ， ，
， ， ， ．
由全概率公式得到
．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
21. 某仓库有同样规格的产品 箱，其中 箱、 箱、 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂
的次品率分别为 、 、 ．现从这 箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一件产品，
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求：
（ 1 ）取得一件产品是次品的概率．
（ 2 ）若已知取得的一件产品为次品，这件次品是乙厂生产的概率．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设事件 为“取得一件产品为次品”，则由全概率公式，
．
（ 2 ）设事件 表示取得的一件产品是乙产生产的，则 ，
，于是
．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
6. 贝叶斯公式
知识精讲
（1）贝叶斯公式
一般地，当 且 时，有
.
这称为贝叶斯公式.
（2）贝叶斯公式的推广
同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广.
定理：若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ；
② ；
③ .
则对 中的任意概率非零事件 ，有
.
上述公式也称为贝叶斯公式.
16
经典例题
22. 甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的 ，乙厂生产的占 ；甲厂商品的
合格率为 ，乙厂商品的合格率为 ．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产
的概率为 ．
【备注】【教师指导】
本题利用贝叶斯公式求解，考查贝叶斯公式的应用.
【答案】
【解析】不妨设 ：商品为次品． ：商品为甲厂生产． ：商品为乙厂生产．
于是 ， ， ， ．
由贝叶斯公式
．
于是此次品为甲厂生产的概率为 ．
【标注】【知识点】条件概率
巩固练习
23. 某地区居民的肝癌发病率为 ，现用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明，化验结果是存在错
误的已知患有肝癌的人其化验结果 呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果 呈阴性
（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率有多少？
【答案】 ．
【解析】 ：他真的患肝癌， ：他没患肝癌， ：他被检查出患肝癌，
．
【标注】【知识点】条件概率
【素养】数学运算
三、 思维导图
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你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
四、 出门测
24. 下面结论正确的是（ ）．
A. 若 ，则事件 与 是互为对立事件
B. 若 ，则事件 与 是相互独立事件
C. 若事件 与 是互斥事件，则 与 也是互斥事件
D. 若事件 与 是相互独立事件，则 与 也是相互独立事件
【备注】【教师指导】
注意：本题是多选题.
【答案】BD
【解析】A 选项：例如 ， ， ， 四个球，选中每个球的概率一样， 为选中 、 两个球的概
率： ， 为选中 ， 两个球的概率： ， ，但 ， 不是对立事
件．故 错误；
B 选项：若 ，则事件 与 是相互独立事件，故 正确；
C 选项：假设一个随机事件由 、 、 、 这 个彼此互斥的基本事件构成，则事件 中
含有事件 、 、 ，事件 中含有事件 、 、 ，则 与 不互斥，故 错误；
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D 选项：若 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 都是相互独立事件，故 正确．
故选 B D .
【标注】【知识点】相互独立事件的辨析；互斥事件与对立事件的概念辨析
25. 根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，
则在刮风天里，下雨的概率为 ，在下雨天里，刮风的概率为 ．
【答案】 ;
【解析】设事件 “下雨”， “刮风”， “既刮风又下雨”，
则 ， ， ，
∴在刮风天里，下雨的概率为：
，
在下雨天里，刮风的概率为：
．
【标注】【知识点】条件概率
26. 已知 件产品中有 件次品，现逐一不放回的检验，直到 件次品都能被确认为止，则检验次数为 的
概率为 ．
【答案】
【解析】检验次数为 ，可知第四次为次品，另一次出现次品可能为前三次中任意一次，则有所求
概率 ．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
27. 甲、乙、丙的投篮命中率分别为 ， ， ．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有
一人命中的概率是 ．
【答案】
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【解析】甲、乙、丙的投篮命中率分别为： ， ， ．
若三人各投篮一次，且投篮相互独立，则都没有投中的概率为：
，
则至少有一个人命中的概率为： ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】互斥事件与对立事件；对立事件的概率和为1；相互独立事件的概率乘法公式
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