条件概率与事件的独立性【题集】
1. 条件概率
1. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率
为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】事件 ：四月份下雨，
事件 ：四月份吹东风，
， ， ，
条件概率公式有 ，
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
2. 某小区有 名歌手，其中 名男歌手， 名女歌手．从中选出 人参加区组织的社区演出．在男歌手甲
被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若从中选出 人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，
又因为小区有 名歌手，其中 名男歌手， 名女歌手，
此时若女歌手乙被选择，则被选中的概率为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
3. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于 ”为事件 ，“两颗
骰子的点数之和等于 ”为事件 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
1
【答案】D
【解析】由题意，
为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于 时两骰子的点数之和等于 的概率，
∵抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于 ，基本事件有 个，
红骰子的点数小于 时两骰子的点数之和等于 ，基本事件有 个，
分别为 ， ， ，
∴ ．
故选： ．
【标注】【知识点】条件概率；古典概型
4. 从装有 个红球 个白球的袋子中先后取 个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取
到红球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为共有 个红球 个白球，所以先后取 个球，取后不放回，
第一次取到红球的取法数为： ，
第一、二次都取到红球的取法数为： ，
故所求的概率 ．
故选： ．
【标注】【知识点】条件概率
5. 小赵、小钱、小孙、小李到 个景点旅游，每人只去一个景点，设 表示事件“ 个人去的景点各不相
同”， 表示事件“小赵独自去一个景点”，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】小赵独自去一个景点，则有 个景点可选，
其余 人只能在小赵剩下的 个景点中选择，可能性为 种，
所以小赵独自去一个景点的可能性为 种．
因为 个人去的景点不相同的可能性为 种，
2
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
6. 某中学为了迎接即将在武汉市召开的世界中学生运动会，学生篮球队准备假期集训，集训前共有 个
篮球队，其中 个是新球（即没有用过的球）， 个是旧球（即至少用过 次的球）．每次训练，都从
中任意取出 个球，用完后放回．
（ 1 ）设第 次训练时至少取到 个新球，第 次训练时也取到 个新球的概率．
（ 2 ）在第 次训练时至少取到 个新球的条件下，求第 次训练时恰好取到 个新球的概率．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）设“第 次训练时取到 个新球”为事件 ，
则 ，
．
设“从 个球中任意取出 个球，恰好取到 个新球”为事件 ，
则“第 次训练时恰好取到 个新球”就是事件 ，
而事件 ， 互斥，
于是 ．
由条件概率公式，
得
，
又因为
，
所以，第 次训练时恰好取到 个新球的概率为
3
．
（ 2 ）设 在第 次训练时至少取到 个新球，
第 次训练时恰好取到 个新球，
则在第 次训练时至少取到 个新球的条件下，
第 次训练时恰好取到 个新球的概率为 ．
因为 ，
又
，
所以 ．
【标注】【知识点】条件概率
2. 乘法公式
7. 已知 ， ， ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ．
【标注】【知识点】条件概率；相互独立事件的概率乘法公式
8. 已知 号箱中有 个白球和 个红球， 号箱中有 个白球和 个红球，现随机地从 号箱中取出 个球放
入 号箱中，然后从 号箱中随机地取出 个球，则两次都取到红球的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设从 号箱取到红球为事件 ，从 号箱取到红球为事件 ．
由题意，可得 ， ，
所以 ．
所以两次都取到红球的概率是 ．
4
故选 ．
【标注】【知识点】古典概型的概率计算（不涉及计数原理）；条件概率
【素养】数学运算；数据分析
3. 事件的独立性
9. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 ，乙中靶的概率为 ．甲、乙各射击一
次，则两人都中靶的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设甲中靶为事件 ，乙中靶为事件 ，
， 为相互独立事件，
根据相互独立事件的乘法公式可得：
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
10. 已知盒中装有 个红球、 个白球、 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中
任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设“第一次拿到白球”为事件 ，“第二次拿到红球”为事件B
∴ ， ，
则所求概率为 ，
故选： ．
【标注】【知识点】条件概率
11.
5
袋中有 红 黑 个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第
二次仍是红球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设”第一次摸到红球”为事件 ，”第二次摸到红球”为事件 ．
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
4. 互斥事件与独立事件
12. 抛掷两枚硬币，设事件 “第一枚正面朝上”， “第二枚反面朝上”，则（ ）．
A. 事件 和 互斥 B. 事件 和 互相对立
C. 事件 和 相互独立 D. 事件 和 相等
【答案】C
【解析】A 选项：由于事件 ， 能同时发生，则事件 ， 不为互斥事件，
故 错误；
B 选项：由于事件 ， 能同时发生，则事件 ， 不为对立事件，
故 错误；
C 选项：第一枚正面朝上和第二枚反面朝上是相互独立事件，故 正
确；
D 选项：由于事件 ， 中有不同的样本点，则事件 ， 不相等，
故 错误；
故选 C .
【标注】【知识点】相互独立事件
13. 甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取
出一个球放入乙罐，分别以 ， ， 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐
中随机取出一个球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不. 正. 确. 的是（ ）．
6
A. 事件 与事件 不相互独立
B. ， ， 是两两互斥的事件
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意 、 、 是两两互斥事件，
， ， ，
，
， ，
，
所以 不正确．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
14. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为 ；且各
局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了 局的概率为 ．
【答案】
【解析】由题意，甲获得冠军的概率为 ，
其中比赛进行了 局的概率为 ，
∴所求概率为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
15. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品互
不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）．
A. B. C. D.
7
【答案】B
【解析】根据题意得：恰有一个一等品的概率 ．
故选 ．
【标注】【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
16. 为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防
新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出 个问题，
即停止答题，晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相
互独立，则该选手至少回答了 个问题晋级下一轮的概率等于 ．
【答案】
【解析】该选手至少回答了 个问题晋级，包含两种情况：回答了五个或者留六个问题．
一、回答了五个问题晋级，则第三、四、五个问题都回答正确，而第二个问题回答错
误．
．
二、回答了六个问题晋级，则第四、五、六个问题都回答正确，而第三个问题回答错
误．
，
综上： ，
该选手至少回答了 个问题晋级的概率为 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
17. 首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他
们购买该机床设备的概率分别为 ， ， ，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企
业中恰有 家购买该机床设备的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，
8
他们购买该机床设备的概率分别为 ， ， ，且三家企业的购买结果相互之间没有影
响，则三家企业中恰有 家购买该机床设备的概率：
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
18. 某地有 ， ， ， 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有 到过疫区， 确定是受 感染的．对
于 因为难以判定是受 还是受 感染的，于是假定他受 和 感染的概率都是 ．同样也假定 受
， 和 感染的概率都是 ．在这种假定下， ， ， 中恰有两人直接受 感染的概率是（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得出：
因为直接受 感染的人至少是 ，
而 ， 二人也有可能是由 感染的，
，
设 ， ， 直接受 感染为事件 ， ， ，
则 ， ， 是相互独立的，
并且 ， ， ，
表明除了 外， ， 二人中恰有 人是由 感染的，
∴
，
∴ 、 、 中直接受 传染的人数为 的概率为 ．
故答案为： ．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
9
19. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的
概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（
）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，甲获得冠军的概率为 ，
其中比赛进行了 局的概率 ，
∴所以概率为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】条件概率
20. 甲、乙、丙三名同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成 道自我检测题，甲及格的概率
为 ，乙及格的概率为 ，丙及格的概率为 , 三人各检测一次，则三人中只有一人及格的概率为
（ ）．
A. B.
C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】由题意可知分三种情况且三人及格与否相互独立，则
．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
21. 已知在 个电子元件中，有 个次品， 个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两
个次品都找. 到. 为止，则经过 次测试恰好将 个次品全部找. 出. 的概率（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
10
由题意可得：前 次抽到了一个次品，且第四次抽到第二个次品，或前 次抽到的全是正
品，若前 次抽到了一个次品，且第四次抽到第二个次品，概率为
，
若前四次抽到的全是正品，概率为 ，
故所求事件的概率为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型；互斥事件与对立事件的概念辨析；
互斥事件的概率加法公式
5. 全概率公式
22. （敏感性问题调查）要调查蔡老板在学生心目中是不是一个胖子，制作问卷 ：蔡老板是胖子
么？回答方式为“是”和“否”．由于这是一个敏感性问题学生没法当面回答，现采取如下策略进行调
查．现同时制作问卷 ：蔡老板是胖子么？问卷 ：给你一枚硬币，你丢一次是正面朝上么？学生
将从一个只装有红球和白球的盒子中抽球决定回答哪个问题，如果抽到红球，回答 问题，抽到白
球，回答 问题，假设抽到红球的概率是 ．现在对 名学生进行调查，发现收到的答案中有
个是，你认为根据统计结果，蔡老板是一个胖子么？
【答案】是．
【解析】 ：抽到的球是红球， ：回答是，设选择蔡老板是胖子的概率为 ，
， ， ， ，
，解得 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】条件概率
11条件概率与事件的独立性【题集】
1. 条件概率
1. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率
为 ，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）．
A. B. C. D.
2. 某小区有 名歌手，其中 名男歌手， 名女歌手．从中选出 人参加区组织的社区演出．在男歌手甲
被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（ ）．
A. B. C. D.
3. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于 ”为事件 ，“两颗
骰子的点数之和等于 ”为事件 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
4. 从装有 个红球 个白球的袋子中先后取 个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取
到红球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
5. 小赵、小钱、小孙、小李到 个景点旅游，每人只去一个景点，设 表示事件“ 个人去的景点各不相
同”， 表示事件“小赵独自去一个景点”，则 （ ）．
A. B. C. D.
6. 某中学为了迎接即将在武汉市召开的世界中学生运动会，学生篮球队准备假期集训，集训前共有 个
篮球队，其中 个是新球（即没有用过的球）， 个是旧球（即至少用过 次的球）．每次训练，都从
中任意取出 个球，用完后放回．
（ 1 ）设第 次训练时至少取到 个新球，第 次训练时也取到 个新球的概率．
（ 2 ）在第 次训练时至少取到 个新球的条件下，求第 次训练时恰好取到 个新球的概率．
2. 乘法公式
7. 已知 ， ， ．
8. 已知 号箱中有 个白球和 个红球， 号箱中有 个白球和 个红球，现随机地从 号箱中取出 个球放
入 号箱中，然后从 号箱中随机地取出 个球，则两次都取到红球的概率是（ ）．
A. B. C. D.
1
3. 事件的独立性
9. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 ，乙中靶的概率为 ．甲、乙各射击一
次，则两人都中靶的概率为（ ）．
A. B. C. D.
10. 已知盒中装有 个红球、 个白球、 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中
任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）．
A. B. C. D.
11. 袋中有 红 黑 个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，
第二次仍是红球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
4. 互斥事件与独立事件
12. 抛掷两枚硬币，设事件 “第一枚正面朝上”， “第二枚反面朝上”，则（ ）．
A. 事件 和 互斥 B. 事件 和 互相对立
C. 事件 和 相互独立 D. 事件 和 相等
13. 甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取
出一个球放入乙罐，分别以 ， ， 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐
中随机取出一个球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不. 正. 确. 的是（ ）．
A. 事件 与事件 不相互独立
B. ， ， 是两两互斥的事件
C.
D.
14. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为 ；且各
局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了 局的概率为 ．
15. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品互
不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）．
A. B. C. D.
16. 为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防
新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出 个问题，
2
即停止答题，晋级下一轮．假定某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相
互独立，则该选手至少回答了 个问题晋级下一轮的概率等于 ．
17. 首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他
们购买该机床设备的概率分别为 ， ， ，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企
业中恰有 家购买该机床设备的概率是（ ）．
A. B. C. D.
18. 某地有 ， ， ， 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有 到过疫区， 确定是受 感染的．对
于 因为难以判定是受 还是受 感染的，于是假定他受 和 感染的概率都是 ．同样也假定 受
， 和 感染的概率都是 ．在这种假定下， ， ， 中恰有两人直接受 感染的概率是（
）．
A. B. C. D.
19. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的
概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（
）．
A. B. C. D.
20. 甲、乙、丙三名同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成 道自我检测题，甲及格的概率
为 ，乙及格的概率为 ，丙及格的概率为 , 三人各检测一次，则三人中只有一人及格的概率为
（ ）．
A. B.
C. D. 以上都不对
21. 已知在 个电子元件中，有 个次品， 个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两
个次品都找. 到. 为止，则经过 次测试恰好将 个次品全部找. 出. 的概率（ ）．
A. B. C. D.
5. 全概率公式
22. （敏感性问题调查）要调查蔡老板在学生心目中是不是一个胖子，制作问卷 ：蔡老板是胖子
么？回答方式为“是”和“否”．由于这是一个敏感性问题学生没法当面回答，现采取如下策略进行调
查．现同时制作问卷 ：蔡老板是胖子么？问卷 ：给你一枚硬币，你丢一次是正面朝上么？学生
将从一个只装有红球和白球的盒子中抽球决定回答哪个问题，如果抽到红球，回答 问题，抽到白
球，回答 问题，假设抽到红球的概率是 ．现在对 名学生进行调查，发现收到的答案中有
个是，你认为根据统计结果，蔡老板是一个胖子么？
3
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