人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角同步测试题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角同步测试题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 478.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-20 16:47:04 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》同步测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN＝110°，则∠ABF的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．160°
2．如图，将一副直角三角板按如图所示的位置放置，则∠AOD的度数是（ ）
A．85° B．90° C．75° D．105°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（ ）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
4．如图所示，在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，若∠1＝∠2，∠A＝55°，则∠ADC＝（ ）
A．110° B．115° C．125° D．135°
如图，△DEF是由△ABC经过平移得到的，已知∠B＝110°，∠C＝30°，则∠DGH的度数为（ ）
A．30° B．110° C．140° D．150°
6．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠BOC的度数为（ ）
A．64° B．106° C．116° D．128°
7．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝30°，∠C＝45°，则∠AFB的大小为（ ）
A．75° B．80° C．100° D．110°
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（ ）
A．35° B．50° C．65° D．70°
9．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝41°，则∠B的度数为（ ）
A．49° B．39° C．59° D．69°
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．三角形三个内角度数之比是1：2：3，则此三角形是 三角形．
12．一副三角板如图放置，则∠1的度数为 ．
13．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，则 ．（请写出一条结论）
14．我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则∠α﹣∠β＝ °．
15．如图，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝ ．
16．如图，将一张三角形纸片ABC的一角（∠A）折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知∠C＝90°，∠B＝60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE＝m°，则m＝ ．
17．如图所示，∠BAC的外角∠CAE等于100°，∠B＝45°，则∠C的度数是 ．
18．如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，量得∠CAB＝33°，∠CDB＝21°，则∠ABD的度数为 ．
19．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，则∠ADE＝ ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
22．将一副学生三角板△OCD、△ODE按如图所示位置摆放，OC放置在直线AB上，求∠AOE的度数．
23．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在AB上，点G在BC上，且EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点（不与端点重合），连接DE，∠AED＝∠B，DF平分∠BDE交射线BC于点F，连接EF．
（1）若∠C＝50°，求∠BDE的度数；
（2）若∠ACB＝∠DFE．
①求证：∠FED＝∠FDE；
②延长FD至点G，连接EG，若∠A＝2∠G，5∠FED﹣3∠DEG＝180°，求∠G与∠C之间的数量关系．
25．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：
已知：直线a∥b，点AB在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝x°，∠ADC＝y°，直接写出∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．
26．【情景引入】
（1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．
①∠A＝80°，则∠F的度数为 ；
②∠F＝n°，则∠A的度数为 ．
27．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图
∠ACM＝180°﹣∠ACN＝180°﹣110°＝70°，
∵EF∥MN，
∴∠ADB＝∠ACM＝70°，
∴∠ABF＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故选：B．
2．解：由题意得：∠BCD＝60°，∠ACB＝45°，∠D＝90°，
∴∠DCO＝∠BCD﹣∠ACB＝15°，
∵∠AOD是△DCO的外角，
∴∠AOD＝∠D+∠DCO＝105°．
故选：D．
3．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠BDE，
∵∠BDE＝56°，
∴∠CAB＝56°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠CAB＝28°，
故选：B．
4．解：∵∠A+∠ADB+∠2＝180°，
又∵∠A＝55°，
∴∠ADB+∠2＝125°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADB+∠1＝125°，
∴∠ADC＝125°，
故选：C．
5．解：∵∠B＝110°，∠C＝30°，
∴∠A＝180°﹣110°﹣30°＝40°，
∵△DEF是由△ABC经过平移得到的，
∴AB∥DE，
∴∠AGD＝∠A＝40°，
∴∠DGH＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
6．解：在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝52°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+×52°
＝90°+26°
＝116°．
故选：C．
7．解：∵∠A＝35°，∠C＝45°，
∴∠FDB＝∠A+∠C＝35°+45°＝80°，
∵∠B＝30°，
∴∠AFB＝∠B+∠FDB＝30°+80°＝110°，
故选：D．
8．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝65°，
∴∠B+∠BAC＝65°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝50°，
故选：B．
9．解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝41°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣41°＝49°，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，
由题意得，k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，
∴3k＝3×30°＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
12．解：由题意得：∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠ABC+∠A＝45°+30°＝75°，
故答案为：75°．
13．解：△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°（答案不唯一）．
故答案为：∠A+∠B＝90°（答案不唯一）．
14．解：如图，
由图可得：∠CBD＝45°，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝60°，∠A＝30°，
∴∠EBC＝∠ABE﹣∠CBD＝45°，
∴∠β＝180°﹣∠EBC﹣∠E＝75°，
∠α＝∠A+∠ADC＝120°，
∴∠α﹣∠β＝45°．
故答案为：45°．
15．解：∵AD是高，∠B＝72°，
∴∠BAD＝90°﹣72°＝18°，
∵∠DAE＝16°，
∴∠BAE＝18°+16°＝34°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝68°，
∴∠C＝180°﹣72°﹣68°＝40°．
故答案为：40°．
16．解：当DA'∥BC时，如图，
∠A'DA＝∠ACB＝90°，
∵△ADE沿DE折叠到A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠ADA′＝45°，
当EA'∥BC时，如图，连接AA'，
∠2＝∠ABC＝60°，
∴∠A'AB＝∠AA'E＝30°，
∴∠DAA'＝∠DA'A＝60°，
∴△AA'D是等边三角形，
∴∠1＝120°，
∵△ADE沿DE折叠到A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°，
综上所述，∠ADE的度数为：45°或30°．
故答案为：45或30．
17．解：由三角形的外角性质得：∠CAE＝∠B+∠C，
∴∠C＝∠CAE﹣∠B＝100°﹣45°＝55°；
故答案为：55°．
18．解：∵∠CAB是△ABD的外角，∠CAB＝33°，∠CDB＝21°，
∴∠ABD＝∠CAB﹣∠CDB＝12°，
故答案为：12°．
19．解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝90°﹣20°＝70°，
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°，
故答案为：70°．
20．解：取CF的中点T，连接DT，AT，
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故答案为：77°．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
22．解：由题意得：∠CDO＝45°，∠DOE＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠AOD＝∠CDO+∠OCD＝135°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝165°．
23．证明：（1）∵EF∥CD，
∴∠1+∠3＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠3．
∴AC∥GD．
（2）∵CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，
∴∠3＝∠ACB，∠2＝∠GDB＝∠CDB．
∵∠CDB＝∠A+∠3，∠2＝∠3，
∴2∠3＝∠A+∠3．
∴∠3＝∠A＝40°．
∴∠ACB＝80°．
24．（1）解：方法一：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠AED＝∠B，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠C+∠BDE＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠BDE＝130°；
方法二：∵∠AED＝∠B，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠CED+∠B＝180°，
在四边形BCED中，∠B+∠C+∠CED+∠BDE＝360°，
∴∠C+∠BDE＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠BDE＝130°；
方法三：∵∠BDE＝∠A+∠AED，∠AED＝∠B，
∴∠BDE＝∠A+∠B，
∵在△ABC中，∠C+∠B+∠A＝180°，∠C＝50°，
∴∠BDE＝∠A+∠B＝130°；
（2）①证明：由（1）得，∠C+∠BDE＝180°，
即∠C+∠FDB+∠FDE＝180°，
又在△FDE中，∠DFE+∠FED+∠FDE＝180°，
∵∠C＝∠DEFE，
∴∠FDB＝∠FED，
∵DF平分∠BDE，
∴∠FDB＝∠FDE＝∠BDE，
∴∠FED＝∠FDE；
②解：∵∠BDE＝∠A+∠AED，∠FDE＝∠G+∠GED，∠A＝2∠G，∠FDE＝∠BDE，
∴∠GED＝∠AED，
设∠GDE＝x，∠FED＝y，
则∠FDE＝∠FDB＝y，∠G＝y﹣x，
∴∠C＝180°﹣2y，
∵5∠FED﹣3∠DEG＝180°，
∴5y﹣3x＝180°，
∴3y﹣3x＝180°﹣2y，
即∠C＝3y﹣3x，
∴∠C＝3∠G．
25．解：（1）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝55°；
（2）过点E作EF∥AB，如图所示：
则∠ABE+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BED＝180°﹣∠ABE+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
∵∠ABC＝x°，∠ADC＝y°，
∴∠ABE＝，∠CDE＝，
∴∠BED＝180°﹣+．
26．解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠D＝90°+∠A；
（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：
∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，
∴∠A＝2∠D，
∴：∠D＝∠A；
（3）①由（1）知：∠D＝90°+∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠D＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，
∴∠E＝180°﹣155°＝25°，
由（2）②知：∠F＝∠E，
∴∠F＝∠E＝12.5°，
故答案为：12.5°；
②由（2）②知：∠F＝∠E，
∵∠F＝n°，
∴∠E＝2∠F＝2n°，
∵∠E+∠CBE+∠BCE＝180°，
∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝180°﹣2n°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠MBE＝∠CBE，∠NCE＝∠BCE，
∵∠MBC＝∠MBE+∠CBE＝2∠CBE，∠NCB＝∠NCE+∠BCE＝2∠BCE，
∴∠MBC+∠NCB＝2（∠CBE+∠BCE）＝360°﹣4n°，
∵∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠NCB，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝4n°，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣4n°，
由（1）知：∠D＝90°+∠A，
∴∠A＝180°﹣8n°，
故答案为：180°﹣8n°．
27．解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN＝110°，则∠ABF的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．160°
2．如图，将一副直角三角板按如图所示的位置放置，则∠AOD的度数是（ ）
A．85° B．90° C．75° D．105°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，则∠DAE的度数为（ ）度．
A．23 B．28 C．52 D．56
4．如图所示，在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，若∠1＝∠2，∠A＝55°，则∠ADC＝（ ）
A．110° B．115° C．125° D．135°
如图，△DEF是由△ABC经过平移得到的，已知∠B＝110°，∠C＝30°，则∠DGH的度数为（ ）
A．30° B．110° C．140° D．150°
6．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠BOC的度数为（ ）
A．64° B．106° C．116° D．128°
7．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝30°，∠C＝45°，则∠AFB的大小为（ ）
A．75° B．80° C．100° D．110°
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（ ）
A．35° B．50° C．65° D．70°
9．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝41°，则∠B的度数为（ ）
A．49° B．39° C．59° D．69°
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．三角形三个内角度数之比是1：2：3，则此三角形是 三角形．
12．一副三角板如图放置，则∠1的度数为 ．
13．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，则 ．（请写出一条结论）
14．我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则∠α﹣∠β＝ °．
15．如图，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝ ．
16．如图，将一张三角形纸片ABC的一角（∠A）折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点A′的位置，且点A′与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知∠C＝90°，∠B＝60°，若△A′DE的一边与BC平行，且∠ADE＝m°，则m＝ ．
17．如图所示，∠BAC的外角∠CAE等于100°，∠B＝45°，则∠C的度数是 ．
18．如图，两根竹竿AB和DB斜靠在墙CE上，量得∠CAB＝33°，∠CDB＝21°，则∠ABD的度数为 ．
19．如图，直线DE∥BF，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，则∠ADE＝ ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝ ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，连接FG，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
22．将一副学生三角板△OCD、△ODE按如图所示位置摆放，OC放置在直线AB上，求∠AOE的度数．
23．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在AB上，点G在BC上，且EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点（不与端点重合），连接DE，∠AED＝∠B，DF平分∠BDE交射线BC于点F，连接EF．
（1）若∠C＝50°，求∠BDE的度数；
（2）若∠ACB＝∠DFE．
①求证：∠FED＝∠FDE；
②延长FD至点G，连接EG，若∠A＝2∠G，5∠FED﹣3∠DEG＝180°，求∠G与∠C之间的数量关系．
25．阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．
彤彤是这样做的：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：
已知：直线a∥b，点AB在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝x°，∠ADC＝y°，直接写出∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．
26．【情景引入】
（1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ；
②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．
①∠A＝80°，则∠F的度数为 ；
②∠F＝n°，则∠A的度数为 ．
27．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图
∠ACM＝180°﹣∠ACN＝180°﹣110°＝70°，
∵EF∥MN，
∴∠ADB＝∠ACM＝70°，
∴∠ABF＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
故选：B．
2．解：由题意得：∠BCD＝60°，∠ACB＝45°，∠D＝90°，
∴∠DCO＝∠BCD﹣∠ACB＝15°，
∵∠AOD是△DCO的外角，
∴∠AOD＝∠D+∠DCO＝105°．
故选：D．
3．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠BDE，
∵∠BDE＝56°，
∴∠CAB＝56°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAE＝∠CAB＝28°，
故选：B．
4．解：∵∠A+∠ADB+∠2＝180°，
又∵∠A＝55°，
∴∠ADB+∠2＝125°，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADB+∠1＝125°，
∴∠ADC＝125°，
故选：C．
5．解：∵∠B＝110°，∠C＝30°，
∴∠A＝180°﹣110°﹣30°＝40°，
∵△DEF是由△ABC经过平移得到的，
∴AB∥DE，
∴∠AGD＝∠A＝40°，
∴∠DGH＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
6．解：在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝52°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+×52°
＝90°+26°
＝116°．
故选：C．
7．解：∵∠A＝35°，∠C＝45°，
∴∠FDB＝∠A+∠C＝35°+45°＝80°，
∵∠B＝30°，
∴∠AFB＝∠B+∠FDB＝30°+80°＝110°，
故选：D．
8．解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝65°，
∴∠B+∠BAC＝65°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝50°，
故选：B．
9．解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝41°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣41°＝49°，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，
由题意得，k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，
∴3k＝3×30°＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
12．解：由题意得：∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠ABC+∠A＝45°+30°＝75°，
故答案为：75°．
13．解：△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°（答案不唯一）．
故答案为：∠A+∠B＝90°（答案不唯一）．
14．解：如图，
由图可得：∠CBD＝45°，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝60°，∠A＝30°，
∴∠EBC＝∠ABE﹣∠CBD＝45°，
∴∠β＝180°﹣∠EBC﹣∠E＝75°，
∠α＝∠A+∠ADC＝120°，
∴∠α﹣∠β＝45°．
故答案为：45°．
15．解：∵AD是高，∠B＝72°，
∴∠BAD＝90°﹣72°＝18°，
∵∠DAE＝16°，
∴∠BAE＝18°+16°＝34°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝68°，
∴∠C＝180°﹣72°﹣68°＝40°．
故答案为：40°．
16．解：当DA'∥BC时，如图，
∠A'DA＝∠ACB＝90°，
∵△ADE沿DE折叠到A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠ADA′＝45°，
当EA'∥BC时，如图，连接AA'，
∠2＝∠ABC＝60°，
∴∠A'AB＝∠AA'E＝30°，
∴∠DAA'＝∠DA'A＝60°，
∴△AA'D是等边三角形，
∴∠1＝120°，
∵△ADE沿DE折叠到A'DE，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°，
综上所述，∠ADE的度数为：45°或30°．
故答案为：45或30．
17．解：由三角形的外角性质得：∠CAE＝∠B+∠C，
∴∠C＝∠CAE﹣∠B＝100°﹣45°＝55°；
故答案为：55°．
18．解：∵∠CAB是△ABD的外角，∠CAB＝33°，∠CDB＝21°，
∴∠ABD＝∠CAB﹣∠CDB＝12°，
故答案为：12°．
19．解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝90°﹣20°＝70°，
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝70°，
故答案为：70°．
20．解：取CF的中点T，连接DT，AT，
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故答案为：77°．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
22．解：由题意得：∠CDO＝45°，∠DOE＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠AOD＝∠CDO+∠OCD＝135°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝165°．
23．证明：（1）∵EF∥CD，
∴∠1+∠3＝180°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠3．
∴AC∥GD．
（2）∵CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，
∴∠3＝∠ACB，∠2＝∠GDB＝∠CDB．
∵∠CDB＝∠A+∠3，∠2＝∠3，
∴2∠3＝∠A+∠3．
∴∠3＝∠A＝40°．
∴∠ACB＝80°．
24．（1）解：方法一：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∠AED＝∠B，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠C+∠BDE＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠BDE＝130°；
方法二：∵∠AED＝∠B，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠CED+∠B＝180°，
在四边形BCED中，∠B+∠C+∠CED+∠BDE＝360°，
∴∠C+∠BDE＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠BDE＝130°；
方法三：∵∠BDE＝∠A+∠AED，∠AED＝∠B，
∴∠BDE＝∠A+∠B，
∵在△ABC中，∠C+∠B+∠A＝180°，∠C＝50°，
∴∠BDE＝∠A+∠B＝130°；
（2）①证明：由（1）得，∠C+∠BDE＝180°，
即∠C+∠FDB+∠FDE＝180°，
又在△FDE中，∠DFE+∠FED+∠FDE＝180°，
∵∠C＝∠DEFE，
∴∠FDB＝∠FED，
∵DF平分∠BDE，
∴∠FDB＝∠FDE＝∠BDE，
∴∠FED＝∠FDE；
②解：∵∠BDE＝∠A+∠AED，∠FDE＝∠G+∠GED，∠A＝2∠G，∠FDE＝∠BDE，
∴∠GED＝∠AED，
设∠GDE＝x，∠FED＝y，
则∠FDE＝∠FDB＝y，∠G＝y﹣x，
∴∠C＝180°﹣2y，
∵5∠FED﹣3∠DEG＝180°，
∴5y﹣3x＝180°，
∴3y﹣3x＝180°﹣2y，
即∠C＝3y﹣3x，
∴∠C＝3∠G．
25．解：（1）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
又∵∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝25°，∠CDE＝30°，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝55°；
（2）过点E作EF∥AB，如图所示：
则∠ABE+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠ABE，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BED＝180°﹣∠ABE+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
∵∠ABC＝x°，∠ADC＝y°，
∴∠ABE＝，∠CDE＝，
∴∠BED＝180°﹣+．
26．解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∴∠D＝90°+∠A；
（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：
∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A+2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：
∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，
∴∠A＝2∠D，
∴：∠D＝∠A；
（3）①由（1）知：∠D＝90°+∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠D＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，
∴∠E＝180°﹣155°＝25°，
由（2）②知：∠F＝∠E，
∴∠F＝∠E＝12.5°，
故答案为：12.5°；
②由（2）②知：∠F＝∠E，
∵∠F＝n°，
∴∠E＝2∠F＝2n°，
∵∠E+∠CBE+∠BCE＝180°，
∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝180°﹣2n°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠MBE＝∠CBE，∠NCE＝∠BCE，
∵∠MBC＝∠MBE+∠CBE＝2∠CBE，∠NCB＝∠NCE+∠BCE＝2∠BCE，
∴∠MBC+∠NCB＝2（∠CBE+∠BCE）＝360°﹣4n°，
∵∠DBC＝180°﹣∠MBC，∠DCB＝180°﹣∠NCB，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝4n°，
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣4n°，
由（1）知：∠D＝90°+∠A，
∴∠A＝180°﹣8n°，
故答案为：180°﹣8n°．
27．解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．