人教版八年级数学上册 12.2三角形全等的判定解答专项练习题 （含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
2．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
3．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
4．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ＝AC，点F在CE的延长线上，CF＝AB，求证：AF⊥AQ．
5．如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．
6．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
7．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．
（1）说明BD＝CE；
（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
8．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC＝2，求BE的长．
9．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
11．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：
（1）△AEH≌△BEC．
（2）AH＝2BD．
13．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明．
14．如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．
（1）求证：△AGE≌△AFC；
（2）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD．
15．如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，
（1）求证：DE＝BD﹣CE．
（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明．
16．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．
（1）PC＝　 　cm（用含t的代数式表示）．
（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．
18．如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，∠DBF＝∠CAE，求证：CD＝FE．
19．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
20．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
21．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
22．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的度数．
参考答案
1．①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，
则∠BDC＝75°．
2．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
3．（1）证明：在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M＝∠N．
4．证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠ADB＝90°，∠AEC＝90°，
∴∠ABQ+∠BAD＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABQ和△FCA中，
∴△ABQ≌△FCA（SAS），
∴∠F＝∠BAQ，
∵∠F+∠FAE＝90°，
∴∠BAQ+∠FAE＝90°，
∴AF⊥AQ．
5．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC＝DE．
6．证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
7．解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°，AD＝AE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ADB≌△AEC，
∴∠ACE＝∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC＝180°﹣∠ACE﹣∠CDF
又∵∠CDF＝∠BDA
∴∠BFC＝180°﹣∠DBA﹣∠BDA
＝∠DAB
＝90°；
（3）BD＝CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC＝90°．理由如下：
如图2，
△ABC、△ADE是等腰直角三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD＝CE，∠ACE＝∠DBA，
∵∠1＝∠2，
∴∠FCA+∠BFC＝∠CAB+∠ABD
∴∠BFC＝∠CAB＝90°．
8．解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CEB中，，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴BE＝CD＝2．
9．解：（1）全等，理由是：
∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3＝∠4，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．
10．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
11．解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
12．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD．
13．证明：CD＝BE，CD⊥BE，
理由如下：
因为∠BAD＝∠CAE＝90°，所以∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC．
因为，
所以△BAE≌△DAC（SAS）．
所以BE＝DC，∠BEA＝∠DCA．
如图，设AE与CD相交于点F，因为∠ACF+∠AFC＝90°，∠AFC＝∠DFE，
所以∠BEA+∠DFE＝90°．即CD⊥BE．
14．证明：（1）∵∠CAB＝∠FAE＝90°，
∴∠CAB﹣∠FAG＝∠FAE﹣∠FAG，即∠CAF＝∠EAG，
∵AC＝AE，
∴∠ACF＝∠AEG，
在△AGE和△AFC中，
，
∴△AGE≌△AFC（ASA）；
（2）延长AF至点H，使AH＝AD，
在Rt△CAH和Rt△BAD中，
，
∴Rt△CAH≌Rt△BAD（HL）
∴CH＝BD，∠ACH＝∠ABD＝90°，
∴CH∥AB，
∴∠HCF＝∠AGF，
∵△AGE≌△AFC，
∴∠AGE＝∠AFC，
∴∠AGF＝∠AFG，
∴∠HCF＝∠HFC，
∴HC＝HF，
∴AH＝AF+HF＝AF+CH，
∴AD＝AF+BD．
15．证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠DBA＝∠CAE，且AB＝AC，∠D＝∠E＝90°，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，CE＝AD，
∴DE＝AD+AE＝CE+BD；
（2）BD＝DE+CE，
理由如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，且AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴BD＝AE，CE＝AD，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝CE+DE．
16．解：（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t；
故答案为（10﹣2t）；
（2）存在．
分两种情况讨论：
①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．
因为AB＝6，所以PC＝6．
所以BP＝10﹣6＝4，即2t＝4．
解得t＝2．
因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP．
因为PB＝PC，
所以BP＝PC＝BC＝5，即2t＝5．
解得t＝2.5．
因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．
综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等．
17．解：（1）由题意得t+3t＝6+8，
解得t＝（秒），
当P、Q两点相遇时，t的值为秒；
（2）由题意可知AP＝t，
则CP的长为；
（3）当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
18．（1）解：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，
在△AEM和△BFM中，
，
∴△AEM≌△BFM（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE＝5，
∴BF＝5；
（2）证明：∵BF∥AE，
∴∠AEC＝∠BFM，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BFM＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AEC＝∠BFD，
由（1）知AE＝BF，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴CE＝DF，
∴DF﹣CF＝CE﹣CF，
即CD＝FE．
19．证明：（1）①∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
解：（2）∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）．
∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
20．证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）结论DE＝BD+CE仍然成立，理由是：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
21．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
22．证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
23．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD与△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△CDE，
∴∠BAD＝∠DCE，AB＝CE，
∵M、N分别是AB、CE的中点，
∴AM＝AB，CN＝CE，
∴AM＝CN，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴∠ADM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADN＝90°，
∴∠ADM+∠ADN＝90°，
∴∠MDN＝90°．