北师大版九年级数学上册 4.4探索三角形相似的条件 基础解答题专项练习题（含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
基础解答题专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线．求证：△ABC∽△BDC．
3．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
4．如图，在△ACB中，AC＝30cm，BC＝25cm．动点P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运动，速度是1cm/s．当△CPQ与△CAB相似时，求运动的时间．
5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC．
6．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
7．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
8．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC＝，CD＝4，BD＝2．
求证：△ACD∽△BCA．
9．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
求证：△ABC∽△ACD．
10．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．
求证：△ABE∽△DEF．
11．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
12．已知，求证：△ADB∽△AEC．
13．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．
14．如图，在直角三角形ABC中，角B等于90度，AB等于6厘米，BC等于8厘米，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点P或点Q到达终点时停止运动．则当运动几秒时，以QBP为顶点的三角形与三角形ABC相似？
15．已知：如图，AD，BC交于点O，AO DO＝CO BO，求证：△ABO∽△CDO．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，4AC﹣3BC＝0，点P从B点出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，若P、Q分别从B、C同时出发，经过多少秒时，△CPQ与△CBA相似？
17．已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝12，点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B两地同时出发，几秒后△PBQ与原三角形相似？
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，且AE＝3，AD＝2，DB＝4，AB＝9，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
20．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点M从点B开始沿BA边向点A以2个单位长度/秒的速度移动，点N从点A开始沿AC边向点C以4个单位长度/秒的速度移动．如果点M、N分别从点B、A同时出发，移动几秒，△AMN与△ABC相似？
参考答案
1．证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
2．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
3．证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ADC+∠DCA＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴△ACD∽△BEC．
4．解：设运动的时间为ts，
①当△CPQ∽△CAB时，＝，即＝．
解得t＝；
②当△CPQ∽△CBA时，＝，即＝．
解得t＝．
综上所述，运动时间为s或s．
5．证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠DEB＝∠C，∠EFC＝∠DEF，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠EFC，
∴△BDE∽△EFC．
6．证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
7．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
8．证明：∵AC＝，CD＝4，BD＝2，
∴，，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA．
9．证明：在△ABC与△ACD中，
∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD．
10．解：设AB＝4k，
在正方形ABCD中，
AB＝AD＝CD＝4k，∠A＝∠D＝90°
∴DF＝k，AE＝ED＝2k，
∴＝＝，
∴△ABE∽△DEF．
11．证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP．
12．证明：∵，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
又∵＝，
∴△ADB∽△AEC．
13．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE．
14．解：设经过t秒，△PBQ与△ABC相似，则AP＝tcm，BP＝6﹣t（cm），BQ＝2tcm，
①若△PBQ∽△ABC，则＝，
即＝，
∴t＝，
②若△PBQ∽△CBA，则 ＝，
即＝，
∴解得：t＝，
∴经过s或s时，△PBQ与△ABC相似．
15．解：∵AO DO＝CO BO，
∴＝，
而∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO．
16．解：∵BC＝8cm，AC：AB＝3：5，
∴AC＝6cm，
设经过t秒时：CP：CB＝CQ：CA
则（8﹣2t）：8＝t：6
解得：t＝2.4s．
设经过t秒时，CQ：CB＝CP：CA
则t：8＝（8﹣2t）：6
解得：t＝s．
在t＝2.4s和s时，△CPQ与△CBA相似．
17．证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC．
18．解：设x秒后△PBQ与原三角形相似，则AP＝x，PB＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得x＝3（s）；
当＝时，△PBQ∽△CBA，即＝，解得x＝（s）．
答：如果P，Q分别从A，B两地同时出发，秒或3秒时△PBQ与原三角形相似．
19．解：△ADE∽△ABC，理由如下：
∵AB＝AD+DB＝2+4＝6，
∴＝＝，＝＝，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
20．解：设移动x秒，△AMN与△ABC相似，则BM＝2x，AN＝4x，
∴AM＝AB﹣BM＝8﹣2x，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴当＝时，△AMN∽△ABC，即＝，解得x＝3，
当＝时，△AMN∽△ACB，即＝，解得x＝．
答：如果点M、N分别从点B、A同时出发，移动秒或3秒时，△AMN与△ABC相似．