北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明解答专项练习题 （含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，等边△ABC的边长为6，点P，D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝60°，BP＝2，求CD的长．
2．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
（1）求证：DE∥CF；
（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM FC，求证：DF∥AC．
3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．
（1）求证：△BFD∽△CAB；
（2）求证：AF＝DF；
（3）的值等于 　 　．（直接写出结果，无需解答过程）
4．如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB＝4，∠D＝60°，求四边形ABFE的面积．
5．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF BD，求证：DF＝BE．
6．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．
（1）求证：△AEF∽△DAC；
（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
8．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．
（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．
（2）求AM：MN：NF的值．
9．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，AE⊥BD于点F，连接CF．
（1）求证：AB＝CF；
（2）若，求DF的长．
10．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．
（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；
（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD AH．
11．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点M为线段DC上的动点，射线AM交BD于E交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q，
（1）求证：∠QCF＝∠QFC；
（2）证明：△CMQ是等腰三角形．
（2）取DM的中点H，连结HQ，若HQ＝5，求出BF的长．
12．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ AB．
求证：（1）∠CAE＝∠BAF；
（2）CF FQ＝AF BQ．
13．已知：如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点G，交BC于点F．
（1）求证：DF＝BG；
（2）若BG⊥DF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．
14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）求证：＝．
15．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG CF，∠AED＝∠CFD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA AB＝AD MD．
16．如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，作EF⊥AB交CD于F，连结AF，BF，作FG⊥BF交AC的延长线于G，AC与EF交于点O．
（1）设∠AFE＝α，用含α的代数式表示∠G的度数．
（2）求证：AO＝GC．
（3）如图，若△AFG的面积为15，求正方形ABCD的边长．
17．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．
（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；
（3）若AE＝AF＝1，求+的值．
18．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：AD AE＝AM EF．
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
19．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．
（1）求证：EB2＝EG EA；
（2）连接CG，若BE＝CE．求证：∠CGE＝∠DBC．
20．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．
（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．
（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．
21．如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．
（1）试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．
22．如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，∠ABC＝∠ADE＝45°．
（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD＝30°，求∠BAE的度数；
（2）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转过程中，当旋转角度α＝　 　时，直线AC与DE垂直（0°＜α≤360°）；
（3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD＝4，AB＝10，求BD的最大值和最小值．
参考答案
1．解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，
∵AB＝BC＝6，BP＝2，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∴＝，
∴CD＝．
答：CD的长为．
2．证明：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DE∥CF；
（2）如图2，
∵DF2＝FM FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DF∥AC．
3．（1）证明：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBD，
∵AB＝AD，
∴∠FDB＝∠ABD，
∴△BFD∽△CAB；
（2）证明：∵DE垂直平分BC，
∴，
∵△BFD∽△CAB，
∴，
∴FD＝AB，
∵AB＝AD，
∴FD＝AD，
∴AF＝FD；
（3）解：如图，过点C作CH∥AD，交BE的延长线于点H，
∵DE垂直平分BC，
∴，
∵CH∥AD，
∴∠BDF＝∠BCH，∠BFD＝∠BHC，
∴△BDF∽△BCH，
∴，
∵AF＝FD，
∴，
∵AD∥HC，
∴∠FAE＝∠HCE，∠AFE＝∠CHE，
∴△AFE∽△CHE，
∴，
∴，
∵，
∴FH＝FB，
∴，
故答案为：．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
∴四边形ABFE是菱形；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BF于H，
∴∠AHB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴AH＝，
由（1）知四边形ABFE是菱形，
∴BF＝AB＝4，
∴四边形ABFE的面积＝BF×AH＝4×＝8．
5．证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，
∴＝，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB＝∠EBC，＝，
∴AD∥EB，
∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∴；
（2）∵BE2＝BF BD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF＝∠BDE，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF＝BE．
6．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∵∠D＝∠ABF＝90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∵∠D＝∠FAE＝90°，
∴△AEF∽△DAC；
（2）如图：
∵FE平分∠AFB，
∴∠AFE＝∠CFE，
∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，
∴△AFE≌△CFE（AAS），
∴AF＝CF，AE＝EC，
∵FG＝FG，
∴△AFG≌△CFG（SAS），
∴∠FAG＝∠FCG，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠FCG，
∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠AED，
∴AE∥CG，
∵AB∥CD，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∵AE＝EC，
∴四边形AGCE为菱形．
7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
8．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F为边AB、BC的中点，
∴BF＝AE，
在△ADE与△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE；
（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，
在Rt△ADE中，DE＝＝x，
由（1）知DE＝AF，
∴AF＝x，
∵2S△ADE＝AE AD＝DE AM，
∴AM＝＝x，
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，
∴△NAD∽△NFB，
∴＝＝2，
∴AN＝2FN，
∴NF＝AF＝x，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．
9．（1）证明：延长AE，DC相交于点H，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠HCE，∠BAE＝∠H，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB＝CH，
∴CD＝CH，
∵BD⊥AE，
∴∠DFH＝90°，
∴FC＝DH＝CD＝AB；
（2）解：∵BE∥AD，BE＝BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
设BF＝a，则DF＝2a，
∵∠AFB＝∠BAD＝90°，∠ABF＝∠DBA，
∴△BFA∽△BAD，
∴AB2＝BF×BD，
∴（4）2＝a×3a，
解得a＝（负值舍去），
∴DF＝2a＝．
10．证明：（1）如图1，
∵矩形BFGE是由矩形BCDA旋转得到，
∴AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，BC＝EC，
∴△ABC≌△BEG（SAS），
∴∠ACB＝∠BGE，AC＝BG，
∵AB＝BE，∠ABC＝∠BEG＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA，∠BAE+∠ACB＝90°，∠BEG+∠CEG＝90°，
∴∠CEG＝∠ACB，
∴∠BGE＝∠CEG，
∴AC∥BG，
∴四边形ABGC是平行四边形；
（2）如图2，连接BH，
在Rt△BAH和Rt△BEH中，
，
∴Rt△BAH≌Rt△BEH（HL），
∴∠ABH＝∠EBH，
∵BA＝BE，
∴BH⊥AE，
∴∠ABH+∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠ABH＝∠DAC，
∵∠BAH＝∠ADC＝90°，
∴△BAH∽△ADC，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴AB2＝AD AH．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE，
∵∠ABC＝90°，CQ⊥CE，
∴∠QFC+BAE＝90°，∠QCF+∠BCE＝90°，
∴∠QCF＝∠QFC；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCF＝90°，
∴∠MCQ+∠QCF＝∠CMQ+∠QFC＝90°，
∴∠MCQ＝∠CMQ，
∴QM＝QC，
∴△CMQ是等腰三角形；
（3）解：如图，连接DF，
∵∠QCF＝∠QFC，
∴QC＝QF，
∵QM＝QC，
∴QF＝QM，
∵H是DM的中点，
∴QH是△MDF的中位线，
∴DF＝2HQ，
∵HQ＝5，
∴DF＝10，
∵DC＝BC＝AB＝8，
∴CF＝＝＝6，
∴BF＝BC+CF＝8+6＝14．
12．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CF＝BE，
∴CF﹣EF＝BE﹣EF，
即CE＝BF，
在△ACE和△ABF中，
，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE＝∠BAF；
（2）∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，
∵AE2＝AQ AB，AC＝AB，
∴＝，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC＝∠AQF，
∴∠AEF＝∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠BQF＝∠AFE，
∵∠B＝∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴＝，
即CF FQ＝AF BQ．
13．（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴DF＝BG；
（2）解：如图2，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，OB＝OD＝1，OC＝OA＝＝＝，
∵BG⊥DF，
∴OE＝OB＝OD＝1，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣1．
14．证明：（1）∵DE＝DC，AD＝FD，∠EDF＝∠CDA＝90°，
∴△CDA≌△EDF（SAS），
∴∠AEG＝∠ACD，
∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠AEG+∠DAC＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AC⊥BE．
（2）在矩形ABCD中，BC∥AD，∴BC∥DE，
∴△BCF∽△EDF，
∴，
∵BC＝AD，DE＝CD，
∴，
由（1）得∠AGE＝90°＝∠CDA，∠AEG＝∠ACD，
∴△CDA∽△EAB，
∴，
∵AB＝CD，
∴，
∴．
15．证明：（1）∵CD2＝CG CF，
∴＝，
∵∠DCG＝∠DCF，
∴△CDG∽△CFD，
∴∠CDG＝∠CFD，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠CDG＝∠AED，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD；
（2）如图：
∵CF＝CM，
∴∠CFD＝∠M，
∵∠AED＝∠CFD，
∴∠AED＝∠M，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∴△AED∽△DMC，
∴＝，
∴AE DC＝AD DM，
∵AB＝DC，
∴EA AB＝AD MD．
16．（1）解：∵E为AB的中点，EF⊥AB，
∴FE垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∵FE⊥AB，∠AFE＝α，
∴∠BFE＝∠AFE＝α，
∵四边形ABCD是正方形，∠FCA＝45°，
∴AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴∠EFB+∠BFC＝90°，
∵FG⊥BF，
∴∠BFC+∠CFG＝90°，
∴∠EFB＝∠CFG＝α，
∵∠FCA是△CFG的外角，
∴∠G＝45°﹣α；
（2）证明：∵EF⊥CD，∠FCA＝45°，
∴∠OFC＝90°，∠FOC＝45°，
∴△FOC是等腰直角三角形，
∴FO＝FC，∠FOC＝∠FCO＝45°，
∴∠FOA＝∠FCG＝135°，
∵∠AFO＝∠EFB，∠EFB＝∠CFG，
∴∠AFO＝∠GFC，
在△FOA和△FCG中，
，
∴△FOA≌△FCG（ASA），
∴OA＝CG；
（3）解：设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝a，FC＝FO＝a，
∴＝a2，＝a2，
∵S△FAG＝S△FCO+S△FOA+S△FCG＝15，
∴a2+a2+a2＝15，
∴a＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴正方形ABCD的边长＝2a＝2．
17．（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，
∴点E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∵点D是边BC的中点，DF∥AB，
∴点F是AC的中点，
∴FC＝AC，
∴DE＝FC，
同理可得：DF＝BE，
∵BE＝FC，
∴DE＝DF；
（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF是菱形；
（3）∵DE∥CA，
∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，
∵DF∥AB，
∴∠B＝∠FDC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴＝，
∴+＝+＝＝1，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，DF＝AE，
∵AE＝AF＝1，
∴DE＝DF＝1，
∴+＝1，
∴+的值为1．
18．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝AB，∠B＝90°，
∴∠AMB＝∠MAD，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴Rt△ABM∽Rt△EFA，
∴AB：EF＝AM：AE，
即AD：EF＝AM：AE，
∴AD AE＝AM EF；
（2）解：在Rt△ABM中，AM＝＝13，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝，
∵Rt△ABM∽Rt△EFA，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝AE﹣AD＝﹣12＝．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABC＝∠BGE＝90°，
∴∠BEG＝∠AEB，
∴△ABE∽△BGE，
∴＝，
∴BE2＝EG EA；
（2）由（1）得BE2＝EG EA，
∵BE＝CE，
∴CE2＝EG EA，
∴＝，
∵∠CEG＝∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠CGE＝∠ACE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC＝OC＝OD，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠CGE＝∠DBC．
20．（1）证明：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，
∴∠HCD＝90°，∠CEF＝∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠HCD＝90°，
∴∠HDC+∠DHC＝90°，
又∵DH⊥DF，
∴∠HDF＝90°，
∴∠HDC+∠EDF＝90°，
∴∠EDF＝∠DHC，
∴△DEF∽△HCD．
（2）解：∵点H为BC的中点，
∴HC＝，
∵CD＝a，CE＝EF＝b，∴DE＝a﹣b，
由（1）可知△DEF∽△HCD，
∴，
∴，
∴，
即a与b满足的关系式为a＝．
21．解：（1）四边形BEDF为平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB．
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴DF＝BE，∠EFD＝∠BEC．
∴DF∥BE．
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）∵BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，
∴EF＝，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
设AE＝CF＝x，则AC＝2x+8，CE＝x+8，
∴BC2＝BE2+CE2＝62+（x+8）2＝x2+16x+100，
AB2＝BE2+AE2＝36+x2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴x2+36+x2+16x+100＝（2x+8）2，
解得x＝﹣2﹣4（舍）或x＝2﹣4，
∴CF＝2﹣4．
22．解：（1）∵∠BAD＝30°，∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+90°＝120°．
（2）①垂足在线段AC上时，
∵AC⊥DE，∠ADE＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，即旋转角度α＝45°；
②垂足在线段AC延长线上时，
∵AC⊥DE，∠ADE＝45°，
∴∠DAH＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴旋转角度α＝90°+180°﹣45°＝225°；
故答案为：45°或225°．
（3）当AD旋转到射线BA的延长线上时，BD最大，此时BD＝AB+AD＝10+4＝14．
当AD旋转到线段AB上时，BD最小，此时BD＝AB﹣AD＝10﹣4＝6．
∴BD的最大值是14，最小值是6．