第07课充要条件 学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含部分答案）

第07课 充要条件
【学习目标】
1．理解充要条件的意义．
2．会判断一些简单的充要条件问题．
3．能对充要条件进行证明．
【知识梳理】
一、逆命题的概念
1．给出以下两个命题：
(1)若一个数是负数，则它的平方是正数； (2)若一个数的平方是正数，则它是负数；
你能说出命题(1)与命题(2)的条件与结论有什么关系吗
2．填空：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“① ”，称这个命题为原命题的② ．
二、充要条件
给出以下两个“若p，则q”形式的命题：
(1)若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．
(2)若，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根．
1．你能判断它们的真假吗 2．你能写出它们的逆命题，并判断真假吗
3．以上两个命题中，p是q的什么条件 q是p的什么条件
4．充要条件：如果既有pq，又有qp，就记作pq，则p是q的③ ，简称④ ．概括地说，如果pq，那么p是q⑤______________条件．
三、充分条件、必要条件的判断方法
（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假，也就是看p与q的互推关系．
特别的：①若pq，但qp，则p是q的⑥ 条件．
②若pq，但qp，则p是q的⑦ 条件．
③若pq，且qp，则p是q的⑧ 条件；
④若pq，且qp，则p是q的⑨ 条件．
（2）集合法：设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，
特别的：①若AB，即pq但qp，则p是q的⑩ 条件．
②若AB，即p q但qp，则p是q的 条件．
③若A＝B，即pq，且qp，则p是q的 条件；
④若A和B不具有包含关系，即pq 且qp，则p是q的 条件．
【思考辨析】
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)如果原命题“若p，则q”与其逆命题都为真，那么p是q的充要条件．( √ )
(2)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．( √ )
(3)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ )
(4)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　√　)
(5)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
(6)若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　√　)
(7)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　√　)
【考点分类精讲】
考点1 充要条件的判断
【例题1】下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1) p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分；
(2) p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例；
(3) p：xy＞0； q： x＞0，y＞0；
(4) p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；q：a＋b＋c＝0 (a≠0)；
(5) p：三角形为等腰三角形；q：三角形存在两角相等；
(6)p：圆O内两条弦相等；q：圆O内两条弦所对的圆周角相等；
(7) p：A∩B为空集；q：A与B之一为空集．
【巩固练习1】
1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除；
(2)p：x＞1；q：x2＞1；
(3)p：△ABC有两个角相等；q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab；q：ab＞0．
解　(1)∵p q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q p，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab”不能推出“ab＞0”，即p不能推出q.
而当ab＞0时，有|ab|＝ab，即q p.
∴p是q的必要不充分条件．
反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点2根据充要条件求解参数的取值范围
【例题2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，
所以实数m的取值范围为{m|0【巩固练习2】
1．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m＞9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2． 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
反思感悟　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
3.已知p：x<－2或x＞3，q：4x＋m<0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　设A＝{x|x<－2或x＞3}，B＝，
因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以－≤－2，即m≥8.
所以m的范围为{m|m≥8}．
考点3充要条件的证明
【例题3】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【巩固练习3】
1．求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是．
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1·x2＝<0，
所以ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac＞0及x1·x2＝<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
反思感悟　充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
2． 在△ABC中，设，，是三角形三边的长，求证：△ABC是等边三角形的充要条件是．