第03课 集合的关系 学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第03课 集合间的基本关系
【学习目标】
1．理解集合之间的包含与相等的含义；
2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系；
3．能利用Venn图表达集合间的关系；
4．在具体情境中，了解空集的含义．
阅读教材，完成下列问题．
【知识梳理】
一、子集
一般地，对于两个集合，，如果集合的① 一个元素都是集合的元素，就称集合② 是集合③ 的子集．
记作(或)；读作“④ ”(“⑤ ”)．
Veen图表示；
（1）任何一个集合是⑥ 的子集，即⑦ ；
（2）空集是⑧ 集合的子集，即⑨ ；
（3）对于集合，若，，则⑩ ．
二、真子集
如果集合，但存在元素x，且x，就称集合是集合的真子集，
记作 或 ．
Veen图表示；
（1）规定：空集是任何集合的子集．是 集合的真子集；
（2）若，，则 ．
三、集合相等
一般的，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合 ，记作．Veen图表示；
四、集合的子集与真子集的个数
已知集合，，，写出他们的子集，并可得出以下规律：
含个元素的集合的所有子集的个数是 ，所有真子集的个数是 ，非空子集数为 ，非空真子集数为 ．
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)集合{0}是空集.( )
(2)空集没有子集.( )
(3)空集中不含任何元素，所以不是集合．(　　)
(4)任何一个集合都有子集．(　 　)
(5)若A＝B，则A B且B A.(　 　)
(6)空集是任何集合的真子集．(　 　)
【考点分类解析】
考点1 集合间关系的判断
【例题1】　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ {0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.
反思感悟　判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
①任意x∈A时，x∈B，则A B.
②当A B时，存在x∈B，且x A，则AB.
③若既有A B，又有B A，则A＝B.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【巩固练习1】
1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
答案　B
解析　x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
考点2 子集、真子集的个数问题
【例题2】已知集合M满足{1,2}M {1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
解　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
反思感悟　公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
【巩固练习2】
已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为(　　)
A．15 B．16 C．31 D．32
答案　D
解析　A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.
考点3 集合间关系的应用--集合关系中的含参数问题
【例题3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.
解　(1)当B≠时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
【巩固练习3】
1．若集合A＝{x|1a}，满足AB，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案　B
解析　如图所示，AB，
所以a≤1.
2．设集合，，若，求实数的值．
解　＝{－3，2}
(1)当B＝时，由m＝0；
(2)当B≠时，B＝{－}，则－＝－3或－＝2，解得m＝或m＝－；
综上所述，实数的值为0，，－．
3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A B，求实数m的取值范围.
解　当A B时，如图所示，此时B≠.
∴即
∴m不存在．
即不存在实数m使A B.
反思感悟　(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．
(2)涉及到“A B”或“AB且B≠”的问题，一定要分A＝和A≠两种情况讨论，不要忽视空集的情况．
课堂小结：
1．知识清单：
(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．
(2)求子集、真子集的个数问题．
(3)由集合间的关系求参数的值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．
第03课 集合间的基本关系--答案
【思考辨析】
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×