2022－2023学年人教版数学九年级上册 22.3 实际问题与二次函数（商品利润问题）课件（共32张）

(共32张PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
01
能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
02
弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
教学目标
复习回顾
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y=-x2+100x.
(1)二次函数y=-x2+100x的图象开口向___，有最___值，为_____；
(2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人.
(2,-7)
2
-7
下
大
2500
50
复习回顾
利润问题
一.几个量之间的关系.
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量
2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=-x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
18000
6000
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额－总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价－进价.
新知探究
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
知识点一：利润问题中的数量关系
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
单件利润（元） 销售量 （件） 每星期利润（元）
正常销售 20 300 6000
降价销售
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
即：y=-20x2+100x+6000.
降价销售
（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：
20-x
300+20x
y=(20-x)(300+20x)
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0,
因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？
即：y=-20x2+100x+6000，
即定价57.5元时，最大利润是6125元.
∴当x=2.5时，-20×2.52+100×2.5+6000=6125
y最大值为6125元
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
单件利润（元） 销售量 （件） 每星期利润（元）
正常销售 20 300 6000
涨价销售
建立函数关系式：m=(20+n)(300-10n)，
即：m=-10n2+100n+6000.
涨价销售
（2）涨价：①设每件涨价n元，则每星期售出商品的利润m元随之变化：
20+n
300-10n
m=(20+n)(300-10n)
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量n的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，单件利润上升，因此只要考虑销量就可以，故 300-10n≥0，且n≥0,
因此自变量的取值范围是 0≤n≤30.
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
③涨价多少元时，利润m最大，是多少？
即：m=-10n2+100n+6000，

即定价65元时，最大利润是6250元.
由(1)(2)的探究及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
巩固练习
1.某商店经营一种小商品。进价为每件20元，据市场分析，在一个月内。售价定为解件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件，
(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元
(2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大 最大利润是多少元？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。
(2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。
由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］
=-5x2+330x-4600
=-5（x-33）2+845
当x=33时，y的最大值是845.
故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
求利润最大问题。常用的公式有：利润=售价一进价，总利润=销售量×单个商品的利润，由题意可知该商品的利润与其涨价幅度有关，由此可列出函数表达式，再利用公式法或配方法求得最大值。
规律方法
巩固练习
2.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则当x= 时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大。
4
总利润=单件产品利润×销售数量，因此
y=x（8-x）=-（x-4）2+16，当x=4时，总利润y有最大值16.
方法点拨
巩固练习
3.宏达汽车租赁公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车会相应地减少6辆，若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元时，才能使公司的日租金总收入最高？这时公司的日租金总收入比提高租金前增加了多少元？
巩固练习
该怎么解这个题目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语，对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
巩固练习
解：设该公司将每辆汽车的日租金提高x个10元时，才能使公司的日收入y最高，则公司每天出租汽车会减少6x辆，
根据题意，得y=（160+10x）（120-6x）=-60（x2-4x-320）=-60（x-2）2+19440
因为a=-60＜0，所以当x=2时，y取最大值19440元，即当公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时，公司的日租金总收入y最高。
公司的日租金总收入分别为：
提高租金之前：160×120=19200（元）
提高租金之后：19440元，
19440-19200=240（元），所以公司的日租金总收入比提高租金前增加了240元。
方法点拨
求解最大利润问题的基本步骤：
（1）引入自变量；
（2）用含自变量的代数式分别表示销量单价或销售收入及销售量；
（3）用含自变量的代数式表示销量的商品的单件盈利；
（4）用函数及含自变量的代数式表示销售利润，即可得函数关系式；
（5）根据函数关系式求出最大值及取得最大值时的自变量的值。
课堂总结
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润
×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
课堂练习
1． 一位篮球运动员跳起投篮,篮球运行的高度y(米)关于篮球运动的水平距离x(米)的函数解析式是.已知篮圈中心到地面的距离3.05米,如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮,那么篮球运行的水平距离为（ ）
A.3.5 B.1 C.4 D.5
A
2．某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有(　　)
A．30人　 B．40人　　C．50人　 D．55人
C
课堂练习
3.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
4.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
课堂练习
x
y
5
16
O
7
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：
y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最
大，为25元；
课堂练习
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：
y=ax2+bx-75.其图象如图.
x
y
5
16
O
7
课堂练习
6.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
课堂练习
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]
=(10+2x)(84－4x)
=－8x2+128x+840
=－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.
课堂总结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润＝单件利润×销售量或总利润＝总售价－总成本.
确定自变量取值范围
涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
感谢观看