人教版八上数学第十一章11.1.2三角形的高、中线和角平分线 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·汉阴期末）如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ）
A．在 中， 是 边上的高
B．在 中， 是 边上的高
C．在 中， 是 边上的高
D．在 中， 是 边上的高
2．（2021八上·古冶期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
3．（2021八上·诸暨月考）如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021八上·九台期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2021八上·寿县期中）如图，△ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H，下列结论错误的是（ ）
A．∠DAC＝∠CBE B．∠ACF＝∠ABE
C．∠ABC＝∠CHD D．∠BHD＝∠BAC
6．（2021八上·平塘期中）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2021八上·惠城月考）如图，在 中， ， ．若 是 的高，与角平分线 相交于点 ，则 的度数为（ ）
A．130° B．70° C．110° D．100°
二、填空题
8．（2021八上·天河期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 ．
9．（2021八上·河东期末）在中，AB=a，BC=b，的高AD与高CE的比是
10．（2022八上·青川期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则 ．
11．（2021八上·磐石期中）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD把△ABC折叠后如图2，则S△BDG S△ACG（用“＜”，“＞”，“＝”填空）．
12．（2021八上·古冶期中）已知，AD为△ABC的中线，且AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的周长之差为 ．
三、解答题
13．（2021八上·东城期末）如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．
14．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．
四、综合题
15．（2021八上·路北期中）如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ．
（1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长；
（2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；
D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故符合题意；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故不符合题意；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故不符合题意；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故不符合题意．
所以正确的有 ①．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形由两条高在边上。
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：以AB为高线的三角形有：△BAD，△AEC，△BAD，△ABE，
共4个.
故答案为：D.
【分析】根据三角形高线的定义， 结合AB⊥AD，AB⊥BC， 分别找出以AB为高的三角形即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AD，
则：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
即：×8 DF＋×8 DE＝24，
可得：DE＋DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故答案为：A．
【分析】连接AD，由于S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即得×8 DF＋×8 DE＝24，据此求出DE+DF的值，结合DF＝2DE即可求解.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： AD，BE，CF是△ABC的三条高
故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据 △ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H， 再结合图形求解即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD= S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ADE= S△ABD，S△CDE=S△CAE= S△ACD，
∵S△ABE= S△ABC，S△CDE= S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE= S△ABC= ×8=4；
∴阴影部分的面积为4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中线的概念可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，根据中点的概念可得S△ABE=S△ADE= S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD，据此可推出S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC，进而进行解答.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴ ＝130°，
故答案为：A
【分析】根据∠BAC＝80°，AE平分∠BAC，得出∠BAE的度数，由BF⊥AC，得出∠BFA、∠ABF的度数，由此得出∠BOE的度数，从而得出 的度数。
8．【答案】7cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：7cm．
【分析】根据三角形中线的性质和三角形周长的计算及等量代换求解即可。
9．【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∵AB=a，BC=b，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】利用三角形的面积公式可得，再结合AB=a，BC=b，可得。
10．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，
∴S△BEF＝S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，
∴S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，
∵，
∴S△BEF＝1，即1，
故答案为：.
【分析】由于点F是CE的中点，得出△BEF的底是△BEC的底的一半，两个三角形底边上的高相等，得出△BEF的面积等于△BEC的面积的一半；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半，根据三角形之间的面积关系，即可解答.
11．【答案】=
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解： 是 边上的中线，
（等底同高），
，即 ，
故答案为：=．
【分析】由中线的性质得出，再根据 ，即可得出答案。
12．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AD为中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，
∵AB=10，AC=8，
∴△ABD与△ACD的周长之差=10-8=2．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得出△ABD与△ACD的周长之差=AB-AC，即可得出结论。
13．【答案】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和求出的度数即可。
14．【答案】解：∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，
∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，
∴，
又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线的性质得出，再根据角的运算求解即可。
15．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30，
∴ ×BC×AE=30，
∴ ×BC×6=30，
∴BC=10，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=5；
（2）解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=39°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=54°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）先利用三角形的面积公式求出BC的长，再根据 为边 上的中线，可得求出CD的长；
（2）先利用三角形的内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAD，最后利用∠CAD-∠CAE即可得到答案。
1 / 1人教版八上数学第十一章11.1.2三角形的高、中线和角平分线 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·汉阴期末）如图， 于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ）
A．在 中， 是 边上的高
B．在 中， 是 边上的高
C．在 中， 是 边上的高
D．在 中， 是 边上的高
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
B、在△GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；
D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.
2．（2021八上·古冶期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故符合题意；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故不符合题意；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故不符合题意；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故不符合题意．
所以正确的有 ①．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形由两条高在边上。
3．（2021八上·诸暨月考）如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：以AB为高线的三角形有：△BAD，△AEC，△BAD，△ABE，
共4个.
故答案为：D.
【分析】根据三角形高线的定义， 结合AB⊥AD，AB⊥BC， 分别找出以AB为高的三角形即可.
4．（2021八上·九台期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AD，
则：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
即：×8 DF＋×8 DE＝24，
可得：DE＋DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故答案为：A．
【分析】连接AD，由于S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即得×8 DF＋×8 DE＝24，据此求出DE+DF的值，结合DF＝2DE即可求解.
5．（2021八上·寿县期中）如图，△ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H，下列结论错误的是（ ）
A．∠DAC＝∠CBE B．∠ACF＝∠ABE
C．∠ABC＝∠CHD D．∠BHD＝∠BAC
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解： AD，BE，CF是△ABC的三条高
故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据 △ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H， 再结合图形求解即可。
6．（2021八上·平塘期中）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD= S△ABC，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ADE= S△ABD，S△CDE=S△CAE= S△ACD，
∵S△ABE= S△ABC，S△CDE= S△ABC，
∴S△ABE+S△CDE= S△ABC= ×8=4；
∴阴影部分的面积为4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中线的概念可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，根据中点的概念可得S△ABE=S△ADE= S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD，据此可推出S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC，进而进行解答.
7．（2021八上·惠城月考）如图，在 中， ， ．若 是 的高，与角平分线 相交于点 ，则 的度数为（ ）
A．130° B．70° C．110° D．100°
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴ ＝130°，
故答案为：A
【分析】根据∠BAC＝80°，AE平分∠BAC，得出∠BAE的度数，由BF⊥AC，得出∠BFA、∠ABF的度数，由此得出∠BOE的度数，从而得出 的度数。
二、填空题
8．（2021八上·天河期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 ．
【答案】7cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：7cm．
【分析】根据三角形中线的性质和三角形周长的计算及等量代换求解即可。
9．（2021八上·河东期末）在中，AB=a，BC=b，的高AD与高CE的比是
【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∵AB=a，BC=b，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】利用三角形的面积公式可得，再结合AB=a，BC=b，可得。
10．（2022八上·青川期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，而高相等，
∴S△BEF＝S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，
∴S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，
∵，
∴S△BEF＝1，即1，
故答案为：.
【分析】由于点F是CE的中点，得出△BEF的底是△BEC的底的一半，两个三角形底边上的高相等，得出△BEF的面积等于△BEC的面积的一半；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半，根据三角形之间的面积关系，即可解答.
11．（2021八上·磐石期中）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AD为BC边上的中线，沿中线AD把△ABC折叠后如图2，则S△BDG S△ACG（用“＜”，“＞”，“＝”填空）．
【答案】=
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解： 是 边上的中线，
（等底同高），
，即 ，
故答案为：=．
【分析】由中线的性质得出，再根据 ，即可得出答案。
12．（2021八上·古冶期中）已知，AD为△ABC的中线，且AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的周长之差为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AD为中线，
∴BD=CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，
∵AB=10，AC=8，
∴△ABD与△ACD的周长之差=10-8=2．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得出△ABD与△ACD的周长之差=AB-AC，即可得出结论。
三、解答题
13．（2021八上·东城期末）如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．
【答案】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和求出的度数即可。
14．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．
【答案】解：∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，
∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，
∴，
又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线的性质得出，再根据角的运算求解即可。
四、综合题
15．（2021八上·路北期中）如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ．
（1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长；
（2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30，
∴ ×BC×AE=30，
∴ ×BC×6=30，
∴BC=10，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD= BC=5；
（2）解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=39°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=54°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）先利用三角形的面积公式求出BC的长，再根据 为边 上的中线，可得求出CD的长；
（2）先利用三角形的内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAD，最后利用∠CAD-∠CAE即可得到答案。
1 / 1
