人教版八上数学第十一章11.1.2三角形的高、中线和角平分线 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·安次月考）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
2．（2021八上·阆中期中）如图，在 中， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·西湖期中）如图，在 中， 为中线， 为 中点，连接 ， ， ， 的面积为12，则三角形 的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021八上·上思期中）下列说法错误的是（ ）.
A．锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线
5．（2021八上·固阳月考）以下说法正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的三条高所在直线相交于一点；③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
6．（22021八上·东莞期末）在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ．
7．（2021八上·罗庄期中）如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
8．（2021八上·雷州期中）如图，已知 ，D为BE的中点，则 =
9．（2021八上·柯桥月考）如图， 中， 是 边上的一点（不与 ， 重合），点 ， 是线段 的三等分点，记 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，则 的面积为 ．
10．（2021八上·固原月考）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则 的面积为 .
三、解答题
11．（2021八上·庄河期末）如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
12．（2021八上·香洲期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．
四、综合题
13．（2020八上·湛江月考）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．
14．（2020八上·乌兰察布月考）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
15．（2018八上·裕安期中）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．
（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、DE不是△ACE的高，不符合题意；
B、BD不是△ADE的高，不符合题意；
C、AB不是△BCD的高，不符合题意；
D、DE是△BCD的高，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形高的定义，再结合图形求解即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC中， BC边上的高为：线段AD.
故答案为：D.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，这个顶点与垂足间的线段就是该三角形的一条，据此即可判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解： 点 是 的中点，
的面积 的面积 ，
是 的中点，
的面积 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 ，
，
的面积 .
故答案为：B.
【分析】由等底同高三角形面积相等得S△ABD=S△ACD=S△ABC=6，S△ABE=S△DBE=S△ABC=3，S△ACE=S△DCE=S△ABC=3，据此求出△BCE的面积，由CF=2EF推出S△BEF=S△BCE，据此求解.
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；
C、错误，直角三角形也有三条高线；
D、正确.
故答案为：C.
【分析】任意三角形均有三条高线、三条中线、三条角平分线，且锐角三角形的高线、中线、角平分线分别交于一点，钝角三角形有2条高在三角形外部，据此进行判断.
5．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的角平分线和中线都是线段．故不符合题意；
②三角形的三条高线所在的直线交于一点，故符合题意；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，故符合题意；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故符合题意；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点，故符合题意．
综上所述，正确的结论有4个．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高等一一判断即可。
6．【答案】10°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为10°
【分析】利用三角形角平分线、中线和高以及角的运算即可得出答案。
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：由题可知，点O是 的重心，
∴ ，
如图所示，过点B作 交AD的延长线与点G，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据三角形重心的性质可得，再过点B作 交AD的延长线与点G，根据三角形的面积公式可得。
8．【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D为BE的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为5．
【分析】根据三角形中线的性质可得，再根据，可求出。
9．【答案】9
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴DF=AE=AD
∴S△ABD＝3S1
同理可证：S△ADC＝3S2，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝3S1＋3S2
＝3（S1＋S2）
＝3×3
＝9.
故答案为：9.
【分析】利用已知点E，F是线段AD的三等分点，可证得DF=AE=AD，由此可推出S△ABD＝3S1，S△ADC＝3S2，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，代入计算可求出△ABC的面积.
10．【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，
因为AE∥BD，所以h=h′，
因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4.
则△ACB的面积= =8.
故答案为：8.
【分析】根据平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，可根据△ABD的面积为16求出高，然后再利用三角形的面积公式求解即可.
11．【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
12．【答案】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，
∴∠ECB=，
∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，
∴∠AFE=∠DFC=50°．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线的性质得出∠ECB的度数，再根据AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，得出∠ADC=90°，由此得出答案。
13．【答案】（1）证明：如图，
∵∠BDC＋∠EFC＝180°，∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠BDC＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
又∵∠B＝∠DEF，
∴∠B＝∠ADE，
∴ED∥BC；
（2）解：①设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四边形ADFE＝3a，
∵四边形ADFE的面积为6．
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如图，连接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴ ，
∵F是CD的中点，
∴ ．
【知识点】平行线的判定；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据同角的补角线段得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可．（3）连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到 ，进一步得到 ．
14．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴ AB AC＝ BC AD，
∴AD＝ （cm），
即AD的长为 cm；
（2）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
15．【答案】（1）解：∵∠B=20°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=40°﹣10°=30°
（2）解：结论：∠EAD= （∠C﹣∠B）．
理由：∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= （180°﹣∠B﹣∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
= ∠C﹣ ∠B= （∠C﹣∠B）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）根据题意，结合角平分线的性质即可得到∠EAC的度数，根据三角形的内角和计算得到∠EAD的度数即可；
（2）根据三角形的内角和以及角平分线的性质即可得到∠EAC，计算得到∠EAD的度数即可。
1 / 1人教版八上数学第十一章11.1.2三角形的高、中线和角平分线 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·安次月考）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、DE不是△ACE的高，不符合题意；
B、BD不是△ADE的高，不符合题意；
C、AB不是△BCD的高，不符合题意；
D、DE是△BCD的高，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形高的定义，再结合图形求解即可。
2．（2021八上·阆中期中）如图，在 中， 边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC中， BC边上的高为：线段AD.
故答案为：D.
【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，这个顶点与垂足间的线段就是该三角形的一条，据此即可判断得出答案.
3．（2021八上·西湖期中）如图，在 中， 为中线， 为 中点，连接 ， ， ， 的面积为12，则三角形 的面积为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解： 点 是 的中点，
的面积 的面积 ，
是 的中点，
的面积 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 的面积 ，
的面积 的面积 ，
，
的面积 .
故答案为：B.
【分析】由等底同高三角形面积相等得S△ABD=S△ACD=S△ABC=6，S△ABE=S△DBE=S△ABC=3，S△ACE=S△DCE=S△ABC=3，据此求出△BCE的面积，由CF=2EF推出S△BEF=S△BCE，据此求解.
4．（2021八上·上思期中）下列说法错误的是（ ）.
A．锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；
C、错误，直角三角形也有三条高线；
D、正确.
故答案为：C.
【分析】任意三角形均有三条高线、三条中线、三条角平分线，且锐角三角形的高线、中线、角平分线分别交于一点，钝角三角形有2条高在三角形外部，据此进行判断.
5．（2021八上·固阳月考）以下说法正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的三条高所在直线相交于一点；③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①三角形的角平分线和中线都是线段．故不符合题意；
②三角形的三条高线所在的直线交于一点，故符合题意；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，故符合题意；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故符合题意；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点，故符合题意．
综上所述，正确的结论有4个．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高等一一判断即可。
二、填空题
6．（22021八上·东莞期末）在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ．
【答案】10°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为10°
【分析】利用三角形角平分线、中线和高以及角的运算即可得出答案。
7．（2021八上·罗庄期中）如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：由题可知，点O是 的重心，
∴ ，
如图所示，过点B作 交AD的延长线与点G，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据三角形重心的性质可得，再过点B作 交AD的延长线与点G，根据三角形的面积公式可得。
8．（2021八上·雷州期中）如图，已知 ，D为BE的中点，则 =
【答案】5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D为BE的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为5．
【分析】根据三角形中线的性质可得，再根据，可求出。
9．（2021八上·柯桥月考）如图， 中， 是 边上的一点（不与 ， 重合），点 ， 是线段 的三等分点，记 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，则 的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴DF=AE=AD
∴S△ABD＝3S1
同理可证：S△ADC＝3S2，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝3S1＋3S2
＝3（S1＋S2）
＝3×3
＝9.
故答案为：9.
【分析】利用已知点E，F是线段AD的三等分点，可证得DF=AE=AD，由此可推出S△ABD＝3S1，S△ADC＝3S2，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，代入计算可求出△ABC的面积.
10．（2021八上·固原月考）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则 的面积为 .
【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，
因为AE∥BD，所以h=h′，
因为△ABD的面积为16，BD=8，所以h=4.
则△ACB的面积= =8.
故答案为：8.
【分析】根据平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，可根据△ABD的面积为16求出高，然后再利用三角形的面积公式求解即可.
三、解答题
11．（2021八上·庄河期末）如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数．
【答案】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高，以及角的运算法则即可得出答案。
12．（2021八上·香洲期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．
【答案】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，
∴∠ECB=，
∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，
∴∠AFE=∠DFC=50°．
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形的角平分线的性质得出∠ECB的度数，再根据AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，得出∠ADC=90°，由此得出答案。
四、综合题
13．（2020八上·湛江月考）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．
【答案】（1）证明：如图，
∵∠BDC＋∠EFC＝180°，∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠BDC＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
又∵∠B＝∠DEF，
∴∠B＝∠ADE，
∴ED∥BC；
（2）解：①设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四边形ADFE＝3a，
∵四边形ADFE的面积为6．
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如图，连接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴ ，
∵F是CD的中点，
∴ ．
【知识点】平行线的判定；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据同角的补角线段得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可．（3）连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到 ，进一步得到 ．
14．（2020八上·乌兰察布月考）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴ AB AC＝ BC AD，
∴AD＝ （cm），
即AD的长为 cm；
（2）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
15．（2018八上·裕安期中）△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．
（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．
【答案】（1）解：∵∠B=20°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=40°﹣10°=30°
（2）解：结论：∠EAD= （∠C﹣∠B）．
理由：∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= （180°﹣∠B﹣∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
= ∠C﹣ ∠B= （∠C﹣∠B）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）根据题意，结合角平分线的性质即可得到∠EAC的度数，根据三角形的内角和计算得到∠EAD的度数即可；
（2）根据三角形的内角和以及角平分线的性质即可得到∠EAC，计算得到∠EAD的度数即可。
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