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人教版八上数学第十一章11.2.1三角形的内角 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·滨城期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（ ）
A．70° B．80° C．100° D．120°
2．（2021八上·海珠期末）如图，ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·安次月考）已知 的三个内角的大小关系为 ，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．（2021八上·拜泉期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
5．（2021八上·余杭月考）如图，已知，是两条相交线段，连结，，分别作和的平分线相交于点，若，，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2021八上·包河期中）若 的三个内角 ， ， 满足关系式 ，则此三角形（ ）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60°
7．（2021八上·讷河期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．360° C．180° D．无法确定
8．（2021八上·西湖期中）如图，在 ABC 中， AD平分∠BAC，AE⊥BC，已知∠BAC=2∠B，∠B=4∠DAE，那么∠C的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．72°
二、填空题
9．（2021八上·潮阳期中）在 ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B．则∠B的度数是 ．
10．（2021八上·铁东期中）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中 的度数是 ．
11．（2021八上·上思期中）将三角尺按右图所示的方式放置在一张长方形纸片上， ， ， ，则 的度数为 .
三、解答题
12．（2021八上·千山期中）如图， 中， ， 平分 ．若 交 于F，求证： ．
13．（2021八上·铁西期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠BOA＝120°，求∠DAE和∠C的度数．
14．（2021八上·古冶期中）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．
四、综合题
15．（2021八上·蜀山期中）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故答案为：D
【分析】根据∠A＝∠B＝∠C，再结合三角形的内角和列出方程求解即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠BAC，再根据角平分线的定义得出∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和即可得解。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B+∠C，
即2∠A=180°，∠A=90°．
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：B．
【分析】先求出∠A=∠B+∠C，再求出∠A=90°，最后求解即可。
4．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠1）=90°- ∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°- ∠1）=90°+ ∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD= （∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2= ∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+ ∠1=90°+∠2，
∴①④符合题意，②③不符合题意，
故答案为：C.
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠1，再求出∠ECD= ∠ACD= （∠ABC+∠1），最后求解即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设，，AP与CD相较于点M，
平分，平分，
，，
设AP与CD交于点M，
，，
，
，
同理，
，，
，，
相加得：，
解得：.
故答案为：B.
【分析】设∠DAB=2x，∠DCB=2y，根据角平分线的概念可得∠DAP=∠PAB=x，∠DCP=∠PCB=y，根据内角和定理可得∠D+∠DAP=∠P+∠DCP，同理可得∠B+∠PCB=∠P+∠PAB，则50°+x=∠P+y，40°+y=∠P+x，两式相加即可得到结果.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】因为三角形内角和为180°， ，
故 180°，
所以 =60°，故D选项符合题意．
假设△ABC为等边三角形，此时符合题干要求，故可用此特例排除A，B，C选项．
故答案为：D．
【分析】先求出 180°，再求出 =60°，最后对每个选项一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据三角形的内角和可得∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，再根据∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，可得∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.
8．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，
即∠C＝180° 12a°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝90° ∠C＝12a° 90°，
∵AD是角平分线，∠BAC＝8a°，
∴∠DAC＝4a°，
∵∠DAC ∠EAC＝∠DAE，
∴4a （12a 90）＝a，
解得：a＝10，
∴∠C＝180° 12a°＝60°.
故答案为：B.
【分析】设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，∠C＝180°-12a°，由余角的性质可得∠EAC＝90° ∠C＝12a° 90°，由角平分线的概念可得∠DAC＝4a°，然后根据∠DAC ∠EAC＝∠DAE可得a的值，进而求出∠C的度数.
9．【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝4∠B ，
∴∠A+5∠B =180°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A=∠B+30°，
∴∠B+30°+5∠B=180°，
解得：∠B=25°，
故答案为：25°．
【分析】根据三角形的内角和及∠C＝4∠B ， ∠A﹣∠B＝30°， 可求出∠B的度数。
10．【答案】75°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示，
根据三角形内角和定理，∠A=30°，∠E=45°，
∴∠D=180°-90°-∠A=60°，∠ECF=180°-90°-∠E=45°
∴∠a=180°-∠ECF-∠D=75°
【分析】根据图形可知：∠BCD=45°，∠D=60°，最后利用三角形的内角和计算即可。
11．【答案】110°
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1+∠EFB=180°
∵∠1=130°
∴∠EFB=180°-130°=50°，
∵∠EGF=90°，∠FEG=30°，
∴∠EFG=180°-∠EGF-∠FEG=60°
∴∠BFG=∠EFB+∠EFG=50°+60°=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可得∠1+∠EFB=180°，结合∠1的度数求出∠EFB的度数，利用内角和定理求出∠EFG的度数，然后根据∠BFG=∠EFB+∠EFG进行计算.
12．【答案】证明：∵∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C
∴∠BAC=180°－3∠C
∵AE平分∠BAC
∴
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴
∴
∴∠C=2∠FEC．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C ，得出∠BAC=180°－3∠C ，根据AE平分∠BAC，得出，由AE⊥EF ，得出 ，，由此得出答案。
13．【答案】解：∵AE是角平分线，∠CAB＝50°，
∴ ，
∵∠BOA＝120°，
∴ ，
∵BF是角平分线，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
∵AD是高，
∴ ．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据AE是角平分线，∠CAB＝50°，求出 ，再根据∠BOA＝120°，利用三角形内角和定理求出∠ABF的度数，再根据BF是角平分线，得出 ，再利用三角形的内角和定理可求出∠AEB的度数，即可求出∠EAD的度数，即可得出结论。
14．【答案】解：∵DF⊥AB
∴∠AFD=90°
∵∠AFD+∠A+∠AEF=180°=∠D+∠ACD+∠CED，∠AEF=∠CED
∴∠AFD+∠A=∠D+∠ACD
即90°+∠A=56°+70°
∴∠A=36°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据垂直的定义，由DF⊥AB得出∠AFD+∠A=∠D+∠ACD，即90°+∠A=56°+70°，即可得出答案。
15．【答案】（1）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
（2）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
即 ；
（3）45°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3） 和 的角平分线交于点 ，
，即 ，
是 的高，
，
．
故答案为：45°．
【分析】(1)先根据三角形的内角和代理求得，，再根据角平分线的定义得出 ，最后根据角的和差解答即可；
（2）先根据三角形的内角和定理得出、，再根据角平分线的定义得出 ，再根据角的和差表示出即可；
（3）先根据角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质得出 ，再根据题意得出 ，最后算出即可 ．
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人教版八上数学第十一章11.2.1三角形的内角 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·滨城期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（ ）
A．70° B．80° C．100° D．120°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故答案为：D
【分析】根据∠A＝∠B＝∠C，再结合三角形的内角和列出方程求解即可。
2．（2021八上·海珠期末）如图，ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠BAC，再根据角平分线的定义得出∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和即可得解。
3．（2021八上·安次月考）已知 的三个内角的大小关系为 ，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B+∠C，
即2∠A=180°，∠A=90°．
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：B．
【分析】先求出∠A=∠B+∠C，再求出∠A=90°，最后求解即可。
4．（2021八上·拜泉期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠1，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠1）=90°- ∠1，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°- ∠1）=90°+ ∠1，
∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，
∴∠ECD= ∠ACD= （∠ABC+∠1），
∵∠ECD=∠OBC+∠2，
∴∠2= ∠1，即∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+ ∠1=90°+∠2，
∴①④符合题意，②③不符合题意，
故答案为：C.
【分析】先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠1，再求出∠ECD= ∠ACD= （∠ABC+∠1），最后求解即可。
5．（2021八上·余杭月考）如图，已知，是两条相交线段，连结，，分别作和的平分线相交于点，若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设，，AP与CD相较于点M，
平分，平分，
，，
设AP与CD交于点M，
，，
，
，
同理，
，，
，，
相加得：，
解得：.
故答案为：B.
【分析】设∠DAB=2x，∠DCB=2y，根据角平分线的概念可得∠DAP=∠PAB=x，∠DCP=∠PCB=y，根据内角和定理可得∠D+∠DAP=∠P+∠DCP，同理可得∠B+∠PCB=∠P+∠PAB，则50°+x=∠P+y，40°+y=∠P+x，两式相加即可得到结果.
6．（2021八上·包河期中）若 的三个内角 ， ， 满足关系式 ，则此三角形（ ）
A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45° D．一定有一个内角为60°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】因为三角形内角和为180°， ，
故 180°，
所以 =60°，故D选项符合题意．
假设△ABC为等边三角形，此时符合题干要求，故可用此特例排除A，B，C选项．
故答案为：D．
【分析】先求出 180°，再求出 =60°，最后对每个选项一一判断即可。
7．（2021八上·讷河期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．360° C．180° D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据三角形的内角和可得∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，再根据∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，可得∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.
8．（2021八上·西湖期中）如图，在 ABC 中， AD平分∠BAC，AE⊥BC，已知∠BAC=2∠B，∠B=4∠DAE，那么∠C的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．72°
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，
即∠C＝180° 12a°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝90° ∠C＝12a° 90°，
∵AD是角平分线，∠BAC＝8a°，
∴∠DAC＝4a°，
∵∠DAC ∠EAC＝∠DAE，
∴4a （12a 90）＝a，
解得：a＝10，
∴∠C＝180° 12a°＝60°.
故答案为：B.
【分析】设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，∠C＝180°-12a°，由余角的性质可得∠EAC＝90° ∠C＝12a° 90°，由角平分线的概念可得∠DAC＝4a°，然后根据∠DAC ∠EAC＝∠DAE可得a的值，进而求出∠C的度数.
二、填空题
9．（2021八上·潮阳期中）在 ABC中，∠A﹣∠B＝30°，∠C＝4∠B．则∠B的度数是 ．
【答案】25°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝4∠B ，
∴∠A+5∠B =180°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A=∠B+30°，
∴∠B+30°+5∠B=180°，
解得：∠B=25°，
故答案为：25°．
【分析】根据三角形的内角和及∠C＝4∠B ， ∠A﹣∠B＝30°， 可求出∠B的度数。
10．（2021八上·铁东期中）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中 的度数是 ．
【答案】75°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示，
根据三角形内角和定理，∠A=30°，∠E=45°，
∴∠D=180°-90°-∠A=60°，∠ECF=180°-90°-∠E=45°
∴∠a=180°-∠ECF-∠D=75°
【分析】根据图形可知：∠BCD=45°，∠D=60°，最后利用三角形的内角和计算即可。
11．（2021八上·上思期中）将三角尺按右图所示的方式放置在一张长方形纸片上， ， ， ，则 的度数为 .
【答案】110°
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1+∠EFB=180°
∵∠1=130°
∴∠EFB=180°-130°=50°，
∵∠EGF=90°，∠FEG=30°，
∴∠EFG=180°-∠EGF-∠FEG=60°
∴∠BFG=∠EFB+∠EFG=50°+60°=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可得∠1+∠EFB=180°，结合∠1的度数求出∠EFB的度数，利用内角和定理求出∠EFG的度数，然后根据∠BFG=∠EFB+∠EFG进行计算.
三、解答题
12．（2021八上·千山期中）如图， 中， ， 平分 ．若 交 于F，求证： ．
【答案】证明：∵∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C
∴∠BAC=180°－3∠C
∵AE平分∠BAC
∴
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴
∴
∴∠C=2∠FEC．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠BAC=180°－∠B－∠C，∠B=2∠C ，得出∠BAC=180°－3∠C ，根据AE平分∠BAC，得出，由AE⊥EF ，得出 ，，由此得出答案。
13．（2021八上·铁西期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠BOA＝120°，求∠DAE和∠C的度数．
【答案】解：∵AE是角平分线，∠CAB＝50°，
∴ ，
∵∠BOA＝120°，
∴ ，
∵BF是角平分线，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
∵AD是高，
∴ ．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】根据AE是角平分线，∠CAB＝50°，求出 ，再根据∠BOA＝120°，利用三角形内角和定理求出∠ABF的度数，再根据BF是角平分线，得出 ，再利用三角形的内角和定理可求出∠AEB的度数，即可求出∠EAD的度数，即可得出结论。
14．（2021八上·古冶期中）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．
【答案】解：∵DF⊥AB
∴∠AFD=90°
∵∠AFD+∠A+∠AEF=180°=∠D+∠ACD+∠CED，∠AEF=∠CED
∴∠AFD+∠A=∠D+∠ACD
即90°+∠A=56°+70°
∴∠A=36°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据垂直的定义，由DF⊥AB得出∠AFD+∠A=∠D+∠ACD，即90°+∠A=56°+70°，即可得出答案。
四、综合题
15．（2021八上·蜀山期中）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 ．
【答案】（1）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
（2）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
即 ；
（3）45°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3） 和 的角平分线交于点 ，
，即 ，
是 的高，
，
．
故答案为：45°．
【分析】(1)先根据三角形的内角和代理求得，，再根据角平分线的定义得出 ，最后根据角的和差解答即可；
（2）先根据三角形的内角和定理得出、，再根据角平分线的定义得出 ，再根据角的和差表示出即可；
（3）先根据角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质得出 ，再根据题意得出 ，最后算出即可 ．
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