人教版八上数学第十一章11.2.1三角形的内角 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·拱墅期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
2．（2021八上·甘州期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
3．（2021八上·微山期中）如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G．若∠ACG＝32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119° B．122° C．148° D．150°
4．（2021八上·温岭竞赛）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．80°
5．（2021八上·温州期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角平分线与∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点.若∠BOC = 120°，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（2021八上·富县期末）如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
7．（2021八上·郑州期末）一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题
8．（2021八上·费县期中）如图， 、 都是 的角平分线，且 ，则 ．
9．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于 ．
10．（2020八上·黑龙江期末）如图：在 中， ，三角形的外角 和 的平分线交于点E，则 ．
三、解答题
11．（2021八上·平塘期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数.
12．（2021八上·彭州开学考）如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AD，BC的延长线交于点F，DC，AB的延长线交于点E，∠E，∠F的平分线交于点H.求证：EH⊥FH.
13．（2020八上·庐阳期末） 中， ， ，求三角形中各角的度数．
四、综合题
14．（2021八上·南昌期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式 ．
15．（2021八上·讷河期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系： ﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中，若 ，试求 的度数
（4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°.
故答案为：D.
【分析】易得∠A＝30°，根据平角的概念可得∠ADF＝60°，然后在△AMD中，运用内角和定理求解即可.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∵∠CED＝∠α＝47°，∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣47°＝43°．
故答案为：A．
【分析】延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CG⊥AB，∠ACG=32°，
∴∠A=90°-32°=58°，
∵CD和BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFC=180°-（∠CBE+∠BCD）
=180°- （∠ACB+∠ABC）
=180°- （180°-∠A）
=119°，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠A=90°-32°=58°，再根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，最后利用三角形的内角和计算即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接BC，
∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-140°=40°，
∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°，
∴∠GBD+∠GCD=70°-40°=30°；
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABD=2∠GBD，∠ACD=2∠GCD
∴∠ABD+∠ACD=2×30°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=60°+40°=100°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.
故答案为：D.
【分析】 连接BD，利用三角形的内角和为180°，分别求出∠DBC+∠DCB和∠GBC+∠GCB的值；由此可求出∠GBD+∠GCD的值；再利用角平分线的定义求出∠ABD+∠ACD的值，即可求出∠ABC+∠ACB的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，如图所示：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB.
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OBC+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°-∠A.
∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°-∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+∠A.
而∠BOC=120°，
∴∠A=60°.
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=∠A.
∵∠A=60°，
∴∠D=30°.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义有∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后根据三角形内角和定理可推出∠BOC=90°+∠A，结合已知条件可求出∠A的度数，由三角形外角的性质可得∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，结合角平分线的定义可得到∠D=∠A，据此不难求出∠D的度数.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M.
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连接AC并延长交EF于点M，根据两直线平行同位角相等，可得，，从而得出∠BAD=∠FCE，利用三角形的内角和求出∠FCE的度数，即得∠BAD的度数.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，
∵BC∥AD，
∴∠EFD=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由平行线的性质可得∠EFD=∠FBC=60°，
利用∠ABF=∠FBC-∠ABC即可求解.
8．【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵∠A＝180° （∠ABC＋∠ACB），
∴∠A＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）＝180° 2（180° ∠BDC）＝2∠BDC 180°，
∴∠A＝2×130° 180°＝80°，
故答案为：80°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠DBC+∠DCB的和，再利用角平分线的定义可得∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，再利用三角形的内角和求∠A＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）即可。
9．【答案】70°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BD、CE为△ABC的高，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
∴∠A=360°-∠AEH-∠ADH-∠DHE=360°-90°-90°-110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】根据高的定义得出∠AEH和∠ADH的度数，然后根据四边形内角和为360°，列式计算即可.
10．【答案】61°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ，
，
三角形的外角 和 的平分线交于点 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用角平分线的性质计算求解即可。
11．【答案】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－30°－110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∵∠B＝30°，AD是BC边上的高线，
∴∠BAD＝90°－30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】首先根据内角和定理可得∠BAC＝40°，根据角平分线的概念可得∠BAE=20°，根据余角的概念求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE＝∠BAD-∠BAE进行计算.
12．【答案】证明：连接EF，则∠CFE+∠CEF+∠FCE＝180°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠FCE＝∠BCD，
∴∠BAD+∠FCE＝180°，
∵∠E，∠F的平分线交于点H，
∴∠CFH＝ ∠CFA，∠HEC＝ ∠BED，
在△AEF中，
∵∠A+∠CFA+∠CFE+∠CEF+∠BED＝180°，
∴∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE＝90°，
在△HEF中，
∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H＝180°，
∴∠H＝90°，
∴EH⊥FH.
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】连接EF，由三角形内角和定理得∠CFE+∠CEF+∠FCE＝180°，又∠BAD+∠FCE＝180°，由角平分线的概念可得∠CFH=∠CFA，∠HEC＝∠BED，在△AEF中，由三角形内角和定理可得∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE＝90°，在△HEF中，应用三角形内角和定理可得∠H＝90°，据此证明.
13．【答案】解：设∠A=4x，∠B=5x，
则∠C=180°-4x-5x=180°-9x，
∵∠B+∠C=2∠A，
∴5x+180°-9x=2×4x，
解得x=15°，
∴∠A=4×15°=60°，∠B=5×15°=75°，∠C=180°-60°-75°=45°，
综上所述，三角形中各角的度数为∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】设∠A=4x，∠B=5x，则∠C=180°-4x-5x=180°-9x，根据，列出方程求解即可。
14．【答案】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC= ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∴∠AED=∠B+∠BAE= ，
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE= ；
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】（2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠ ， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE= = ∴∠AED=∠B+∠BAE= = ∵AD是高线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAE= = ， 故答案为： ．
【分析】（1）先求出 ∠BAC= ， 再求出 AD⊥BC， 最后求解即可；
（2）利用角平分线的性质和三角形的外角计算求解即可。
15．【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B
（2）6
（3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
又∵
∴
∴
（4）解：关系：2∠P＝∠D＋∠B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6
（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B
由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
【分析】（1）根据 可得；
（2）根据“8字形”的定义及特征求解即可；
（3） 由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ，再求出①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P，即可得到再结合可得即可得到∠P；
（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B，方法同（3），利用角的运算及转换求解即可。
1 / 1人教版八上数学第十一章11.2.1三角形的内角 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·拱墅期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°.
故答案为：D.
【分析】易得∠A＝30°，根据平角的概念可得∠ADF＝60°，然后在△AMD中，运用内角和定理求解即可.
2．（2021八上·甘州期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∵∠CED＝∠α＝47°，∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣47°＝43°．
故答案为：A．
【分析】延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
3．（2021八上·微山期中）如图，F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，CG⊥AB于点G．若∠ACG＝32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119° B．122° C．148° D．150°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CG⊥AB，∠ACG=32°，
∴∠A=90°-32°=58°，
∵CD和BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFC=180°-（∠CBE+∠BCD）
=180°- （∠ACB+∠ABC）
=180°- （180°-∠A）
=119°，
故答案为：A．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠A=90°-32°=58°，再根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD，∠ABE=∠CBE，最后利用三角形的内角和计算即可。
4．（2021八上·温岭竞赛）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接BC，
∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-140°=40°，
∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°，
∴∠GBD+∠GCD=70°-40°=30°；
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠ABD=2∠GBD，∠ACD=2∠GCD
∴∠ABD+∠ACD=2×30°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=60°+40°=100°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-100°=80°.
故答案为：D.
【分析】 连接BD，利用三角形的内角和为180°，分别求出∠DBC+∠DCB和∠GBC+∠GCB的值；由此可求出∠GBD+∠GCD的值；再利用角平分线的定义求出∠ABD+∠ACD的值，即可求出∠ABC+∠ACB的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
5．（2021八上·温州期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角平分线与∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点.若∠BOC = 120°，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，如图所示：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB.
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OBC+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°-∠A.
∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°-∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+∠A.
而∠BOC=120°，
∴∠A=60°.
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=∠A.
∵∠A=60°，
∴∠D=30°.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义有∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后根据三角形内角和定理可推出∠BOC=90°+∠A，结合已知条件可求出∠A的度数，由三角形外角的性质可得∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，结合角平分线的定义可得到∠D=∠A，据此不难求出∠D的度数.
6．（2021八上·富县期末）如图，在 中， ， ， ， ，连接BC，CD，则 的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M.
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】连接AC并延长交EF于点M，根据两直线平行同位角相等，可得，，从而得出∠BAD=∠FCE，利用三角形的内角和求出∠FCE的度数，即得∠BAD的度数.
7．（2021八上·郑州期末）一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，
∵BC∥AD，
∴∠EFD=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由平行线的性质可得∠EFD=∠FBC=60°，
利用∠ABF=∠FBC-∠ABC即可求解.
二、填空题
8．（2021八上·费县期中）如图， 、 都是 的角平分线，且 ，则 ．
【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，
∵∠A＝180° （∠ABC＋∠ACB），
∴∠A＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）＝180° 2（180° ∠BDC）＝2∠BDC 180°，
∴∠A＝2×130° 180°＝80°，
故答案为：80°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠DBC+∠DCB的和，再利用角平分线的定义可得∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，再利用三角形的内角和求∠A＝180° 2（∠DBC＋∠BCD）即可。
9．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于 ．
【答案】70°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵BD、CE为△ABC的高，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
∴∠A=360°-∠AEH-∠ADH-∠DHE=360°-90°-90°-110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】根据高的定义得出∠AEH和∠ADH的度数，然后根据四边形内角和为360°，列式计算即可.
10．（2020八上·黑龙江期末）如图：在 中， ，三角形的外角 和 的平分线交于点E，则 ．
【答案】61°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ，
，
三角形的外角 和 的平分线交于点 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用角平分线的性质计算求解即可。
三、解答题
11．（2021八上·平塘期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数.
【答案】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－30°－110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴ ，
∵∠B＝30°，AD是BC边上的高线，
∴∠BAD＝90°－30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】首先根据内角和定理可得∠BAC＝40°，根据角平分线的概念可得∠BAE=20°，根据余角的概念求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE＝∠BAD-∠BAE进行计算.
12．（2021八上·彭州开学考）如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AD，BC的延长线交于点F，DC，AB的延长线交于点E，∠E，∠F的平分线交于点H.求证：EH⊥FH.
【答案】证明：连接EF，则∠CFE+∠CEF+∠FCE＝180°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠FCE＝∠BCD，
∴∠BAD+∠FCE＝180°，
∵∠E，∠F的平分线交于点H，
∴∠CFH＝ ∠CFA，∠HEC＝ ∠BED，
在△AEF中，
∵∠A+∠CFA+∠CFE+∠CEF+∠BED＝180°，
∴∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE＝90°，
在△HEF中，
∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H＝180°，
∴∠H＝90°，
∴EH⊥FH.
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】连接EF，由三角形内角和定理得∠CFE+∠CEF+∠FCE＝180°，又∠BAD+∠FCE＝180°，由角平分线的概念可得∠CFH=∠CFA，∠HEC＝∠BED，在△AEF中，由三角形内角和定理可得∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE＝90°，在△HEF中，应用三角形内角和定理可得∠H＝90°，据此证明.
13．（2020八上·庐阳期末） 中， ， ，求三角形中各角的度数．
【答案】解：设∠A=4x，∠B=5x，
则∠C=180°-4x-5x=180°-9x，
∵∠B+∠C=2∠A，
∴5x+180°-9x=2×4x，
解得x=15°，
∴∠A=4×15°=60°，∠B=5×15°=75°，∠C=180°-60°-75°=45°，
综上所述，三角形中各角的度数为∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】设∠A=4x，∠B=5x，则∠C=180°-4x-5x=180°-9x，根据，列出方程求解即可。
四、综合题
14．（2021八上·南昌期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式 ．
【答案】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC= ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∴∠AED=∠B+∠BAE= ，
∵AD是高线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE= ；
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】（2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠ ， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE= = ∴∠AED=∠B+∠BAE= = ∵AD是高线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAE= = ， 故答案为： ．
【分析】（1）先求出 ∠BAC= ， 再求出 AD⊥BC， 最后求解即可；
（2）利用角平分线的性质和三角形的外角计算求解即可。
15．（2021八上·讷河期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系： ﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中，若 ，试求 的度数
（4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B
（2）6
（3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
又∵
∴
∴
（4）解：关系：2∠P＝∠D＋∠B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6
（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B
由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
【分析】（1）根据 可得；
（2）根据“8字形”的定义及特征求解即可；
（3） 由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ，再求出①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P，即可得到再结合可得即可得到∠P；
（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B，方法同（3），利用角的运算及转换求解即可。
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