人教版八上数学第十一章11.2.2三角形的外角 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，∠DAE=45°，∠BAC=60°，
∴∠CAO=∠BAC－∠DAE=60°－45°=15°，
∴=∠C+∠CAO=90°+15°=105°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠CAO的度数，再利用三角形的外角的性质计算=∠C+∠CAO即可。
2．（2021八上·中山期末）如图，点E在AC上，则的度数是（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形外角的性质可得，
∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°．
故答案为：B．
【分析】由三角形外角的性质可得∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，从而得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC，由平角定义即得解.
3．（2021八上·南宁月考）如图，在 ABC中，∠A＝30°，则∠l＋∠2的度数为（ ）
A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠l＝∠A＋∠ACB，∠2＝∠A＋∠ABC，
∴∠l＋∠2＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC，
又∵∠A＝30°，∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°，
∴∠l＋∠2＝30°＋180°＝210°，
故答案为：A.
【分析】 由外角的性质可得∠l＝∠A＋∠ACB，∠2＝∠A＋∠ABC，则∠l＋∠2＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC，据此计算.
4．（2021八上·孝义期中）一个等边三角形和两个等腰直角三角形的位置如图所示，若∠3＝70°，则∠1＋∠2＝（ ）
A．290° B．200° C．140° D．110°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，
∵∠3＝70°，
∴∠ACB=180°-60°-∠3=50°，
∠ABC=180°-45°-∠2=135°-∠2，
∠BAC=180°-45°-∠1=135°-∠1，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴50°+135°-∠2+135°-∠1=180°，
∴∠1+∠2=135°+135°+50°-180°=140°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质，解出答案即可。
5．（2021八上·广州期中）如图， ， ， ， 恒满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠6是△ABC的外角，
∴∠1+∠4=∠6，
又∵∠2是△CDF的外角，
∴∠6=∠2-∠3，
由（1）（2）得：∠1+∠4=∠2-∠3．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的外角的性质可得∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，即可得到∠1+∠4=∠2-∠3．
6．（2021八上·滨江月考）如图所示，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.若∠A = 60°，∠D = 20°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE＝2∠ABP=2x，
∴∠AED＝∠ABE＋∠A＝2x＋60°，
∴∠ACD＝∠AED＋∠D＝2x＋80°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠ACD＝x＋40°，
∵∠AFP＝∠ABP＋∠A＝x＋60°，∠AFP＝∠P＋∠ACP
∴x＋60°＝∠P＋x＋40°，
解之：∠P＝20°.
故答案为：B.
【分析】延长AC交BD于点E，设∠ABP＝x，利用角平分线的定义可表示出∠ABE的度数；再利用三角形外角的性质可表示出∠AED，∠ACD；利用角平分线的定义表示出∠ACP，再利用三角形外角的性质，可得到∠AFP＝∠ABP＋∠A=∠P＋∠ACP。代入可得到关于x，∠P的方程，解方程取出∠P的值.
二、填空题
7．（2021八上·济阳期末）如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点，，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠O2BO1=∠2-∠1=20°，
∴∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°，
∴∠BCO2=180°-20°-135°=25°，
∴∠ACB=2∠BCO2=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
故答案为：70°．
【分析】由三角形外角的性质可得∠O2BO1=∠2-∠1=20°，根据三等分线可得∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°，利用三角形内角和定理可得∠BCO2=25°，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠BCO2=50°，再利用三角形内角和定理求出 ∠A的度数即可.
8．（2020八上·萍乡期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 ．
【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】延长BD交AC于点E，
∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，
则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，
故答案为：110°．
【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质即可得出答案。
9．（2021八上·诸暨期中）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∵∠A=20°，∠C=50°，
∴∠AEB=∠A+∠C=70°，
∴∠ADB=∠B+∠AEB=40°+70°=110°.
故答案为：110°.
【分析】由外角的性质可得∠AEB=∠A+∠C，∠ADB=∠B+∠AEB，据此计算.
10．（2021八上·大石桥月考）如图，已知 ，又 的角平分线 与 的外角平分线 相交于 点，则 为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形三边关系；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵AE、CE分别是∠BAC和∠BCF的平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC，∠ECF＝ ∠BCF，
由三角形的外角性质得，∠BCF＝∠ABC＋∠BAC，∠ECF＝∠AEC＋∠EAC，
∴∠AEC＋∠EAC＝ （∠ABC＋∠BAC），
∴∠AEC＝ ∠ABC，
∵∠ABC＝31°，
∴∠AEC＝ ×31＝15.5°．
故答案为15.5°．
【分析】根据角平分线的定义可得∠EAC＝ ∠BAC，∠ECF＝ ∠BCF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BCF＝∠ABC＋∠BAC，∠ECF＝∠AEC＋∠EAC，在整理即可得出答案。
三、解答题
11．（2021八上·顺平期中）如图，已知∠A＝20°，∠B＝37°，AC⊥DE，垂足为点F，求∠1和∠D的度数各是多少．
【答案】解：∵AC⊥DE，
∴∠AFE=90°，
∵∠1是△AFE的外角，
∴∠1=∠A+∠AFE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°；
在△BDE中，
∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=37°，
∴∠D=180°-110°-37°=33°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】 根据∠1是△AFE的外角，AC⊥DE， 得出 ∠1=∠A+∠AFE．根据∠A=20°， 得出 ∠1=20°+90°=110°，在△BDE中， 因为 ∠1+∠D+∠B=180°， 再根据 ∠B=37°， 即可得出 ∠D的度数 ，
四、综合题
12．（2021八上·长沙月考）如图，已知∠CBG为△ABC的外角，BD平分∠CBG，且∠ACB＝∠CAB，AE⊥BC，垂足为E，延长AE与BD交于点D，F为BC边上一点，DF平分∠CDB.
（1）求证：AC∥BD；
（2）若∠CAD＝24°，∠EDF＝6°，求∠DCE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CBG为△ABC的外角， ∠ACB＝∠CAB，
∴∠CBG=∠ACB+∠CAB=2∠ACB，
∵BD平分∠CBG，
∴∠CBG=2∠CBD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵∠CAD=24°，AC∥BD，
∴∠CAD=∠BDE=24°，
∵∠EDF=6°，
∴∠BDF=∠BDE-∠EDF=18°，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠BDF=18°，
∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=12°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=78°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 由外角的性质得∠CBG=∠ACB+∠CAB2∠ACB，由角平分概念得∠CBG=2∠CBD，推出∠ACB=∠CBD，然后利用平行线的判定定理进行证明；
（2）易得∠CED=90°，由平行线性质得∠CAD=∠BDE=24°，由角平分线知∠CDF=∠BDF=18°，则∠CDE=∠CDF-∠EDF=12°，然后根据∠DCE=90°-∠CDE进行计算.
13．（2021八上·梁山月考）如图，已知，在△ABC中，∠B<∠C，AD平分∠BAC，点E是线段AD （除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F。
（1）若∠B=40°，∠DEF=10°，求∠C的度数。
（2）若∠B=α，∠C=β，请用含α、β的式子表示∠DEF的度数。
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∵ 平分
∴
∴
（2）解：
∵ 平分
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出∠EDF=80°，根据三角形外角性质得出∠BAD=40°，根据角平分线的定义得出∠BAC=80°，利用三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
（2）根据三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角性质得出∠EDF的度数，然后根据直角三角形两个锐角互余即可得出∠DEF的度数.
14．（2021八上·驻马店期末）
（1）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数.
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把AD⊥BC于D改为F是AE上一点，FD⊥BC于D，试用x、y表示∠DFE＝ ：
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4.试用x、y表示∠P＝ .
【答案】（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-40°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-20°=15°；
（2）
（3）解：结论应成立.
过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝x，∠C＝y，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=90°，
∴∠B+∠BAG=90°，
∴∠BAG=90°-∠B=90°-x，
∴∠GAE=∠BAE-∠BAG= = ，
∵FD⊥BC，AG⊥BC，
∴AG∥FD，
∴∠EFD=∠GAE=
（4）
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵∠B＝x，∠C＝y，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ，
∵FD⊥BC，
∴∠EDE=90°，
∴∠DFE+∠FED=90°，
∵∠FED是△AEC的外角，
∴∠FED=∠C+∠EAC= ，
∴∠DFE=90°-∠FED= ，
故答案为： ；
（4）设AF与PD交于H，
∵FD⊥BC，PD平分∠EDF，
∴∠HDF= ，
∵PA平分∠BAE，∠BAE= ，
∴∠PAE= ，
∵∠AHP=∠FHD，∠EFD=
∴∠P+∠PAE=∠HDF+∠EFD，即∠P+ =45°+ ，
∴∠P= ，
故答案为： .
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求∠BAE的度数，根据余角的性质求出∠BAD的度数，最后根据角的和差关系求∠DAE度数即可；
（2）根据三角形的内角和把∠BAC用含x、y的代数式表示，结合角平分线的定义则可把∠EAC表示出来，最后根据余角的性质求∠DFE即可；
（3）过点A作AG⊥BC于G，根据三角形内角和定理求∠BAC，结合角平分线的定义则可把∠BAE表示出来，再表示出∠BAG，然后根据角的和差关系表示出∠GAE，最后根据平行线的性质求∠EFD度数即可；
（4）设AF和PD交于点H，根据垂直的定义，结合角平分线的定义求出∠HDF=45°，根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠PAE，结合角平分线定义再求出∠PAE，根据对顶角的性质和三角形内角和定理得出∠P+ =45°+ ，即可求出结果.
15．（2021八上·临漳期末）阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= 度，∠ABP+∠ACP= 度．
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
（3）变式探索：
如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
【答案】（1）90；40
（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°
（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）在中
∵∠MPN=90°
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°
在中
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP
∴∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°
∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°
∴∠ABP +∠ACP=180°-90°-50°=40°
（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°
又∵∠PBC+∠PCB=90°
∴∠A+∠ABP +∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°
（3）如图所示，设PN与AB交于点H
∵∠A+∠ACP=∠AHP
又∵∠ABP+∠MPN =∠AHP
∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN
又∵∠MPN =90°
∴∠A+∠ACP =90°+∠ABP
∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；
（2）结论：∠ABP+∠ACP+∠A=90°，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）结论：∠A+∠ACP－∠ABP=90°．利用三角形内角和定理即可解决问题。
1 / 1人教版八上数学第十一章11.2.2三角形的外角 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
2．（2021八上·中山期末）如图，点E在AC上，则的度数是（ ）
A．90° B．180° C．270° D．360°
3．（2021八上·南宁月考）如图，在 ABC中，∠A＝30°，则∠l＋∠2的度数为（ ）
A．210° B．110° C．150° D．100°
4．（2021八上·孝义期中）一个等边三角形和两个等腰直角三角形的位置如图所示，若∠3＝70°，则∠1＋∠2＝（ ）
A．290° B．200° C．140° D．110°
5．（2021八上·广州期中）如图， ， ， ， 恒满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·滨江月考）如图所示，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.若∠A = 60°，∠D = 20°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
二、填空题
7．（2021八上·济阳期末）如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点，，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
8．（2020八上·萍乡期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 ．
9．（2021八上·诸暨期中）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
10．（2021八上·大石桥月考）如图，已知 ，又 的角平分线 与 的外角平分线 相交于 点，则 为 ．
三、解答题
11．（2021八上·顺平期中）如图，已知∠A＝20°，∠B＝37°，AC⊥DE，垂足为点F，求∠1和∠D的度数各是多少．
四、综合题
12．（2021八上·长沙月考）如图，已知∠CBG为△ABC的外角，BD平分∠CBG，且∠ACB＝∠CAB，AE⊥BC，垂足为E，延长AE与BD交于点D，F为BC边上一点，DF平分∠CDB.
（1）求证：AC∥BD；
（2）若∠CAD＝24°，∠EDF＝6°，求∠DCE的度数.
13．（2021八上·梁山月考）如图，已知，在△ABC中，∠B<∠C，AD平分∠BAC，点E是线段AD （除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F。
（1）若∠B=40°，∠DEF=10°，求∠C的度数。
（2）若∠B=α，∠C=β，请用含α、β的式子表示∠DEF的度数。
14．（2021八上·驻马店期末）
（1）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数.
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把AD⊥BC于D改为F是AE上一点，FD⊥BC于D，试用x、y表示∠DFE＝ ：
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么.
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4.试用x、y表示∠P＝ .
15．（2021八上·临漳期末）阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= 度，∠ABP+∠ACP= 度．
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
（3）变式探索：
如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，∠DAE=45°，∠BAC=60°，
∴∠CAO=∠BAC－∠DAE=60°－45°=15°，
∴=∠C+∠CAO=90°+15°=105°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠CAO的度数，再利用三角形的外角的性质计算=∠C+∠CAO即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由三角形外角的性质可得，
∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°．
故答案为：B．
【分析】由三角形外角的性质可得∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，从而得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC，由平角定义即得解.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠l＝∠A＋∠ACB，∠2＝∠A＋∠ABC，
∴∠l＋∠2＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC，
又∵∠A＝30°，∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°，
∴∠l＋∠2＝30°＋180°＝210°，
故答案为：A.
【分析】 由外角的性质可得∠l＝∠A＋∠ACB，∠2＝∠A＋∠ABC，则∠l＋∠2＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC，据此计算.
4．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】如图，
∵∠3＝70°，
∴∠ACB=180°-60°-∠3=50°，
∠ABC=180°-45°-∠2=135°-∠2，
∠BAC=180°-45°-∠1=135°-∠1，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴50°+135°-∠2+135°-∠1=180°，
∴∠1+∠2=135°+135°+50°-180°=140°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质，解出答案即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠6是△ABC的外角，
∴∠1+∠4=∠6，
又∵∠2是△CDF的外角，
∴∠6=∠2-∠3，
由（1）（2）得：∠1+∠4=∠2-∠3．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的外角的性质可得∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，即可得到∠1+∠4=∠2-∠3．
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE＝2∠ABP=2x，
∴∠AED＝∠ABE＋∠A＝2x＋60°，
∴∠ACD＝∠AED＋∠D＝2x＋80°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠ACD＝x＋40°，
∵∠AFP＝∠ABP＋∠A＝x＋60°，∠AFP＝∠P＋∠ACP
∴x＋60°＝∠P＋x＋40°，
解之：∠P＝20°.
故答案为：B.
【分析】延长AC交BD于点E，设∠ABP＝x，利用角平分线的定义可表示出∠ABE的度数；再利用三角形外角的性质可表示出∠AED，∠ACD；利用角平分线的定义表示出∠ACP，再利用三角形外角的性质，可得到∠AFP＝∠ABP＋∠A=∠P＋∠ACP。代入可得到关于x，∠P的方程，解方程取出∠P的值.
7．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠O2BO1=∠2-∠1=20°，
∴∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°，
∴∠BCO2=180°-20°-135°=25°，
∴∠ACB=2∠BCO2=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
故答案为：70°．
【分析】由三角形外角的性质可得∠O2BO1=∠2-∠1=20°，根据三等分线可得∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°，利用三角形内角和定理可得∠BCO2=25°，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠BCO2=50°，再利用三角形内角和定理求出 ∠A的度数即可.
8．【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】延长BD交AC于点E，
∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，
则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，
故答案为：110°．
【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质即可得出答案。
9．【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∵∠A=20°，∠C=50°，
∴∠AEB=∠A+∠C=70°，
∴∠ADB=∠B+∠AEB=40°+70°=110°.
故答案为：110°.
【分析】由外角的性质可得∠AEB=∠A+∠C，∠ADB=∠B+∠AEB，据此计算.
10．【答案】
【知识点】角的运算；三角形三边关系；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵AE、CE分别是∠BAC和∠BCF的平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC，∠ECF＝ ∠BCF，
由三角形的外角性质得，∠BCF＝∠ABC＋∠BAC，∠ECF＝∠AEC＋∠EAC，
∴∠AEC＋∠EAC＝ （∠ABC＋∠BAC），
∴∠AEC＝ ∠ABC，
∵∠ABC＝31°，
∴∠AEC＝ ×31＝15.5°．
故答案为15.5°．
【分析】根据角平分线的定义可得∠EAC＝ ∠BAC，∠ECF＝ ∠BCF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BCF＝∠ABC＋∠BAC，∠ECF＝∠AEC＋∠EAC，在整理即可得出答案。
11．【答案】解：∵AC⊥DE，
∴∠AFE=90°，
∵∠1是△AFE的外角，
∴∠1=∠A+∠AFE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°；
在△BDE中，
∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=37°，
∴∠D=180°-110°-37°=33°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】 根据∠1是△AFE的外角，AC⊥DE， 得出 ∠1=∠A+∠AFE．根据∠A=20°， 得出 ∠1=20°+90°=110°，在△BDE中， 因为 ∠1+∠D+∠B=180°， 再根据 ∠B=37°， 即可得出 ∠D的度数 ，
12．【答案】（1）证明：∵∠CBG为△ABC的外角， ∠ACB＝∠CAB，
∴∠CBG=∠ACB+∠CAB=2∠ACB，
∵BD平分∠CBG，
∴∠CBG=2∠CBD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠CED=90°，
∵∠CAD=24°，AC∥BD，
∴∠CAD=∠BDE=24°，
∵∠EDF=6°，
∴∠BDF=∠BDE-∠EDF=18°，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠BDF=18°，
∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=12°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=78°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 由外角的性质得∠CBG=∠ACB+∠CAB2∠ACB，由角平分概念得∠CBG=2∠CBD，推出∠ACB=∠CBD，然后利用平行线的判定定理进行证明；
（2）易得∠CED=90°，由平行线性质得∠CAD=∠BDE=24°，由角平分线知∠CDF=∠BDF=18°，则∠CDE=∠CDF-∠EDF=12°，然后根据∠DCE=90°-∠CDE进行计算.
13．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∵ 平分
∴
∴
（2）解：
∵ 平分
∴
∴
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出∠EDF=80°，根据三角形外角性质得出∠BAD=40°，根据角平分线的定义得出∠BAC=80°，利用三角形内角和定理即可得出∠C的度数；
（2）根据三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角性质得出∠EDF的度数，然后根据直角三角形两个锐角互余即可得出∠DEF的度数.
14．【答案】（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-40°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-20°=15°；
（2）
（3）解：结论应成立.
过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝x，∠C＝y，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ，
∵AG⊥BC，
∴∠AGB=90°，
∴∠B+∠BAG=90°，
∴∠BAG=90°-∠B=90°-x，
∴∠GAE=∠BAE-∠BAG= = ，
∵FD⊥BC，AG⊥BC，
∴AG∥FD，
∴∠EFD=∠GAE=
（4）
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵∠B＝x，∠C＝y，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- x-y，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ，
∵FD⊥BC，
∴∠EDE=90°，
∴∠DFE+∠FED=90°，
∵∠FED是△AEC的外角，
∴∠FED=∠C+∠EAC= ，
∴∠DFE=90°-∠FED= ，
故答案为： ；
（4）设AF与PD交于H，
∵FD⊥BC，PD平分∠EDF，
∴∠HDF= ，
∵PA平分∠BAE，∠BAE= ，
∴∠PAE= ，
∵∠AHP=∠FHD，∠EFD=
∴∠P+∠PAE=∠HDF+∠EFD，即∠P+ =45°+ ，
∴∠P= ，
故答案为： .
【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求∠BAE的度数，根据余角的性质求出∠BAD的度数，最后根据角的和差关系求∠DAE度数即可；
（2）根据三角形的内角和把∠BAC用含x、y的代数式表示，结合角平分线的定义则可把∠EAC表示出来，最后根据余角的性质求∠DFE即可；
（3）过点A作AG⊥BC于G，根据三角形内角和定理求∠BAC，结合角平分线的定义则可把∠BAE表示出来，再表示出∠BAG，然后根据角的和差关系表示出∠GAE，最后根据平行线的性质求∠EFD度数即可；
（4）设AF和PD交于点H，根据垂直的定义，结合角平分线的定义求出∠HDF=45°，根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠PAE，结合角平分线定义再求出∠PAE，根据对顶角的性质和三角形内角和定理得出∠P+ =45°+ ，即可求出结果.
15．【答案】（1）90；40
（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°
（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）在中
∵∠MPN=90°
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°
在中
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP
∴∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°
∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°
∴∠ABP +∠ACP=180°-90°-50°=40°
（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°
又∵∠PBC+∠PCB=90°
∴∠A+∠ABP +∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°
（3）如图所示，设PN与AB交于点H
∵∠A+∠ACP=∠AHP
又∵∠ABP+∠MPN =∠AHP
∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN
又∵∠MPN =90°
∴∠A+∠ACP =90°+∠ABP
∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．
【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；
（2）结论：∠ABP+∠ACP+∠A=90°，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）结论：∠A+∠ACP－∠ABP=90°．利用三角形内角和定理即可解决问题。
1 / 1
