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人教版八上数学第十二章12.2全等三角形的判定 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·南阳月考）如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
2．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
3．（2021八上·安庆期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
三、解答题
4．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
5．（2021八上·嵩明期末）如图，等边的内部有一点D，连接BD，以BD为边作等边，连接AD，CE，求证：．
6．（2021八上·铁西期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．
四、综合题
7．（2021八上·宁波期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
8．（2021八上·芜湖期末）如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．
（1）求证：∠BDC=90°+；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
9．（2021八上·顺义期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A ．
（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 ．
10．（2021八上·澄海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD=AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．
（1）求证：DH=CH；
（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
（3）求∠BEH的度数．
11．（2021八上·鞍山期末）如图，AC与BD交于点O，，E、F是BD上两点，且，．证明：
（1）；
（2）AC与BD互相平分．
12．（2021八上·铁锋期末）如图，中，，点P在AB上，点Q在线段AC的延长线上，，PQ与BC相交于点D．点F在BC上，过点P作BC的垂线，垂足为E，．
（1）求证：．
（2）请猜测：线段BE、DE、CD数量关系为 ．
13．（2021八上·大庆期末）如图，已知∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC．
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBC的度数．
14．（2021八上·通榆期末）
（1）（阅读理解）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____.
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是____.
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）（感悟）
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（问题解决）
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC＝BF.
15．（2021八上·淮北月考）如图1，已知A，E，F，C在同一条直线，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD．
（1）求证：DB平分EF；
（2）若△DEC的边EC沿AC方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由．
16．（2021八上·澄海期末）如图（1），已知△ABC和△AED均为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC＝∠EAD．
（1）求证：CD=BE；
（2）将△ABC绕点A旋转到如图（2）的位置，（1）中的结论仍然成立吗？证明你的结论；
（3）如图（2），连结EC，若点P是EC的中点，连结PB并延长至点F，使CF＝CD．求证：∠EBP＝∠BFC．
17．（2021八上·东莞期末）如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
18．（2021八上·铁锋期末）
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，
他的结论是 （直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
2．【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
3．【答案】90
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
5．【答案】证明：∵ABC和DBE为等边三角形
∴∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB
∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC即∠ABD=∠CBE
在ABD和CBE中
∴AD=CE
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB，再证明∠ABD=∠CBE，然后利用“SAS”证明，最后利用全等三角形的性质可得AD=CE。
6．【答案】证明：∵平分，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
∴DF//BC．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算及等量代换可得，即可证明DF//BC。
7．【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠ADF=∠F，∠A=∠ECF，根据AAS证明△ADE≌△CFE；
（2） 由全等三角形的性质可得AD=CF=4，根据BD=AB-AD即可求解.
8．【答案】（1）证明：、分别平分和，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
如图，过点作，交于点，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；
（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
9．【答案】（1）解：①依题意补全图1如图；
②结论为DE=BD+CE，
证明：∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠CEA=∠BDA=90°，
∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°
∴∠ECA=∠BAD，
在△ECA和△DAB中，
，
∴△ECA≌△DAB（AAS），
∴EA=BD，CE=AD，
∴ED=EA+AD=BD+CE；
（2）DE=BD+CE
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）DE=BD+CE．
证明：∵∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，
∴∠CAE+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠ABD=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ECA和△DAB中，
，
∴△ECA≌△DAB（AAS），
∴EA=BD，CE=AD，
∴ED=EA+AD=BD+CE；
故答案为：ED= BD+CE．
【分析】（1）①由题意画出图形即可；②证明△ECA≌△DAB（AAS），根据全等三角形的性质得出EA=BD，CE=AD，结合图形证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABD，证明△ECA≌△DAB（AAS），根据全等三角形的性质解答即可。
10．【答案】（1）证明： AH⊥BC，∠ABC＝45°，
（2）解： 理由如下：
而
（3）解：如图，过H作交于F，
即
而
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先判断三角形ABC为等腰直角三角形，再根据HL证出， 即可得出结论；
（2）根据对顶角和等量代换即可得出 即可得出结论；
（3）过H作交于F，先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出 即可得出答案。
11．【答案】（1）证明：在和中：
∴，
∴，
（2）解：由题意可得：，
在和中：
，
∴，
∴，，
∴AC与BD互相平分，
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用SSS证出，即可得出结论；
（2）由题意可得：，利用AAS求证出，推出，，即可得出结论。
12．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（2）解：关系为：
证明：有（1）可知：，
，，
在中，，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
又，
．
【分析】（1）先求出 ， 再证明 ， 最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
13．【答案】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABC，
∴BD＝BC，△BDC为等腰三角形，
∴∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，
∴∠BDC＝∠BDE＝∠C＝65°，
∴∠CBD＝50°，
∵O点为CD中点，
∴∠OBC＝ ∠CBD＝25°．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EBD＝∠ABC． 再利用ASA证明求解即可；
（2）先求出 ∠BDE＝∠C， 再求出 ∠CBD＝50°， 最后计算求解即可。
14．【答案】（1）B
（2）C
（3）解：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：如图：
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C.
【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△EDB即可；
（2）先求出BE＝AC＝6，AE＝2AD，再利用三角形的三边关系求解即可；
（3）先求出 △ADC≌△MDB， 再求出 BF＝BM＝AC， 最后求解即可。
15．【答案】（1）解：∵AE=CF，
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO=FO，
∴DB平分EF．
（2）解：DB平分EF成立，理由如下：
∵AE=CF，
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO=FO，
∴DB平分EF．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由AE=CF可得出AF=CE，结合AB=CD即可证出Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），根据全等三角形的性质可得出BF=DE，结合对顶角相等及∠BFO=∠DEO=90°，即可证出△BOF≌△DOE（AAS），再根据全等三角形的性质即可得出EO=FO，即DB平分EF；
（2）同（1）可证出 Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），△BOF≌△DOE（AAS），再根据全等三角形的性质可得出EO=FO，即DB平分EF。
16．【答案】（1）证明：，，
∴
在和中
∵
∴
∴得证．
（2）解：（1）中结论仍成立．
证明：∵，，
∴
在和中
∵
∴
∴得证．
（3）证明：如图，作，，交的延长线分别于点
∴，，
在和中
∵
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴得证．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）作，，交的延长线分别于点，证明，，由全等三角形的性质得出、，即可得出结论。
17．【答案】（1）EF＝BE+FD
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）解：（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
【分析】（1） 延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明根据全等三角形性质得AG=AF，再证明根据全等三角形性质得EF=EG，结合图形计算，证明结论。
（2） 延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1） 的证明方法解答；
（3） 在EB上截取BH＝DF，连接AH， 仿照（1） 的证明方法解答。
18．【答案】（1）EF=BE+DF
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，
在△AEB与△CGB中，
∵
，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．
∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠CBF+∠CBG=45°．
在△EBF与△GBF中，
∵，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF=GF，
∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC
在△ABE和△ADG中，
∵
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为EF=BE+DF．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质判断求解即可；
（2）利用SAS证明 △ABE≌△ADG ，再求出 AE=AG，∠BAE=∠DAG， 最后求解即可；
（3）利用SAS证明 △AEB≌△CGB ，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
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人教版八上数学第十二章12.2全等三角形的判定 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·南阳月考）如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
2．（2021八上·嵩县期末）如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： ， ，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
．
故答案为：6．
【分析】利用垂直的定义可证得∠ABF=∠CEF，再等角的余角相等可证得∠A=∠C；再利用ASA证明△ABF≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得BD=BF，由此可求出BD，BF的长；然后根据阴影部分的面积=△ABD的面积-△BDF的面积，可求出结果.
3．（2021八上·安庆期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
【答案】90
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
三、解答题
4．（2021八上·宜宾期末）已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠FGH=∠HDC=90°，根据对顶角的性质可得∠FHG=∠CHD，结合内角和定理可得∠F=∠C，然后证明△ABC≌△EDF，据此可得结论.
5．（2021八上·嵩明期末）如图，等边的内部有一点D，连接BD，以BD为边作等边，连接AD，CE，求证：．
【答案】证明：∵ABC和DBE为等边三角形
∴∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB
∴∠ABC∠DBC=∠DBE∠DBC即∠ABD=∠CBE
在ABD和CBE中
∴AD=CE
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC =∠DBE=60，AB=BC，DB=EB，再证明∠ABD=∠CBE，然后利用“SAS”证明，最后利用全等三角形的性质可得AD=CE。
6．（2021八上·铁西期末）如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．
【答案】证明：∵平分，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
∴DF//BC．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算及等量代换可得，即可证明DF//BC。
四、综合题
7．（2021八上·宁波期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠ADF=∠F，∠A=∠ECF，根据AAS证明△ADE≌△CFE；
（2） 由全等三角形的性质可得AD=CF=4，根据BD=AB-AD即可求解.
8．（2021八上·芜湖期末）如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．
（1）求证：∠BDC=90°+；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
【答案】（1）证明：、分别平分和，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
如图，过点作，交于点，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；
（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
9．（2021八上·顺义期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A ．
（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 ．
【答案】（1）解：①依题意补全图1如图；
②结论为DE=BD+CE，
证明：∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠CEA=∠BDA=90°，
∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°
∴∠ECA=∠BAD，
在△ECA和△DAB中，
，
∴△ECA≌△DAB（AAS），
∴EA=BD，CE=AD，
∴ED=EA+AD=BD+CE；
（2）DE=BD+CE
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）DE=BD+CE．
证明：∵∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，
∴∠CAE+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠ABD=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ECA和△DAB中，
，
∴△ECA≌△DAB（AAS），
∴EA=BD，CE=AD，
∴ED=EA+AD=BD+CE；
故答案为：ED= BD+CE．
【分析】（1）①由题意画出图形即可；②证明△ECA≌△DAB（AAS），根据全等三角形的性质得出EA=BD，CE=AD，结合图形证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABD，证明△ECA≌△DAB（AAS），根据全等三角形的性质解答即可。
10．（2021八上·澄海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD=AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．
（1）求证：DH=CH；
（2）判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
（3）求∠BEH的度数．
【答案】（1）证明： AH⊥BC，∠ABC＝45°，
（2）解： 理由如下：
而
（3）解：如图，过H作交于F，
即
而
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先判断三角形ABC为等腰直角三角形，再根据HL证出， 即可得出结论；
（2）根据对顶角和等量代换即可得出 即可得出结论；
（3）过H作交于F，先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出 即可得出答案。
11．（2021八上·鞍山期末）如图，AC与BD交于点O，，E、F是BD上两点，且，．证明：
（1）；
（2）AC与BD互相平分．
【答案】（1）证明：在和中：
∴，
∴，
（2）解：由题意可得：，
在和中：
，
∴，
∴，，
∴AC与BD互相平分，
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用SSS证出，即可得出结论；
（2）由题意可得：，利用AAS求证出，推出，，即可得出结论。
12．（2021八上·铁锋期末）如图，中，，点P在AB上，点Q在线段AC的延长线上，，PQ与BC相交于点D．点F在BC上，过点P作BC的垂线，垂足为E，．
（1）求证：．
（2）请猜测：线段BE、DE、CD数量关系为 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（2）解：关系为：
证明：有（1）可知：，
，，
在中，，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
又，
．
【分析】（1）先求出 ， 再证明 ， 最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
13．（2021八上·大庆期末）如图，已知∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC．
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBC的度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABC，
∴BD＝BC，△BDC为等腰三角形，
∴∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，
∴∠BDC＝∠BDE＝∠C＝65°，
∴∠CBD＝50°，
∵O点为CD中点，
∴∠OBC＝ ∠CBD＝25°．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EBD＝∠ABC． 再利用ASA证明求解即可；
（2）先求出 ∠BDE＝∠C， 再求出 ∠CBD＝50°， 最后计算求解即可。
14．（2021八上·通榆期末）
（1）（阅读理解）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____.
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是____.
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）（感悟）
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（问题解决）
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC＝BF.
【答案】（1）B
（2）C
（3）解：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）解：在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：如图：
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C.
【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△EDB即可；
（2）先求出BE＝AC＝6，AE＝2AD，再利用三角形的三边关系求解即可；
（3）先求出 △ADC≌△MDB， 再求出 BF＝BM＝AC， 最后求解即可。
15．（2021八上·淮北月考）如图1，已知A，E，F，C在同一条直线，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD．
（1）求证：DB平分EF；
（2）若△DEC的边EC沿AC方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵AE=CF，
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO=FO，
∴DB平分EF．
（2）解：DB平分EF成立，理由如下：
∵AE=CF，
∴AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE．
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴EO=FO，
∴DB平分EF．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由AE=CF可得出AF=CE，结合AB=CD即可证出Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），根据全等三角形的性质可得出BF=DE，结合对顶角相等及∠BFO=∠DEO=90°，即可证出△BOF≌△DOE（AAS），再根据全等三角形的性质即可得出EO=FO，即DB平分EF；
（2）同（1）可证出 Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），△BOF≌△DOE（AAS），再根据全等三角形的性质可得出EO=FO，即DB平分EF。
16．（2021八上·澄海期末）如图（1），已知△ABC和△AED均为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC＝∠EAD．
（1）求证：CD=BE；
（2）将△ABC绕点A旋转到如图（2）的位置，（1）中的结论仍然成立吗？证明你的结论；
（3）如图（2），连结EC，若点P是EC的中点，连结PB并延长至点F，使CF＝CD．求证：∠EBP＝∠BFC．
【答案】（1）证明：，，
∴
在和中
∵
∴
∴得证．
（2）解：（1）中结论仍成立．
证明：∵，，
∴
在和中
∵
∴
∴得证．
（3）证明：如图，作，，交的延长线分别于点
∴，，
在和中
∵
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴得证．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）作，，交的延长线分别于点，证明，，由全等三角形的性质得出、，即可得出结论。
17．（2021八上·东莞期末）如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）EF＝BE+FD
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）解：（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
【分析】（1） 延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明根据全等三角形性质得AG=AF，再证明根据全等三角形性质得EF=EG，结合图形计算，证明结论。
（2） 延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1） 的证明方法解答；
（3） 在EB上截取BH＝DF，连接AH， 仿照（1） 的证明方法解答。
18．（2021八上·铁锋期末）
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，
他的结论是 （直接写结论，不需证明）；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．
【答案】（1）EF=BE+DF
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，
在△AEB与△CGB中，
∵
，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．
∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠CBF+∠CBG=45°．
在△EBF与△GBF中，
∵，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF=GF，
∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC
在△ABE和△ADG中，
∵
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为EF=BE+DF．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质判断求解即可；
（2）利用SAS证明 △ABE≌△ADG ，再求出 AE=AG，∠BAE=∠DAG， 最后求解即可；
（3）利用SAS证明 △AEB≌△CGB ，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
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