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人教版八上数学第十二章12.2全等三角形的判定 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·甘南期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD＝4，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．8
2．（2021八上·肥西期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
二、填空题
3．（2021八上·开化期末）如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
三、解答题
4．（2021八上·营口期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
5．（2021八上·陇县期末）如图所示，点E在 外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若 ，AD=AB，求证：AC=AE.
6．（2021八上·沂水期中）如图，已知 与 相交于点E， ，点E为 的中点，点D是 上一点，如果 ， ．求 的长．
四、综合题
7．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
8．（2021八上·东城期末）如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，求BE的长．
9．（2021八上·云浮期末）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
10．（2021八上·宜春期末）如图，在四边形ABCD中，和互补，CD＝CB，于E．
（1）求证：AC平分；
（2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想．
11．（2021八上·昆明期末）如图，在中，．
（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．
（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．
12．（2021八上·淮北月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
13．（2021八上·永州月考）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC.
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：AE⊥BD.
14．（2021八上·曹县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，AB＝DC，AE＝DE，∠AED＝90°，连接BE．
（1）说明BE＝CE的理由；
（2）若∠ABC＝60°，求∠ABE的度数．
15．（2021八上·岳阳期末）直线l经过点A， 在直线l上方， .
（1）如图1， ，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E.求证：
（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若 （ 为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明.
（3）如图3， 过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作 ，使得 ，连结DE，CE.直线l与CE交于点G.求证：G是CE的中点.
16．（2021八上·铁岭期末）如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．
（1）是 三角形；
（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；
（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．
17．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）（感知）
当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
（2）（探究）
当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
18．（2021八上·济宁月考）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
（1）（探究与发现）
如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形
（2）（理解与应用）
填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AD于E，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BAD＝∠ACE，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，最后求出DE的值。
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，
延长BD至E，使DE=BD=x，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC=9，
又AB=5，
∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，
∴9－5＜BE＜9+5，
∴4＜2x＜14，
∴2＜x＜7，
故答案为：D．
【分析】延长BD至E，使DE=BD=x，先利用“SAS”证明△ADE≌△CDB，再利用全等三角形的性质可得AE=BC=9，再利用三角形三边的关系可得9－5＜BE＜9+5，再求解即可得到2＜x＜7。
3．【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ，得出∠CAQ=∠ABP=20°，最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
4．【答案】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用三角形全等的判定定理证出，得出，推出，再根据垂直的性质得出，即可得出结论。
5．【答案】证明： ，
，即 ，
由对顶角相等得： ，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，结合内角和定理可得∠C=∠E，证明△ABC≌△△ADE，据此可得结论.
6．【答案】解：∵AB∥CF，
∴∠B=∠F，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，又∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∵CF=6，AD=4，
∴BD=AB﹣AD=CF﹣AD=6﹣4=2，
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理即可得出答案。
7．【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
8．【答案】（1）证明：∵是的外角，
∴．
又∵，∴．
（2）解：在和中，
，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质即可得出结论；
（2）证明≌，由全等三角形的性质得出，即可得出结论。
9．【答案】（1）证明：
∵，
∴．
又∵，，
∴（AAS）．
（2）解：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS证明即可；
（2）根据全等得出，，求出AC的值，即可得解。
10．【答案】（1）证明：过点C作于F
∵在四边形中
∴
∵
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴平分.
（2）解：
证明：由（1）可得
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点C作于F，证出，得出，即可得出结论；
（2）由（1）可得，得出，证出，得出，即可得出结论。
11．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得出，则，，则，根据等量代换得出，根据AAS可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可；
（2）根据三角形内角和定理和平角的定义证得，根据AAS证得，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可。
12．【答案】（1）解：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）解：
，BE＝BD，
（3）②
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（3）结论：②，理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则，根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【分析】（1）通过证明可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠DCB，再结合三角形外角的性质可证明结论；
（3）过点B作于，于，根据可得AE=CD，，可得BP=BQ，进而可证明结论。
13．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，
∴∠DCB＝∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
∵AC=BC，∠DCB=∠ECA，CD=CE，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴AE＝BD；
（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∠B+∠BGC＝90°，
∴∠A+∠AGD＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴AE⊥BD.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据角的和差关系求出∠DCB＝∠ECA，然后利用SAS证明△DCB≌△ECA，则可得出AE＝BD；
（2）由△DCB≌△ECA得出∠A=∠B，结合∠B+∠BGC＝90°， 根据等量代换得出 ∠AFG＝90°， 即可得证.
14．【答案】（1）证明：∵∠AED=90°，AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=135°，∠EDC=180°-∠EDA=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中，
，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=CE；
（2）解：
∵△BAE≌△CDE，
∴∠ECD=∠EBA，
∵∠ABC=60°，∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，∠EBA+∠EBC=60°，
∴∠ECD+∠EBC=60°，
∴∠EBC+∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠BEC=90°，
又∵BE=CE，
∴∠BCE=45°，
∴∠ABE=∠DCE=∠BCE-∠BCA=15°．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△BAE≌△CDE，即可得出结论；
（2）根据△BAE≌△CDE，得出∠ECD=∠EBA，再根据BE=CE，得出∠BCE=45°，即可得出结论。
15．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中
，
∴
（2）解：猜想： ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 与 中
∴ ，
∴ ， ，
∴
（3）证明：分别过点C、E作 ， ，
同（1）可证 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
在 与 中
∴ ，
∴ ，
∴G为CE的中点.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠BDA=∠AEC=90°，利用同角的余角相等可得∠ABD=∠CAE，根据AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）猜想：DE=BD+CE，理由：根据三角形内角和及平角定义得出∠ABD=∠CAE，根据AAS证明△ABD≌△CAE ，可得BD=AE，DA=EC，从而得出DE=AE+DA=BD+CE；
（3）分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，利用AAS证△CMG≌△ENG，可得CG=EG，从而得出结论.
16．【答案】（1）等边
（2）解：由（1）可知，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
，
；
（3）成立，
证明：由（1）可知，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，O是AB的中点，
∴，
∴△OBC是等边三角形，
故答案为：等边；
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACB=90°，，根据等边三角形的判定定理解答即可；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）证明，根据全等三角形的性质证明结论。
17．【答案】（1）DE=AD+BE
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【知识点】垂线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（AAS），可得AD=CE，CD=BE，由于DC+CE=DE可得DE=AD+BE．
（2）根据AAS证明△ADC≌△CEB，可得CE＝AD， CD＝BE，从而得出DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）证明△ADC≌△CEB（AAS），可得AD=CE，CD=BE，从而得出DE=CD-CE=BE-AD.
18．【答案】（1）
（2）
（3）证明：如图3，延长到，使，连接，
，
是的中线，
，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）证明：在与中，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图2，延长至点，使，连接，
在与中，
，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
故答案为：；
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长到，使，连接，于是得到AM=2AD由已知条件得到BD=CD，根据全等三角形的性质得到BM=CA，∠M=∠CAD，于是得到∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论。
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人教版八上数学第十二章12.2全等三角形的判定 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·甘南期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD＝4，则DE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AD于E，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BAD＝∠ACE，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，最后求出DE的值。
2．（2021八上·肥西期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，
延长BD至E，使DE=BD=x，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC=9，
又AB=5，
∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，
∴9－5＜BE＜9+5，
∴4＜2x＜14，
∴2＜x＜7，
故答案为：D．
【分析】延长BD至E，使DE=BD=x，先利用“SAS”证明△ADE≌△CDB，再利用全等三角形的性质可得AE=BC=9，再利用三角形三边的关系可得9－5＜BE＜9+5，再求解即可得到2＜x＜7。
二、填空题
3．（2021八上·开化期末）如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ，得出∠CAQ=∠ABP=20°，最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
三、解答题
4．（2021八上·营口期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
【答案】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用三角形全等的判定定理证出，得出，推出，再根据垂直的性质得出，即可得出结论。
5．（2021八上·陇县期末）如图所示，点E在 外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若 ，AD=AB，求证：AC=AE.
【答案】证明： ，
，即 ，
由对顶角相等得： ，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，结合内角和定理可得∠C=∠E，证明△ABC≌△△ADE，据此可得结论.
6．（2021八上·沂水期中）如图，已知 与 相交于点E， ，点E为 的中点，点D是 上一点，如果 ， ．求 的长．
【答案】解：∵AB∥CF，
∴∠B=∠F，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，又∠AEB=∠CEF，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∵CF=6，AD=4，
∴BD=AB﹣AD=CF﹣AD=6﹣4=2，
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理即可得出答案。
四、综合题
7．（2021八上·海曙期末）如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用HL证明△ABE≌△CBF.
（2）利用等腰直角三角形的性质可证得∠BAC=∠BCA=45°，由此可求出∠BAE的度数；再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠BCF的度数；然后根据∠CFA=90°-∠BCF，代入计算求出∠CFA的度数.
8．（2021八上·东城期末）如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵是的外角，
∴．
又∵，∴．
（2）解：在和中，
，
∴≌．
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质即可得出结论；
（2）证明≌，由全等三角形的性质得出，即可得出结论。
9．（2021八上·云浮期末）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，连接，．已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：
∵，
∴．
又∵，，
∴（AAS）．
（2）解：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS证明即可；
（2）根据全等得出，，求出AC的值，即可得解。
10．（2021八上·宜春期末）如图，在四边形ABCD中，和互补，CD＝CB，于E．
（1）求证：AC平分；
（2）试猜想AB，AD，AE的数量关系并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：过点C作于F
∵在四边形中
∴
∵
∴
∵，
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴平分.
（2）解：
证明：由（1）可得
∴
在和中
∴，
∴
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）过点C作于F，证出，得出，即可得出结论；
（2）由（1）可得，得出，证出，得出，即可得出结论。
11．（2021八上·昆明期末）如图，在中，．
（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．
（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：仍然成立，理由如下：
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得出，则，，则，根据等量代换得出，根据AAS可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可；
（2）根据三角形内角和定理和平角的定义证得，根据AAS证得，根据全等三角形的性质得出，，即可得出即可。
12．（2021八上·淮北月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【答案】（1）解：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）解：
，BE＝BD，
（3）②
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（3）结论：②，理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则，根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【分析】（1）通过证明可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠DCB，再结合三角形外角的性质可证明结论；
（3）过点B作于，于，根据可得AE=CD，，可得BP=BQ，进而可证明结论。
13．（2021八上·永州月考）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC.
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：AE⊥BD.
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ACD＝∠ACD，
∴∠DCB＝∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
∵AC=BC，∠DCB=∠ECA，CD=CE，
∴△DCB≌△ECA（SAS），
∴AE＝BD；
（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∠B+∠BGC＝90°，
∴∠A+∠AGD＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴AE⊥BD.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据角的和差关系求出∠DCB＝∠ECA，然后利用SAS证明△DCB≌△ECA，则可得出AE＝BD；
（2）由△DCB≌△ECA得出∠A=∠B，结合∠B+∠BGC＝90°， 根据等量代换得出 ∠AFG＝90°， 即可得证.
14．（2021八上·曹县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，AB＝DC，AE＝DE，∠AED＝90°，连接BE．
（1）说明BE＝CE的理由；
（2）若∠ABC＝60°，求∠ABE的度数．
【答案】（1）证明：∵∠AED=90°，AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=135°，∠EDC=180°-∠EDA=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中，
，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE=CE；
（2）解：
∵△BAE≌△CDE，
∴∠ECD=∠EBA，
∵∠ABC=60°，∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，∠EBA+∠EBC=60°，
∴∠ECD+∠EBC=60°，
∴∠EBC+∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠BEC=90°，
又∵BE=CE，
∴∠BCE=45°，
∴∠ABE=∠DCE=∠BCE-∠BCA=15°．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用SAS证明△BAE≌△CDE，即可得出结论；
（2）根据△BAE≌△CDE，得出∠ECD=∠EBA，再根据BE=CE，得出∠BCE=45°，即可得出结论。
15．（2021八上·岳阳期末）直线l经过点A， 在直线l上方， .
（1）如图1， ，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E.求证：
（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若 （ 为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明.
（3）如图3， 过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作 ，使得 ，连结DE，CE.直线l与CE交于点G.求证：G是CE的中点.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中
，
∴
（2）解：猜想： ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 与 中
∴ ，
∴ ， ，
∴
（3）证明：分别过点C、E作 ， ，
同（1）可证 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
在 与 中
∴ ，
∴ ，
∴G为CE的中点.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠BDA=∠AEC=90°，利用同角的余角相等可得∠ABD=∠CAE，根据AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）猜想：DE=BD+CE，理由：根据三角形内角和及平角定义得出∠ABD=∠CAE，根据AAS证明△ABD≌△CAE ，可得BD=AE，DA=EC，从而得出DE=AE+DA=BD+CE；
（3）分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，利用AAS证△CMG≌△ENG，可得CG=EG，从而得出结论.
16．（2021八上·铁岭期末）如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．
（1）是 三角形；
（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；
（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）等边
（2）解：由（1）可知，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
，
；
（3）成立，
证明：由（1）可知，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，O是AB的中点，
∴，
∴△OBC是等边三角形，
故答案为：等边；
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACB=90°，，根据等边三角形的判定定理解答即可；
（2）证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）证明，根据全等三角形的性质证明结论。
17．（2021八上·绿园期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）（感知）
当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
（2）（探究）
当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
【答案】（1）DE=AD+BE
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【知识点】垂线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（AAS），可得AD=CE，CD=BE，由于DC+CE=DE可得DE=AD+BE．
（2）根据AAS证明△ADC≌△CEB，可得CE＝AD， CD＝BE，从而得出DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）证明△ADC≌△CEB（AAS），可得AD=CE，CD=BE，从而得出DE=CD-CE=BE-AD.
18．（2021八上·济宁月考）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
（1）（探究与发现）
如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形
（2）（理解与应用）
填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明：如图3，延长到，使，连接，
，
是的中线，
，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）证明：在与中，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图2，延长至点，使，连接，
在与中，
，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
故答案为：；
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长到，使，连接，于是得到AM=2AD由已知条件得到BD=CD，根据全等三角形的性质得到BM=CA，∠M=∠CAD，于是得到∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论。
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