人教版八上数学第十二章12.2全等三角形的判定 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·雷州月考）如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
2．（2021八上·天津月考）如图所示，点A、B分别是 、 平分线上的点， 于点E， 于点C， 于点D，下列结论错误的是（ ）
A． B．与∠CBO互余的角有两个
C． D．点O是CD的中点
3．（2021八上·忠县期末）如图，在 中，已知 于点 ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ， .则下列结论：① ；② ；③点 是 的中点；④ ；⑤ 为等边三角形.其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
4．（2021八上·长沙期中）如图，△ABC 中，AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，若 AD 的长是整数，则 AD= .
5．（2020八上·通河期末）如图所示， 为 中线，D为 中点， ， ，连接 ， ．若 的面积为3，则 的面积为 ．
6．（2020八上·喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为 ．
7．（2021八上·乾安期中）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
三、解答题
8．（2020八上·安丘月考）已知：如图，等腰直角三角形 中， ， 为 中点， 、 分别为 、 上的点，且满足 ．连接 ．求证： ．
9．（2020八上·马鞍山期末）如图，在等腰 和等腰 中， ， ， 且 三点共线，作 于 ，求证： ．
四、综合题
10．（2021八上·肥城期中）如图①，在 中， ，点D是 的中点，点E在 上．
（1）求证： ；
（2）如图②，若 的延长线交 于点F，且 ，垂足为F， ，其他条件不变．求证： ．
11．（2021八上·承德期末）已知在中，P是的中点，B是延长线上的一点，连接，．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）过点D作，交的延长线于点E，如图2所示，若，，求证：；
（3）如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
12．（2021八上·防城期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．求证：
（1）AD=CF；
（2）∠BDF=∠BFD．
13．（2021八上·营山月考）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM.
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论.
14．（2021八上·新邵期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积.
15．（2020八上·高阳期末）已知：在 中， ，D是BC的中点，动点E在边 上（点E不与点A，B重合），动点F在边 上，连结 ， ．
（1）如图1，当 时，直接写出 与 的数量关系．
（2）如图2，当 （ ）时，猜想 与 的数量关系，并证明．
16．（2020八上·双清期末）以点 为顶点作等腰 ，等腰 ，其中 ，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接 、 ．
（1）试判断 、 的数量关系，并说明理由；
（2）延长 交 于点 试求 的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
17．（2021八上·五常期末）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
18．（2020八上·沙河口期末）如图1， 中，点D是 的中点，点E是 上一点， 与 的延长线交于点 ．
（1）填空： ；
（2）判断并说明 和 的数量关系；
（3）当 时．
①设 的度数为 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
②如图2，如果 是 的直角三角形，那么 和 有怎样的数量关系，为什么？
19．（2021八上·孝义期中）综合与实践：如图1， ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．点D是AB的中点，点E是CB上一点（不与点B，C重合），连接DE，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，其中∠EDF＝90°，DE＝DF．连接BF．
（1）求证：BF＝CE，BF⊥CE．
（2）如图2，若点E在CB的延长线上，其他条件不变，BF与CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
（3）如图3在（2）的基础上，当FB平分∠DFE时，若BE＝3，则EC＝ ．（直接写出答案）
20．（2020八上·牡丹江期中）已知 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，点D在直线BC上，连接CE．
（1）若点D在线段BC上，如图1，求证： ；
（2）若D在CB延长线上，如图2，若D在BC延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；
（3）若 ， ，则BC的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③不符合题意；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②符合题意；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①符合题意，
综上：①②④符合题意，
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，利用“HL”证明Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△EFD≌Rt△ECD，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AO平分 ， ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，则A选项不符合题意，
∵AO平分 ，BO平分 ，
∴ ， ，
∴ ，则C选项不符合题意，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴O是CD中点，则D选项不符合题意，
与 互余的角有 、 、 、 ，则B选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AC∥EF，
∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AEF，
∴AG=GE，
又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，
∴△AGF≌△EGD（SAS），
∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正确；
∴∠EFB=∠AFE=90°
∵AC∥EF，
∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正确；
∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，
∴2∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，
∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正确；
根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，
故无法证明三角形AEB是等边三角形，故③⑤错误；
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行线的性质可得∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，由角平分线的概念可得∠CAE=∠EAD，进而推出AG=GE，证明△AGF≌△EGD，得到∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，据此判断①；由平行线的性质可得∠BAC=∠EFB=90°，据此判断②；由外角的性质可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，则2∠AEF=∠AGF，由同角的余角相等可得∠AGF=∠B，据此判断④；根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，据此判断③⑤.
4．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=4，
∵AC=2，
∴4 2
即：2∴1∵AD是整数，
∴AD=2.
故答案为：2.
【分析】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，利用SAS证明△ADB≌△EDC，得出EC=AB=4，然后根据三角形三边的关系列不等式求出AE的范围，结合AE长为整数，即可作答.
5．【答案】1.5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：延长AD到G使DG=AD，连结BG，
∵D为 中点，
∴BD=CD，S△ADC=S△ABD
在△ACD和△GBD中
∴△ACD≌△GBD（SAS）
∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+，
在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG（SSS），
∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，
∴S△ADC=1.5，
故答案为：1.5．
【分析】延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D为 中点，可得BD=CD，S△ADC=S△ABD，可得AC=BG，∠DAC=∠G，可证得△AEF≌△BAG（SSS），可得出S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求出S△ADC的值。
6．【答案】4cm
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=8cm，
∴BE= BC= BD=4cm，
∴AC=4cm．
故答案为：4cm．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得出∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得出∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得出∠A=∠DEB，在根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得出BD=BC，AC=BE，由E是BC的中点，BD=8cm，得出BE= BC= BD=4cm，即可得出AC的值。
7．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
8．【答案】解：连接AD
∵ 为等腰直角三角形， 为 中点，
∴ ， 平分 ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得 ， 平分 ， ，从而得出 ，再利用SAS证出 ，即可得出结论．
9．【答案】证明：
在△AEC和△ADB中
∴△AEC≌△ADB
在等腰 中，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由“SAS”可证明△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME，即可得到结论。
10．【答案】（1）解：证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∵ ，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∵BF⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠CBF+∠C=90°，∠BFC=∠AFE=90°，BF=AF，
∴∠CAD=∠CBF；
在△AEF和△BCF中，
∵ ，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠CAE，再利用“SAS”证明△ABE≌△ACE，再利用全等三角形的性质可得BE=CE；
（2）先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，即∠ADC=90°，再利用等角的余角相等可得∠CAD=∠CBF，再利用“ASA”证明△AEF≌△BCF，即可得到BC=AE。
11．【答案】（1）解：∵，，
∴∠B=180°-∠CAB-∠ACB=180°-90°-60°=30°，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵P是的中点，
∴．
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∴（已舍去），
∴．
（2）证明：如图1，连接，
∵DE∥AC，
∴．
在和中，
，
∴△CPA≌△DPE（AAS），
∴，．
∵，
∴．
又∵DE∥AC，
∴，
∴是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
在△CAB和△EBA中，
，
∴△CAB≌△EBA（SAS），
∴，
∴．
（3）解：存在这样的m，m=．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）如图3，作DE∥AC交的延长线于E，连接，
∵点P为CD中点，
∴CP=DP，
∵DE∥AC，
∴∠CAP=∠DEP，，
在△APC和△EPD中，
，
∴△APC≌△EPD（AAS），
∴，AP=EP，
∴，
当时，，
作于F，
∵，
∴，
∴．
∴点E，F重合，
∴，
∴
∴．
在△ACB和△BEA中，
，
∴△ACB≌△BEA（SAS），
∴．
∴存在，使得．
【分析】（1）证是等边三角形，P是的中点，通过等边三角形三线合一，得出，解三角形即可；
（2）借助中点和平行，可证得△CPA≌△DPE（AAS），得出，．再证明△CAB≌△EBA（SAS），即可得出结论；
（3）由（2）总结的阶梯方法延伸到图3中，利用类比解决问题。
12．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF= 90°
∵CE⊥AD
∴∠CEA=90°，则∠ACE+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
又∵BF∥AC，
∴∠ACB+∠CBF= 180°
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∴△ACD≌△CBF(ASA)；
∴AD=CF
（2）证明：∵由(1)得△ACD≌OCBF，
∴CD= BF，
∵D为BC的中点
∴CD=BD= BC，
∴BF= BD．
∴∠BDF=∠BFD
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段的中点
【解析】【分析】（1）结合题意，由全等三角形的判定和性质证明AD=CF；
（2）根据（1）中得到的三角形全等，由全等撒娇行的性质以及中点的定义，求出∠BDF=∠BFD即可。
13．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC.
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠BDE＝∠ADC＝90°，利用SAS证明△BDE≌△ADC，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（2）利用线段中点的定义可证得BF=CF，利用SAS证明△BFE≌△CFM，利用全等三角形的性质可推出∠CBE＝∠BCM，BE＝MC；由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，由此可知AC=MC；再根据∠CAD+∠ACD＝90°，可证得∠ACM＝90°，利用垂直的定义可证得结论.
14．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
∵∠AED=∠FEC，DE=CE，
∴△AED≌△FEC，
∴FC=AD；
（2）解：∵△AED≌△FEC，
∴，AE=EF，
∴，
∴==
==.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，由对顶角的性质可得∠AED=∠FEC，证明△AED≌△FEC，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得S△ADE=S△FCE，AE=EF，推出S四边形ABCD=S△ABF，据此计算.
15．【答案】（1）DE=DF
（2）解：猜想：DE=DF，
理由如下：连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∴∠EGD=∠FHD=90°，
∵∠DEB+∠GED=180°，
∠DEB+∠DFC=180°，
∴∠GED=∠DFC，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∴DG=DH，
在△EGD和△FHD中，
，
∴△EGD≌△FHD（AAS），
∴DE=DF．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）DE=DF，
理由如下：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠B=∠C，BD=CD，且∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF；
【分析】（1）先求出∠B=∠C，BD=CD，且∠DEB=∠DFC=90°，再利用AAS证明三角形全等求解即可；
（2）根据题意求出 DG=DH， 再证明 △EGD≌△FHD ，最后根据全等三角形的性质求解即可。
16．【答案】（1）解：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；
（2）解：∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，
又∵∠CDF=∠BDA，
∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°
（3）解：BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，
∴∠BFC=∠DAB=90°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△EAC≌△DAB，继而由全等三角形的性质，得到答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ECA=∠DBA，继而得到答案即可；
（3）根据（1）和（2）的证明步骤得到答案即可。
17．【答案】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， 再求出 ∠ACE=∠CBG， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠CMA=∠BEC， 再求出 △BCE≌△CAM， 最后证明即可。
18．【答案】（1）EF
（2）解：AC=BE，
理由如下：如图，延长AD至H，使DH=AD，连接BH，
∵AD=DH，∠ADC=∠BDH，CD=BD，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC=BH，∠H=∠CAD，∠C=∠HBD，
∵∠BEH=∠AEF=∠DAF，
∴∠BEH=∠H，
∴BH=BE，
∴AC=BE；
（3）解：①如图，在DH上截取DG=AE，连接BG，
∵AD=DH，AE=DG，
∴HG=DE，
又∵BH=BE，∠H=∠BED，
∴△BHG≌△BED（SAS），
∴BG=BD，∠DBE=∠HBG=α，
∴BG=BD=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠DBG=60°，
∴∠HBD=60°+α=∠C，
∴∠AFB=∠DBF+∠C=60°+2α；
②AF= CF，
理由如下：由（2）可知∠C=60°+α=90°，
∴∠FBC=α=30°，
∴BF=2CF，
∵BE=AC，AF=EF，
∵BF=BE+EF=2CF，
∴AC+EF=AF+CF+EF=2CF，
∴AF= CF．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵∠DEF+∠DAF=180°，∠DEF+∠AEF=180°，
∴∠DAF=∠AEF，
∴AF=EF，
故答案为：EF；
【分析】（1）先求出∠DAF=∠AEF，再求解即可；
（2）利用SAS证明 △ADC≌△HDB ，再求出 ∠BEH=∠H， 最后证明求解即可；
（3）①先求出 HG=DE， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可；
②先求出 ∠FBC=α=30°， 再求出 AC+EF=AF+CF+EF=2CF， 最后证明即可。
19．【答案】（1）证明：连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠DCE＝ ∠ACB＝45°，
∠A＝∠CBA＝45°，CD＝ AB＝DB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDB＝∠EDF，
∴∠CDE=∠CDB－∠BDE＝∠EDF－∠BDE=∠BDF，
即∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（SAS），
∴BF＝CE，∠DBF＝∠DCE＝45°，
∴∠CBF＝∠DBF＋∠CBA＝90°，
∴BF⊥CE；
（2）解：BF＝CE，BF⊥CE．
理由如下：连接CD，
∵∠C＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠DCE＝ ∠C＝45°，
∠A＝∠CBA＝45°，CD＝ AB＝DB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDB+∠BDE=∠BDE+∠CDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（SAS），
∴BF＝CE，∠DBF＝∠DCE＝45°，
∴∠CBF＝∠DBF＋∠CBA＝90°，
∴BF⊥CE；
（3） +3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段的中点
【解析】【解答】（3）解：在BF上截取BG=BE，连结EG，
∵∠FBE=∠CBF=90°，
∴△GBE为等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴GE= ，
∵∠DFE=45°，BF平分∠DFE，
∴∠GFE=22.5°，
∴∠GEF=∠BGE-∠GFE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠GFE=∠GEF，
∴GF=GE= ，
∵△CDE≌△BDF（SAS），
∴CE=FB=FG+BG= +3．
【分析】（1）根据题意，结合全等三角形的判定和性质，证明得到答案即可；
（2）根据中点的性质，结合全等三角形的判定和性质，证明BF⊥CE即可；
（3）根据（2），由角平分线的性质，求出EC。
20．【答案】（1）证明： 、 均是等腰直角三角形，
， ， ．
．
，
在 和 中
，
，
．
，
（2）解：如图2中， ，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
即∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE
即： ．
如图3中，CE=BC+CD．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，
即CE=BC+CD．
综上所述，若D在CB延长线上，如图2中，得到结论： ，如图3，得到结论： ．
（3）14或6
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）∵在图1、图2中： （已证）， ，
∴
∵在图3中：CE=BC+CD（已证）， ，
∴
即：14或6．
【分析】（1）先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明三角形全等，最后证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质作答即可；
（3）先求出，再根据 ， 作答即可。
1 / 1人教版八上数学第十二章12.2全等三角形的判定 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·雷州月考）如图，点 是 的中点， ， ， 平分 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③不符合题意；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②符合题意；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①符合题意，
综上：①②④符合题意，
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，利用“HL”证明Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△EFD≌Rt△ECD，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
2．（2021八上·天津月考）如图所示，点A、B分别是 、 平分线上的点， 于点E， 于点C， 于点D，下列结论错误的是（ ）
A． B．与∠CBO互余的角有两个
C． D．点O是CD的中点
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AO平分 ， ， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，则A选项不符合题意，
∵AO平分 ，BO平分 ，
∴ ， ，
∴ ，则C选项不符合题意，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴O是CD中点，则D选项不符合题意，
与 互余的角有 、 、 、 ，则B选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
3．（2021八上·忠县期末）如图，在 中，已知 于点 ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ， .则下列结论：① ；② ；③点 是 的中点；④ ；⑤ 为等边三角形.其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AC∥EF，
∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AEF，
∴AG=GE，
又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，
∴△AGF≌△EGD（SAS），
∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正确；
∴∠EFB=∠AFE=90°
∵AC∥EF，
∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正确；
∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，
∴2∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，
∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正确；
根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，
故无法证明三角形AEB是等边三角形，故③⑤错误；
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行线的性质可得∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，由角平分线的概念可得∠CAE=∠EAD，进而推出AG=GE，证明△AGF≌△EGD，得到∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，据此判断①；由平行线的性质可得∠BAC=∠EFB=90°，据此判断②；由外角的性质可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，则2∠AEF=∠AGF，由同角的余角相等可得∠AGF=∠B，据此判断④；根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，据此判断③⑤.
二、填空题
4．（2021八上·长沙期中）如图，△ABC 中，AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，若 AD 的长是整数，则 AD= .
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=4，
∵AC=2，
∴4 2即：2∴1∵AD是整数，
∴AD=2.
故答案为：2.
【分析】延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，利用SAS证明△ADB≌△EDC，得出EC=AB=4，然后根据三角形三边的关系列不等式求出AE的范围，结合AE长为整数，即可作答.
5．（2020八上·通河期末）如图所示， 为 中线，D为 中点， ， ，连接 ， ．若 的面积为3，则 的面积为 ．
【答案】1.5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：延长AD到G使DG=AD，连结BG，
∵D为 中点，
∴BD=CD，S△ADC=S△ABD
在△ACD和△GBD中
∴△ACD≌△GBD（SAS）
∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+，
在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG（SSS），
∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，
∴S△ADC=1.5，
故答案为：1.5．
【分析】延长AD到G使DG=AD，连结BG，由D为 中点，可得BD=CD，S△ADC=S△ABD，可得AC=BG，∠DAC=∠G，可证得△AEF≌△BAG（SSS），可得出S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求出S△ADC的值。
6．（2020八上·喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为 ．
【答案】4cm
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=8cm，
∴BE= BC= BD=4cm，
∴AC=4cm．
故答案为：4cm．
【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得出∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得出∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得出∠A=∠DEB，在根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得出BD=BC，AC=BE，由E是BC的中点，BD=8cm，得出BE= BC= BD=4cm，即可得出AC的值。
7．（2021八上·乾安期中）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
三、解答题
8．（2020八上·安丘月考）已知：如图，等腰直角三角形 中， ， 为 中点， 、 分别为 、 上的点，且满足 ．连接 ．求证： ．
【答案】解：连接AD
∵ 为等腰直角三角形， 为 中点，
∴ ， 平分 ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得 ， 平分 ， ，从而得出 ，再利用SAS证出 ，即可得出结论．
9．（2020八上·马鞍山期末）如图，在等腰 和等腰 中， ， ， 且 三点共线，作 于 ，求证： ．
【答案】证明：
在△AEC和△ADB中
∴△AEC≌△ADB
在等腰 中，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由“SAS”可证明△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME，即可得到结论。
四、综合题
10．（2021八上·肥城期中）如图①，在 中， ，点D是 的中点，点E在 上．
（1）求证： ；
（2）如图②，若 的延长线交 于点F，且 ，垂足为F， ，其他条件不变．求证： ．
【答案】（1）解：证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∵ ，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∵BF⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠CBF+∠C=90°，∠BFC=∠AFE=90°，BF=AF，
∴∠CAD=∠CBF；
在△AEF和△BCF中，
∵ ，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠CAE，再利用“SAS”证明△ABE≌△ACE，再利用全等三角形的性质可得BE=CE；
（2）先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，即∠ADC=90°，再利用等角的余角相等可得∠CAD=∠CBF，再利用“ASA”证明△AEF≌△BCF，即可得到BC=AE。
11．（2021八上·承德期末）已知在中，P是的中点，B是延长线上的一点，连接，．
（1）如图1，若，，，，求的长；
（2）过点D作，交的延长线于点E，如图2所示，若，，求证：；
（3）如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴∠B=180°-∠CAB-∠ACB=180°-90°-60°=30°，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵P是的中点，
∴．
在中，，
设，则，
∴，
∴，
∴（已舍去），
∴．
（2）证明：如图1，连接，
∵DE∥AC，
∴．
在和中，
，
∴△CPA≌△DPE（AAS），
∴，．
∵，
∴．
又∵DE∥AC，
∴，
∴是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
在△CAB和△EBA中，
，
∴△CAB≌△EBA（SAS），
∴，
∴．
（3）解：存在这样的m，m=．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）如图3，作DE∥AC交的延长线于E，连接，
∵点P为CD中点，
∴CP=DP，
∵DE∥AC，
∴∠CAP=∠DEP，，
在△APC和△EPD中，
，
∴△APC≌△EPD（AAS），
∴，AP=EP，
∴，
当时，，
作于F，
∵，
∴，
∴．
∴点E，F重合，
∴，
∴
∴．
在△ACB和△BEA中，
，
∴△ACB≌△BEA（SAS），
∴．
∴存在，使得．
【分析】（1）证是等边三角形，P是的中点，通过等边三角形三线合一，得出，解三角形即可；
（2）借助中点和平行，可证得△CPA≌△DPE（AAS），得出，．再证明△CAB≌△EBA（SAS），即可得出结论；
（3）由（2）总结的阶梯方法延伸到图3中，利用类比解决问题。
12．（2021八上·防城期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．求证：
（1）AD=CF；
（2）∠BDF=∠BFD．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF= 90°
∵CE⊥AD
∴∠CEA=90°，则∠ACE+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
又∵BF∥AC，
∴∠ACB+∠CBF= 180°
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∴△ACD≌△CBF(ASA)；
∴AD=CF
（2）证明：∵由(1)得△ACD≌OCBF，
∴CD= BF，
∵D为BC的中点
∴CD=BD= BC，
∴BF= BD．
∴∠BDF=∠BFD
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段的中点
【解析】【分析】（1）结合题意，由全等三角形的判定和性质证明AD=CF；
（2）根据（1）中得到的三角形全等，由全等撒娇行的性质以及中点的定义，求出∠BDF=∠BFD即可。
13．（2021八上·营山月考）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM.
（1）求证：BE＝AC；
（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，
，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，
由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，
即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC.
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠BDE＝∠ADC＝90°，利用SAS证明△BDE≌△ADC，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；
（2）利用线段中点的定义可证得BF=CF，利用SAS证明△BFE≌△CFM，利用全等三角形的性质可推出∠CBE＝∠BCM，BE＝MC；由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，由此可知AC=MC；再根据∠CAD+∠ACD＝90°，可证得∠ACM＝90°，利用垂直的定义可证得结论.
14．（2021八上·新邵期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
∵∠AED=∠FEC，DE=CE，
∴△AED≌△FEC，
∴FC=AD；
（2）解：∵△AED≌△FEC，
∴，AE=EF，
∴，
∴==
==.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，由对顶角的性质可得∠AED=∠FEC，证明△AED≌△FEC，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得S△ADE=S△FCE，AE=EF，推出S四边形ABCD=S△ABF，据此计算.
15．（2020八上·高阳期末）已知：在 中， ，D是BC的中点，动点E在边 上（点E不与点A，B重合），动点F在边 上，连结 ， ．
（1）如图1，当 时，直接写出 与 的数量关系．
（2）如图2，当 （ ）时，猜想 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）DE=DF
（2）解：猜想：DE=DF，
理由如下：连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∴∠EGD=∠FHD=90°，
∵∠DEB+∠GED=180°，
∠DEB+∠DFC=180°，
∴∠GED=∠DFC，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，
∴DG=DH，
在△EGD和△FHD中，
，
∴△EGD≌△FHD（AAS），
∴DE=DF．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）DE=DF，
理由如下：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠B=∠C，BD=CD，且∠DEB=∠DFC=90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF；
【分析】（1）先求出∠B=∠C，BD=CD，且∠DEB=∠DFC=90°，再利用AAS证明三角形全等求解即可；
（2）根据题意求出 DG=DH， 再证明 △EGD≌△FHD ，最后根据全等三角形的性质求解即可。
16．（2020八上·双清期末）以点 为顶点作等腰 ，等腰 ，其中 ，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接 、 ．
（1）试判断 、 的数量关系，并说明理由；
（2）延长 交 于点 试求 的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；
（2）解：∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，
而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，
又∵∠CDF=∠BDA，
∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°
（3）解：BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：
∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，
∴∠BFC=∠DAB=90°．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△EAC≌△DAB，继而由全等三角形的性质，得到答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ECA=∠DBA，继而得到答案即可；
（3）根据（1）和（2）的证明步骤得到答案即可。
17．（2021八上·五常期末）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【答案】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先求出CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°， 再求出 ∠ACE=∠CBG， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠CMA=∠BEC， 再求出 △BCE≌△CAM， 最后证明即可。
18．（2020八上·沙河口期末）如图1， 中，点D是 的中点，点E是 上一点， 与 的延长线交于点 ．
（1）填空： ；
（2）判断并说明 和 的数量关系；
（3）当 时．
①设 的度数为 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
②如图2，如果 是 的直角三角形，那么 和 有怎样的数量关系，为什么？
【答案】（1）EF
（2）解：AC=BE，
理由如下：如图，延长AD至H，使DH=AD，连接BH，
∵AD=DH，∠ADC=∠BDH，CD=BD，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC=BH，∠H=∠CAD，∠C=∠HBD，
∵∠BEH=∠AEF=∠DAF，
∴∠BEH=∠H，
∴BH=BE，
∴AC=BE；
（3）解：①如图，在DH上截取DG=AE，连接BG，
∵AD=DH，AE=DG，
∴HG=DE，
又∵BH=BE，∠H=∠BED，
∴△BHG≌△BED（SAS），
∴BG=BD，∠DBE=∠HBG=α，
∴BG=BD=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠DBG=60°，
∴∠HBD=60°+α=∠C，
∴∠AFB=∠DBF+∠C=60°+2α；
②AF= CF，
理由如下：由（2）可知∠C=60°+α=90°，
∴∠FBC=α=30°，
∴BF=2CF，
∵BE=AC，AF=EF，
∵BF=BE+EF=2CF，
∴AC+EF=AF+CF+EF=2CF，
∴AF= CF．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵∠DEF+∠DAF=180°，∠DEF+∠AEF=180°，
∴∠DAF=∠AEF，
∴AF=EF，
故答案为：EF；
【分析】（1）先求出∠DAF=∠AEF，再求解即可；
（2）利用SAS证明 △ADC≌△HDB ，再求出 ∠BEH=∠H， 最后证明求解即可；
（3）①先求出 HG=DE， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可；
②先求出 ∠FBC=α=30°， 再求出 AC+EF=AF+CF+EF=2CF， 最后证明即可。
19．（2021八上·孝义期中）综合与实践：如图1， ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．点D是AB的中点，点E是CB上一点（不与点B，C重合），连接DE，以DE为直角边作等腰直角三角形DEF，其中∠EDF＝90°，DE＝DF．连接BF．
（1）求证：BF＝CE，BF⊥CE．
（2）如图2，若点E在CB的延长线上，其他条件不变，BF与CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
（3）如图3在（2）的基础上，当FB平分∠DFE时，若BE＝3，则EC＝ ．（直接写出答案）
【答案】（1）证明：连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠DCE＝ ∠ACB＝45°，
∠A＝∠CBA＝45°，CD＝ AB＝DB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDB＝∠EDF，
∴∠CDE=∠CDB－∠BDE＝∠EDF－∠BDE=∠BDF，
即∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（SAS），
∴BF＝CE，∠DBF＝∠DCE＝45°，
∴∠CBF＝∠DBF＋∠CBA＝90°，
∴BF⊥CE；
（2）解：BF＝CE，BF⊥CE．
理由如下：连接CD，
∵∠C＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，∠DCE＝ ∠C＝45°，
∠A＝∠CBA＝45°，CD＝ AB＝DB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDB+∠BDE=∠BDE+∠CDF，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（SAS），
∴BF＝CE，∠DBF＝∠DCE＝45°，
∴∠CBF＝∠DBF＋∠CBA＝90°，
∴BF⊥CE；
（3） +3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段的中点
【解析】【解答】（3）解：在BF上截取BG=BE，连结EG，
∵∠FBE=∠CBF=90°，
∴△GBE为等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴GE= ，
∵∠DFE=45°，BF平分∠DFE，
∴∠GFE=22.5°，
∴∠GEF=∠BGE-∠GFE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠GFE=∠GEF，
∴GF=GE= ，
∵△CDE≌△BDF（SAS），
∴CE=FB=FG+BG= +3．
【分析】（1）根据题意，结合全等三角形的判定和性质，证明得到答案即可；
（2）根据中点的性质，结合全等三角形的判定和性质，证明BF⊥CE即可；
（3）根据（2），由角平分线的性质，求出EC。
20．（2020八上·牡丹江期中）已知 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，点D在直线BC上，连接CE．
（1）若点D在线段BC上，如图1，求证： ；
（2）若D在CB延长线上，如图2，若D在BC延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；
（3）若 ， ，则BC的长为 ．
【答案】（1）证明： 、 均是等腰直角三角形，
， ， ．
．
，
在 和 中
，
，
．
，
（2）解：如图2中， ，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
即∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE
即： ．
如图3中，CE=BC+CD．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BD=BC+CD，
即CE=BC+CD．
综上所述，若D在CB延长线上，如图2中，得到结论： ，如图3，得到结论： ．
（3）14或6
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）∵在图1、图2中： （已证）， ，
∴
∵在图3中：CE=BC+CD（已证）， ，
∴
即：14或6．
【分析】（1）先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明三角形全等，最后证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质作答即可；
（3）先求出，再根据 ， 作答即可。
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