人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·临沭月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，作于点，作于点，
是的三条角平分线，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
二、填空题
3．（2021八上·遵义期末）如图，已知 的周长是22，PB、PC分别平分 和 ， 于D，且 ， 的面积是 .
【答案】33
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分
和
，
于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵ △ABC的周长是22，
∴ △ABC的面积是
.
故答案为：33.
【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，由角平分线性质得PD=PE=PF=3，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
4．（2021八上·林州期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为
【答案】5
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N.
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN，
∴CE为CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴4 CE＝10，
∴CE.
即CM+MN的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由角平分线的性质可得MN＝ME，从而得出CE＝CM+ME＝CM+MN，继而得出CE为CM+MN的最小值，利用三角形的面积求出CE的长即可.
5．（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【答案】4
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
6．（2021八上·海珠期末）在RtABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝6，BD＝2CD，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2，
故答案为：2．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD＝2，再利用角平分线的性质可得DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2。
三、解答题
7．（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
8．（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
9．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【答案】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18 cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8 cm．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DE＝DF， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
四、综合题
10．（2021八上·句容期末）如图， ， 于E， 交AD的延长线于F，且 .
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若 ， ，则AB的长为 cm.
【答案】（1）解：BE=DF，理由是：
∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴ ，
∴BE=DF；
（2）5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中
，AC=AC，CF=CE
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AF，
∵AD=3cm，DF=1cm，
∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，
∴AB=AE+BE=5cm.
故答案为：5.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得CE=CF，然后利用HL证明△CEB≌△CFD，据此可得结论；
（2）易证△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根据AB=AE+BE进行计算.
11．（2021八上·南沙期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
【答案】（1）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD，
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=∠ACB+∠ACD
=∠BCD
=×180°
=90°，
∴OC⊥CP．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ABC+∠ACB=130°， 再根据角平分线求出 ∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°， 最后求解即可；
（2）根据角平分线的性质求出 OD=OE，OD=OF， 再求出 OE=OF， 最后证明即可；
（3）先求出 ∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD， 再求出∠OCP=90°，最后证明即可。
12．（2021八上·建华期末）已知：如图， 中， 与 的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．
【答案】（1）证明：∵AD平分 ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴
同理可证：
∴
即
（2）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为：
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出FD=FC，最后证明即可；
（2）先求出 ， 再求出BA=6，最后求三角形的周长即可。
13．（2021八上·肇源期末）如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
【答案】（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）解：在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 BE＝EC， 再求出 FE＝EG， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 Rt△AFE≌Rt△AGE， 再证明求解即可。
14．（2021八上·衢江月考）如图，四边形ABCD中，CD＝CB，AC平分∠DAB，CH⊥AB于点H.
（1）求证：∠ADC＋∠B＝180°；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长.
【答案】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
又，，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，证明Rt△CDE≌Rt△CBH，可得∠B=∠CDE
，由于，可得；
（2）利用全等三角形的性质可得BH=DE，由角平分线的性质可得AE=AH，根据AD+AB=AE-DE
+AH+HB=2AH即可求解.
15．（2021八上·天门月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程.
【答案】（1）证明：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）证明：
，BE＝BD，
（3）解：②
理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则，根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出∠ABE=∠CBD，然后利用SAS证明△ABE≌△CBD，即可求证AE=CD；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠CDB，再根据∠AEB+∠BED+∠CDE=∠CDE+∠AED=90°，即可得证；
（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根据全等三角形的性质和面积法求出BK = BJ，判定MB平分∠AMD，推出结论②成立， 假设 ①成立，利用反证法验证即可.
1 / 1人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·临沭月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
2．（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
3．（2021八上·遵义期末）如图，已知 的周长是22，PB、PC分别平分 和 ， 于D，且 ， 的面积是 .
4．（2021八上·林州期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为
5．（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
6．（2021八上·海珠期末）在RtABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为 ．
三、解答题
7．（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
8．（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
9．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
四、综合题
10．（2021八上·句容期末）如图， ， 于E， 交AD的延长线于F，且 .
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若 ， ，则AB的长为 cm.
11．（2021八上·南沙期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
12．（2021八上·建华期末）已知：如图， 中， 与 的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．
13．（2021八上·肇源期末）如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
14．（2021八上·衢江月考）如图，四边形ABCD中，CD＝CB，AC平分∠DAB，CH⊥AB于点H.
（1）求证：∠ADC＋∠B＝180°；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长.
15．（2021八上·天门月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，作于点，作于点，
是的三条角平分线，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
3．【答案】33
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分
和
，
于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵ △ABC的周长是22，
∴ △ABC的面积是
.
故答案为：33.
【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，由角平分线性质得PD=PE=PF=3，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
4．【答案】5
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N.
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN，
∴CE为CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴4 CE＝10，
∴CE.
即CM+MN的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由角平分线的性质可得MN＝ME，从而得出CE＝CM+ME＝CM+MN，继而得出CE为CM+MN的最小值，利用三角形的面积求出CE的长即可.
5．【答案】4
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
6．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝6，BD＝2CD，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2，
故答案为：2．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD＝2，再利用角平分线的性质可得DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2。
7．【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
8．【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
9．【答案】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18 cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8 cm．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DE＝DF， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】（1）解：BE=DF，理由是：
∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴ ，
∴BE=DF；
（2）5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：（2）在Rt△AFC和Rt△AEC中
，AC=AC，CF=CE
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AE=AF，
∵AD=3cm，DF=1cm，
∴AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，
∴AB=AE+BE=5cm.
故答案为：5.
【分析】（1）根据角平分线的性质可得CE=CF，然后利用HL证明△CEB≌△CFD，据此可得结论；
（2）易证△AFC≌△AEC，得到AE=AF=AD+DF=4cm，BE=DF=1cm，然后根据AB=AE+BE进行计算.
11．【答案】（1）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD，
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=∠ACB+∠ACD
=∠BCD
=×180°
=90°，
∴OC⊥CP．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ABC+∠ACB=130°， 再根据角平分线求出 ∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°， 最后求解即可；
（2）根据角平分线的性质求出 OD=OE，OD=OF， 再求出 OE=OF， 最后证明即可；
（3）先求出 ∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD， 再求出∠OCP=90°，最后证明即可。
12．【答案】（1）证明：∵AD平分 ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴
同理可证：
∴
即
（2）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为：
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出FD=FC，最后证明即可；
（2）先求出 ， 再求出BA=6，最后求三角形的周长即可。
13．【答案】（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）解：在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 BE＝EC， 再求出 FE＝EG， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 Rt△AFE≌Rt△AGE， 再证明求解即可。
14．【答案】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
又，，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，证明Rt△CDE≌Rt△CBH，可得∠B=∠CDE
，由于，可得；
（2）利用全等三角形的性质可得BH=DE，由角平分线的性质可得AE=AH，根据AD+AB=AE-DE
+AH+HB=2AH即可求解.
15．【答案】（1）证明：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）证明：
，BE＝BD，
（3）解：②
理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则，根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出∠ABE=∠CBD，然后利用SAS证明△ABE≌△CBD，即可求证AE=CD；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠CDB，再根据∠AEB+∠BED+∠CDE=∠CDE+∠AED=90°，即可得证；
（3）作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，根据全等三角形的性质和面积法求出BK = BJ，判定MB平分∠AMD，推出结论②成立， 假设 ①成立，利用反证法验证即可.
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