人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·凉山期末）已知：在 中， ， 平分 交BC于D，若 ，且 ，则点D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，且
，
∴DC=
×36=12，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴点D到AB边的距离等于CD=12.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件可得DC的值，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答.
2．（2021八上·天门月考）在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别是线段AC、CD的中点，若△ABD、△EFC的面积分别为21、7，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过D点作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如图，
∵F点为DC的中点，
∴S△DEF＝S△FCE＝7，
∵E点为AC的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝7＋7＝14，
∴S△ADC＝28，
∵AD是角平分线，DM⊥AB于，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵S△ABD：S△ADC＝AB DM：（ AC DN）＝21∶28
∴.
【分析】过D点作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如图，利用三角形面积公式得到S△DEF＝S△FCE＝7，则S△ADE＝S△DEC＝14，再根据角平分线的性质得到DM＝DN，然后利用面积的比得到AB与AC的比值．
3．（2020八上·荣县月考）如图，是△的角平分线，于，点分别是上的点， ， △与△的面积分别是和，则△的面积是（ ）
A．a-b B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H
是△的角平分线，于，
则
由可以证明≌
≌
.
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得，再由即可求出答案.
4．（2021八上·德阳月考）如图， △ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE=∠F； ②2∠DAE=∠ABD-∠ACE； ③S△AEB：S△AEC=AB：AC； ④∠AGH=∠BAE+∠ACB.
其中正确的结论有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设AE的延长线交GH于点M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠AEC=∠ABD+∠CAE，
∵∠AEC=90°+∠DAE，∠CAE=90°-∠AHG，∠AHG=∠ACE+∠F，
∴90°+∠DAE=∠ABD+90°-（∠ACE+∠F），
∴∠DAE+∠F=∠ABD-∠ACE，
∵∠DAE=∠F，
∴ 2∠DAE=∠ABD-∠ACE，故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB边和AC边的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC=AB：AC，故③正确；
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ①根据等角的余角相等，即可得出∠DAE=∠F，故①正确；
②根据角平分线定义和三角形外角性质得出∠AEC=∠ABD+∠CAE，∠AHG=∠ACE+∠F，从而得出90°+∠DAE=∠ABD+90°-（∠ACE+∠F），再根据∠DAE=∠F，即可得出2∠DAE=∠ABD-∠ACE，故②正确；
③根据角平分线的性质得出点E到AB边和AC边的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出S△AEB：S△AEC=AB：AC，故③正确；
④ 根据等角的余角相等，得出∠AGH＝∠MEF，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，根据三角形外角性质得出∠MEF＝∠CAE+∠ACB，即可得出∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确.
5．（2021八上·盐湖期中）如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连结AP，CP，
∵AC的垂直平分线DP，
∴PA=PC，
∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PF，
在Rt△PEA和Rt△PFC中，
，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴AE=CF，
在Rt△PEB和Rt△PFB中，
，
∴Rt△PEB≌Rt△PFB（HL），
∴EB=FB，
∴2BE=BE+BF=AB+EA+BC-FC=AB+BC=7+15=22，
∴BE=11，
∴AE=BE-AB=11-7=4cm．
故答案为：B．
【分析】连结AP，CP，先证明Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），可得AE=CF，再证明Rt△PEB≌Rt△PFB（HL），可得EB=FB，由2BE=BE+BF=AB+EA+BC-FC=AB+BC可求出BE的长，利用AE=BE-AB即可求解.
6．（2021八上·平凉期中）如图， 的角平分线 、 相交于 ， ， ，且 于 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .其中正确的结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵EG//BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°，
∵EG//BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+ （∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°= ∠CGE，正确.
故正确的结论的个数是3.
故答案为：C.
【分析】①根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可得∠CEG=∠ACB=2∠DCB；
②根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可得∠ADC=∠GCD；
③根据已知条件无法推导这个结果；
④由角平分线的定义结合周角的定义可得∠DFB=∠CGE．
7．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
8．（2021八上·澄海期末）如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E．若AC=12，DE=8，则△ACD的面积为 ．
【答案】48
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如下图所示：
∵CD是∠ACB的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF=8，
∴，
故答案为：48．
【分析】过D点作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF=8，再利用三角形的面积公式计算即可。
9．（2021八上·海淀期末）如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过F作FG⊥BC于G，
∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4，
故答案为：4．
【分析】先求出FG=EF=2，再求出FG为△BFC的BC边上在中线，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．（2021八上·盐湖期中）如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 ．
【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵ 的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴
＝20，
故答案为：20
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质可得OE＝OF＝OD＝2，根据
即可求解.
11．（2021八上·费县期中）如图， ， 、 的平分线交于点O， 于E，且 cm，则直线 与 的距离为 cm．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过O作 交CD于Q，交 于H，
平分
平分
直线 与 的距离为
故答案为：
【分析】过O作 交CD于Q，交 于H，由 平分 得出由 平分 得出由此得出结论。
12．（2021八上·余杭月考）如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
三、多选题
13．（2021八上·潍坊期中）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，下列结论正确的是（ ）
A． ；
B．点 到 的两边的距离相等；
C． ；
D．设 ，则 ．
【答案】A,B,C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EFBC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①符合题意；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴角A的角平分线也必过O点，
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，故②符合题意
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A；故③符合题意；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝ AE OM+ AF OD＝ OD （AE+AF）＝ mn；故④不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，故①符合题意；角平分线上的点到角两边的距离相等，故②符合题意；由角平分线的性质得出点O到三角形ABC各边的距离相等，故③符合题意；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得ON＝OD＝OM＝m，则S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝ AE OM+ AF OD＝ OD （AE+AF）＝ mn；故④不符合题意．
四、综合题
14．（2021八上·江津期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.
（1）求证：CF＝EB.
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC.
在△CDF与△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB.
（2）解：设CF=x，则AE=12-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE.
在△ACD与△AED中，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=12-x，
解得x=2，即CF=2.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） 由角平分线的性质可得DE=DC，根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，可得CF=EB；
（2）设CF=x，则AE=12-x， 由角平分线的性质可得DE=DC，根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得 AC=AE，即得8+x=12-x，求出x值即可.
15．（2021八上·杭州期中）已知：如图，D为 外角 平分线上一点，且 ， 于点M.
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求证： .
【答案】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，
∵CD是∠ACM的角平分线，DE⊥AC，DM⊥BC，
∴DE=DM=1，
∴ ；
（2）证明：∵DE⊥AC，DM⊥BC，
∴∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，
∵AD=BD，DE=DM，
∴Rt△DEA≌Rt△DMB（HL），
∴AE=BM，
∵∠DEC=∠DMC=90°，DE=DM，DC=DC
∴Rt△DEC≌Rt△DMC（HL），
∴EC=CM，
∴AC=AE+EC=BM+CM.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AC于E，由角平分线的性质可得DE=DM=1，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）由垂直的概念可得∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，证明Rt△DEA≌Rt△DMB，得到AE=BM，证明Rt△DEC≌Rt△DMC，得到EC=CM，据此证明.
1 / 1人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·凉山期末）已知：在 中， ， 平分 交BC于D，若 ，且 ，则点D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．12 C．14 D．16
2．（2021八上·天门月考）在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别是线段AC、CD的中点，若△ABD、△EFC的面积分别为21、7，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·荣县月考）如图，是△的角平分线，于，点分别是上的点， ， △与△的面积分别是和，则△的面积是（ ）
A．a-b B． C． D．
4．（2021八上·德阳月考）如图， △ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE=∠F； ②2∠DAE=∠ABD-∠ACE； ③S△AEB：S△AEC=AB：AC； ④∠AGH=∠BAE+∠ACB.
其中正确的结论有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021八上·盐湖期中）如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．（2021八上·平凉期中）如图， 的角平分线 、 相交于 ， ， ，且 于 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ .其中正确的结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
二、填空题
8．（2021八上·澄海期末）如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E．若AC=12，DE=8，则△ACD的面积为 ．
9．（2021八上·海淀期末）如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为 ．
10．（2021八上·盐湖期中）如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是 ．
11．（2021八上·费县期中）如图， ， 、 的平分线交于点O， 于E，且 cm，则直线 与 的距离为 cm．
12．（2021八上·余杭月考）如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
三、多选题
13．（2021八上·潍坊期中）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，下列结论正确的是（ ）
A． ；
B．点 到 的两边的距离相等；
C． ；
D．设 ，则 ．
四、综合题
14．（2021八上·江津期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.
（1）求证：CF＝EB.
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长.
15．（2021八上·杭州期中）已知：如图，D为 外角 平分线上一点，且 ， 于点M.
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）求证： .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ，且
，
∴DC=
×36=12，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴点D到AB边的距离等于CD=12.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件可得DC的值，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过D点作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如图，
∵F点为DC的中点，
∴S△DEF＝S△FCE＝7，
∵E点为AC的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝7＋7＝14，
∴S△ADC＝28，
∵AD是角平分线，DM⊥AB于，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵S△ABD：S△ADC＝AB DM：（ AC DN）＝21∶28
∴.
【分析】过D点作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如图，利用三角形面积公式得到S△DEF＝S△FCE＝7，则S△ADE＝S△DEC＝14，再根据角平分线的性质得到DM＝DN，然后利用面积的比得到AB与AC的比值．
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H
是△的角平分线，于，
则
由可以证明≌
≌
.
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得，再由即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设AE的延长线交GH于点M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠AEC=∠ABD+∠CAE，
∵∠AEC=90°+∠DAE，∠CAE=90°-∠AHG，∠AHG=∠ACE+∠F，
∴90°+∠DAE=∠ABD+90°-（∠ACE+∠F），
∴∠DAE+∠F=∠ABD-∠ACE，
∵∠DAE=∠F，
∴ 2∠DAE=∠ABD-∠ACE，故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB边和AC边的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC=AB：AC，故③正确；
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ①根据等角的余角相等，即可得出∠DAE=∠F，故①正确；
②根据角平分线定义和三角形外角性质得出∠AEC=∠ABD+∠CAE，∠AHG=∠ACE+∠F，从而得出90°+∠DAE=∠ABD+90°-（∠ACE+∠F），再根据∠DAE=∠F，即可得出2∠DAE=∠ABD-∠ACE，故②正确；
③根据角平分线的性质得出点E到AB边和AC边的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出S△AEB：S△AEC=AB：AC，故③正确；
④ 根据等角的余角相等，得出∠AGH＝∠MEF，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，根据三角形外角性质得出∠MEF＝∠CAE+∠ACB，即可得出∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连结AP，CP，
∵AC的垂直平分线DP，
∴PA=PC，
∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PF，
在Rt△PEA和Rt△PFC中，
，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴AE=CF，
在Rt△PEB和Rt△PFB中，
，
∴Rt△PEB≌Rt△PFB（HL），
∴EB=FB，
∴2BE=BE+BF=AB+EA+BC-FC=AB+BC=7+15=22，
∴BE=11，
∴AE=BE-AB=11-7=4cm．
故答案为：B．
【分析】连结AP，CP，先证明Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），可得AE=CF，再证明Rt△PEB≌Rt△PFB（HL），可得EB=FB，由2BE=BE+BF=AB+EA+BC-FC=AB+BC可求出BE的长，利用AE=BE-AB即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵EG//BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°，
∵EG//BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+ （∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°= ∠CGE，正确.
故正确的结论的个数是3.
故答案为：C.
【分析】①根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可得∠CEG=∠ACB=2∠DCB；
②根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可得∠ADC=∠GCD；
③根据已知条件无法推导这个结果；
④由角平分线的定义结合周角的定义可得∠DFB=∠CGE．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．【答案】48
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如下图所示：
∵CD是∠ACB的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF=8，
∴，
故答案为：48．
【分析】过D点作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF=8，再利用三角形的面积公式计算即可。
9．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过F作FG⊥BC于G，
∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4，
故答案为：4．
【分析】先求出FG=EF=2，再求出FG为△BFC的BC边上在中线，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵ 的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴
＝20，
故答案为：20
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质可得OE＝OF＝OD＝2，根据
即可求解.
11．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过O作 交CD于Q，交 于H，
平分
平分
直线 与 的距离为
故答案为：
【分析】过O作 交CD于Q，交 于H，由 平分 得出由 平分 得出由此得出结论。
12．【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
13．【答案】A,B,C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EFBC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①符合题意；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴角A的角平分线也必过O点，
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，故②符合题意
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A；故③符合题意；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝ AE OM+ AF OD＝ OD （AE+AF）＝ mn；故④不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，故①符合题意；角平分线上的点到角两边的距离相等，故②符合题意；由角平分线的性质得出点O到三角形ABC各边的距离相等，故③符合题意；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得ON＝OD＝OM＝m，则S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝ AE OM+ AF OD＝ OD （AE+AF）＝ mn；故④不符合题意．
14．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，
∴DE=DC.
在△CDF与△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB.
（2）解：设CF=x，则AE=12-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE.
在△ACD与△AED中，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，即8+x=12-x，
解得x=2，即CF=2.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） 由角平分线的性质可得DE=DC，根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，可得CF=EB；
（2）设CF=x，则AE=12-x， 由角平分线的性质可得DE=DC，根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得 AC=AE，即得8+x=12-x，求出x值即可.
15．【答案】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥AC于E，
∵CD是∠ACM的角平分线，DE⊥AC，DM⊥BC，
∴DE=DM=1，
∴ ；
（2）证明：∵DE⊥AC，DM⊥BC，
∴∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，
∵AD=BD，DE=DM，
∴Rt△DEA≌Rt△DMB（HL），
∴AE=BM，
∵∠DEC=∠DMC=90°，DE=DM，DC=DC
∴Rt△DEC≌Rt△DMC（HL），
∴EC=CM，
∴AC=AE+EC=BM+CM.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AC于E，由角平分线的性质可得DE=DM=1，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）由垂直的概念可得∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，证明Rt△DEA≌Rt△DMB，得到AE=BM，证明Rt△DEC≌Rt△DMC，得到EC=CM，据此证明.
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