人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第三刷）

人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·下城期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE BC EF 5×2＝5.
故答案为：C.
【分析】作EF⊥BC于F，由角平分线的性质可得EF＝DE＝2，然后根据三角形的面积公式进行计算.
2．（2021八上·惠城月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（　　）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是三个角的角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC
＝ ·AB·OE： ·BC·OF： ·AC·OD
＝AB：BC：AC
＝8：12：10
＝4：6：5，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高是相等的，底分别是8、10、12，所以面积之比就是4：6：5。
3．（2021八上·兴宁月考）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点A作AN⊥CE于点N，AM⊥BD于点M，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，故①正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠ACE，
∵∠ABD+∠AOB=90°，∠AOB=∠COF，
∴∠ACE+∠COF=90°
∴∠CFO=90°，
∴BF⊥CF，故②正确；
∵，△BAD≌△CAE，BD=CE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠EFB
∴AF不一定平分∠CAD，故③不正确；
∵AF平分∠EFB，∠BFE=90°，
∴∠AFE=∠BFE=45°，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④.
故答案为：C.
【分析】 过点A作AN⊥CE于点N，AM⊥BD于点M，利用等腰三角形的性质可证得AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到BD=CE，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可推出∠BDA=∠ACE，由此可证得∠ACE+∠COF=90°，可对②作出判断；利用三角形的面积公式去证明AM=AN，利用角平分线的判定定理可证得AF平分∠EFB，但不能证明AF平分∠CAD，可对③作出判断；再根据AF平分∠EFB，∠BFE=90°，可求出∠AFE的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
4．（2021八上·秦都期末）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（　　）
A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
5．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
6．（2021八上·长沙开学考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①作PD⊥AC于D.
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故答案为：D.
【分析】①作PD⊥AC于D，根据角平分线的性质推出PM=PN=PD，根据角平分线的判定定理即可判断①；②首先利用四边形的内角和求出∠ABC+∠MPN=180°，利用HL证明Rt△PAM≌Rt△PAD ，得出∠APM= ∠APD，同理得出∠CPD=∠CPN，则得∠MPN=2∠APC，即可判断②；③由角平分线定义和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，则可推出∠ACB=2∠APB，则可判断③；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，根据面积的和差关系即可判断④.
7．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
二、解答题
8．（2021八上·谷城期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.
【答案】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中， ，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中， ，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得PD＝PE，证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得到OD＝OE，由角平分线的概念可得∠DOF＝∠EOF，证明△ODF≌△OEF，据此可得结论.
9．（2021八上·陆川期中）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.
【答案】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PF的最小值为4cm，
∴PE=4cm
∵OE=12cm
∴△POE的面积= cm2
又 点G是线段OP的中点
∴ cm2
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等和垂线段最短可得PE=PF=4cm，再根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△PGE=S△OGE=S△POE求解.
10．（2021八上·沈丘期末）如图所示，在四边形ABDC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD.求证：∠C+∠ABD=180°.
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DFC和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴∠C=∠DBE，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠C+∠ABD=180°.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线的性质得DE=DF，进而利用HL可证Rt△DFC≌Rt△DEB，则有∠C=∠DBE，然后利用邻补角问题可求证.
三、综合题
11．（2021八上·南通月考）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM=∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N.
（1）求证：△BDM≌△ADN ；
（2）若AC=7， BC=3，则CM的长=　 　.
【答案】（1）证明：如图，∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DN=DM.
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
∵∠DBM=∠DAN，∠AND=∠BMD，ND=DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（AAS）；
（2）2
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）∵Rt△ADN≌Rt△BDM ，
∴AN=BM，
在△CND和△CMD中，
，
∴△CND≌△CMD（AAS），
∴CN=CM，
设CM=x，
∴AN=AC-CN=7-x，BM=BC+CM=3+x，
∴7-x=3+x，
解得x=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据角平分线的性质求出DN=DM，然后利用AAS证明Rt△ADN≌Rt△BDM即可；
（2）由（1）的结论得出AN=BM，再利用AAS证明△CND≌△CMD，得出CN=CM，设CM=x，再根据AN=BM构建方程求解即可.
12．（2021八上·新洲期末）如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）解：CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°，
∴ CE⊥BD.
（3）解：过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA= ∠DFC=
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD， ∠ACE=∠ABD， 利用三角形的内角和定理可得出 ∠BFO=∠CAB=∠ =90°， 根据垂直的定义即可得出结论；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，根据全等三角形的性质得出 S△AEC=S△ADB，BD=CE，根据等底等高的三角形面积相等得出AM=AN，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AF平分∠DFC，进而可知∠CFA的度数.
13．（2021八上·余杭月考）在 中， .
（1）如图1、求证： ：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC AH，
∴AB BD＋AG＝AC AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB BD＝25 10＝15，
∴△ADF的面积＝
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
14．（2021八上·兴宁月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）
求∠CAD的度数；
（2）
求证：DE平分∠ADC；
（3）
若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【答案】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∴∠FAE＝90°-∠AEF=90° 50°＝40°；
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°-∠BAD-∠FAE=180° 100° 40°＝40°.
（2）证明：过点E作EN⊥AD于N，EM⊥BC于M，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EN，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EM⊥BC，
∴EF＝EN，
∴EN＝EM，
∵EN⊥AD，EM⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EN＋×CD×EM＝15，即×4×EN＋×8×EN＝15，
解之：EM＝EN＝，
∴EF＝EM＝，
∴S△ABE＝×AB×EF＝×7×＝．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠F=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠FAE的度数；然后根据∠CAD＝180°-∠BAD-∠FAE，可求出∠CAD的度数.
（2）过点E作EN⊥AD于N，EM⊥BC于M，利用角平分线的性质可证得EF=EN，EF=EM，由此可推出EN=EM；然后根据角平分线的判定定理可证得结论.
（3）利用△ADC的面积=△ADE的面积+△DEC的面积，可求出EN的长，即可得到EF的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
15．（2021八上·新洲期末）如图
（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： .
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： .
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： .
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ， ，
∴ ： =AB：AC；
（2）解：如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；
（3）解：如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，进而根据等高三角形的面积之比等于底之比即可得出 ： =AB：AC；
（2）在AB延长线上取点E，使得AE=AC，根据SAS可证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出 CD=DE且∠ADC=∠ADE， 根据全等三角形的面积相等及等高三角形的面积之比等于底之比得出 ，再等量代换得出 ，即可求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据SAS可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即 ，即可得出答案.
1 / 1人教版八上数学第十二章12.3角平分线性质 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·下城期中）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
2．（2021八上·惠城月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（　　）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
3．（2021八上·兴宁月考）如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021八上·秦都期末）如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（　　）
A．β＝α+γ B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ D．β＝2α﹣2γ
5．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021八上·长沙开学考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、解答题
8．（2021八上·谷城期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.
9．（2021八上·陆川期中）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.
10．（2021八上·沈丘期末）如图所示，在四边形ABDC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD.求证：∠C+∠ABD=180°.
三、综合题
11．（2021八上·南通月考）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM=∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N.
（1）求证：△BDM≌△ADN ；
（2）若AC=7， BC=3，则CM的长=　 　.
12．（2021八上·新洲期末）如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，试判断 与 的数量及位置关系并证明；
（3）若 ，求 的度数.
13．（2021八上·余杭月考）在 中， .
（1）如图1、求证： ：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
14．（2021八上·兴宁月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）
求∠CAD的度数；
（2）
求证：DE平分∠ADC；
（3）
若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
15．（2021八上·新洲期末）如图
（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： .
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： .
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE BC EF 5×2＝5.
故答案为：C.
【分析】作EF⊥BC于F，由角平分线的性质可得EF＝DE＝2，然后根据三角形的面积公式进行计算.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是三个角的角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC
＝ ·AB·OE： ·BC·OF： ·AC·OD
＝AB：BC：AC
＝8：12：10
＝4：6：5，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高是相等的，底分别是8、10、12，所以面积之比就是4：6：5。
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：过点A作AN⊥CE于点N，AM⊥BD于点M，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，故①正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠ACE，
∵∠ABD+∠AOB=90°，∠AOB=∠COF，
∴∠ACE+∠COF=90°
∴∠CFO=90°，
∴BF⊥CF，故②正确；
∵，△BAD≌△CAE，BD=CE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠EFB
∴AF不一定平分∠CAD，故③不正确；
∵AF平分∠EFB，∠BFE=90°，
∴∠AFE=∠BFE=45°，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④.
故答案为：C.
【分析】 过点A作AN⊥CE于点N，AM⊥BD于点M，利用等腰三角形的性质可证得AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE；利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可得到BD=CE，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可推出∠BDA=∠ACE，由此可证得∠ACE+∠COF=90°，可对②作出判断；利用三角形的面积公式去证明AM=AN，利用角平分线的判定定理可证得AF平分∠EFB，但不能证明AF平分∠CAD，可对③作出判断；再根据AF平分∠EFB，∠BFE=90°，可求出∠AFE的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故答案为：B.
【分析】 根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①作PD⊥AC于D.
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM= ∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故答案为：D.
【分析】①作PD⊥AC于D，根据角平分线的性质推出PM=PN=PD，根据角平分线的判定定理即可判断①；②首先利用四边形的内角和求出∠ABC+∠MPN=180°，利用HL证明Rt△PAM≌Rt△PAD ，得出∠APM= ∠APD，同理得出∠CPD=∠CPN，则得∠MPN=2∠APC，即可判断②；③由角平分线定义和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=∠ABC+∠APB，则可推出∠ACB=2∠APB，则可判断③；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，根据面积的和差关系即可判断④.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
8．【答案】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中， ，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD＝OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF＝∠EOF，
在△ODF和△OEF中， ，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF＝EF.
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得PD＝PE，证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得到OD＝OE，由角平分线的概念可得∠DOF＝∠EOF，证明△ODF≌△OEF，据此可得结论.
9．【答案】解：∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PE⊥OA，PF的最小值为4cm，
∴PE=4cm
∵OE=12cm
∴△POE的面积= cm2
又 点G是线段OP的中点
∴ cm2
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等和垂线段最短可得PE=PF=4cm，再根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△PGE=S△OGE=S△POE求解.
10．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DFC和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴∠C=∠DBE，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠C+∠ABD=180°.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由角平分线的性质得DE=DF，进而利用HL可证Rt△DFC≌Rt△DEB，则有∠C=∠DBE，然后利用邻补角问题可求证.
11．【答案】（1）证明：如图，∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DN=DM.
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
∵∠DBM=∠DAN，∠AND=∠BMD，ND=DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（AAS）；
（2）2
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）∵Rt△ADN≌Rt△BDM ，
∴AN=BM，
在△CND和△CMD中，
，
∴△CND≌△CMD（AAS），
∴CN=CM，
设CM=x，
∴AN=AC-CN=7-x，BM=BC+CM=3+x，
∴7-x=3+x，
解得x=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据角平分线的性质求出DN=DM，然后利用AAS证明Rt△ADN≌Rt△BDM即可；
（2）由（1）的结论得出AN=BM，再利用AAS证明△CND≌△CMD，得出CN=CM，设CM=x，再根据AN=BM构建方程求解即可.
12．【答案】（1）证明：∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）解：CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°，
∴ CE⊥BD.
（3）解：过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA= ∠DFC=
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD， ∠ACE=∠ABD， 利用三角形的内角和定理可得出 ∠BFO=∠CAB=∠ =90°， 根据垂直的定义即可得出结论；
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，根据全等三角形的性质得出 S△AEC=S△ADB，BD=CE，根据等底等高的三角形面积相等得出AM=AN，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AF平分∠DFC，进而可知∠CFA的度数.
13．【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC AH，
∴AB BD＋AG＝AC AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB BD＝25 10＝15，
∴△ADF的面积＝
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
14．【答案】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∴∠FAE＝90°-∠AEF=90° 50°＝40°；
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°-∠BAD-∠FAE=180° 100° 40°＝40°.
（2）证明：过点E作EN⊥AD于N，EM⊥BC于M，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EN，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EM⊥BC，
∴EF＝EN，
∴EN＝EM，
∵EN⊥AD，EM⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EN＋×CD×EM＝15，即×4×EN＋×8×EN＝15，
解之：EM＝EN＝，
∴EF＝EM＝，
∴S△ABE＝×AB×EF＝×7×＝．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠F=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠FAE的度数；然后根据∠CAD＝180°-∠BAD-∠FAE，可求出∠CAD的度数.
（2）过点E作EN⊥AD于N，EM⊥BC于M，利用角平分线的性质可证得EF=EN，EF=EM，由此可推出EN=EM；然后根据角平分线的判定定理可证得结论.
（3）利用△ADC的面积=△ADE的面积+△DEC的面积，可求出EN的长，即可得到EF的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
15．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ， ，
∴ ： =AB：AC；
（2）解：如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；
（3）解：如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，进而根据等高三角形的面积之比等于底之比即可得出 ： =AB：AC；
（2）在AB延长线上取点E，使得AE=AC，根据SAS可证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出 CD=DE且∠ADC=∠ADE， 根据全等三角形的面积相等及等高三角形的面积之比等于底之比得出 ，再等量代换得出 ，即可求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据SAS可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即 ，即可得出答案.
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