必修一 二次函数导学案
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文档简介
§ 2.1 二次函数
学习目标：
1、经历探索和表示两个变量之间的函数关系的过程，从中体会二次函数是描述现实世界数量关系的重要数学模型。
2、理解二次函数的概念，会表示简单变量之间的二次函数关系。
学法指导：合作探究式学习
教学过程：
一、问题探索一：
问题1：
（1）一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r的函数关系式__________.
（2）用16m长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，长方形的面积y（cm2）与长方形的长x（cm）之间的关系式是__________________.
（3）要给边长为x m的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y（元）与x（米）之间的函数关系式是____________________.
总结：二次函数是指：
问题2：
(1)下列函数：①；②；③；④，属于二次函数的有__________________。
(2) 若函数是关于的二次函数，则的值为多少？
(3) 取哪些值时，函数
①是以x为自变量的二次函数；②是以x为自变量的一次函数。
二、巩固练习：
1、函数是二次函数的条件是（ ）
A. B.
C. D.
2、下列函数中是二次函数的是（ ）、
A． B． C． D．
3、若函数是二次函数，求的值。
三、问题探索二：
问题3：
写出下列各函数关系式，并判断该函数是不是二次函数。
1、写出正方体的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系式；
2、已知圆柱的高是14cm，写出圆柱的体积V(cm3)与底面半径r（cm）之间的函数关系式；
3、菱形的两条对角线和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一条对角线的长x（cm）之间的函数关系式；
4、正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数关系式；
四．课堂测评：
1、下列函数；①；②；③；④；
⑤；⑥。其中是二次函数的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列函数关系中是二次函数的是（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
3、当时，是二次函数。
4、如果函数是二次函数，那么的取值范围是__________。
5、下列函数关系中，满足二次函数关系的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量的关系
C．圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系
D．距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系
6、已知圆的半径是3，若半径增加，则圆的面积S与之间的函数关系式为( )
A. B. C. D.
7、已知菱形的一条对角线长为cm，另一条对角线是它的倍，试写出菱形的面积S与对角线的函数关系式。
8、已知.
（1）试说明：是的二次函数；
（2）当时，写出与之间的关系式。
§2.2二次函数的图象与性质（1）
学习目标：
1、经历探索二次函数图象作法的过程，进一步感受应用图象发现函数性质的经验.
2、能够利用描点法作出函数的图象，能根据图象初步了解二次函数的性质.
3、能说出二次函数的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值与自变量值变化关系等
学法指导：采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：（1）用描点法画出二次函数的图象，并观察图象的特征．
（2）观察与思考：①二次函数的图象有什么特征？
②在直角坐标系中，画出二次函数的图象．
③二次函数与的图象有什么共同特征？
总结：
问题2：分别写出下列函数图象的、与：
．
开口方向：
顶点坐标：
对 称 轴：
二、巩固练习：
填空：
①当时，函数的值随着自变量的增大而 ；当＝ 时，函数值最 ，最 值是 ；
②当时，函数的值随着自变量的增大而 ；当＝ 时，函数值最 ，最 值是 ．
2、已知二次函数的图象经过点P（２，３），你能确定它的开口方向吗？你能确定的值吗？
三、问题探索：
问题3：已知函数是y关于x的二次函数，请回答下列问题：
（1）求满足条件的m值；
（2）当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y值随x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点坐标是多少？当x在什么范围内，y的值随x的值增大而增大？
四．课堂测评：
1、二次函数的图象是经过点（2，），（－2，）的抛物线，则=________，=________．
2、点P（3，）是抛物线上一点，则=________．
3、二次函数的图象开口向________，对称轴为________，顶点坐标为_____ ____，当_______时，随的增大而增大，当=_______时，的最____值为 ．
4、函数的图象是____________线，顶点坐标为__________，对称轴是_______，图象的开口向___________；当=_______时，函数有最_________值；在对称轴的左侧，随的增大而__________，在对称轴的右侧，随的增大而__________．
5、如果一个二次函数的图象的开口向下，其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），试写一个符合要求的函数关系式为______________．
6、已知函数：①，②，③，④．
（１）图象开口向下的函数是 ；
（２）图象开口向上的函数是 ．
7、已知二次函数的图象开口向下，求的值．
8、当为何值时，是二次函数，且当时，随增大而减小．
9、已知二次函数的图象经过（－2，－3），你能确定它的开口方向吗？
你能确定值吗？试试看．
10、已知二次函数的图象经过点A（，）、B（3，）。
（1）求a与m的值；
（2）写出该图象上点B的对称点的坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）？
§2.3二次函数的图象与性质（2）
学习目标：
1、经历探索二次函数及的图象作法和性质的过程.
2、能够理解函数及与的图象的关系，知道对二次函数的图象的影响.
3、能正确说出函数、的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：观察与思考：
（1）填表：
… －2 －1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… …
（2）在图1直角坐标系中，描点并画出函数的图象：
图1 图2
（3）从点的位置看，函数的图象与函数的图象的位置有什么关系？
想一想：函数的图象与函数的图象有什么关系？
问题2：观察与思考：函数的图象与函数的图象有什么关系？
（1）列表：
… －3 －2 －１ ０ １ 2 3 …
… 9 4 １ ０ １ 4 9 …
… －6 －5 －4 －３ －２ －１ ０ …
… …
（2）在图2直角坐标系中，描点并画出函数的图象．
（3）从表中的数值看，函数的函数值与函数的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？
（4）从点的位置看，函数的图象与函数的图象的位置有什么关系？
想一想：函数的图象与函数的图象的位置有什么关系？
二、巩固练习：
1、回答下列问题：
①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
2、指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时作草图进行验证：
开口方向、 对称轴 顶点坐标
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
3、已知函数：
①，②，③，
④，⑤，⑥．
（1）图象开口向上的函数是 ，图象开口向下的函数是 ；
（2）图象对称轴是轴的函数是 ，图象对称轴与轴平行的函数是 ．
4、试分别说明下列函数的图象与函数的图象的位置关系：
（1）； （2）．
三.课堂测评：
1、抛物线的开口_________,对称轴是________，顶点坐标是_______，它可以看作是由抛物线向_______平移______个单位得到的。
2、函数，当x______时，函数值y随x的增大而减小.当x______时，函数取得最____值，最____值y=______.
3、抛物线的开口______,对称轴是________,顶点坐标是________,它可以看作是由抛物线向____平移_____个单位长度.
4、函数，当x______时，函数值y随x的增大而减小.当x______时，函数取得最____值，最____值y=_______.
5、在关系式（1）（2）（3）（4）中，是二次函数的是___________________。
6、若函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，则
7、已知抛物线与函数的图象形状相同，且抛物线沿对称轴平行移动两个单位，就能与抛物线完全重合，则
8、如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度，那么所得图象的关系式为____________.
9、写出它们的顶点坐标和对称轴的位置：
10、在同一直角坐标系中作出二次函数的图象，通过观察，回答下列问题：
（1）这几个函数的图象的形状是否相同？
（2）分别说出这几个函数的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）说明函数的图象可分别由函数的图象经过怎样的平移得到。
13、已知二次函数，求：
（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？
2.4二次函数的图象与性质（3）
学习目标：
1、经历把函数的图象沿轴、轴平移后得到函数的图象的探究过程，进一步了解上述图象变换的实质是：图象的形状、大不都没有改变，只是位置发生了变化．
2、能说出函数的图象是如何由抛物线平移得到的，并能说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值与自变量值变化关系等性质．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：思考与探索：函数的图象是抛物线吗？
练一练：回答下列问题：
①抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
②抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
③抛物线由抛物线怎样平移得到的？
④抛物线是由抛物线怎样平移得到的？
⑤抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
⑥抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
问题2：先填表再思考问题：
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数的最值
归纳二次函数的性质：
二、练一练：
指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标及函数值与自变量值变化关系
（1）； （2）； （3）．
三、问题探索二：
(1)已知抛物线与的形状、开口方向相同，且将抛物线沿轴平移2个单位就能与抛物线完全重合，则＝_________，＝__________．
(2)一条抛物线其形状、开口方向与抛物线相同，对称轴与抛物线相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是_______________．
(3)已知二次函数的图象上有三个点A()，B(2, )，C()，则 的大小关系为 （ ）
A. B. C. D.
(4)抛物线与的开口方向和形状都相同，最低的坐标是（―2，―1）．求的解析式，并说明抛物线是怎样由平移得到的；
(5)已知二次函数，求：
①当为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
②当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？
四．课堂测评：
1、（1）把抛物线向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（2）把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（3）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（4）把抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（5）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（2，－1） D．（2，1）
（6）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，－1） B．（－2，－1） C．（－1，2） D．（－1，－2）
(7)若A、B、C为二次函数的图象上的三点，则、、
的大小关系是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
2、已知函数：
①，②，③，④，⑤，⑥．
（1）图象开口向上的函数是 ，图象开口向下的函数是 ；
（2）图象对称轴是轴的函数是 ，图象对称轴与轴平行的函数是
3、写出下列函数的图象的顶点坐标和对称轴的位置
（1）； （2）
4、将抛物线向右平移２个单位再向上平移1个单位后,求所得的抛物线的顶点坐标.
5、一个二次函数的图象向下平移3个单位长度再向左平移2个单位后，得到二次函数y=的图象，试写出原二次函数的表达式．
6、已知一次函数的图象过抛物线的顶点和坐标原点．
（1）求一次函数的关系式；
（2）判断点（－2，5）是否在此抛物线的图象上．
§2.5二次函数的图象与性质（4）
学习目标：
1、会用配方法把二次函数化成的形式；
2、会用公式法求二次函数的顶点坐标；
3、理解函数的性质。
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
知识回顾：
1、填表：
函数 图象特征 函数的最值
开口方向 顶点坐标 对称轴
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
2、填空：
① ＝(＋ )2； ② ＝(－ )2；
③ ； ④ .
探索与思考1：函数的图象是抛物线吗
问题1：用配方法将二次函数化成的形式，并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.
探索与思考2：二次函数的顶点坐标公式.
用配方法把二次函数化成的形式.
练一练：
把下列二次函数化成的形式，并指出开口方向、对称轴、 顶点坐标.
1、(1)； (2)； (3)； (4).
2、 (1)； (2) .(3)；
3：二次函数的性质.
二次函数的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )，
对称轴是 的直线(当时， 对称轴是 ).
(1)若，开口向 ,当 时，函数有最 值 .
当 时,随的增大而 ; 当 时,随的增大而 .
(2)若，开口向 ,当 时，函数有最 值 .
当 时,随的增大而 ; 当 时,随的增大而 .
练一练：1、填表：
函数 图象特征 函数的最值
开口方向 顶点坐标 对称轴
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
2、已知二次函数。
（1）确定该函数的图象的顶点在第几象限；
（2）如果该函数的图象经过原点，求它的顶点坐标。
3、已知二次函数。根据下列条件求m的值：
（1）图象经过原点；
（2）图象的对称轴是y轴；
（3）图象的顶点在x轴上。
课堂测评：
1、(1)二次函数通过配方化为y＝ ______ ___，其对称轴是____ __，顶点坐标为___ ____，抛物线开口____ ____，当x___ ____时，y随x 的增大而增大；当x_ ___时，y随x的增大而减小；当x＝____ __时，y 有最 值________．
(2)二次函数通过配方化为y＝ ______ ___，其对称轴是____ __，顶点坐标为___ ____，抛物线开口____ ____，当x___ ____时，y随x 的增大而增大；当x_ ___时，y随x的增大而减小；当x＝____ __时，y 有最 值________．
2、（1）抛物线的对称轴是 ；
（2）抛物线的对称轴是 。
3、当函数取得最小值时，等于 _________。
4、（1）已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是 ；
（2）已知抛物线的顶点的纵坐标是2，则的值是 。
5、下列关于抛物线的说法正确的是 ( )
A．开口向下 B．对称轴方程为 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标为(－１，1)
6、已知：抛物线，当x=—1时有最大值，若x=0,1,—4时对应的函数值分别为y1，y2，y3,则y1，y2，y3的大小关系为 （ ）
A．y1y2>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
7、已知：抛物线，当x=—1时有最大值，若x=—5,—2,1时对应的函数值分别为y1，y2，y3,则y1，y2，y3的大小关系为 （ ）
A．y1y2>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
8、求下列二次函数的顶点坐标、对称轴并求出函数的最大值或最小值.
(1)； (2)；
9、求下列二次函数的顶点坐标、对称轴并求出函数的最大值或最小值.
(1)； (2).
10、开口向下的抛物线的对称轴经过点(－１，3)，则是多少？
11、（1）已知二次函数的最小值为1，求的值；
（2）已知二次函数的最大值为1，求的值.
§2.6课时：二次函数的图象与性质（5）
学习目标：
1、经历用待定系数法求二次函数关系式的过程，加深对二次函数的理解，
2、提高分析问题和解决问题的能力。
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：
（1）已知二次函数的图象经过点(1,2)、(－2,4)，求二次函数的表达式.
（2）已知二次函数的图象经过点(1,2)、(2,3),求二次函数的表达式.
（3）已知二次函数图象经过点M(1，—2)、N(—1，6)，求二次函数的表达式.
二．练一练：
已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是.
（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.
问题2：
（1）已知抛物线的顶点坐标是（3,－１），且经过点（４,1），求二次函数的表达式.
（2）已知二次函数当时，有最大值4,且当时,,求二次函数的表达式.
问题3：
(1)已知抛物线的顶点在直线y＝x－4上，顶点横坐标为3，且过点(4，1) ,
求二次函数的解析式.
(2)已知抛物线经过点（4，－2）,当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且顶点到轴的距离为4,求二次函数的解析式.
三．练一练：
已知二次函数的顶点在直线上,顶点纵坐标是2，并且图象经过点（3，－6），求a、b、c的值.
四．课堂测评：
1、填空：
（1）抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= .
（2）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），
则这条抛物线的表达式为 .
（3）抛物线，经过A（－1，0）、B（３，0）两点，
则这条抛物线的关系式为 .
（4）若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
2、一条抛物线y=经过点（0，）与（4，），求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标和对称轴.
3、已知抛物线的图象经过（－１，0），（0，－3），（2，－3）三点.
(1)求这条抛物线的关系式;(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
4、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的表达式．
5、已知二次函数的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
6、抛物线的顶点在直线y=2x+1上, 且，
求这条抛物线的解析式.
§2.7二次函数与一元二次方程（1）
学习目标：
经历探索二次函数的图象与一元二次方程根的关系的过程，感受“对立统一”的唯物辨证法；
能根据一元二次方程根的情况判断相应二次函数图象与x轴的位置关系；
进一步体会数形结合的数学思想方法．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1．思考与探索：
若抛物线与x轴有交点，则交点的坐标特征是什么？
已知抛物线，求它与轴的交点坐标．
二次函数与一元二次方程有怎样的关系？
问题2．观察与思考：
观察二次函数、和的图象，并分别说出图象与对应方程根的关系．
二．练一练：
判断下列函数的图象与轴是否有公共点，并说明理由．
(1) (2) (3)
问题3．已知抛物线
(1)当取何值时，抛物线与轴有两个交点？
(2)当取何值时, 抛物线与轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．
(3)当取何值时，抛物线与轴没有一个公共点？若函数值总是大于0，求的取值范围．
(4)当取何值时，抛物线与坐标轴只有一个公共点？
问题4．已知二次函数，
(1) 说明：对于任意实数，该二次函数图象与轴必有两个不同交点．
(2) 若图象与轴的两个交点为、，与轴的交点为C，且点坐标为（，），求点、C点的坐标．
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积．
（4）若抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
总结：
三．课堂测评：
1．已知抛物线的图象与轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是 ．
2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
3．抛物线与轴有两个交点，其中整数，则满足条件的＝ （只写一个）
4．若抛物线与坐标轴只有一个交点，则的范围是 ．
5．已知抛物线的图象与轴有两个交点，则的取值范围为 ．
6．已知二次函数的图象与轴交于、两点，在轴上方的抛物线上的有一点，且△的面积等于，则点的坐标为 ．
7．抛物线与轴交于（，），①求的值；②求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标．
8．已知：抛物线，说明：此抛物线与轴必有两个不同交点．
10．已知抛物线与轴交于、两点（A在B的左侧），与轴交于点，顶点为，求
（1）长；
（2）△的面积；
（3）四边形的面积．
§2.8二次函数与一元二次方程(2)
学习目标：
1．经历根据及的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想．
2．根据二次函数的示意图确定及的符号，培养识图能力．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，这条抛物线的形状(开口方向、开口大小)是由
决定的．
a＞0抛物线开口 ；a＜0抛物线开口 ；相同抛物线形状 ．
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置是由 决定的．
c＞0抛物线与y轴交于 ；c＝0抛物线与y轴交于 ；
c＜0抛物线与y轴交于 ．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置是由 决定的．
a与b同号对称轴在y轴 侧；a与b异号对称轴在y轴 侧；
b＝0对称轴就是 ．
三、典例精析：
问题一．由所给y＝ax2＋bx＋c的图象确定a、b、c及b2－4ac的符号．
练一练：
(1)的图象经过第 象限；
的图象经过第 象限．
(2)画出下列函数图象的示意图
①； ②； ③； ④．
问题二．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
(用“＞”、“＝”、“＜”填空)
(1)a 0，b 0，c 0，△ 0；
(2)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(3)；．
练一练：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，
有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；
⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠0)其中正确的有 ．
问题三．
（1）函数y＝ax＋m，y＝a(x＋m)2＋k在同一平面坐标系中的图像大致是( )
(2)已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
四．课堂测评：
1．y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A、a＞0，bc＞0 B、a＜0，bc＞0
C、a＞0，bc＜0 D、a＜0，bc＜0
2．y＝ax2＋c的图象如图所示，则下列结论(1)b2－4ac＞0；(2)a＋b＋c＞0；
(3)a－b＋c＞0；(4)2a＋b＝0其中正确的结论有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图A，则y＝bx2＋cx＋a的图象是 ( )
4．y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c(ac0)在同一直角坐标系中的图象是 ( )
§2.9抛物线与几何图形(1)
学习目标：利用三角形的相关性质，经历探索抛物线与几何图形的关系，感受数形结合等思想方法．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：
(1)已知二次函数y＝ax2(a≥1)的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为 ．
(2)设抛物线y＝x2＋b的顶点为M，与直线y＝6的两交点为A、B，若△AMB的面积为8，则b的值为 ．
问题二：
在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为(－3，1).
(1)求点B的坐标.
(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B1，求ΔAB1B的面积.
问题三：
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴相交于C点．
(1)求△ABC的面积；
(2)已知E点(0，－3)，在第一象限的抛物线上取点D，连结DE，使DE
被x轴平分，试判定四边形ACDE的形状，并证明你的结论．
问题四：
如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点到轴的距离是４，抛物线与轴相交于
、两点，；矩形的边在线段的上，点、在抛物
线上．
(1)请写出、两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
(2)设矩形的周长为，求的最大值.
课堂测评：
抛物线的顶点为，已知的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的周长为 ．
2．在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上，那么点M的坐标是_________.
3．如图，若Ａ(－１，０)、Ｂ(４，０)，∠ACB＝90°，求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
§2.10二次函数的应用(1)——经济问题
学习目标：
1、经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高应用意识．
2、能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值和最小值．
学法指导：利用导学案，采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：
某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租(100≤≤150)亩．预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为(440－2)元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？
问题二：
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件．当销售单价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？
问题三：
某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话.
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克.
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系.
(1)求y(千克)与x(元)(x＞0)的函数关系式；
(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】
课堂测评：
1、已知某人卖盒饭的盒数(个)与所获利润(元)满足关系式，则当卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润___________元．
2、科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润(元)与销售台数(台)满足，则当卖_________台时，所获利润最大．
3、某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额(元)与旅行团的人员(人)满足关系式，要使所获营业额最大，则此时旅行团有 ( )
A．30人 B．40人 C．50人 D．55人
4、书店销售儿童书刊，一天可销售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施，若每套书降价2元，则平均每天多销售4套．
(1)降价多少元时，书店可获最大利润？(2)若每天盈利1200元，则降价多少元？
5、某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量(件)与每件的销售价(元/件)之间的函数关系为．
(1)写出商场每天销售这种服装的毛利润(元)与每件的销售价(元)之间的函数关系(每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)；
(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少？
6、某旅社有客房120间，每间客户的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经过市场调查得知，若每间客房的日租金每增加5元，则客房每天的出租量会减少6间．若不考虑其他因素，旅社把每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
7、某商场购进一批单价为16元的日用品.若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖出210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？
§2.11二次函数的应用(2)——最大面积
学习目标：
1、经历探索面积问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识．
2、能通过分析表示实际图形问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际几何问题中面积的最大值和最小值．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料
总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多
(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
问题二：
如图，用长为24m的篱笆恰好围成一面利用墙(墙的最大可利用长度为10m)且中间有一道篱笆的长方形花圃．设宽AB为m，面积为Sm2．
(1)求S与的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法．
若不能，请说明理由．
问题三：
如图①，在一个直角三角形的的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设矩形一边AB＝xm ，矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(2)如果把矩形改为如图②所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
课堂测评：
如图，用一段长20m铝合金型材制作一个矩形窗框， 窗框的宽和高各为多少时，
该窗的透光面积最大(精确到0.1m，且不计铝合金型材的宽度)？
2、如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm ，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线L上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t＝3s时，求S的值
(2)当t＝5s时，求S的值
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式并求出S的最大值.
3、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C移动．
如果点P、Q分别从点A、B同时出发，移动时间为x s(x＞0)，
△DPQ的面积为Scm2．
(1)写出S(cm2)与的函数关系式；
(2)求出S△DPQ的最小值．
§2.11二次函数的应用(3)
学习目标：
1、通过建立适当的直角坐标系，让学生体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，进一步感受数学建模思想工作数学应用价值；
2、能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.
学习方法指导：利用导学案，采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
（1）建立直角坐标系，求点B、D的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；
问题二：一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流落点D到A点的距离.
问题三：如图一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.
(1)球在空中运行的最大高度为多少
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，他距离篮框
中心的水平距离是4米，请问能否准确落入篮框内？
练习：
1、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，
若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是 ( )
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
2、某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线形组成的，为牢固起见，每段护栏需按0.4m的间距加装不锈钢管的立柱（如图）．
（1）试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式．
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
3、某地区建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花型柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图①所示，建立右图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度(m)与水平距离(m)之间关系式是．
(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米时，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
4、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的河鱼餐船，试探索此船能否开到 桥下 说明理由.
2
-2
4
-4
2
4
6
8
10
2
-2
4
-4
2
4
6
8
10
-6
2
-2
4
-4
2
4
6
8
10
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
Oo
y
x
O
2
1
y
x
-
1
O
1
2
x=1
－1
x
y
O
1
A B C D
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
O
x
y
O
－1
x=1
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
y
x
o
A
y
x
o
B
C
y
x
o
D
y
x
o
A
Ｂ
Ｃ
y
x
1
1
O
x
x
x
C
A
B
D
A
D
B
C
30m
40m
30m
40m
图①
图②
A
D
C
P
R
B
Q
L
G
A
P
B
Q
C
D
C D
x
D
y
A(O)
C
B
3.05米
O
x
y
A
B
0.5m
A
O
图①
O
x
y
A
图②
学习目标：
1、经历探索和表示两个变量之间的函数关系的过程，从中体会二次函数是描述现实世界数量关系的重要数学模型。
2、理解二次函数的概念，会表示简单变量之间的二次函数关系。
学法指导：合作探究式学习
教学过程：
一、问题探索一：
问题1：
（1）一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r的函数关系式__________.
（2）用16m长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，长方形的面积y（cm2）与长方形的长x（cm）之间的关系式是__________________.
（3）要给边长为x m的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y（元）与x（米）之间的函数关系式是____________________.
总结：二次函数是指：
问题2：
(1)下列函数：①；②；③；④，属于二次函数的有__________________。
(2) 若函数是关于的二次函数，则的值为多少？
(3) 取哪些值时，函数
①是以x为自变量的二次函数；②是以x为自变量的一次函数。
二、巩固练习：
1、函数是二次函数的条件是（ ）
A. B.
C. D.
2、下列函数中是二次函数的是（ ）、
A． B． C． D．
3、若函数是二次函数，求的值。
三、问题探索二：
问题3：
写出下列各函数关系式，并判断该函数是不是二次函数。
1、写出正方体的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系式；
2、已知圆柱的高是14cm，写出圆柱的体积V(cm3)与底面半径r（cm）之间的函数关系式；
3、菱形的两条对角线和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一条对角线的长x（cm）之间的函数关系式；
4、正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数关系式；
四．课堂测评：
1、下列函数；①；②；③；④；
⑤；⑥。其中是二次函数的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列函数关系中是二次函数的是（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
3、当时，是二次函数。
4、如果函数是二次函数，那么的取值范围是__________。
5、下列函数关系中，满足二次函数关系的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量的关系
C．圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系
D．距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系
6、已知圆的半径是3，若半径增加，则圆的面积S与之间的函数关系式为( )
A. B. C. D.
7、已知菱形的一条对角线长为cm，另一条对角线是它的倍，试写出菱形的面积S与对角线的函数关系式。
8、已知.
（1）试说明：是的二次函数；
（2）当时，写出与之间的关系式。
§2.2二次函数的图象与性质（1）
学习目标：
1、经历探索二次函数图象作法的过程，进一步感受应用图象发现函数性质的经验.
2、能够利用描点法作出函数的图象，能根据图象初步了解二次函数的性质.
3、能说出二次函数的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值与自变量值变化关系等
学法指导：采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：（1）用描点法画出二次函数的图象，并观察图象的特征．
（2）观察与思考：①二次函数的图象有什么特征？
②在直角坐标系中，画出二次函数的图象．
③二次函数与的图象有什么共同特征？
总结：
问题2：分别写出下列函数图象的、与：
．
开口方向：
顶点坐标：
对 称 轴：
二、巩固练习：
填空：
①当时，函数的值随着自变量的增大而 ；当＝ 时，函数值最 ，最 值是 ；
②当时，函数的值随着自变量的增大而 ；当＝ 时，函数值最 ，最 值是 ．
2、已知二次函数的图象经过点P（２，３），你能确定它的开口方向吗？你能确定的值吗？
三、问题探索：
问题3：已知函数是y关于x的二次函数，请回答下列问题：
（1）求满足条件的m值；
（2）当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y值随x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点坐标是多少？当x在什么范围内，y的值随x的值增大而增大？
四．课堂测评：
1、二次函数的图象是经过点（2，），（－2，）的抛物线，则=________，=________．
2、点P（3，）是抛物线上一点，则=________．
3、二次函数的图象开口向________，对称轴为________，顶点坐标为_____ ____，当_______时，随的增大而增大，当=_______时，的最____值为 ．
4、函数的图象是____________线，顶点坐标为__________，对称轴是_______，图象的开口向___________；当=_______时，函数有最_________值；在对称轴的左侧，随的增大而__________，在对称轴的右侧，随的增大而__________．
5、如果一个二次函数的图象的开口向下，其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），试写一个符合要求的函数关系式为______________．
6、已知函数：①，②，③，④．
（１）图象开口向下的函数是 ；
（２）图象开口向上的函数是 ．
7、已知二次函数的图象开口向下，求的值．
8、当为何值时，是二次函数，且当时，随增大而减小．
9、已知二次函数的图象经过（－2，－3），你能确定它的开口方向吗？
你能确定值吗？试试看．
10、已知二次函数的图象经过点A（，）、B（3，）。
（1）求a与m的值；
（2）写出该图象上点B的对称点的坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）？
§2.3二次函数的图象与性质（2）
学习目标：
1、经历探索二次函数及的图象作法和性质的过程.
2、能够理解函数及与的图象的关系，知道对二次函数的图象的影响.
3、能正确说出函数、的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：观察与思考：
（1）填表：
… －2 －1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… …
（2）在图1直角坐标系中，描点并画出函数的图象：
图1 图2
（3）从点的位置看，函数的图象与函数的图象的位置有什么关系？
想一想：函数的图象与函数的图象有什么关系？
问题2：观察与思考：函数的图象与函数的图象有什么关系？
（1）列表：
… －3 －2 －１ ０ １ 2 3 …
… 9 4 １ ０ １ 4 9 …
… －6 －5 －4 －３ －２ －１ ０ …
… …
（2）在图2直角坐标系中，描点并画出函数的图象．
（3）从表中的数值看，函数的函数值与函数的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系？
（4）从点的位置看，函数的图象与函数的图象的位置有什么关系？
想一想：函数的图象与函数的图象的位置有什么关系？
二、巩固练习：
1、回答下列问题：
①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
2、指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时作草图进行验证：
开口方向、 对称轴 顶点坐标
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
3、已知函数：
①，②，③，
④，⑤，⑥．
（1）图象开口向上的函数是 ，图象开口向下的函数是 ；
（2）图象对称轴是轴的函数是 ，图象对称轴与轴平行的函数是 ．
4、试分别说明下列函数的图象与函数的图象的位置关系：
（1）； （2）．
三.课堂测评：
1、抛物线的开口_________,对称轴是________，顶点坐标是_______，它可以看作是由抛物线向_______平移______个单位得到的。
2、函数，当x______时，函数值y随x的增大而减小.当x______时，函数取得最____值，最____值y=______.
3、抛物线的开口______,对称轴是________,顶点坐标是________,它可以看作是由抛物线向____平移_____个单位长度.
4、函数，当x______时，函数值y随x的增大而减小.当x______时，函数取得最____值，最____值y=_______.
5、在关系式（1）（2）（3）（4）中，是二次函数的是___________________。
6、若函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，则
7、已知抛物线与函数的图象形状相同，且抛物线沿对称轴平行移动两个单位，就能与抛物线完全重合，则
8、如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度，那么所得图象的关系式为____________.
9、写出它们的顶点坐标和对称轴的位置：
10、在同一直角坐标系中作出二次函数的图象，通过观察，回答下列问题：
（1）这几个函数的图象的形状是否相同？
（2）分别说出这几个函数的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）说明函数的图象可分别由函数的图象经过怎样的平移得到。
13、已知二次函数，求：
（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？
2.4二次函数的图象与性质（3）
学习目标：
1、经历把函数的图象沿轴、轴平移后得到函数的图象的探究过程，进一步了解上述图象变换的实质是：图象的形状、大不都没有改变，只是位置发生了变化．
2、能说出函数的图象是如何由抛物线平移得到的，并能说出它的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值与自变量值变化关系等性质．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：思考与探索：函数的图象是抛物线吗？
练一练：回答下列问题：
①抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
②抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
③抛物线由抛物线怎样平移得到的？
④抛物线是由抛物线怎样平移得到的？
⑤抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
⑥抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
问题2：先填表再思考问题：
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数的最值
归纳二次函数的性质：
二、练一练：
指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标及函数值与自变量值变化关系
（1）； （2）； （3）．
三、问题探索二：
(1)已知抛物线与的形状、开口方向相同，且将抛物线沿轴平移2个单位就能与抛物线完全重合，则＝_________，＝__________．
(2)一条抛物线其形状、开口方向与抛物线相同，对称轴与抛物线相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是_______________．
(3)已知二次函数的图象上有三个点A()，B(2, )，C()，则 的大小关系为 （ ）
A. B. C. D.
(4)抛物线与的开口方向和形状都相同，最低的坐标是（―2，―1）．求的解析式，并说明抛物线是怎样由平移得到的；
(5)已知二次函数，求：
①当为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
②当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？
四．课堂测评：
1、（1）把抛物线向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（2）把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（3）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（4）把抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
（5）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（2，－1） D．（2，1）
（6）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，－1） B．（－2，－1） C．（－1，2） D．（－1，－2）
(7)若A、B、C为二次函数的图象上的三点，则、、
的大小关系是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
2、已知函数：
①，②，③，④，⑤，⑥．
（1）图象开口向上的函数是 ，图象开口向下的函数是 ；
（2）图象对称轴是轴的函数是 ，图象对称轴与轴平行的函数是
3、写出下列函数的图象的顶点坐标和对称轴的位置
（1）； （2）
4、将抛物线向右平移２个单位再向上平移1个单位后,求所得的抛物线的顶点坐标.
5、一个二次函数的图象向下平移3个单位长度再向左平移2个单位后，得到二次函数y=的图象，试写出原二次函数的表达式．
6、已知一次函数的图象过抛物线的顶点和坐标原点．
（1）求一次函数的关系式；
（2）判断点（－2，5）是否在此抛物线的图象上．
§2.5二次函数的图象与性质（4）
学习目标：
1、会用配方法把二次函数化成的形式；
2、会用公式法求二次函数的顶点坐标；
3、理解函数的性质。
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
知识回顾：
1、填表：
函数 图象特征 函数的最值
开口方向 顶点坐标 对称轴
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
2、填空：
① ＝(＋ )2； ② ＝(－ )2；
③ ； ④ .
探索与思考1：函数的图象是抛物线吗
问题1：用配方法将二次函数化成的形式，并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.
探索与思考2：二次函数的顶点坐标公式.
用配方法把二次函数化成的形式.
练一练：
把下列二次函数化成的形式，并指出开口方向、对称轴、 顶点坐标.
1、(1)； (2)； (3)； (4).
2、 (1)； (2) .(3)；
3：二次函数的性质.
二次函数的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )，
对称轴是 的直线(当时， 对称轴是 ).
(1)若，开口向 ,当 时，函数有最 值 .
当 时,随的增大而 ; 当 时,随的增大而 .
(2)若，开口向 ,当 时，函数有最 值 .
当 时,随的增大而 ; 当 时,随的增大而 .
练一练：1、填表：
函数 图象特征 函数的最值
开口方向 顶点坐标 对称轴
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
2、已知二次函数。
（1）确定该函数的图象的顶点在第几象限；
（2）如果该函数的图象经过原点，求它的顶点坐标。
3、已知二次函数。根据下列条件求m的值：
（1）图象经过原点；
（2）图象的对称轴是y轴；
（3）图象的顶点在x轴上。
课堂测评：
1、(1)二次函数通过配方化为y＝ ______ ___，其对称轴是____ __，顶点坐标为___ ____，抛物线开口____ ____，当x___ ____时，y随x 的增大而增大；当x_ ___时，y随x的增大而减小；当x＝____ __时，y 有最 值________．
(2)二次函数通过配方化为y＝ ______ ___，其对称轴是____ __，顶点坐标为___ ____，抛物线开口____ ____，当x___ ____时，y随x 的增大而增大；当x_ ___时，y随x的增大而减小；当x＝____ __时，y 有最 值________．
2、（1）抛物线的对称轴是 ；
（2）抛物线的对称轴是 。
3、当函数取得最小值时，等于 _________。
4、（1）已知抛物线的顶点的横坐标是2，则的值是 ；
（2）已知抛物线的顶点的纵坐标是2，则的值是 。
5、下列关于抛物线的说法正确的是 ( )
A．开口向下 B．对称轴方程为 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标为(－１，1)
6、已知：抛物线，当x=—1时有最大值，若x=0,1,—4时对应的函数值分别为y1，y2，y3,则y1，y2，y3的大小关系为 （ ）
A．y1
7、已知：抛物线，当x=—1时有最大值，若x=—5,—2,1时对应的函数值分别为y1，y2，y3,则y1，y2，y3的大小关系为 （ ）
A．y1
8、求下列二次函数的顶点坐标、对称轴并求出函数的最大值或最小值.
(1)； (2)；
9、求下列二次函数的顶点坐标、对称轴并求出函数的最大值或最小值.
(1)； (2).
10、开口向下的抛物线的对称轴经过点(－１，3)，则是多少？
11、（1）已知二次函数的最小值为1，求的值；
（2）已知二次函数的最大值为1，求的值.
§2.6课时：二次函数的图象与性质（5）
学习目标：
1、经历用待定系数法求二次函数关系式的过程，加深对二次函数的理解，
2、提高分析问题和解决问题的能力。
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1：
（1）已知二次函数的图象经过点(1,2)、(－2,4)，求二次函数的表达式.
（2）已知二次函数的图象经过点(1,2)、(2,3),求二次函数的表达式.
（3）已知二次函数图象经过点M(1，—2)、N(—1，6)，求二次函数的表达式.
二．练一练：
已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是.
（1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.
问题2：
（1）已知抛物线的顶点坐标是（3,－１），且经过点（４,1），求二次函数的表达式.
（2）已知二次函数当时，有最大值4,且当时,,求二次函数的表达式.
问题3：
(1)已知抛物线的顶点在直线y＝x－4上，顶点横坐标为3，且过点(4，1) ,
求二次函数的解析式.
(2)已知抛物线经过点（4，－2）,当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且顶点到轴的距离为4,求二次函数的解析式.
三．练一练：
已知二次函数的顶点在直线上,顶点纵坐标是2，并且图象经过点（3，－6），求a、b、c的值.
四．课堂测评：
1、填空：
（1）抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= .
（2）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），
则这条抛物线的表达式为 .
（3）抛物线，经过A（－1，0）、B（３，0）两点，
则这条抛物线的关系式为 .
（4）若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
2、一条抛物线y=经过点（0，）与（4，），求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标和对称轴.
3、已知抛物线的图象经过（－１，0），（0，－3），（2，－3）三点.
(1)求这条抛物线的关系式;(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
4、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的表达式．
5、已知二次函数的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
6、抛物线的顶点在直线y=2x+1上, 且，
求这条抛物线的解析式.
§2.7二次函数与一元二次方程（1）
学习目标：
经历探索二次函数的图象与一元二次方程根的关系的过程，感受“对立统一”的唯物辨证法；
能根据一元二次方程根的情况判断相应二次函数图象与x轴的位置关系；
进一步体会数形结合的数学思想方法．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题1．思考与探索：
若抛物线与x轴有交点，则交点的坐标特征是什么？
已知抛物线，求它与轴的交点坐标．
二次函数与一元二次方程有怎样的关系？
问题2．观察与思考：
观察二次函数、和的图象，并分别说出图象与对应方程根的关系．
二．练一练：
判断下列函数的图象与轴是否有公共点，并说明理由．
(1) (2) (3)
问题3．已知抛物线
(1)当取何值时，抛物线与轴有两个交点？
(2)当取何值时, 抛物线与轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．
(3)当取何值时，抛物线与轴没有一个公共点？若函数值总是大于0，求的取值范围．
(4)当取何值时，抛物线与坐标轴只有一个公共点？
问题4．已知二次函数，
(1) 说明：对于任意实数，该二次函数图象与轴必有两个不同交点．
(2) 若图象与轴的两个交点为、，与轴的交点为C，且点坐标为（，），求点、C点的坐标．
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积．
（4）若抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
总结：
三．课堂测评：
1．已知抛物线的图象与轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是 ．
2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
3．抛物线与轴有两个交点，其中整数，则满足条件的＝ （只写一个）
4．若抛物线与坐标轴只有一个交点，则的范围是 ．
5．已知抛物线的图象与轴有两个交点，则的取值范围为 ．
6．已知二次函数的图象与轴交于、两点，在轴上方的抛物线上的有一点，且△的面积等于，则点的坐标为 ．
7．抛物线与轴交于（，），①求的值；②求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标．
8．已知：抛物线，说明：此抛物线与轴必有两个不同交点．
10．已知抛物线与轴交于、两点（A在B的左侧），与轴交于点，顶点为，求
（1）长；
（2）△的面积；
（3）四边形的面积．
§2.8二次函数与一元二次方程(2)
学习目标：
1．经历根据及的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想．
2．根据二次函数的示意图确定及的符号，培养识图能力．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，这条抛物线的形状(开口方向、开口大小)是由
决定的．
a＞0抛物线开口 ；a＜0抛物线开口 ；相同抛物线形状 ．
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置是由 决定的．
c＞0抛物线与y轴交于 ；c＝0抛物线与y轴交于 ；
c＜0抛物线与y轴交于 ．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置是由 决定的．
a与b同号对称轴在y轴 侧；a与b异号对称轴在y轴 侧；
b＝0对称轴就是 ．
三、典例精析：
问题一．由所给y＝ax2＋bx＋c的图象确定a、b、c及b2－4ac的符号．
练一练：
(1)的图象经过第 象限；
的图象经过第 象限．
(2)画出下列函数图象的示意图
①； ②； ③； ④．
问题二．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
(用“＞”、“＝”、“＜”填空)
(1)a 0，b 0，c 0，△ 0；
(2)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(3)；．
练一练：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，
有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；
⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠0)其中正确的有 ．
问题三．
（1）函数y＝ax＋m，y＝a(x＋m)2＋k在同一平面坐标系中的图像大致是( )
(2)已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
四．课堂测评：
1．y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A、a＞0，bc＞0 B、a＜0，bc＞0
C、a＞0，bc＜0 D、a＜0，bc＜0
2．y＝ax2＋c的图象如图所示，则下列结论(1)b2－4ac＞0；(2)a＋b＋c＞0；
(3)a－b＋c＞0；(4)2a＋b＝0其中正确的结论有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图A，则y＝bx2＋cx＋a的图象是 ( )
4．y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c(ac0)在同一直角坐标系中的图象是 ( )
§2.9抛物线与几何图形(1)
学习目标：利用三角形的相关性质，经历探索抛物线与几何图形的关系，感受数形结合等思想方法．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：
(1)已知二次函数y＝ax2(a≥1)的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为 ．
(2)设抛物线y＝x2＋b的顶点为M，与直线y＝6的两交点为A、B，若△AMB的面积为8，则b的值为 ．
问题二：
在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为(－3，1).
(1)求点B的坐标.
(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B1，求ΔAB1B的面积.
问题三：
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴相交于C点．
(1)求△ABC的面积；
(2)已知E点(0，－3)，在第一象限的抛物线上取点D，连结DE，使DE
被x轴平分，试判定四边形ACDE的形状，并证明你的结论．
问题四：
如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点到轴的距离是４，抛物线与轴相交于
、两点，；矩形的边在线段的上，点、在抛物
线上．
(1)请写出、两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
(2)设矩形的周长为，求的最大值.
课堂测评：
抛物线的顶点为，已知的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的周长为 ．
2．在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点(A在B左侧)，与y轴相交于点C.如果点M在y轴右侧的抛物线上，那么点M的坐标是_________.
3．如图，若Ａ(－１，０)、Ｂ(４，０)，∠ACB＝90°，求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
§2.10二次函数的应用(1)——经济问题
学习目标：
1、经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高应用意识．
2、能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大值和最小值．
学法指导：利用导学案，采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：
某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租(100≤≤150)亩．预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为(440－2)元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？
问题二：
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件；而单价每降低1元，就可以多售出200件．当销售单价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？
问题三：
某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话.
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克.
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元.
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系.
(1)求y(千克)与x(元)(x＞0)的函数关系式；
(2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】
课堂测评：
1、已知某人卖盒饭的盒数(个)与所获利润(元)满足关系式，则当卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润___________元．
2、科技园电脑销售部经市场调查发现，销售某型号电脑所获利润(元)与销售台数(台)满足，则当卖_________台时，所获利润最大．
3、某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获营业额(元)与旅行团的人员(人)满足关系式，要使所获营业额最大，则此时旅行团有 ( )
A．30人 B．40人 C．50人 D．55人
4、书店销售儿童书刊，一天可销售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施，若每套书降价2元，则平均每天多销售4套．
(1)降价多少元时，书店可获最大利润？(2)若每天盈利1200元，则降价多少元？
5、某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量(件)与每件的销售价(元/件)之间的函数关系为．
(1)写出商场每天销售这种服装的毛利润(元)与每件的销售价(元)之间的函数关系(每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差)；
(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少？
6、某旅社有客房120间，每间客户的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经过市场调查得知，若每间客房的日租金每增加5元，则客房每天的出租量会减少6间．若不考虑其他因素，旅社把每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
7、某商场购进一批单价为16元的日用品.若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖出210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？
§2.11二次函数的应用(2)——最大面积
学习目标：
1、经历探索面积问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识．
2、能通过分析表示实际图形问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际几何问题中面积的最大值和最小值．
学法指导：合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料
总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多
(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
问题二：
如图，用长为24m的篱笆恰好围成一面利用墙(墙的最大可利用长度为10m)且中间有一道篱笆的长方形花圃．设宽AB为m，面积为Sm2．
(1)求S与的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法．
若不能，请说明理由．
问题三：
如图①，在一个直角三角形的的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设矩形一边AB＝xm ，矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(2)如果把矩形改为如图②所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
课堂测评：
如图，用一段长20m铝合金型材制作一个矩形窗框， 窗框的宽和高各为多少时，
该窗的透光面积最大(精确到0.1m，且不计铝合金型材的宽度)？
2、如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm ，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线L上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t＝3s时，求S的值
(2)当t＝5s时，求S的值
(3)当5s≤t≤8s时，求S与t的函数关系式并求出S的最大值.
3、已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿边BC以2cm/s的速度向点C移动．
如果点P、Q分别从点A、B同时出发，移动时间为x s(x＞0)，
△DPQ的面积为Scm2．
(1)写出S(cm2)与的函数关系式；
(2)求出S△DPQ的最小值．
§2.11二次函数的应用(3)
学习目标：
1、通过建立适当的直角坐标系，让学生体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，进一步感受数学建模思想工作数学应用价值；
2、能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.
学习方法指导：利用导学案，采用学生自学和小组讨论的方式进行合作探究式学习。
教学过程：
一、问题探索：
问题一：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
（1）建立直角坐标系，求点B、D的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；
问题二：一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流落点D到A点的距离.
问题三：如图一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.
(1)球在空中运行的最大高度为多少
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，他距离篮框
中心的水平距离是4米，请问能否准确落入篮框内？
练习：
1、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，
若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是 ( )
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
2、某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线形组成的，为牢固起见，每段护栏需按0.4m的间距加装不锈钢管的立柱（如图）．
（1）试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式．
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
3、某地区建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花型柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图①所示，建立右图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度(m)与水平距离(m)之间关系式是．
(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米时，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
4、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的河鱼餐船，试探索此船能否开到 桥下 说明理由.
2
-2
4
-4
2
4
6
8
10
2
-2
4
-4
2
4
6
8
10
-6
2
-2
4
-4
2
4
6
8
10
x
y
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x
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y
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x
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x
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y
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O
2
1
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x
-
1
O
1
2
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－1
x
y
O
1
A B C D
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
O
x
y
O
－1
x=1
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
y
x
o
A
y
x
o
B
C
y
x
o
D
y
x
o
A
Ｂ
Ｃ
y
x
1
1
O
x
x
x
C
A
B
D
A
D
B
C
30m
40m
30m
40m
图①
图②
A
D
C
P
R
B
Q
L
G
A
P
B
Q
C
D
C D
x
D
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A(O)
C
B
3.05米
O
x
y
A
B
0.5m
A
O
图①
O
x
y
A
图②