2022-2023学年青岛版数学九年级上册 第三章对圆的进一步认识 复习与测试(含答案)

第三章 复习与测试
一、单选题
1．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．cm
2．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）
A．10 B．18 C．20 D．22
3．如图，已知 的直径 与弦 的夹角为 ，过 点的切线 与 的延长线交于点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，△ABP内接于⊙O1，点C，E分别在⊙O2，⊙O3上．如图，
①以C为圆心，AP长为半径作弧交⊙O2于点D，连接CD；
②以E为圆心，BP长为半径作弧交⊙O3于点F，连接EF；
下面有四个结论：
①CD+EF＝AB；
②；
③∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；
④∠CDO2+∠EFO3＝∠P；
所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③④
5．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P与⊙A的位置关系是（ ）
A．P在⊙A上 B．P在⊙A内 C．P在⊙A外 D．不确定
6．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）
A．2π+2 B．3π C． D．+2
7．下列四个图形中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是_____．
12．如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，，的长为π，则图中阴影部分的面积为 _____．
13．正八边形的中心角等于______度
14．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为______．
15．若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则它的内切圆半径为_______．
三、解答题
16．已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
17．已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．
（1）求证：BC是⊙O2的切线；
（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．
18．如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）．
（1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若半径为1，，求的长．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．
（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AB AC＝2R h；
（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．
20．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
参考答案：
1．C【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
2．C【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB．
3．B【分析】连接OC，由切线的性质可求出，再根据题意可知，即求出，最后根据三角形内角和定理即可求出的大小．
【详解】如图，连接OC，
由切线的性质可知，即．
∵OA=OC，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
4．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：由题意得，AP＝CD，BP＝EF，
∵AP+BP＞AB，
∴CD+EF＞AB；
∵⊙O1，⊙O2，⊙O3是等圆，
∴弧AP=弧CD，弧BP=弧EF，
∵弧AP+弧BP=弧AB，
∴弧CD+弧EF=弧AB；
∴∠CO2D＝∠AO1P，∠EO3F＝∠BO1P，
∵∠AO1P+∠BO1P＝∠AO1P，
∴∠CO2D+∠EO3F＝∠AO1B；
∵∠CDO2＝∠APO1，∠BPO1＝∠EFO3，
∵∠P＝∠APO1+∠BPO1，
∴∠CDO2+∠EFO3＝∠P，
∴正确结论的序号是②③④，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，准确计算是解题的关键．
5．B【分析】根据题意，由A、P两点坐标求出AP长度，然后和圆的半径比较大小，判断圆与点的位置关系．
【详解】解：∵A的坐标为(3，4)，点P的坐标是(5，8)，
∴AP＝，
∵⊙A的半径为5，且，
∴点P在⊙A的内部．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据两点的坐标求得点P与圆心A的距离．
6．C【分析】利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝+
+＝，
故选：C．
【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．D【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
8．B【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，
∴ON=，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
9．B【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
10．D【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP=PH，设PA=PH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【详解】如图作PH⊥BC于H．
∵弧AD=弧BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA=PH，设PA=PH=x，
∵PC=PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH，
∴AC=CH=3，
∵BC==5，
∴BH=2，
在Rt△PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴（4-x）2=x2+22，
解得x=，
∴PC= ，
故选：D．
【点睛】此题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．11≤a≤12【分析】由题意得，筷子露在杯子外面的最长值是筷子的长度减去杯子的高度，最短是筷子的长度减去杯子斜边AB的长度，根据勾股定理求出杯子斜边AB长度，即可求出a的取值范围．
【详解】当筷子与杯底垂直时a最大，a最大＝24﹣12＝12，
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，
如图所示：此时，
因此a的最小值为：a最小＝24﹣13＝11，
所以a的取值范围是：11≤a≤12．
故答案是：11≤a≤12．
【点睛】本题主要考查的就是直角三角形的勾股定理的实际应用问题，在解决“竹竿过门”、立体图形中最大值的问题时，我们一般都会采用勾股定理来进行说明，从而得出答案，我们在解决在几何体中求最短距离的时候，我们一般也是将立体图形转化为平面图形，然后利用勾股定理来进行求解．
12．【分析】连接OM，ON，OA，设半圆半径为r．由切线的性质可知，从而可求出，进而可求出．由的长为π，利用弧长公式即可求出r的长．根据所连辅助线结合题意，易证，即得出，，从而可求出的长．最后根据结合三角形和扇形的面积公式，即可求出．
【详解】解：如图，连接OM，ON，OA，设半圆半径为r．
∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵的长为π，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∴，
∴．
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，弧长公式，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理和扇形的面积公式，综合性强．连接常用的辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
13．45【分析】已知该多边形为正八边形，代入中心角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于．
14．【分析】连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD=∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD=，从而得到tan∠P的值．
【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD= ∠AOB，
∵∠APB= ∠AOB，
∴∠AOD=∠APB，
在Rt△AOD中，tan∠AOD= =，
∴tan∠P=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理和正切的定义，解决本题的关键是要熟练利用圆周角的性质和正切定义.
15．1【分析】根据三角形的两种面积计算方法可以得到解答．
【详解】解：设三角形内切圆的半径为r，则由题意得：
， 解得：r=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
16．见解析【分析】作出∠A的平分线和线段BC的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心O，再以OB为半径画出⊙O，得出答案．
【详解】解：如图所示：⊙O即为所求．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线和垂直平分线的作法是解题关键．
17．（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意得出O1P＝AP＝O2P＝O1O2，则可得出∠O1AO2＝90°，由平行线的性质可得出∠O1BC＝90°，过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，证得O2D＝r2，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠BO1C＝60°，由勾股定理求出BC长，则可根据S阴影＝ 求出答案．
【详解】（1）证明：连接AP，
∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，
∴O1P＝AP＝O2P＝O1O2，
∴∠O1AO2＝90°，
∵BC//O2A，
∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，
过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，
∴四边形ABDO2是矩形，
∴AB＝O2D，
∵O1A＝r1+r2，
∴O2D＝r2，
∴BC是⊙O2的切线；
（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，
∴O1A＝O1O2，
∴∠BO1C＝60°，
∴O1C＝2O1B＝4，
∴BC＝ ＝ ，
∴S阴影＝
＝O1B×BC-
＝
＝ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于，作直线交于点，直线即为所求．
（2）设，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，直线即为所求．
（2）连接，．
是的内切圆，，，是切点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，设，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）2cosα【详解】解：（1）证明：如图1，连接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，
又∵OD是半径，∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，
∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，
又∵∠AHB＝∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴，
∴AB AC＝AF AH＝2R h；
（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，
∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，
∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，
∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，
∵DQ＝DP，AD＝AD，
∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，
∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，
∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．
（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝，即可求解．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）连接，
是的直径，
，即，
，
连接，
∵点C为劣弧的中点，
，
∵，
∵OC是的半径，
∴CE是的切线；
（2）连接
，，
∵点C为劣弧的中点，
，
，
，
，
∴S扇形FOC=，
即阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．