【精选备课】2022-2023学年数学沪教版（上海）九年级第一学期 期中测试（含解析）

期中测试
一、单选题
1．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A． B． C． D．2＋2
3．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
4．如图，AD//BC，∠D=90°，AD=3，BC=4，DC=6，若在边 DC上有点P，使△PAD 与△PBC相似，则这样的点 P 有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　)
A． B． C． D．
6．将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A．2 B．或2 C． D．或2
7．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，1）
C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
9．如图，菱形 ABCD 的边长为4 ，A 60， M 是 AD 的中点， N 是 AB 边上一动点， 将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN ，连接 AC ，则当 AC 取得最小值时， tan DCA的值为（ 　）
A． B． C． D．
10．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是_____元．
12．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）
13．如图，在矩形ABCD中，E，F为边AD上两点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落在BF上的A'处，且A′E＝A'F，再将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点C落在BF上的C'处，折痕交CD于点H，将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合．已知AE＝，则AD＝_____．
14．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
15．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为，的正方形拼成一个大正方形．图中的斜边的长等于________（用，的代数式表示）．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ABF；
（2）若，AF＝6，求GF的长．
17．为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin55°58′≈0.83，cos55°58′≈0.56，tan55°58′≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
18．某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题：测量古塔的高度
小明的研究报告 小红的研究报告
图示
测量方案与测量数据 用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m． 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．
参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，
计算古塔高度(结果精确到0.1m) 30×tan35°+1.6≈22.6(m)
（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；
（2）数学老师说小红的结果比较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．请你针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因．
19．据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在底面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处，金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K，与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE，射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE），此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米，求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）
20．如图，在的正三角形的网格中，的三个顶点都在格点上．请按要求画图和计算：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．
（1）在图1中，画出的边上的中线．
（2）在图2中，求的值．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】
∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
2．B
【解析】
【分析】
过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】
解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，，
∴，
∴，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，，
∴△ADB∽△APC，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC PD∴，
当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
4．A
【解析】
【分析】
根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=∠D=90°，
∵DC=6，AD=3，BC=4，
设PD=x，则PC=6-x．
①若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC，
则，
解得：x=，
经检验：x=是原方程的解；
②若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△BPC，
则，
解得：x无解，
所以这样的点P存在的个数有1个．
故选：A．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解本题的关键．
5．A
【解析】
【分析】
先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】
解：∵，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题
【详解】
∵沿折叠后点C和点D重合，
∴，
设，则，
以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得．
综上，的长为或2，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】
解：∵∠ADE＝∠B，
∴
故A能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
∠AED＝∠C，
∴
故B能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，
∴
故C能判定△ADE与△ABC相似，不符合题意；
，条件未给出，不能判定△ADE与△ABC相似，故D符合题意
故选D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,据此求解即可得．
【详解】
解：以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点B的坐标为则点B的对应点B'的坐标为或，即或
故选：C．
【点睛】
题目主要考查位似变换的性质，理解运用其性质是解题关键．
9．B
【解析】
【分析】
首先根据两点之间线段最短确定点的位置，再作MH⊥DC，然后根据菱形的性质可知MD，∠HDM，再根据30°直角三角形的性质求出HD和HM，进而求出CH，最后根据正切值定义求出答案即可．
【详解】
因为是定值，两点之间线段最短，即当点在MC上时，取最小值．
过点M作MH⊥DC于点H．
边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，
∵M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=60°，
∴∠MDH=∠HDM=60°，
∴∠HMD=30°，
∴，
∴，
∴CH=HD+CD=5，
∴，
∴的值为．
故选：B．
【点睛】
这是一道应用菱形的性质求线段最短问题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质等．
10．C
【解析】
【分析】
设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案
【详解】
解：设它的最大边长为，
∵两个四边形相似，
∴，
解得，
即该四边形的最大边长为．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
11．1080
【解析】
【分析】
直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
【详解】
∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【点睛】
此题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.
12．2.0或3.3
【解析】
【分析】
由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别由△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可得答案．
【详解】
∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），
∴OA==5，OB=7，AB==4，
若△OA′D∽△OAB，
则，
设AD=x，
则OD=5﹣x，A′D=x，
即，
解得：x≈2.2，
∴，
∴OA′=2.0；
若△OA′D∽△OBA，
则，
同理：可得：OA′≈3.3．
故答案为2.0或3.3．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解是解题关键．
13．
【解析】
【分析】
由折叠的性质得出△A'EF为等腰直角三角形，得出EF＝A'E＝2，∠EFC'＝45°，求出AF＝AE+EF＝+2，证明△ABF为等腰直角三角形，求出AB的长，证明△FDH∽△EAB，由相似三角形的性质得出，求出DF的长，则可得出答案．
【详解】
解：∵AE＝A'E，
∴A'E＝，
∵A'E＝A'F，∠EA'B＝∠EAB＝90°，
∴△A'EF为等腰直角三角形，
∴EF＝A'E＝2，∠EFC'＝45°，
∴AF＝AE+EF＝+2，△ABF为等腰直角三角形，
∴AB＝AF＝+2，∠ABF＝45°，
∴∠ABE＝∠HBF＝22.5°，
∴∠AEB＝67.5°，
∵将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合，
∴∠C'FH＝∠DFH＝67.5°，
∴∠AEB ＝∠DFH，
又∵∠A＝∠D，
∴△FDH∽△EAB，
∴，
∵DH＝C'H＝CH，
∴DH＝
∴DF＝AE＝，
∴AD＝AE+EF+DF＝+2．
故答案为：+2．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
14．3
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．
15．
【解析】
【分析】
根据题意及勾股定理可得BC2=；又因Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，根据射影定理可得BC2=a AB，由此即可解答．
【详解】
根据题意及勾股定理可得：BC2=；
由题意可得：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，
∴BC2=a AB，
即可得AB=．
故答案为．
【点睛】
本题考查射影定理的知识，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
16．（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得∠DAG=∠BAF，再由∠ADE=∠B，即可证明△ADG∽△ABF；
（2）由△ADG∽△ABF，可得，即可得到，则GF=AF-AG=2．
【详解】
解：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG=∠BAF，
∵∠ADE=∠B，
∴△ADG∽△ABF；
（2）∵△ADG∽△ABF，
∴，
∵，，
∴，
∴GF=AF-AG=2．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
17．避雷针BC的长度为4.8米．
【解析】
【分析】
解直角三角形求出CD，BD，根据BC=CD-BD求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，∵，
∴1.48=，
∵AD=80米，
∴BD=118.4（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=，
∴1.54=，
∴CD=123.2（米），
∴BC=CD-BD=4.8（米）
答：避雷针BC的长度为4.8米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（1）见解析，古塔的高度为26.8m；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离
【解析】
【分析】
（1）设，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用正切函数得出，求解，结合图形求解即可得出；
（2）对比小红的测量方法，结合题意：用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离即可得出误差较大的原因．
【详解】
解：(1)设，
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
即m，
∴m，
答：古塔的高度为26.8m．
(2)原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．
【点睛】
题目主要考查利用正切函数解三角形的应用，理解题意，依据正切函数列出方程是解题关键．
19．金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．
【解析】
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】
解：∵FGHI是正方形，点B在正方形的中心，BC⊥HG，
∴BK∥FG，BK==×160=80，
∵根据同一时刻物高与影长成正比例，
∴，即，
解得：AB=米，
连接AK，
=1.833．
∴金字塔的高度AB为米，斜坡AK的坡度为1.833．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
20．（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质分别作出AB、AC的中点E、F，再利用三角形重心的性质即可作出△ABC的BC边上的中线AD；
（2）利用平行线的性质可得∠AEC=∠FDC，再利用菱形及等边三角形的性质可求得DH、CH的长，继而求得CD的长，从而求得答案．
【详解】
（1）如图，线段AD就是所求作的中线；
（2）如图：在的正三角形的网格中，
∵MN∥AB∥FD，
∴∠AEC=∠FDC，
∵四边形CMGN为菱形，且边长为5，
∴CG⊥MN，
∴CG⊥FD，
，
∴CG=2OG=5，
∵△GFD为等边三角形，且边长为2，
同理：HG=，
∴在Rt△CDH中，∠CHD=90，DH=1，CH=CG-HG=4，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，菱形的性质、等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．