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专题01:正数和负数
一、单选题
1.北京与柏林的时差为7小时,例如,北京时间14:00,同一时刻的柏林时间是7:00.小丽和小红分别在北京和柏林,她们相约在各自当地时间8:00~17:00之间选择一个时刻开始通话,这个时刻可以是北京时间( )
A.9:30 B.11:30 C.13:30 D.15:30
2.桌子上有6只杯口朝上的茶杯,每次翻转其中的4只,经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下,则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.下列说法错误的是( ).
A.0既不是正数,也不是负数
B.零上6摄氏度可以写成+6℃,也可以写成6℃
C.向东走一定用正数表示,向西走一定用负数表示
4.纽约、悉尼与北京的时差如下表(正数表示同一时刻比北京早的时数,负数表示同一时刻比北京晚的时数):当北京10月8日时,悉尼、纽约的时间分别是( )
城市 悉尼 纽约
时差/时
A.10月8日时;10月9日时 B.10月8日时;10月8日时
C.10月8日时;10月9日时 D.10月8日时;10月8日时
5.如果温度上升1℃记作℃,那么温度下降5℃,应记作( )
A.℃ B.℃ C.℃ D.℃
6.一个水库某天8:00的水位为(以警戒线为基准,记高于警戒线的水位为正).在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下(记上升为正,单位:m):0.5,,0,;,●(最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染),经过6次水位升降后,水库的水位恰好位于警戒线,则被墨水污染的数值是( )
A.0.7 B.0.8 C.0.9 D.1.0
7.如图所示的是图纸上一个零件的标注,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是( )
A.29.8mm B.30.03mm C.30.02mm D.29.98mm
8.我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数,若气温升高时,气温变化记作,那么气温下降时,气温变化记作( )
A. B. C. D.
9.以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间,若表中给出的是国外四个城市与北京的时差,则这五个时钟对应的城市从左到右依次是( )
城市 时差/h
纽约 ﹣13
悉尼 +2
伦敦 ﹣8
罗马 ﹣7
A.纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B.罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C.伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D.北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
10.一跳蚤在一直线上从点开始,第次向右跳个单位,紧接着第2次向左跳个单位,第次向右跳个单位,第次向左跳个单位,……,依此规律跳下去,当它跳第次落下时,落点处离点的距离是( )个单位.
A. B. C. D.
二、填空题
11.观察下面各等式,找出规律.
;;;;……第n个等式为___________________.
12.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温零上记做,若气温零下,则记作_________.
13.一食品的包装袋上标有克,这种食品一袋的最小重量不低于___________克.
14.某公司生产的一种小零食的包装袋上印有(70±2)g的字样,质检局随机抽查了5袋该产品,质量分别为67g、69g、70g、71g、74g,合格的共有_____袋.
15.如果收入80元记作元,那么支出90元记作______元.
16.中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作元,那么支出80元可表示为____.
17.张亮同学的身份证号码为:320723201208034231,则他的出生时的月份为_____.
18.比较大小:____.
19.一幢大楼地面上有12层,还有地下室2层,如果把地面上的第1层作为基准,记为0,规定向上为正,那么习惯上将第3层记为_____.
20.在一次区级数学竞赛中,某校8名参赛学生的成绩与全区参赛学生平均成绩80分的差分别为单位:分:5,,8,14,7,5,9,,则该校8名参赛学生的平均成绩是______ .
三、解答题
21.动脑筋、找规律.邱老师给小明出了下面的一道题,如图,请根据数字排列的规律.探索下列问题:
(1)在B处的数是正数还是负数?
(2)负数排在 ,,, 中的什么位置?
(3)第 个数是正数还是负数?排在对应于 ,,, 中的什么位置?
22.现测量一栋楼的高度,七次测得的数据分别是:
79.4米,80.6米,80.8米,79.1米,80米,79.6米,80.5米.
(1)若以80为标准,用正数表示超出部分,用负数表示不足部分,他们对应的数分别是什么?
(2)这七次测量的平均值是多少?(直接写出答案即可)
23.一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作,清雪车早晨从A处出发,清雪结束时停留在B处.规定向东为正,当天行驶记录如下:(单位:千米)
﹣15,+8,﹣7,+18,+6,﹣12.4,+6,﹣5.1.
(1)B处在A处何方?距A处多少千米?
(2)一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米,求这辆清雪车这一天的清雪量.
24.出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午所接六位乘客的行车里程(单位:km)如下:-4,+9,-10,+10,-5,-12.问:
(1)将最后一位乘客送到目的地时,小李在什么位置?
(2)若汽车耗油量为0.08L/km,这天上午小李接送乘客,出租车共耗油多少升?
(3)若出租车起步价为10元,起步里程为3km(包括3km),超过部分每千米1.5元,则小李这天上午共得车费多少元?
25.出租车司机小李某天从家出发,上午营运都是在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午行车路程(单位:千米)如下:.﹣2,+5,﹣1,+10,﹣15,﹣3.
(1)将最后一位乘客送到目的地时,小李距家多远?此时在家的东边还是西边?
(2)若出租车起步价为8元,起步路程为3千米(即乘车路程不超过3千米都为8元),若乘车路程超过3千米,则超过部分每千米加收1.2元.问司机小李今天上午共收入多少元?
(3)若汽车耗油量为0.1升/千米,小李从家出发到最后回到家里,这天小李共耗油多少升?
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专题01:正数和负数
一、单选题
1.北京与柏林的时差为7小时,例如,北京时间14:00,同一时刻的柏林时间是7:00.小丽和小红分别在北京和柏林,她们相约在各自当地时间8:00~17:00之间选择一个时刻开始通话,这个时刻可以是北京时间( )
A.9:30 B.11:30 C.13:30 D.15:30
【答案】D
【分析】根据柏林时间比北京时间早7小时解答即可.
【详解】解:由题意得,柏林时间比北京时间早7小时,
当柏林时间为8:00,则北京时间为15:00;当北京时间为17:00,则柏林时间为10:00;
所以这个时间可以是北京时间的15:00到17:00之间,
故选:D.
【点睛】本题考查了正数和负数,解此题的关键是根据题意写出算式,即把实际问题转化成数学问题.
2.桌子上有6只杯口朝上的茶杯,每次翻转其中的4只,经过次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】用“+”表示杯口朝上,用“-”表示杯口朝下,找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案.
【详解】用“+”表示杯口朝上,用“-”表示杯口朝下,
开始时+ + + + + +
第一次- - - - + +
第二次- + + + - +
第三次- - - - - -
∴n的最小值为3.
故选:B.
【点睛】本题考查正负数的应用,解题的思路是用正负号来表示杯口的朝向,尝试用最少的次数使杯口全部朝下.
3.下列说法错误的是( ).
A.0既不是正数,也不是负数
B.零上6摄氏度可以写成+6℃,也可以写成6℃
C.向东走一定用正数表示,向西走一定用负数表示
【答案】C
【分析】根据有理数的概念和性质判断即可.
【详解】∵0既不是正数,也不是负数,
∴A正确,不符合题意;
∵零上6摄氏度可以写成+6℃,也可以写成6℃,
∴B正确,不符合题意;
∵正方向可以自主确定,
∴向东走一定用正数表示,向西走一定用负数表示,是错误的,
∴C不正确,符合题意;
故选C.
【点睛】本题考查了有理数的基本概念,熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键.
4.纽约、悉尼与北京的时差如下表(正数表示同一时刻比北京早的时数,负数表示同一时刻比北京晚的时数):当北京10月8日时,悉尼、纽约的时间分别是( )
城市 悉尼 纽约
时差/时
A.10月8日时;10月9日时 B.10月8日时;10月8日时
C.10月8日时;10月9日时 D.10月8日时;10月8日时
【答案】B
【分析】由统计表得出:悉尼时间比北京时间早2小时,也就是10月8日17时.纽约比北京时间要晚13个小时,也就是10月8日2时.
【详解】解:悉尼的时间是:10月8日15时+2小时=10月8日17时,
纽约时间是:10月8日15时-13小时=10月8日2时.
故选:B.
【点睛】本题考查了正数和负数.解决本题的关键是根据图表得出正确信息,再结合题意计算.
5.如果温度上升1℃记作℃,那么温度下降5℃,应记作( )
A.℃ B.℃ C.℃ D.℃
【答案】B
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:上升记为正,则下降就记为负,直接得出结论即可;
【详解】如果温度上升1℃记作+1℃,
即初始温度为0℃,
那么温度下降5℃记作-5℃,
故选:B.
【点睛】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负;
6.一个水库某天8:00的水位为(以警戒线为基准,记高于警戒线的水位为正).在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下(记上升为正,单位:m):0.5,,0,;,●(最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染),经过6次水位升降后,水库的水位恰好位于警戒线,则被墨水污染的数值是( )
A.0.7 B.0.8 C.0.9 D.1.0
【答案】C
【分析】用减去前5次各数与8:00的水位和,然后即可做出判断.
【详解】解:0-(0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1)=0.9.
故选:C.
【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用,根据题意列出算式是解题的关键.
7.如图所示的是图纸上一个零件的标注,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是( )
A.29.8mm B.30.03mm C.30.02mm D.29.98mm
【答案】A
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围,然后找出不符要求的选项即可.
【详解】解:∵30+0.03=30.03,30-0.02=29.98,
∴零件的直径的合格范围是:29.98mm≤零件的直径≤30.03mm.
∵29.8mm不在该范围之内,
∴不合格的是A.
故选:A.
【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义,根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键.
8.我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数,若气温升高时,气温变化记作,那么气温下降时,气温变化记作( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】首先审清题意,明确“正”和“负”所表示的意义;再根据题意作答.
【详解】解:如果温度升高3℃记作+3℃,那么温度下降10℃记作-10℃.
故选:B.
【点睛】本题考查了正数和负数的知识,解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.
9.以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间,若表中给出的是国外四个城市与北京的时差,则这五个时钟对应的城市从左到右依次是( )
城市 时差/h
纽约 ﹣13
悉尼 +2
伦敦 ﹣8
罗马 ﹣7
A.纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B.罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C.伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D.北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【答案】A
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差,结合钟表确定出对应的城市即可.
【详解】解:由表格,可知悉尼比北京时差为+2,所以北京时间是16点或18点,推理可得北京时间是16点,
则纽约时间为16﹣13=3点,悉尼时间16+2=18点,伦敦时间16﹣8=8点,罗马时间16﹣7=9点,
由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京;
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京.
故选:A.
【点睛】本题考查正负数的应用,熟练掌握正负数的意义是解题关键 .
10.一跳蚤在一直线上从点开始,第次向右跳个单位,紧接着第2次向左跳个单位,第次向右跳个单位,第次向左跳个单位,……,依此规律跳下去,当它跳第次落下时,落点处离点的距离是( )个单位.
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设向右为正,向左为负.根据正负数的意义列出式子计算即可.
【详解】解:设向右为正,向左为负.则
1+(-2)+3+(-4)+.+(-100)=[1+(-2)]+[3+(-4)]+.+[99+(-100)]=-50.
∴落点处离O点的距离是50个单位.
故答案为:B.
【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用,所以学生在学这一部分时一定要联系实际,不能死学.
二、填空题
11.观察下面各等式,找出规律.
;;;;……第n个等式为___________________.
【答案】.
【分析】分别找到等式左边的规律和等式右边的规律即可求解.
【详解】解:根据题中所给的式子可知,等式的左边第一个加数的分子和第二个加数的分母相等,且第一个分数的分子,分母和第二个加数的分子是3个连续的整数;等式的右边分母的规律是两个连续整数的积n(n+1),分子的规律是2n2+3n+2.所以第n个等式为:
故答案为:
【点睛】本题要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.本题的难点在于寻找等式右边分子的规律,要注意拆成与n有关的形式去寻找.
12.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是今有两数若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温零上记做,若气温零下,则记作_________.
【答案】-3
【分析】根据零上为正,则零下为负,若气温零上记做,若气温零下,记作-.
【详解】解:∵气温零上记做,
∴气温是零下记作-3℃.
故答案为.
【点睛】本题考查正了数和负数,解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义.
13.一食品的包装袋上标有克,这种食品一袋的最小重量不低于___________克.
【答案】145
【分析】一食品的包装袋上标有“净含量克”,表示这袋食品标准的质量是150克,实际每袋最小重量不低于150-5克.
【详解】解:150-5=145(克).
所以,这袋食品最小重量不低于145克.
故答案为:145.
【点睛】此题首先要知道以谁为标准,规定超出标准的为正,低于标准的为负,由此用正负数解答问题.
14.某公司生产的一种小零食的包装袋上印有(70±2)g的字样,质检局随机抽查了5袋该产品,质量分别为67g、69g、70g、71g、74g,合格的共有_____袋.
【答案】3
【分析】根据有理数的加法,可得合格范围,根据合格范围,可得答案.
【详解】解:“70±2(g)”是70g是标准质量,
70﹣2=68,70+2=72,
68g至72g是合格范围,
67g、69g、70g、71g、74g,合格的有69g、70g、71g,合格的共有3袋.
故答案为:3.
【点睛】本题考查了正数和负数.能够正确利用正数和负数表示了合格范围是解题的关键.
15.如果收入80元记作元,那么支出90元记作______元.
【答案】
【分析】根据正负数的含义,可得:收入记住“+”,则支出记作“-”,据此判断即可.
【详解】解:如果收入80元记作+80元,那么支出90元记作:-90元.
故答案为:-90.
【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用,要熟练掌握,解题的关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.
16.中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作元,那么支出80元可表示为____.
【答案】元
【分析】根据题意得出:收入记作为正,支出记作为负,表示出来即可.
【详解】解:如果收入100元记作+100元,那么支出80元记作-80元,
故答案为:-80元.
【点睛】本题考查了正数和负数,能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关键.
17.张亮同学的身份证号码为:320723201208034231,则他的出生时的月份为_____.
【答案】8月
【分析】直接利用身份证号中数字所代表的意义分析得出答案.
【详解】解:张亮同学的身份证号码为:320723201208034231,则他的出生日期为2012年8月3日,所以出生时的月份为:8月.
故答案为8月.
【点睛】本题考查了身份证号中数字所代表的意义,掌握其意义是解题的关键.
18.比较大小:____.
【答案】<
【分析】根据比较有理数的大小的方法:(1)负数<0<正数;(2)两个负数,绝对值大的反而小,即可解答.
【详解】解:∵,
∴,
故答案为:<.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较,解决本题的关键是熟记比较有理数的大小的方法:(1)负数<0<正数;(2)两个负数,绝对值大的反而小.
19.一幢大楼地面上有12层,还有地下室2层,如果把地面上的第1层作为基准,记为0,规定向上为正,那么习惯上将第3层记为_____.
【答案】+2
【分析】由把地面上的第一层作为基准,记为0,规定向上为正,根据“正”和“负”的相对性,即可求得答案.
【详解】解:∵把地面上的第1层作为基准,记为0,规定向上为正,则向下为负,
∴2楼表示的是以地面为基准向上2层,所以记为+1,
故习惯上将第3层记为:+2.
故答案为+2.
【点睛】此题考查了正数与负数的意义.此题比较简单,注意理解“正”和“负”的相对性,明确什么是一对具有相反意义的量.
20.在一次区级数学竞赛中,某校8名参赛学生的成绩与全区参赛学生平均成绩80分的差分别为单位:分:5,,8,14,7,5,9,,则该校8名参赛学生的平均成绩是______ .
【答案】85
【详解】分析:先求出总分,再求出平均分即可.
解:∵5+( 2)+8+14+7+5+9+( 6)=(5+14+7+5+9)+[( 2)+( 6)+8]=40(分),
∴该校8名参赛学生的平均成绩是80+(40÷8)=85(分).
故答案为85.
点睛:本题考查的是正数和负数,熟知正数和负数的概念是解答此题的关键.
三、解答题
21.动脑筋、找规律.邱老师给小明出了下面的一道题,如图,请根据数字排列的规律.探索下列问题:
(1)在B处的数是正数还是负数?
(2)负数排在 ,,, 中的什么位置?
(3)第 个数是正数还是负数?排在对应于 ,,, 中的什么位置?
【答案】(1)负数
(2)B、D
(3)D
【分析】(1)根据题目给出的数据,可以发现向右箭头对应的数是负数,从而可以得到在B处的数是正数还是负数;
(2)根据题目给出的数据,可以发现向右箭头对应的数是负数,从而可以得到负数排在A,B,C,D中的什么位置;
(3)根据题目给出的数据,可以发现4的整数倍都在A的位置,从而可以得到第2023个数排在对应于A,B,C,D中的什么位置.
(1)
∵B是向右箭头的对应的数,与-5的符号相同,
∴在B处的数是负数;
(2)
∵向右箭头对应的数是负数,
∴B和D的位置是负数;
(3)
∵2023÷4=505 3,
∴第2023个数排在D的位置.
【点睛】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现数字的变化特点,求出各个位置相应的数据.
22.现测量一栋楼的高度,七次测得的数据分别是:
79.4米,80.6米,80.8米,79.1米,80米,79.6米,80.5米.
(1)若以80为标准,用正数表示超出部分,用负数表示不足部分,他们对应的数分别是什么?
(2)这七次测量的平均值是多少?(直接写出答案即可)
【答案】(1)﹣0.6,+0.6,+0.8;﹣0.9,0,﹣0.4,+0.5
(2)80米
【分析】(1)用正负数来表示相反意义的量,以80为标准,超过部分记为正,不足部分记为负,直接得出结论即可;
(2)根据平均数计算公式:总数÷次数=平均数进行计算即可.
(1)
解:若以80为标准,用正数表示超出部分,用负数表示不足部分,
它们对应的数分别是:﹣0.6,+0.6,+0.8;﹣0.9,0,﹣0.4,+0.5;
(2)
80+(﹣0.6+0.6+0.8﹣0.9+0﹣0.4+0.5)÷7=80(米),
答:这七次测量的平均值是80米.
【点睛】本题考查正负数的意义,平均数的求法.熟记计算方法是解决本题的关键.
23.一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作,清雪车早晨从A处出发,清雪结束时停留在B处.规定向东为正,当天行驶记录如下:(单位:千米)
﹣15,+8,﹣7,+18,+6,﹣12.4,+6,﹣5.1.
(1)B处在A处何方?距A处多少千米?
(2)一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米,求这辆清雪车这一天的清雪量.
【答案】(1)B处在A处的西方,距A处1.5千米;(2)这辆清雪车这一天的清雪量为155立方米.
【分析】(1)根据有理数的加法运算进行解答即可;
(2)先求出汽车行驶距离,然后再根据清雪量=20×行驶距离解答即可.
【详解】解:(1)∵-15+8-7+18+6-12.4+6-5.1=-1.5(千米).
答:B处在A处的西方,距A处1.5千米;
(2)15+8+7+18+6+12.4+6+5.1=77.5(千米),
77.5×20=155立方米.
答:这辆清雪车这一天的清雪量为155立方米.
【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用,掌握有理数的加法运算以及负数的意义成为解答本题关键.
24.出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午所接六位乘客的行车里程(单位:km)如下:-4,+9,-10,+10,-5,-12.问:
(1)将最后一位乘客送到目的地时,小李在什么位置?
(2)若汽车耗油量为0.08L/km,这天上午小李接送乘客,出租车共耗油多少升?
(3)若出租车起步价为10元,起步里程为3km(包括3km),超过部分每千米1.5元,则小李这天上午共得车费多少元?
【答案】(1)西12km;(2)4L;(3)108元
【分析】(1)把行程里程加起来即可;
(2)把行程里程的绝对值加起来算出总路程,再进行计算即可;
(3)分别算出6次计费加起来即可;
【详解】(1),
,
,
,
答:小李在西12km处.
(2),
,
,
,
答:共耗油4L.
(3)第一次车费:(元),
第二次车费:(元),
第三次车费:(元),
第四次车费:(元),
第五次车费:(元),
第六次车费:(元),
,
答:小李这天上午共得车费108元.
【点睛】本题主要考查了正负数的应用,准确计算是解题的关键.
25.出租车司机小李某天从家出发,上午营运都是在东西走向的大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午行车路程(单位:千米)如下:.﹣2,+5,﹣1,+10,﹣15,﹣3.
(1)将最后一位乘客送到目的地时,小李距家多远?此时在家的东边还是西边?
(2)若出租车起步价为8元,起步路程为3千米(即乘车路程不超过3千米都为8元),若乘车路程超过3千米,则超过部分每千米加收1.2元.问司机小李今天上午共收入多少元?
(3)若汽车耗油量为0.1升/千米,小李从家出发到最后回到家里,这天小李共耗油多少升?
【答案】(1)小李距出发地6千米,此时在出发地的西边;(2)73.2元;(3)4.2升
【分析】(1)把所有行车里程相加,再根据正负数的意义;
(2)由这天上午每次的行车里程计算出每次的收入,再相加即可得出小李一共的收入;
(3)求出所有送乘客里程的绝对值的和,再加上送完最后一位乘客送到目的地后回到家的路程,然后乘以0.1计算即可得解.
【详解】解:(1),
,
(千米);
答:将最后一位乘客送到目的地时,小李距出发地6千米,此时在出发地的西边;
(2)由题意得,每次行车里程的收入分别为8元,10.4元,8元,16.4元,22.4元,8元,
(元,
答:司机小李今天上午共收入73.2元;
(3)依题意得:(千米),
(升.
答:这天上午小李共耗油4.2升.
【点睛】本题考查了正数和负数的应用,解题的关键是正确理解题意,列出相应算式.
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