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专题02：有理数
一、单选题
1．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．﹣1
【答案】A
【分析】求出折痕和数轴交点表示的数，对折后重合的每一对对应点到此交点距离相等即可求出答案．
【详解】解：∵折叠纸面，使表示﹣3的点与表示1的点重合，
∴折痕和数轴交点表示的数是，
而表示﹣5的点与此交点距离为﹣1﹣（﹣5）＝4，
∴与表示﹣5的点对应的点表示的数是﹣1+4＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查数轴，解题的关键是找到折痕与数轴交点表示的数．
2．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
【点睛】本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图可知，，由，可得，，则，，，进而可判断A，C，D的对错；由，可得，进而可判断B的正误．
【详解】解：由图可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴A，C，D错误；故不符合题意；
∵，
∴，
∴B正确，故符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．解题的关键在于从数轴上得出．
4．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为．则与相等的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出数轴上与6两点间的线段六等分的每一等分的长度，接着求出的值，再求出的绝对值，得到对应的数是．
【详解】∵,
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴的定义和表示数的方法，绝对值的几何意义和计算方法，是解决此类问题的关键．
5．（ ）
A．2022 B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：2022．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
6．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a b|=2022，且AO=2BO，则a+b的值为（ ）
A．674 B．673 C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值和数轴表示数的方法，可求出OA，OB的长，进而确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵|a-b|=2022，即数轴上表示数a的点A，与表示数b的点B之间的距离为2022，也就是AB=2022，
又∵且AO=2BO，
∴OB=674，OA=1348，
∵点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，
∴a=-1348，b=674，
∴a+b=-1348+674=-674，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴表示数，代数式求值以及绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义是解决问题的前提．
7．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】设出点所表示的数，根据点、所表示的数，表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程即可求解．
【详解】解：设点所表示的数为，，
∵，点所表示的数为，
∴表示的数为或，
∴，或，
根据折叠得，，
∴或，
解得：或，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点、在数轴上表示的数分别为、，则．
8．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（ ）
A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c
【答案】B
【分析】根据数轴，得到信息为a＜b＜0＜c，化简绝对值即可．
【详解】∵a＜b＜0＜c，
∴a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，
∴|a-b|-|c-a|+|b-c|
=b-a-c+a+c-b
=0，
故选B．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，正确读取数轴信息，准确进行绝对值的化简是解题的关键．
9．下列关于数轴的叙述，正确的有（ ）个
（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，；
（2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1；
（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】（1）先由点n，m在数轴上的位置确定n，m的取值范围，再比较即可；
（2）由题意可知数m和数m+2相等或是互为相反数，进而求出答案；
（3）根据O、A、B、C四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）由数轴可得：-1＜m＜0＜2＜n＜3，且|m|＜|n|．
∴， -2＜2m＜0，
∴，
故（1）错误；
（2）由题意得：|m|=|m+2|，
∴m=m+2或m=-（m+2），
∴m=-1．
故（2）错误；
（3）由数轴可知：c＜0，b=5，|c|＜5，|d-5|=|d-c|，
∴BD=CD，
∴D点介于O、B之间，
故（3）错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，比较简单，因为是选择题故可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．
10．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】根据|a d|＝10，|a b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．
【详解】解：∵|a d|＝10，
∴a和d之间的距离为10，
假设a表示的数为0，则d表示的数为10，
∵|a b|＝6，
∴a和b之间的距离为6，
∴b表示的数为6，
∴|b d|＝4，
∴|b c|＝2，
∴c表示的数为8，
∴|c d|＝|8 10|＝2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．
二、填空题
11．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是____
【答案】或
【分析】设点B对应的数为，根据点A与原点O的距离为3，得到点A表示的数为，当点A表示的数为-3时，根据数轴上A，B两点之间的距离为2，得到，推出，解得x=-5，或x=-1，当点A表示的数为3时，得到，推出，解得x=1，或x=5 ．
【详解】设点B对应的数为，
∵数轴上A，B两点之间的距离为2，点A与原点O的距离为3，
∴点A表示的数为
当点A表示的数为-3时，，
∴，
∴x=-5，或x=-1，
当点A表示的数为3时，
，
∴，
∴x=1，或x=5，
综上点B对应的数为：，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的化简．
12．式子|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的最小值是_________．
【答案】25
【分析】观察已知条件可以发现，|x a|表示x到a的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．
【详解】解：由题意可得：当x位于5、6之间，即时，代数式|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的值最小，则最小值为：
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质及数形结合求最值问题，掌握|x a|表示x到a的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出x的值．
13．已知数轴上A、B两点表示的数互为相反数，并且两点间的距离是18，在A、B之间有一点P，若P到A的距离是P到B的距离的，则P点表示的数是___________．
【答案】
【分析】直接利用相反数的意义得出A，B表示的数，再利用P到A的距离是P到B的距离的得出PA的长度，然后分情况求解即可．
【详解】解：∵数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是18，
∴A表示 9，B表示9或A表示9，B表示 9，
∵在A、B之间有一点P，P到A的距离是P到B的距离的，
∴PA＝6，PB＝12，
∴当A表示 9时，点P表示的数是－9＋6＝－3，
当A表示9时，点P表示的数是9－6＝3，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数轴以及相反数的意义，正确得出点A，B的位置是解题关键．
14．代数式 的最小值是______．
【答案】2021
【分析】根据数轴上两点之间距离的意义求解．
【详解】解：根据数轴上两点之间距离的意义可知：
原式的最小值即为数轴上与-1009、-506、1012对应的点之间的距离，如图所示，
∵1012-（-1009）=2021，
∴所求最小值为2021，
故答案为2021．
【点睛】本题考查数轴的应用，熟练掌握数轴上两点之间距离的意义是解题关键．
15．已知有理数，则化简的结果是_______．
【答案】
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
16．设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 __．
【答案】6
【分析】|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小，继而即可求解．
【详解】解：设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c=|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，
所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小，
此时a+2b+c＝6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，将原式转化为到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和是解题的关键．
17．如图，数轴上有一点C，满足则C表示的数是______（用含m的式子表示）．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当点C在点A的右侧时，在点B左侧时，或当点C在点A的右侧时，在点B右侧时，再根据题意解答．
【详解】解：设点C表示的数为x，分两种情况讨论，
当点C在点A的左侧时，
；
当点C在点A的右侧时，在点B左侧时，
；
当点C在点A的右侧时，在点B右侧时，
；
故答案为：或．
【点睛】本题考查数轴与实数，是重要考点，掌握用分类讨论法表示两点间的距离是解题关键．
18．点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当=_________时，．
【答案】或
【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得 ，则可计算出A、B对应的数，然后分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：， ， ，
则可得：，
解得： ，
，
①当P在A点左侧时，
，
，
则可得： ，
解得：
②当P在B点右侧时，
，
，
则可得： ，
解得： ，
③当P在A、B中间时，
则有 ，
∴P点不存在．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，数轴上两点间的距离：a，b是数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，掌握数轴上两点距离和分情况讨论是本题的关键．
19．大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离
【分析】利用绝对值的意义即可求解．
【详解】解：因为，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离，
所以式子在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
20．在数轴上，点分别表示，点分别从点同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点三点在运动过程中，其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分，则运动时间为_____秒．
【答案】2、、6、
【分析】根据运动的规则找出点P、Q表示的数，分P、O、Q三点位置不同考虑，根据三等分点的性质列出关于时间t的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设运动的时间为t（t＞0），则点P表示3t 10，点Q表示t＋6，
① 点O在线段PQ上时，如图1所示．
此时3t 10＜0，即t＜，
∵点O是线段PQ的三等分点，
∴PO＝2OQ或2PO＝OQ，
即10 3t＝2（t＋6）或2（10 3t）＝t＋6，
解得：t＝（舍去）或t＝2；
② 点P在线段OQ上时，如图2所示．
此时0＜3t 10＜t＋6，即＜t＜8．
∵点P是线段OQ的三等分点，
∴2OP＝PQ或OP＝2PQ，
即2（3t 10）＝t＋6 （3t 10）或3t 10＝2[t＋6 （3t 10）]，
解得：t＝或t＝6；
③当点Q在线段OP上时，如图3所示．
此时t＋6＜3t 10，即t＞8．
∵点Q是线段OP的三等分点，
∴OQ＝2QP或2OQ＝QP，
即t＋6＝2[3t 10 （t＋6）]或2（t＋6）＝3t 10 （t＋6），
解得：t＝或无解．
综上可知：点P，Q，O三点在运动过程中，其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分，则运动时间为2、、6、．
故答案为：2、、6、．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是按P、O、Q三点位置不同分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的过程分情况考虑，再根据三等分点的性质列出方程是关键．
三、解答题
21．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；
(2)当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；2
(2)当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20；
(3)在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或
【分析】（1）分别求出当t＝2及t＝12时，P、Q对应的数，再利用数轴上两点距离公式求解即可；
（2）分别求出运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，然后根据数轴上两点距离公式列出方程求解即可；
（3）分当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，两种情况同（2）列出方程求解即可．
（1）
解：由题意得，当t=2时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，
∴；
当t=12时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，
∴；
（2）
解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，
∵PQ=5，
∴，
∴，
∴t-10=5或t-10=-5，
∴t=15或t=5，
当t=5时，-10+2t=0，
当t=15时，-10+2t=20，
∴点Q对应的数为0或20，
∴当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20；
（3）
解：由题意得，
∵，
∴点Q从A运动到B需要15秒，从B运动到A也需要15秒
∴当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，
当时，
∵PQ=8，
∴，
∴，
∴t-10=8或t-10=-8，
∴t=2或t=18（舍去）；
当时，
∵PQ=8，
∴，
∴，
∴3t-50=8或3t-50=-8，
∴或t=14舍去）；
综上所述，在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解绝对值方程，熟知数轴上两点距离的表示方法是解题的关键．
22．如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
【答案】(1)3
(2)或
【分析】（1）首先表示出点B运动t秒对应的数，再根据AB＝8列出方程，求解即可；
（2）首先表示出数轴上P'对应的数，再根据P'A＝3P'B列出方程，求解即可．
（1）
点B运动t秒对应的数为2＋t，
∵AB＝8，
∴2＋t﹣（﹣3）＝8，
解得t＝3．
故答案为：3；
（2）
由题意可得，数轴上P'对应的数为﹣6＋2t．
∵P'A＝3P'B，
∴|﹣6＋2t﹣（﹣3）|＝3|﹣6＋2t﹣2|，
即2t﹣3＝3（2t﹣8），或2t﹣3＝﹣3（2t﹣8），
解得t，或t．
故所求t的值为或．
【点睛】本题结合动点问题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，表示出点P、B在数轴上运动t秒后对应的数是解题的关键．
23．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离；
(2)当t＝2.5时求点Q到原点O的距离；
(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离．
【答案】(1)6
(2)2
(3)2或6
【分析】（1）当t＝0.5时，先计算AQ，小于8，则用8减去AQ即可得OQ；
（2）当t＝2.5时，点Q运动的距离大于8，则用点Q运动的数值减去8即可；
（3）当点Q到原点O的距离为4时，分两种情况：Q向左运动时，Q向右运动时，分别计算即可．
（1）
解：当t＝0.5时，AQ＝4t＝4×0.5＝2
∵OA＝8
∴OQ＝OA﹣AQ＝8﹣2＝6
∴点Q到原点O的距离为6；
（2）
当t＝2.5时，点Q运动的距离为4t＝4×2.5＝10
∵OA＝8
∴OQ＝10﹣8＝2
∴点Q到原点O的距离为2；
（3）
当点Q到原点O的距离为4时，
∵OQ＝4
∴Q向左运动时，OA＝8，则AQ＝4
∴t＝1
∴OP＝2；
Q向右运动时
OQ＝4
∴Q运动的距离是8+4＝12
∴运动时间t＝12÷4＝3
∴OP＝2×3＝6
∴点P到原点O的距离为2或6．
【点睛】本题考查了动点在数轴上的运动，正确分析题意并分类讨论，是解题的关键．
24．操作与探索：
(1)如图，写出数轴上点A、B、C、D表示的数；
(2)如图，观察数轴，回答下列问题：
①大于-3并且小于3的整数有哪几个？
②在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？
【答案】(1)A ：-3 B：-1.5 C：0 D：2
(2)①-2，-1，0，1，2 ；② -3或1
【分析】（1）结合数轴，读取数轴上字母所表示的数即可；
（2）①比较有理数的大小即可得出结论；②注意分情况讨论．
（1）
解：由数轴可知
A ：-3 B：-1.5 C：0 D：2；
（2）
解：①由数轴可知
大于-3且小于3的整数有-2，-1，0，1，2；
②在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点有
-1+2=1或-1-2=-3，
∴在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点有-3或1．
【点睛】本题考查了数轴，数轴可以表示数的位置，也可以表示数的大小关系，同时到一个点距离相等的数有两个．
25．（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为___________________________________________________；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为_______________．
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是_________________．
②不等式的解集是_______________．
【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；②和3（不唯一）
（2）①或；②
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
【详解】解：（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．
故答案为：，．
（2）①不等式的解集是或．
故答案为：或．
②不等式的解集是，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
26．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．
(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？
(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)经过或秒后点A到点C的距离为3cm
(4)的值不会随着t的变化而变化，
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；
（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；
（4）表示出BA、CB，再相减即可解题．
（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为，点A，B，C在数轴上表示如图：
（2）解：设原点为O，如图，∴，，∴．故答案为：．
（3）解：①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：，解得：．②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：，解得：．综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm．
（4）解：的值不会随着t的变化而变化，．由题意：，，∵移动t秒后，，，∴．∴的值不会随着t的变化而变化，．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02：有理数
一、单选题
1．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．﹣1
2．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3 B． C． D．
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为．则与相等的数是（ ）
A． B． C． D．
5．（ ）
A．2022 B． C． D．
6．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a b|=2022，且AO=2BO，则a+b的值为（ ）
A．674 B．673 C． D．
7．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（ ）
A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c
9．下列关于数轴的叙述，正确的有（ ）个
（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则，；
（2）数轴上表示数m和的点到原点的距离相等，则m为1；
（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且，则D点的位置介于C、O之间；
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A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（ ）
A．1 B．1.5 C．1.5 D．2
二、填空题
11．已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是____
12．式子|x-1|+|x﹣2|+|x-3|+|x﹣4|+|x-5|+|x﹣6|+|x-7|+|x﹣8|+|x-9|+|x﹣10|的最小值是_________．
13．已知数轴上A、B两点表示的数互为相反数，并且两点间的距离是18，在A、B之间有一点P，若P到A的距离是P到B的距离的，则P点表示的数是___________．
14．代数式 的最小值是______．
15．已知有理数，则化简的结果是_______．
16．设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 __．
17．如图，数轴上有一点C，满足则C表示的数是______（用含m的式子表示）．
18．点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当=_________时，．
19．大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
20．在数轴上，点分别表示，点分别从点同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点三点在运动过程中，其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分，则运动时间为_____秒．
三、解答题
21．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
(1)分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；
(2)当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；
(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
22．如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
23．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．
(1)当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离；
(2)当t＝2.5时求点Q到原点O的距离；
(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离．
24．操作与探索：
(1)如图，写出数轴上点A、B、C、D表示的数；
(2)如图，观察数轴，回答下列问题：
①大于-3并且小于3的整数有哪几个？
②在数轴上到表示-1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？
25．（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为___________________________________________________；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为_______________．
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是_________________．
②不等式的解集是_______________．
26．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．
(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？
(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．
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