【精选备课】2022年秋青岛版初中数学九年级上册 期中复习与测试（含解析）

期中复习与测试
一、单选题
1．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（　　）
A． B． C． D．
2．如果，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，菱形 ABCD 的边长为4 ，A 60， M 是 AD 的中点， N 是 AB 边上一动点， 将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN ，连接 AC ，则当 AC 取得最小值时， tan DCA的值为（ 　）
A． B． C． D．
5．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．若为锐角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AD//BC，∠D=90°，AD=3，BC=4，DC=6，若在边 DC上有点P，使△PAD 与△PBC相似，则这样的点 P 有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．如图，将一张宽为2cm的长方形纸片沿AB折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长为（ ）cm
A． B． C．2 D．
10．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A．四边形 B．四边形
C．四边形 D．四边形
11．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D从A出发沿AC方向以1cm/s向终点C匀速运动，过点D作DEAB交BC于点E，过点E作EF⊥BC交AB于点F，当四边形ADEF为菱形时，点D运动的时间为（　　）s
A． B． C． D．
12．已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是( )．
A．100000:1 B．1000:1 C．1:100000 D．1:1000
二、填空题
13．若，则________．
14．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
15．如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点、过点作交边于点，把线段绕点旋转至（点与点对应），点落在线段上，若恰好平分，则的长为_________．
16．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为_____．
17．如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为________．
18．如图，在矩形ABCD中，E，F为边AD上两点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落在BF上的A'处，且A′E＝A'F，再将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点C落在BF上的C'处，折痕交CD于点H，将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合．已知AE＝，则AD＝_____．
19．如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．
三、解答题
20．为了测量大楼顶上（居中）避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin55°58′≈0.83，cos55°58′≈0.56，tan55°58′≈1.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
21．五一期间，小明跟父母去乌镇旅游，欣赏乌镇水乡的美景.如图，当小明走到乌镇古桥的C处时，发现远处有一瞍船匀速行驶过来，当船行驶到A处时，小明测得船头的俯角为30°，同时小明开始计时，船在航行过小明所在的桥之后，继续向前航行到达B处，此时测得船尾的俯角为45°；从小明开始计时到船行驶至B处，共用时15min；已知小明所在位置距离水面6m，船长3m，船到水面的距离忽略不计，请你帮助小明计算一下船的航行速度（结果保留根号）
22．如图，在的正三角形的网格中，的三个顶点都在格点上．请按要求画图和计算：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．
（1）在图1中，画出的边上的中线．
（2）在图2中，求的值．
23．新冠肺炎疫情期间，我国各地采取了多种方式进行预防．其中，某地运用无人机规劝居民回家．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度（结果取整数），参考数据：，，．
24．如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．
（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）
（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）
25．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；
（2）△A1B1C1的面积是　 　平方单位．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为　 　．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比.
【详解】
解：连接AG并延长交BC于H，如图，
∵点G为△ABC的重心，
∴AG＝2GH，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2．B
【解析】
【分析】
根据比例的性质即可得到结论．
【详解】
∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，解本题的要点根据题意可设a，b的值，从而求出答案．
3．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：AC＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键．
4．B
【解析】
【分析】
首先根据两点之间线段最短确定点的位置，再作MH⊥DC，然后根据菱形的性质可知MD，∠HDM，再根据30°直角三角形的性质求出HD和HM，进而求出CH，最后根据正切值定义求出答案即可．
【详解】
因为是定值，两点之间线段最短，即当点在MC上时，取最小值．
过点M作MH⊥DC于点H．
边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，
∵M为AD的中点，
∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=60°，
∴∠MDH=∠HDM=60°，
∴∠HMD=30°，
∴，
∴，
∴CH=HD+CD=5，
∴，
∴的值为．
故选：B．
【点睛】
这是一道应用菱形的性质求线段最短问题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质等．
5．A
【解析】
【分析】
根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．
【详解】
解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．
则AB=OA=100m．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
【详解】
解：ABC的三边之比为，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故选：C．
【点睛】
本题考察了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
7．B
【解析】
【分析】
根据tan45°=1求出即可．
【详解】
∵∠A为锐角，tanA=1，∴∠A=45°．
故选B．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，主要考查学生的记忆能力和计算能力．
8．A
【解析】
【分析】
根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=∠D=90°，
∵DC=6，AD=3，BC=4，
设PD=x，则PC=6-x．
①若PD：PC=AD：BC，则△PAD∽△PBC，
则，
解得：x=，
经检验：x=是原方程的解；
②若PD：BC=AD：PC，则△PAD∽△BPC，
则，
解得：x无解，
所以这样的点P存在的个数有1个．
故选：A．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解本题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
作点A作，交BC于点D，作点B作，交AC于点E，根据长方形纸条的宽得出，继而可证明是等边三角形，则有，然后在直角三角形中利用锐角三角函数即可求出AB的值．
【详解】
作点A作，交BC于点D，作点B作，交AC于点E，
∵长方形的宽为2cm，
，
，
．
∴是等边三角形，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，掌握等边三角形的判定及性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【详解】
解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
【点睛】
此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
11．D
【解析】
【分析】
由勾股定理可求AB的长，由锐角三角函数可得 ，即可求解．
【详解】
解：设经过t秒后，四边形ADEF是菱形，
∴AD=DE=t，DE∥AB，
∴CD=（3-t）（cm），∠ABC=∠DEC，
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴ （cm），
∵sin∠DEC=sin∠ABC=，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
12．C
【解析】
【分析】
比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
【详解】
∵10km=1000000cm，
∴比例尺为10：1000000=1：100000．
故选C．
【点睛】
掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.
13．
【解析】
【分析】
设，，代入求解即可．
【详解】
由可设，，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14．3
【解析】
【分析】
在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
【详解】
解：在中，
在矩形中，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．4
【解析】
【分析】
因为PQ∥AC，可得tan∠QPB＝tan∠ACB＝，设QB＝4x，BP＝3x，则QP＝5x，PE＝PB＝3x，QE＝5x 3x＝2x，因为AE恰好平分∠BAC，可得∠CAE＝∠QAE＝∠QEA，所以AQ＝QE＝2x，AB＝AQ＋QB＝2x＋4x＝6x＝8，解得x的值，即可得出BP的长．
【详解】
解：如图，
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴tan∠ACB＝＝，
∵PQ∥AC，
∴∠QPB＝∠ACB，
∴tan∠QPB＝tan∠ACB＝，
设QB＝4x，BP＝3x，
则QP＝5x，
∵把线段PB绕点P旋转至PE（点B与点E对应），点E落在线段PQ上，
∴PE＝PB＝3x，QE＝5x 3x＝2x，
∵AE恰好平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠QAE，
∵PQ∥AC，
∴∠QEA＝∠CAE，
∴∠QEA＝∠QAE，
∴AQ＝QE＝2x，
∴AB＝AQ＋QB＝2x＋4x＝6x＝8，
∴BP＝3x＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查图形旋转的性质，锐角三角函数的定义，平行线的性质和角平分线的定义，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
16．
【解析】
【分析】
连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE＝FG，得出四边形AFGE是菱形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝，即可得出结果．
【详解】
解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠GFE，
由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AE＝FG，
∴四边形AFGE是菱形，
∴AF∥EG，
∴∠EGF＝∠AFB，
设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，
在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝＝，
∴cos∠EGF＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题、菱形的判定及性质、等腰三角形的性质和锐角三角函数，掌握矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定及性质、等角对等边和等角的锐角三角函数值相等是解决此题的关键．
17．或
【解析】
【分析】
（1）分别在、、中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得，最后利用线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：①当时，如图1:
∵在中，，，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴ 在中，设，则
∵
∴
∴
∴，
∵垂直平分线段
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴；
②当时，连接、交于点，过点作于，如图2：
设，则，
∵垂直平分线段，点是的中点
∴
∵
∴
∵
∵
∴垂直平分线段
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
∴综上所述，满足条件的的值为6或．
故答案是：6或
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．
18．
【解析】
【分析】
由折叠的性质得出△A'EF为等腰直角三角形，得出EF＝A'E＝2，∠EFC'＝45°，求出AF＝AE+EF＝+2，证明△ABF为等腰直角三角形，求出AB的长，证明△FDH∽△EAB，由相似三角形的性质得出，求出DF的长，则可得出答案．
【详解】
解：∵AE＝A'E，
∴A'E＝，
∵A'E＝A'F，∠EA'B＝∠EAB＝90°，
∴△A'EF为等腰直角三角形，
∴EF＝A'E＝2，∠EFC'＝45°，
∴AF＝AE+EF＝+2，△ABF为等腰直角三角形，
∴AB＝AF＝+2，∠ABF＝45°，
∴∠ABE＝∠HBF＝22.5°，
∴∠AEB＝67.5°，
∵将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合，
∴∠C'FH＝∠DFH＝67.5°，
∴∠AEB ＝∠DFH，
又∵∠A＝∠D，
∴△FDH∽△EAB，
∴，
∵DH＝C'H＝CH，
∴DH＝
∴DF＝AE＝，
∴AD＝AE+EF+DF＝+2．
故答案为：+2．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
19．3
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．
20．避雷针BC的长度为4.8米．
【解析】
【分析】
解直角三角形求出CD，BD，根据BC=CD-BD求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，∵，
∴1.48=，
∵AD=80米，
∴BD=118.4（米），
在Rt△CAD中，∵tan∠CAD=，
∴1.54=，
∴CD=123.2（米），
∴BC=CD-BD=4.8（米）
答：避雷针BC的长度为4.8米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．船的航行速度为m/min．
【解析】
【分析】
连接AB，过点C作CD⊥AB交于点D，根据题意得出，，CD=6米，利用锐角三角函数得出米，米，结合图形及速度求法即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，连接AB，过点C作CD⊥AB交于点D，根据题意可得：
，，CD=6米，
在中，
（米），
在中，
米，
∴ 米，
∵船长为3米，
∴船航行距离为：米，
∴船的速度为：，
答：船的航行速度为m/min．
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数的实际应用，理解题意，构建直角三角形是解题关键．
22．（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质分别作出AB、AC的中点E、F，再利用三角形重心的性质即可作出△ABC的BC边上的中线AD；
（2）利用平行线的性质可得∠AEC=∠FDC，再利用菱形及等边三角形的性质可求得DH、CH的长，继而求得CD的长，从而求得答案．
【详解】
（1）如图，线段AD就是所求作的中线；
（2）如图：在的正三角形的网格中，
∵MN∥AB∥FD，
∴∠AEC=∠FDC，
∵四边形CMGN为菱形，且边长为5，
∴CG⊥MN，
∴CG⊥FD，
，
∴CG=2OG=5，
∵△GFD为等边三角形，且边长为2，
同理：HG=，
∴在Rt△CDH中，∠CHD=90，DH=1，CH=CG-HG=4，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，菱形的性质、等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
23．42m
【解析】
【分析】
如图，过点A作，垂足为E．利用，求解即可．
【详解】
解：如图，过点A作，垂足为E．
由题意可知，，，．
在中，，
∴．
在中，，
．
∵，
∴
．
答：该建筑的高度约为．
【点睛】
本题考查了解斜三角形，通过作高化斜三角形为直角三角形，并准确求解是解题的关键．
24．（1）图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了米；（2）该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为米．
【解析】
【分析】
（1）解直角△ACD，求出CD，再解直角△BCD′，求出CD′，然后计算CD﹣CD′的长度即可；
（2）图3中遮阳蓬的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E，解直角△ECD，求出CE，再计算CE-BC即可．
【详解】
（1）在直角△ACD中，∵AC＝AB+BC＝2米，∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，
∴CD＝AC tan∠CAD＝2×＝（米）．
在直角△BCD′中，∵BC＝0.5米，∠CBD′＝60°，
∴tan∠CBD′＝，
∴CD′＝BC tan∠CBD′＝0.5×＝（米），
∴CD﹣CD′＝﹣＝（米）．
故图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了米；
（2）如图，图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E．
在直角△ECD中，∵CD＝米，∠CED＝60°，
∴tan∠CED＝，
∴CE＝＝＝，
∴BE＝CE﹣BC＝﹣0.5＝（米）．
故该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）28；（3）（2a，2b）．
【解析】
【分析】
（1）连接OB，延长OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，连接A1C1，B1C1，A1B1即可．
（2）两条分割法求出三角形的面积即可．
（3）利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积＝4S△ABC＝4×（4×5﹣×3×5﹣×1×3﹣×2×4）＝28，
故答案为：28．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为（2a，2b），
故答案为：（2a，2b）．
【点睛】
本题考查作图——位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．