2022-2023初数北师大版八年级上册7.4平行线的性质 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·抚远期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
2．（2022七下·东港期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．33° D．40°
3．（2022七下·大连期末）如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130° B．110° C．120° D．60°
4．（2022七下·鞍山期末）如图，在四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2022七下·迁安期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·黄山期末）如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且．若，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．（2022七下·前进期末）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=120°，则图1中的∠DEF的度数是（ ）
A．30° B．20° C．40° D．15°
9．（2022七下·乾安期末）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022七下·黄山期末）如图，已知直线ab，cd，若∠1、∠2是图中的两个角，且这两个角的两边分别平行，，，则x值为 ．
12．（2022七下·双辽期末）如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B +∠D = .
13．（2022七下·双城期末）如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
14．（2022七下·乾县期末）如图，，若，，则的度数为 °．
15．（2022七下·上虞期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，则
16．（2022七下·官渡期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角 时，．
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2022七下·辛集期末）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
18．（2022七下·遂川期末）把推理过程补充完整，并填写相应的理由．
如图，∵AC∥EF（已知），
∴．（ ）
．（ ）
又∵平分（已知），
∴ ▲ ．（ ）
∴．（ ）
19．（2022七下·黄陂期末）完成下面的证明：已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边 BC、AC、AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA．
求证： ．
证明：∵DE∥BA
∴ ▲ = ▲ （ ）
∵DF∥CA
∴ ▲ = ▲ （ ）
∴
20．（2022七下·昆明期末）完成下面的证明过程，如图，BD∥GF，∠1＝∠2．求证：∠DEC＝∠ABC
证明：∵BD∥GF（ ）
∴∠1＝ ▲ （两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝ ▲ （ ）
∴DE∥AB（ ）
∴∠DEC＝∠ABC（ ）
21．（2022七下·南山期末）阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点、分别在线段、上，，，交于点，平分．
求证：平分．
证明：∵平分（已知）．
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（ ）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（ ）．
▲ （两直线平行，内错角相等）．
∴（ ）．
∴平分（角平分线的定义）．
22．（2022七下·太原期末）数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于180°．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2和∠3撕下，按图2的方式拼摆，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合，∠3的一边与AC重合．
理由：由操作可知∠B＝∠2，
所以AD∥ ▲ （依据： ▲ ）．
同理，∠C＝∠3，
所以， ▲ ∥ ▲ ，
所以，AD、AE在同一直线上，
所以，∠DAE＝ ▲ ° ，
即 ∠1＋ ▲ ＋ ▲ ＝ ▲ ．
23．（2022七下·华州期末）如图1，点在直线上，点在直线上，平分平分，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若为直线上一定点，为直线上一动点，当点在直线上运动时(不与点重合)，猜想与之间的数量关系，并说明理由.
24．（2022七下·承德期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板．
（1）如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数；
（2）如图2，过点E作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，标注直线a即直线AH，射线BA即射线BK，
∵直线，，
∴
∵直线，
∴
∴
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质可得由垂直的定义可得利用∠2=90°-∠CAH即可求解.
2．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=57°，
∴∠ABD=∠1=57°，
∵AD⊥b，
∴∠ADB=90°，
∴∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABD=∠1=57°，再结合∠ADB=90°，利用角的运算求出∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°即可。
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠EFB=60°，
∴∠EGD=∠EFB=60°，
∴∠CGE=180°-60°=120°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠EGD=∠EFB=60°，再利用邻补角可得∠CGE=180°-60°=120°。
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A.要得出，需要，但，无法判定，故A不符合题意；
B.要得出，需要，但，无法判定，故B不符合题意；
C.由，无法得出，故C不符合题意；
D.由，根据两直线平行同旁内角互补，得出，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的性质逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图：
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
6．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作，
∵
∴
∴
∵，
∵，
∴
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，
∴∠3＝180°-90° 35°＝55°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠3＝180°-90° 35°＝55°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=55°。
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
设∠DEF=∠EFB=α，
图2中，
CF∥DE，AE∥BG，
∴∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，
图3中，
∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，
解得α=20°．
即∠DEF=20°，
故答案为：B．
【分析】由AD∥BC可得∠DEF=∠EFB，设∠DEF=∠EFB=α，结合图2知CF∥DE，AE∥BG，可得∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，结合图3可得∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，从而求出结论.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠FDE=30°，
∴∠ADF=90°﹣30°=60°．
∵BC∥DF，
∴∠B=∠ADF=60°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ADF=90°﹣30°=60°，再利用平行线的性质可得∠B=∠ADF=60°。
10．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
11．【答案】14或40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∴（2x-3）°+（3x-17）°=180°，
解得：
如图，
∵
∴
∴
∴（2x-3）°=（3x-17）°
解得：x=14
综上：x的值为：14或40
故答案为：14或40
【分析】结合图形，利用平行线的性质，列方程计算求解即可。
12．【答案】180°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
又∵BC∥DE，
∴∠C+∠D=180°，
即∠B+∠D=180°．
故答案为180°．
【分析】先求出∠B=∠C，再求出∠C+∠D=180°，即可作答。
13．【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
14．【答案】130
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠CEF＝105°，
∴∠ECD＝180°-∠CEF＝180°-105°＝75°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝130°．
故答案为：130.
【分析】根据平行线性质，求得∠ECD＝180°-∠CEF＝75°，从而得∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝130°，再根据平行线性质，求得∠ABC＝∠BCD＝130°．
15．【答案】270
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：270.
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥AE∥CD，由平行线的性质可得∠BCD+∠CBF=180°，根据垂直的概念可得∠ABF=90°，然后根据∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD进行计算.
16．【答案】140°或40°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
17．【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
18．【答案】证明：如图，∵AC∥EF（已知），
∴．（两直角平行，内错角相等）
．（两直角平行，同位角相等）
又∵平分（已知），
∴．（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可。
19．【答案】证明：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ；
故答案为： ，两直线平行，同位角相等， ，两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等得∠DEC=∠A，由两直线平行，内错角相等得 ∠FDE=∠DEC，据此可得结论.
20．【答案】证明：∵BD∥GF（已知）
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠ABD（等量代换）
∴DE∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠DEC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据题意可得 BD∥GF ， 两直线平行，同位角相等∠1＝∠ABD ； 内错角相等，两直线平行 ， DE∥AB；两直线平行，同位角相等 ， ∠DEC＝∠ABC .
21．【答案】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代换．
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质求解即可。
22．【答案】解：由操作可知，
∴．（依据：内错角相等，两直线平行）
同理，，
∴．
∴在同一直线上．
∴．
即．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；；．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】 根据内错角相等，两直线平行 ，可得AD∥BC，AE∥BC，由平行公理可知AD、AE在同一直线上 ，由平角定义可得∠DAE=180°，继而得解.
23．【答案】（1）解： ∥ ，理由如下：
∵平分平分，
∴∠BAC=2∠CAE，∠ACD=2∠ACD，
∴∠BAC+∠ACD=2（∠ACD+∠CAE）=180°，
∴；
（2）解：当点P在C左侧时，∠BAC=∠CQP+∠CPQ；②当点P在C右侧时，，理由如下：
①如图，当点P在C左侧时，过P作PE∥CD，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠1=∠2，∠BAC=∠EPC，
又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，
∴∠BAC=∠CQP+∠CPQ；
②如图，当点P在C右侧时，过P作PE∥CD，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l2，
∴∠1=∠2，∠BAC=∠APE，
又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，∠APE+∠EPC=180°，
∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC= 180°.
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，结合∠1+∠2 =90°，得出∠BAC+∠ACD=180°，即可得出结论；
(2)分两种情形：①当P在C点左侧时，过点P作PE∥CD，可得PE∥l2，根据平行线性质得出∠1=∠2，∠BAC=∠EPC，再根据角的和差关系，即可得出结果；②当Q在C点右侧时，可得PE∥l2∥l2，根据平行线性质得出∠1=∠2，∠BAC=∠APE，再根据角的和差和邻补角的性质，即可求出结果.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图1中，当点F在直线的上方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图：
由（2）可知：；
③当点F在直线的下方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
综上所述，①当点F在直线的上方时，；
②当点F在直线与直线之间时，；
③当点F在直线的下方时，．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出∠2的度数即可；
（2）过点F作FP//AB，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算可得；
（3）分三种情况：①当点F在直线的上方时，过点F作，②当点F在直线与直线之间时，过点F作，③当点F在直线的下方时，过点F作，再分别求解即可。
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册7.4平行线的性质 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·抚远期末）如图，直线，直线，若，则的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，标注直线a即直线AH，射线BA即射线BK，
∵直线，，
∴
∵直线，
∴
∴
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质可得由垂直的定义可得利用∠2=90°-∠CAH即可求解.
2．（2022七下·东港期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B，AD⊥b于点D，若∠1=57°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．33° D．40°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，∠1=57°，
∴∠ABD=∠1=57°，
∵AD⊥b，
∴∠ADB=90°，
∴∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABD=∠1=57°，再结合∠ADB=90°，利用角的运算求出∠2=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-57°=33°即可。
3．（2022七下·大连期末）如图，直线AB∥CD，∠EFB=60°，则∠CGE的度数是（ ）
A．130° B．110° C．120° D．60°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠EFB=60°，
∴∠EGD=∠EFB=60°，
∴∠CGE=180°-60°=120°．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质可得∠EGD=∠EFB=60°，再利用邻补角可得∠CGE=180°-60°=120°。
4．（2022七下·鞍山期末）如图，在四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A.要得出，需要，但，无法判定，故A不符合题意；
B.要得出，需要，但，无法判定，故B不符合题意；
C.由，无法得出，故C不符合题意；
D.由，根据两直线平行同旁内角互补，得出，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的性质逐项判断即可。
5．（2022七下·迁安期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图：
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
6．（2022七下·黄山期末）如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作，
∵
∴
∴
∵，
∵，
∴
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
7．（2022七下·寻乌期末）如图，已知直线，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且．若，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，
∴∠3＝180°-90° 35°＝55°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=55°，
故答案为：C．
【分析】先利用角的运算求出∠3＝180°-90° 35°＝55°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=55°。
8．（2022七下·前进期末）如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=120°，则图1中的∠DEF的度数是（ ）
A．30° B．20° C．40° D．15°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
设∠DEF=∠EFB=α，
图2中，
CF∥DE，AE∥BG，
∴∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，
图3中，
∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，
解得α=20°．
即∠DEF=20°，
故答案为：B．
【分析】由AD∥BC可得∠DEF=∠EFB，设∠DEF=∠EFB=α，结合图2知CF∥DE，AE∥BG，可得∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2α，结合图3可得∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2α-α=120°，从而求出结论.
9．（2022七下·乾安期末）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠FDE=30°，
∴∠ADF=90°﹣30°=60°．
∵BC∥DF，
∴∠B=∠ADF=60°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠ADF=90°﹣30°=60°，再利用平行线的性质可得∠B=∠ADF=60°。
10．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022七下·黄山期末）如图，已知直线ab，cd，若∠1、∠2是图中的两个角，且这两个角的两边分别平行，，，则x值为 ．
【答案】14或40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∴（2x-3）°+（3x-17）°=180°，
解得：
如图，
∵
∴
∴
∴（2x-3）°=（3x-17）°
解得：x=14
综上：x的值为：14或40
故答案为：14或40
【分析】结合图形，利用平行线的性质，列方程计算求解即可。
12．（2022七下·双辽期末）如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B +∠D = .
【答案】180°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
又∵BC∥DE，
∴∠C+∠D=180°，
即∠B+∠D=180°．
故答案为180°．
【分析】先求出∠B=∠C，再求出∠C+∠D=180°，即可作答。
13．（2022七下·双城期末）如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
14．（2022七下·乾县期末）如图，，若，，则的度数为 °．
【答案】130
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠CEF＝105°，
∴∠ECD＝180°-∠CEF＝180°-105°＝75°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝130°．
故答案为：130.
【分析】根据平行线性质，求得∠ECD＝180°-∠CEF＝75°，从而得∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝130°，再根据平行线性质，求得∠ABC＝∠BCD＝130°．
15．（2022七下·上虞期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，则
【答案】270
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：270.
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥AE∥CD，由平行线的性质可得∠BCD+∠CBF=180°，根据垂直的概念可得∠ABF=90°，然后根据∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD进行计算.
16．（2022七下·官渡期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角 时，．
【答案】140°或40°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2022七下·辛集期末）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
18．（2022七下·遂川期末）把推理过程补充完整，并填写相应的理由．
如图，∵AC∥EF（已知），
∴．（ ）
．（ ）
又∵平分（已知），
∴ ▲ ．（ ）
∴．（ ）
【答案】证明：如图，∵AC∥EF（已知），
∴．（两直角平行，内错角相等）
．（两直角平行，同位角相等）
又∵平分（已知），
∴．（角平分线的定义）
∴．（等量代换）
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可。
19．（2022七下·黄陂期末）完成下面的证明：已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边 BC、AC、AB上的点，且DE∥BA，DF∥CA．
求证： ．
证明：∵DE∥BA
∴ ▲ = ▲ （ ）
∵DF∥CA
∴ ▲ = ▲ （ ）
∴
【答案】证明：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ；
故答案为： ，两直线平行，同位角相等， ，两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等得∠DEC=∠A，由两直线平行，内错角相等得 ∠FDE=∠DEC，据此可得结论.
20．（2022七下·昆明期末）完成下面的证明过程，如图，BD∥GF，∠1＝∠2．求证：∠DEC＝∠ABC
证明：∵BD∥GF（ ）
∴∠1＝ ▲ （两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝ ▲ （ ）
∴DE∥AB（ ）
∴∠DEC＝∠ABC（ ）
【答案】证明：∵BD∥GF（已知）
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠ABD（等量代换）
∴DE∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠DEC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据题意可得 BD∥GF ， 两直线平行，同位角相等∠1＝∠ABD ； 内错角相等，两直线平行 ， DE∥AB；两直线平行，同位角相等 ， ∠DEC＝∠ABC .
21．（2022七下·南山期末）阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点、分别在线段、上，，，交于点，平分．
求证：平分．
证明：∵平分（已知）．
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（ ）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（ ）．
▲ （两直线平行，内错角相等）．
∴（ ）．
∴平分（角平分线的定义）．
【答案】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵AC∥DE（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵DF∥AE（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴平分（角平分线的定义）
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代换．
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质求解即可。
22．（2022七下·太原期末）数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于180°．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2和∠3撕下，按图2的方式拼摆，使∠2和∠3的顶点均与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合，∠3的一边与AC重合．
理由：由操作可知∠B＝∠2，
所以AD∥ ▲ （依据： ▲ ）．
同理，∠C＝∠3，
所以， ▲ ∥ ▲ ，
所以，AD、AE在同一直线上，
所以，∠DAE＝ ▲ ° ，
即 ∠1＋ ▲ ＋ ▲ ＝ ▲ ．
【答案】解：由操作可知，
∴．（依据：内错角相等，两直线平行）
同理，，
∴．
∴在同一直线上．
∴．
即．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；；．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】 根据内错角相等，两直线平行 ，可得AD∥BC，AE∥BC，由平行公理可知AD、AE在同一直线上 ，由平角定义可得∠DAE=180°，继而得解.
23．（2022七下·华州期末）如图1，点在直线上，点在直线上，平分平分，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若为直线上一定点，为直线上一动点，当点在直线上运动时(不与点重合)，猜想与之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解： ∥ ，理由如下：
∵平分平分，
∴∠BAC=2∠CAE，∠ACD=2∠ACD，
∴∠BAC+∠ACD=2（∠ACD+∠CAE）=180°，
∴；
（2）解：当点P在C左侧时，∠BAC=∠CQP+∠CPQ；②当点P在C右侧时，，理由如下：
①如图，当点P在C左侧时，过P作PE∥CD，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠1=∠2，∠BAC=∠EPC，
又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，
∴∠BAC=∠CQP+∠CPQ；
②如图，当点P在C右侧时，过P作PE∥CD，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l2，
∴∠1=∠2，∠BAC=∠APE，
又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，∠APE+∠EPC=180°，
∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC= 180°.
【知识点】平行线的性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，结合∠1+∠2 =90°，得出∠BAC+∠ACD=180°，即可得出结论；
(2)分两种情形：①当P在C点左侧时，过点P作PE∥CD，可得PE∥l2，根据平行线性质得出∠1=∠2，∠BAC=∠EPC，再根据角的和差关系，即可得出结果；②当Q在C点右侧时，可得PE∥l2∥l2，根据平行线性质得出∠1=∠2，∠BAC=∠APE，再根据角的和差和邻补角的性质，即可求出结果.
24．（2022七下·承德期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板．
（1）如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数；
（2）如图2，过点E作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图1中，当点F在直线的上方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图：
由（2）可知：；
③当点F在直线的下方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
综上所述，①当点F在直线的上方时，；
②当点F在直线与直线之间时，；
③当点F在直线的下方时，．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出∠2的度数即可；
（2）过点F作FP//AB，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算可得；
（3）分三种情况：①当点F在直线的上方时，过点F作，②当点F在直线与直线之间时，过点F作，③当点F在直线的下方时，过点F作，再分别求解即可。
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