2022-2023初数北师大版八年级上册7.5 三角形的内角和定理 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·偃师期末）在中，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
2．（2022七下·诏安月考）下列说法错误的是（ ）
A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
B．一个三角形只能有一个内角是钝角
C．对顶角相等
D．有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形
3．（2021七下·卧龙期末）已知一个多边形的外角和是其内角和的 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过这个多边形一个顶点可做7条对角线
B．它的内角和为1260°
C．如果将它剪掉一个角，则还余下8个角
D．它的每个外角为40°
4．（2022七下·南京月考）如果一个三角形有两个外角（不在同一顶点）的和等于270°，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．（2022七下·巴中期末）如图：已知，BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·光明期末）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．一个角的补角一定是钝角
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．三角形按角的大小分类可分为锐角三角形和钝角三角形
7．（2021八上·长沙月考）下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ）
A．三个角都相等的三角形
B．有两个角等于60°的三角形
C．边上的高也是这边的中线的三角形
D．有一个外角等于120°的等腰三角形
8．（2022七下·内江期末）如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
9．（2022七下·永定期末）如图：CDAB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．（2022七下·邗江期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，过点B的直线FH和过点C的直线GH相交于点H，且∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE.设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＋β＝120° B．α＋β＝180°
C．α＋β＝120° D．2α＋β＝120°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·南沙模拟）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的外角的度数是 ．
12．（2021八上·天河期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，则∠B＝ ．
13．（2022·灞桥模拟）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 .
14．（2022七下·东明期末）在中，已知，的形状是 ．
15．（2022七下·姜堰期中）如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明 ．
16．（2022七下·崇阳期中）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣，其中正确的是 ．（请把正确结论的序号都填上）
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八下·连州期中）已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2，求证：AB＝AC．
18．（2021七下·兴隆期末）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
19．（2022七下·樊城期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC上一点，若CD、DE分别是∠ACB和∠ADC的角平分线，且DE∥BC，求证：∠DEC +
2∠B = 180°.
20．（2021八上·陇县期末）如图所示，点E在 外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若 ，AD=AB，求证：AC=AE.
21．（2020八上·灵宝期中）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D.
（1）若∠A=50°，则∠D= ；
（2）若∠A=80°，则∠D= ；
（3）若∠A=130°，则∠D= ；
（4）若∠D=36°，则∠A= ；
（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.
22．（2021八上·花都期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
23．（2022七下·内江期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①，有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若，设镜子与的夹角（），入射光线与镜面的夹角（），已知入射光线分别从镜面、、反射，反射光线与入射光线平行，请求出与的关系式．
24．（2022七下·浑南期末）第一学习小组按照老师留的预习任务，对如下问题进行了自主探究性学习：
已知：如图1所示，在中，，，是的中线，过点C作，垂足为M，且交于点E．
（1）【探究一：相等的角】
同学们用量角器度量后猜想，请你先判断他们的猜想是否符合题意，再用所学知识说明理由；
（2）【探究二：相等的线段】
如图2所示，组员小亮在（1）的条件上添加了一条线段，且平分交于点N，即可得，并给出了说明理由；请你和他共同完成下面的说理过程．
解：如图2中，
因为平分，，
所以，（依据： ）
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为▲，▲，▲
所以（依据： ），
所以．（依据： ）
（3）【探究三：全等的三角形】
如图3所示，组员小刚在（2）的条件上，连接，又发现了一组全等三角形，请直接写出这组全等三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，结合∠A+∠B=∠C，得∠C=90°，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、有一个内角是直角的三角形是直角三角形，选项正确，不符合题意；
B、一个三角形只能有一个内角是钝角，选项正确，不符合题意；
C、两直线相交，对顶角相等，选项正确，不符合题意；
D、有两个内角是锐角的三角形不一定是锐角三角形，可能是直角或钝角三角形，选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的概念可判断A；根据内角和定理可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据锐角三角形的概念可判断D.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得：
×（n-2） 180°=360°，
解得：n=9
过这个多边形一个顶点可做9-3=6条对角线，选项A错误
它的内角和为1260°，选项B正确；
如果将它剪掉一个角，则还余下8个角或9个角或10个角，选项C错误；
它的每个外角不一定都相等，选项D错误；
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°并结合已知的相等关系“×多边形的内角和=360°”可列方程求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个外角的和是270°，
∴第三个外角是90°，
∴与90°的外角相邻的内角是90°，
∴这个三角形一定是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据外角和为360°可得第三个外角是90°，求出与其相邻的内角的度数，据此判断.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠
∴∠
∵是∠ABC的平分线，CD是∠ACP的平分线，BE是∠MBC的平分线，
∴∠
∠
∠
∴∠
∵D、C、E在同一条直线上，
∴∠，
∵∠
∴∠
∵∠，
∴∠，
∴∠
∴选项A，B，D正确，选项C错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合邻补角的性质可得∠MBP=∠ACP=130°，根据角平分线的概念可得∠DCP=∠ACP=65°，∠DBC=∠ABC=25°，∠EBC=∠MBC=65°，根据角的和差关系可得∠EBD=∠EBC+∠DBC=90°，由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCP=65°，结合内角和定理可得∠E=50°，则∠BDE=40°，据此判断.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，选项不符合题意；
B、一个角的补角不一定是钝角，可能是锐角、直角，选项不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项符合题意；
D、三角形按角的大小分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同位角的定义、钝角和补角的定义、三角形的分类及平面内两直线的位置关系逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：三个角都相等的三角形是等边三角形，故A选项不符合题意；
有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故B选项不符合题意；
边上的高也是这边的中线的三角形有可能是等腰三角形，故C不一定是等边三角形；
有一个外角等于120°的等腰三角形，则是有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形，②有两个角等于60°的三角形是等边三角形，③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，据此一一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】垂线；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故答案为：B.
【分析】连接AD，根据内角和定理可得∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，根据周角的概念可得∠MAD+∠NAD＝360°-∠BAF，由垂直得∠BAF＝90°，则∠DMA+∠DNA＝90°-∠MDN，根据对顶角的性质可得∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，结合内角和定理可得∠1+∠2＝360°﹣(∠B+∠C+∠E+∠F)，即90°-∠MDN＝360°-(∠B+∠C+∠E+∠F)，据此求解.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴
∵∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CB⊥CF，故②正确，
∵CD∥AB，∠BAC=40°，
∴∠ACG=40°，
∴∠ACF=∠4=20°，
∴∠ACB=90°-20°=70°，
∴∠BCD=70°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠BCD=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=70°，故③正确；
∵∠1=∠2=70°，
∴∠3=40°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACE=2∠4错误；
∵∠4=20°，∠3=40°，
∴∠3=2∠4，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB=∠ACD，∠ACF= ∠ACG，根据邻补角的性质可得∠ACG+∠ACD=180°，则∠ACF+∠ACB=90°，据此判断②；根据二直线平行，内错角相等，可得∠BAC=∠ACG=40°，则∠ACF=∠4=20°，∠ACB=70°，根据平行线的性质可得∠2=∠BCD=70°，据此判断③；易得∠ACB=70°，∠3=40°，∠ACE=30°，据此判断①；根据∠4=20°，∠3=40°可判断④.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：设∠DBF＝x，∠ECG＝y，
则∠HBC＝∠DBF＝x，∠HCB＝∠ECG＝y，
∴β＝180°﹣x﹣y，
∵∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE，
∴∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，
∴∠ABC＝180°﹣3x，∠ACB＝180°﹣3y，
∴α＝180°﹣（180°﹣3x）﹣（180°﹣3y）＝3x+3y﹣180°，
∴α+β＝120°.
故答案为：A.
【分析】设∠DBF＝x，∠ECG＝y，根据对顶角的性质可得∠HBC＝∠DBF＝x，∠HCB＝∠ECG＝y，根据内角和定理可得β＝180°﹣x﹣y，由已知条件可得∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，结合邻补角的性质可得∠ABC＝180°﹣3x，∠ACB＝180°﹣3y，根据内角和定理可得α＝180°-(180°-3x)-(180°-3y)＝3x+3y-180°，化简可得α与β的关系.
11．【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴与∠C相邻的外角度数为：50°+60°＝110°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
故答案为：110°．
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
12．【答案】70°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=120°，∠A=50°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠B=∠ACD-∠A=120°-50°=70°，
故答案为：70°．
【分析】利用三角形外角的性质可得∠B=∠ACD-∠A=120°-50°=70°。
13．【答案】130°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1∠BAC，∠3∠ABC，
∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°.
故答案为：130°.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠BAC+∠ABC=∠ACQ＝100°，由角平分线的定义可得∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，根据三角形内角和定理即可求解.
14．【答案】钝角三角形
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】∵，
∴，，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴，
解得：，
∴的形状是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
【分析】由可得，，根据三角形的内角和定理可求出最大角∠A的度数，然后判断即可.
15．【答案】三角形的内角和为
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A+∠C+∠B．
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，即，
∴这种变化说明三角形的内角和为180°．
故答案为：三角形的内角和为180°．
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°进行解答即可.
16．【答案】①②
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠GBC+∠GBD=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AE∥CF，BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠GCB，∠ABC=∠GCB，
∵BC平分∠ABG，
∴∠GBC=∠ABC=∠ACB，
∴AC∥BG，故②正确；
∵∠CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∵∠DBE=∠DBG，
∴∠GBC+∠DBE=90°，
∵∠GBC=∠BCG=∠ACB，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，故③错误；
∵∠CBD=90°，
∴∠BDG=90°-∠ACB =90°-∠CBG，
∵∠ACB=∠ABC，∠A＝α，
∴，
∵∠BDF=180°-∠BDG，
∴，故④错误，
∴正确的有①②.
故答案为：①②.
【分析】根据垂直的概念得∠CBD=90°，由角平分线的概念得∠DBG=∠EBD，根据等角的余角相等得∠ABC=∠CBG，据此判断①；
根据平行线的性质以及角平分线的概念得∠ACB=∠GCB，∠ABC=∠GCB，∠GBC=∠ABC=∠ACB，然后根据平行线的判定定理可判断②；
根据∠ABC+∠EBD=90°、∠DBE=∠DBG可得∠GBC+∠DBE=90°，然后根据余角的概念可判断③；根据余角的性质可得∠BDG=90°-∠ACB =90°-∠CBG，根据内角和定理可得∠ACB=90°-，由邻补角的性质可得∠BDF=180°-∠BDG，据此判断④.
17．【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠B，∠2=∠C，再根据∠1=∠2，可得∠B=∠C，即可得到AB=AC。
18．【答案】解：AD//BC．
理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，
∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B+∠C，
∴ ，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD//BC．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，利用三角形的外角性质，∠EAC＝∠B+∠C，得出∠CAD＝∠C，即可得出结论。
19．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠CDE，
∵CD、DE分别是∠ACB和∠ADC的角平分线，
∴∠DCE=∠2，∠1=∠CDE，
∴∠CDE=∠DCE=∠B，
∴∠CDE+∠DCE=2∠B，
∵∠DEC+∠CDE+∠DCE=180°，
∴∠DEC + 2∠B = 180°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠B，∠2=∠CDE，根据角平分线的概念可得∠DCE=∠2，∠1=∠CDE，则∠CDE+∠DCE=2∠B，然后在△CDE中，结合内角和定理进行证明即可.
20．【答案】证明： ，
，即 ，
由对顶角相等得： ，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，结合内角和定理可得∠C=∠E，证明△ABC≌△△ADE，据此可得结论.
21．【答案】（1）25°
（2）40°
（3）65°
（4）72°
（5）解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，
∵∠ACE=∠ABC+∠A，
∴2∠2=2∠1+∠A，
而∠2=∠1+∠D，
∴2∠2=2∠1+2∠D，
∴∠A=2∠D，
即∠D= ∠A，
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，
∵∠ACE=∠ABC+∠A，
∴2∠2=2∠1+∠A，
而∠2=∠1+∠D，
∴2∠2=2∠1+2∠D，
∴∠A=2∠D，
即∠D= ∠A，
（1）当若∠A=50°，则∠D=25°；
（2）若∠A=80°，则∠D=40°；
（3）若∠A=130°，则∠D=65°.
（4）若∠D=36°，则∠A=72°，
（5）综上所述，∠D= ∠A；
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，利用三角形的外角的性质可推出2∠2=2∠1+∠A，∠2=∠1+∠D，由此可证得∠A=2∠D，利用∠A和∠D之间的数量关系，分别求出（1）（2）（3）（4）中∠D和∠A的度数即可.
（5）利用角平分线的定义可证得∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，利用三角形的外角的性质可推出2∠2=2∠1+∠A，∠2=∠1+∠D，由此可证得∠A=2∠D，即可推出∠D= ∠A.
22．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【知识点】角的运算；平行线的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
23．【答案】（1）解：EF∥GH，
理由：在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）解：，
理由：如图，作GM∥EF，
∵EF∥HK，
∴GM∥HK，
∵∠1＝∠2，∠1＝β，
∴∠2＝β，
∴∠FEG＝180°－2β，
∴∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β，
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，，
∴∠3＝180°－135°－∠2＝45°－β，
∴∠3＝∠CGH＝45°－β，
∴∠MGH＝180°－∠3－∠EGM－∠CGH＝180°－2（45°－β）－2β＝90°，
∵GM∥HK，
∴∠MGH＋∠GHK＝180°，
∴∠GHK＝90°，
∵∠GHC＝∠KHD，∠GHK＝180°－∠GHC－∠KHD＝90°，
∴∠GHC＝∠KHD＝45°，
∴∠BCD＝180°－∠CGH－∠CHG＝180°－（45°－β）－45°＝90°＋β，即．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；作图-平行线
【解析】【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3＋α=180°，α=90°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得 ∠FEG＋∠EGH＝180° ，进而根据“同旁内角互补两直线平行”可得 EF∥GH ；
（2） 作GM∥EF ，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥HK ，结合已知条件和平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可证 ∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β ，利用△BEG内角和及已知条件可得 ∠3＝∠CGH＝45°－β ，进一步求出 ∠MGH＝90° ，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得 .
24．【答案】（1）解：猜想符合题意，理由如下，
∵在中， ，
∴
（2）解：如图2中，
因为平分，，
所以，（依据：角平分线的定义）
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为，，
所以（依据：ASA），
所以．（依据：全等三角形的对应边相等）
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）
证明：因为是的中线，
所以，
因为平分，，
所以，（依据：角平分线的定义）
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为，，
所以（依据：SAS），
【分析】（1）利用三角形的内角和可得；
（2）利用三角形全等的判定方法和性质求解即可；
（3）利用三角形全等的判定方法求解即可。
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册7.5 三角形的内角和定理 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·偃师期末）在中，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，结合∠A+∠B=∠C，得∠C=90°，据此判断.
2．（2022七下·诏安月考）下列说法错误的是（ ）
A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形
B．一个三角形只能有一个内角是钝角
C．对顶角相等
D．有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、有一个内角是直角的三角形是直角三角形，选项正确，不符合题意；
B、一个三角形只能有一个内角是钝角，选项正确，不符合题意；
C、两直线相交，对顶角相等，选项正确，不符合题意；
D、有两个内角是锐角的三角形不一定是锐角三角形，可能是直角或钝角三角形，选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的概念可判断A；根据内角和定理可判断B；根据对顶角的性质可判断C；根据锐角三角形的概念可判断D.
3．（2021七下·卧龙期末）已知一个多边形的外角和是其内角和的 ，则下列说法正确的是（ ）
A．过这个多边形一个顶点可做7条对角线
B．它的内角和为1260°
C．如果将它剪掉一个角，则还余下8个角
D．它的每个外角为40°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得：
×（n-2） 180°=360°，
解得：n=9
过这个多边形一个顶点可做9-3=6条对角线，选项A错误
它的内角和为1260°，选项B正确；
如果将它剪掉一个角，则还余下8个角或9个角或10个角，选项C错误；
它的每个外角不一定都相等，选项D错误；
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和=（n-2）×180°并结合已知的相等关系“×多边形的内角和=360°”可列方程求解.
4．（2022七下·南京月考）如果一个三角形有两个外角（不在同一顶点）的和等于270°，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个外角的和是270°，
∴第三个外角是90°，
∴与90°的外角相邻的内角是90°，
∴这个三角形一定是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据外角和为360°可得第三个外角是90°，求出与其相邻的内角的度数，据此判断.
5．（2022七下·巴中期末）如图：已知，BD、CD、BE分别平分的内角、外角、外角，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠
∴∠
∵是∠ABC的平分线，CD是∠ACP的平分线，BE是∠MBC的平分线，
∴∠
∠
∠
∴∠
∵D、C、E在同一条直线上，
∴∠，
∵∠
∴∠
∵∠，
∴∠，
∴∠
∴选项A，B，D正确，选项C错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件结合邻补角的性质可得∠MBP=∠ACP=130°，根据角平分线的概念可得∠DCP=∠ACP=65°，∠DBC=∠ABC=25°，∠EBC=∠MBC=65°，根据角的和差关系可得∠EBD=∠EBC+∠DBC=90°，由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCP=65°，结合内角和定理可得∠E=50°，则∠BDE=40°，据此判断.
6．（2022七下·光明期末）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．一个角的补角一定是钝角
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．三角形按角的大小分类可分为锐角三角形和钝角三角形
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，选项不符合题意；
B、一个角的补角不一定是钝角，可能是锐角、直角，选项不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项符合题意；
D、三角形按角的大小分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同位角的定义、钝角和补角的定义、三角形的分类及平面内两直线的位置关系逐项判断即可。
7．（2021八上·长沙月考）下列三角形，不一定是等边三角形的是（ ）
A．三个角都相等的三角形
B．有两个角等于60°的三角形
C．边上的高也是这边的中线的三角形
D．有一个外角等于120°的等腰三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：三个角都相等的三角形是等边三角形，故A选项不符合题意；
有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故B选项不符合题意；
边上的高也是这边的中线的三角形有可能是等腰三角形，故C不一定是等边三角形；
有一个外角等于120°的等腰三角形，则是有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形，②有两个角等于60°的三角形是等边三角形，③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，据此一一判断得出答案.
8．（2022七下·内江期末）如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°
【答案】B
【知识点】垂线；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故答案为：B.
【分析】连接AD，根据内角和定理可得∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，根据周角的概念可得∠MAD+∠NAD＝360°-∠BAF，由垂直得∠BAF＝90°，则∠DMA+∠DNA＝90°-∠MDN，根据对顶角的性质可得∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，结合内角和定理可得∠1+∠2＝360°﹣(∠B+∠C+∠E+∠F)，即90°-∠MDN＝360°-(∠B+∠C+∠E+∠F)，据此求解.
9．（2022七下·永定期末）如图：CDAB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，
∴
∵∠ACG+∠ACD=180°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CB⊥CF，故②正确，
∵CD∥AB，∠BAC=40°，
∴∠ACG=40°，
∴∠ACF=∠4=20°，
∴∠ACB=90°-20°=70°，
∴∠BCD=70°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠BCD=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=70°，故③正确；
∵∠1=∠2=70°，
∴∠3=40°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ACE=2∠4错误；
∵∠4=20°，∠3=40°，
∴∠3=2∠4，故④正确.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ACB=∠ACD，∠ACF= ∠ACG，根据邻补角的性质可得∠ACG+∠ACD=180°，则∠ACF+∠ACB=90°，据此判断②；根据二直线平行，内错角相等，可得∠BAC=∠ACG=40°，则∠ACF=∠4=20°，∠ACB=70°，根据平行线的性质可得∠2=∠BCD=70°，据此判断③；易得∠ACB=70°，∠3=40°，∠ACE=30°，据此判断①；根据∠4=20°，∠3=40°可判断④.
10．（2022七下·邗江期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，过点B的直线FH和过点C的直线GH相交于点H，且∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE.设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＋β＝120° B．α＋β＝180°
C．α＋β＝120° D．2α＋β＝120°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：设∠DBF＝x，∠ECG＝y，
则∠HBC＝∠DBF＝x，∠HCB＝∠ECG＝y，
∴β＝180°﹣x﹣y，
∵∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE，
∴∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，
∴∠ABC＝180°﹣3x，∠ACB＝180°﹣3y，
∴α＝180°﹣（180°﹣3x）﹣（180°﹣3y）＝3x+3y﹣180°，
∴α+β＝120°.
故答案为：A.
【分析】设∠DBF＝x，∠ECG＝y，根据对顶角的性质可得∠HBC＝∠DBF＝x，∠HCB＝∠ECG＝y，根据内角和定理可得β＝180°﹣x﹣y，由已知条件可得∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，结合邻补角的性质可得∠ABC＝180°﹣3x，∠ACB＝180°﹣3y，根据内角和定理可得α＝180°-(180°-3x)-(180°-3y)＝3x+3y-180°，化简可得α与β的关系.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·南沙模拟）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的外角的度数是 ．
【答案】110°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴与∠C相邻的外角度数为：50°+60°＝110°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
故答案为：110°．
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
12．（2021八上·天河期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，则∠B＝ ．
【答案】70°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=120°，∠A=50°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠B=∠ACD-∠A=120°-50°=70°，
故答案为：70°．
【分析】利用三角形外角的性质可得∠B=∠ACD-∠A=120°-50°=70°。
13．（2022·灞桥模拟）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 .
【答案】130°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1∠BAC，∠3∠ABC，
∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°.
故答案为：130°.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠BAC+∠ABC=∠ACQ＝100°，由角平分线的定义可得∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，根据三角形内角和定理即可求解.
14．（2022七下·东明期末）在中，已知，的形状是 ．
【答案】钝角三角形
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】∵，
∴，，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴，
解得：，
∴的形状是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
【分析】由可得，，根据三角形的内角和定理可求出最大角∠A的度数，然后判断即可.
15．（2022七下·姜堰期中）如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明 ．
【答案】三角形的内角和为
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A+∠C+∠B．
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，即，
∴这种变化说明三角形的内角和为180°．
故答案为：三角形的内角和为180°．
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°进行解答即可.
16．（2022七下·崇阳期中）如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣，其中正确的是 ．（请把正确结论的序号都填上）
【答案】①②
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠GBC+∠GBD=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AE∥CF，BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠GCB，∠ABC=∠GCB，
∵BC平分∠ABG，
∴∠GBC=∠ABC=∠ACB，
∴AC∥BG，故②正确；
∵∠CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∵∠DBE=∠DBG，
∴∠GBC+∠DBE=90°，
∵∠GBC=∠BCG=∠ACB，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，故③错误；
∵∠CBD=90°，
∴∠BDG=90°-∠ACB =90°-∠CBG，
∵∠ACB=∠ABC，∠A＝α，
∴，
∵∠BDF=180°-∠BDG，
∴，故④错误，
∴正确的有①②.
故答案为：①②.
【分析】根据垂直的概念得∠CBD=90°，由角平分线的概念得∠DBG=∠EBD，根据等角的余角相等得∠ABC=∠CBG，据此判断①；
根据平行线的性质以及角平分线的概念得∠ACB=∠GCB，∠ABC=∠GCB，∠GBC=∠ABC=∠ACB，然后根据平行线的判定定理可判断②；
根据∠ABC+∠EBD=90°、∠DBE=∠DBG可得∠GBC+∠DBE=90°，然后根据余角的概念可判断③；根据余角的性质可得∠BDG=90°-∠ACB =90°-∠CBG，根据内角和定理可得∠ACB=90°-，由邻补角的性质可得∠BDF=180°-∠BDG，据此判断④.
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021八下·连州期中）已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2，求证：AB＝AC．
【答案】证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠B，∠2=∠C，再根据∠1=∠2，可得∠B=∠C，即可得到AB=AC。
18．（2021七下·兴隆期末）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
【答案】解：AD//BC．
理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，
∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B+∠C，
∴ ，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD//BC．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，利用三角形的外角性质，∠EAC＝∠B+∠C，得出∠CAD＝∠C，即可得出结论。
19．（2022七下·樊城期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC上一点，若CD、DE分别是∠ACB和∠ADC的角平分线，且DE∥BC，求证：∠DEC +
2∠B = 180°.
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠CDE，
∵CD、DE分别是∠ACB和∠ADC的角平分线，
∴∠DCE=∠2，∠1=∠CDE，
∴∠CDE=∠DCE=∠B，
∴∠CDE+∠DCE=2∠B，
∵∠DEC+∠CDE+∠DCE=180°，
∴∠DEC + 2∠B = 180°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠B，∠2=∠CDE，根据角平分线的概念可得∠DCE=∠2，∠1=∠CDE，则∠CDE+∠DCE=2∠B，然后在△CDE中，结合内角和定理进行证明即可.
20．（2021八上·陇县期末）如图所示，点E在 外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若 ，AD=AB，求证：AC=AE.
【答案】证明： ，
，即 ，
由对顶角相等得： ，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据∠1=∠2结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，由对顶角的性质可得∠AFE=∠CFD，结合内角和定理可得∠C=∠E，证明△ABC≌△△ADE，据此可得结论.
21．（2020八上·灵宝期中）如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D.
（1）若∠A=50°，则∠D= ；
（2）若∠A=80°，则∠D= ；
（3）若∠A=130°，则∠D= ；
（4）若∠D=36°，则∠A= ；
（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.
【答案】（1）25°
（2）40°
（3）65°
（4）72°
（5）解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，
∵∠ACE=∠ABC+∠A，
∴2∠2=2∠1+∠A，
而∠2=∠1+∠D，
∴2∠2=2∠1+2∠D，
∴∠A=2∠D，
即∠D= ∠A，
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，
∵∠ACE=∠ABC+∠A，
∴2∠2=2∠1+∠A，
而∠2=∠1+∠D，
∴2∠2=2∠1+2∠D，
∴∠A=2∠D，
即∠D= ∠A，
（1）当若∠A=50°，则∠D=25°；
（2）若∠A=80°，则∠D=40°；
（3）若∠A=130°，则∠D=65°.
（4）若∠D=36°，则∠A=72°，
（5）综上所述，∠D= ∠A；
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，利用三角形的外角的性质可推出2∠2=2∠1+∠A，∠2=∠1+∠D，由此可证得∠A=2∠D，利用∠A和∠D之间的数量关系，分别求出（1）（2）（3）（4）中∠D和∠A的度数即可.
（5）利用角平分线的定义可证得∠ACE=2∠2，∠ABC=2∠1，利用三角形的外角的性质可推出2∠2=2∠1+∠A，∠2=∠1+∠D，由此可证得∠A=2∠D，即可推出∠D= ∠A.
22．（2021八上·花都期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【知识点】角的运算；平行线的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
23．（2022七下·内江期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①，有，．设镜子与的夹角．
（1）如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若，设镜子与的夹角（），入射光线与镜面的夹角（），已知入射光线分别从镜面、、反射，反射光线与入射光线平行，请求出与的关系式．
【答案】（1）解：EF∥GH，
理由：在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，α＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＝180°，∠3＋∠4＋∠EGH＝180°，
∴∠FEG＋∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）解：，
理由：如图，作GM∥EF，
∵EF∥HK，
∴GM∥HK，
∵∠1＝∠2，∠1＝β，
∴∠2＝β，
∴∠FEG＝180°－2β，
∴∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β，
在△BEG中，∠2＋∠3＋α＝180°，，
∴∠3＝180°－135°－∠2＝45°－β，
∴∠3＝∠CGH＝45°－β，
∴∠MGH＝180°－∠3－∠EGM－∠CGH＝180°－2（45°－β）－2β＝90°，
∵GM∥HK，
∴∠MGH＋∠GHK＝180°，
∴∠GHK＝90°，
∵∠GHC＝∠KHD，∠GHK＝180°－∠GHC－∠KHD＝90°，
∴∠GHC＝∠KHD＝45°，
∴∠BCD＝180°－∠CGH－∠CHG＝180°－（45°－β）－45°＝90°＋β，即．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；作图-平行线
【解析】【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3＋α=180°，α=90°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得 ∠FEG＋∠EGH＝180° ，进而根据“同旁内角互补两直线平行”可得 EF∥GH ；
（2） 作GM∥EF ，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥HK ，结合已知条件和平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可证 ∠EGM＝180°－（180°－2β）＝2β ，利用△BEG内角和及已知条件可得 ∠3＝∠CGH＝45°－β ，进一步求出 ∠MGH＝90° ，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得 .
24．（2022七下·浑南期末）第一学习小组按照老师留的预习任务，对如下问题进行了自主探究性学习：
已知：如图1所示，在中，，，是的中线，过点C作，垂足为M，且交于点E．
（1）【探究一：相等的角】
同学们用量角器度量后猜想，请你先判断他们的猜想是否符合题意，再用所学知识说明理由；
（2）【探究二：相等的线段】
如图2所示，组员小亮在（1）的条件上添加了一条线段，且平分交于点N，即可得，并给出了说明理由；请你和他共同完成下面的说理过程．
解：如图2中，
因为平分，，
所以，（依据： ）
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为▲，▲，▲
所以（依据： ），
所以．（依据： ）
（3）【探究三：全等的三角形】
如图3所示，组员小刚在（2）的条件上，连接，又发现了一组全等三角形，请直接写出这组全等三角形．
【答案】（1）解：猜想符合题意，理由如下，
∵在中， ，
∴
（2）解：如图2中，
因为平分，，
所以，（依据：角平分线的定义）
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为，，
所以（依据：ASA），
所以．（依据：全等三角形的对应边相等）
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）
证明：因为是的中线，
所以，
因为平分，，
所以，（依据：角平分线的定义）
因为，
所以，
所以，
在和中，
因为，，
所以（依据：SAS），
【分析】（1）利用三角形的内角和可得；
（2）利用三角形全等的判定方法和性质求解即可；
（3）利用三角形全等的判定方法求解即可。
1 / 1
